遼寧省遼南協(xié)作體2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（A）（解析版）

PAGEPAGE1遼寧省遼南協(xié)作體2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（A）第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.橢圓的焦距是（）A. B. C.4 D.8〖答案〗A〖解析〗橢圓中，，故，所以橢圓的焦距是.故選：A.2.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則（）A.4 B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)式，則，即，拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，，即，解得.故選：C.3.若圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓C的面積為（）A.π B.2π C.4π D.6π〖答案〗B〖解析〗由題意圓的圓心在直線上，即，解得，所以圓半徑的平方為，面積為.故選：B.4.已知空間向量，，，若三向量、、共面，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)槿蛄俊?、共面，設(shè)，其中、，則，解得.故選：B.5.雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為（）A.4 B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗由題可知：雙曲線，其中一個(gè)焦點(diǎn)為，其中一條漸近線，所以焦點(diǎn)到漸近線的距離為，故選:C.6.在空間中，三個(gè)平面PAB，PBC，PAC相交于一點(diǎn)P，已知，則直線PA與平面PBC所成角的正弦值等于（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，作，作A點(diǎn)在平面PBC射影為O，連接OE，OF，設(shè).因，則.因平面PFOE，平面PFOE，則，且為PA與平面PBC所成角，又，，平面AOE，平面AOF，則平面AOE，平面AOF.又平面AOE，平面AOF，則.又，，，則，故，結(jié)合，得.又，則，故PA與平面PBC所成角的正弦值等于.故選：A7.若圓：與圓：外切，則（）A. B.16 C.21 D.9〖答案〗D〖解析〗圓：的圓心為，半徑；圓：，即圓：，圓心：半徑，所以，所以；故選：D8.如圖，已知正四面體ABCD中，，，則異面直線DE和BF所成角的余弦值等于（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在正四面中，設(shè)向量，，，則三個(gè)向量兩兩夾角為，設(shè)正四面體的棱長等于1，且，，，∵，，∴，，，，∵，∴，即直線和所成角的余弦值為，故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.已知空間中三點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A.與是共線向量B.與共線的單位向量是C.與夾角的余弦值是D.平面的一個(gè)法向量是〖答案〗CD〖解析〗對(duì)于，不存在實(shí)數(shù)，使得，所以與不是共線向量，所以錯(cuò)誤;對(duì)于，因?yàn)?，所以與共線的單位向量為或，所以錯(cuò)誤;對(duì)于，向量，所以，所以C正確;對(duì)于，設(shè)平面的法向量是，因?yàn)椋?，即，令，則，所以D正確．故選：.10.已知直線l過點(diǎn)，且與直線以及x軸圍成一個(gè)底邊在x軸上的等腰三角形，則（）A.直線l的方程為 B.直線l與直線的傾斜角互補(bǔ)C.直線l在y軸上的截距為1 D.這樣的直線l有兩條〖答案〗ABC〖解析〗因?yàn)橹本€l與及x軸圍成一個(gè)底邊在x軸上的等腰三角形，所以l與的傾斜角互補(bǔ)，故B正確；由直線的斜率為，知直線l的斜率為，可得直線l的方程為，即l的方程為，故A正確；令，得，所以l在y軸上的截距為1，故C正確；過點(diǎn)且斜率為的直線只有一條，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．11.已知在棱長為1正方體中，點(diǎn)分別是，，的中點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是（）A.平面 B.平面C.三棱錐的體積為 D.直線與所成的角為〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，在正方體中，,平面，平面，故平面，A正確；對(duì)于B，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，連接，，則,則，，則，，故，即,而平面，故平面，B正確；對(duì)于C，連接，三棱錐的體積，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，連接EF，，則，故，即，由于異面直線所成角大于小于等于，故直線與所成的角為，D正確，故選：ABD12.已知雙曲線，若圓與雙曲線的漸近線相切，則（）A.雙曲線的實(shí)軸長為B.雙曲線的離心率C.點(diǎn)為雙曲線上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)到的兩條漸近線的距離分別為、，則D.直線與交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為，則〖答案〗BCD〖解析〗由題意知的漸近線方程為，所以，因?yàn)?，則，所以雙曲線的實(shí)軸長為，故A錯(cuò)誤；，所以，故B正確；設(shè)，則，，故C正確；設(shè)、，則，兩式作差得，所以，，D對(duì).故選：BCD.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.若直線與直線平行，則______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)橹本€與直線平行，所以且，解得.故〖答案〗為：.14.P是橢圓上的點(diǎn)，F(xiàn)1和F2是該橢圓的焦點(diǎn)，則k＝|PF1|·|PF2|的最大值是________．〖答案〗4〖解析〗由題意，設(shè)|PF1|＝x，∵|PF1|+|PF2|＝2a＝4，∴|PF2|＝4﹣x∴|PF1|?|PF2|＝x（4﹣x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4∵a＝2，b，∴c1，由|PF1|可得1≤x≤3∴x＝2時(shí)，k＝﹣x2+4x取最大值為4，故〖答案〗為4．15.已知向量，若，則_________．〖答案〗〖解析〗設(shè)向量，，，設(shè)與的夾角為，，，.故〖答案〗為：.16.拋物線x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF為等邊三角形，則p=___________.〖答案〗6〖解析〗因?yàn)閽佄锞€x2=2py的準(zhǔn)線和雙曲線相交交點(diǎn)橫坐標(biāo)為四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.直線l與直線垂直，且經(jīng)過點(diǎn)．（1）求l的方程；（2）若圓截直線l所得弦長為4，求實(shí)數(shù)m的值．解：（1）由題意可設(shè)：．因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)，所以，．所以的方程是．（2）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．圓心，半徑．圓心到直線距離．由垂徑定理，即，得．18.已知拋物線上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離是6．（1）求的方程；（2）設(shè)直線交于，兩點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的值．解：（1）的準(zhǔn)線為．由題意根據(jù)拋物線定義得：，解得，故的方程為：．（2）聯(lián)立與得，．設(shè)，，則，于是．因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以?9.如圖，正三棱柱中，各棱長均為4，N是的中點(diǎn).（1）求點(diǎn)N到直線的距離；（2）求點(diǎn)到平面的距離.解：（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，∵N是的中點(diǎn)，∴.，則.設(shè)點(diǎn)N到直線的距離為，則.（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由，得，令，則，即.易知，設(shè)點(diǎn)到平面距離為，則.20.已知，雙曲線，橢圓，與的離心率之積為.（1）求的漸近線方程；（2）設(shè)M，N分別是的兩條漸近線上的動(dòng)點(diǎn)，且，若O是坐標(biāo)原點(diǎn)，，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，并指出它是什么曲線.解：（1）離心率是，離心率是.由得，所以的漸近線方程是.（2）不妨設(shè)在上，在上，則，.因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋O(shè)，則，故，化簡得點(diǎn)軌跡方程是.則點(diǎn)軌跡是長軸是，焦距是的橢圓.21.如圖，四棱錐中，平面，底面為正方形，已知，E為中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求二面角的余弦值．解：（1）連結(jié)交于，連結(jié)如下圖所示：因?yàn)闉檎叫?，所以是中點(diǎn)．又為中點(diǎn)，所以．平面，平面，所以平面．（2）因平面，平面，所以；又因?yàn)闉檎叫?，所以所以兩兩垂直，以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：不妨設(shè)，則，，，，，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，即，取，可得，即；故直線與平面所成角正弦值為．（3）設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，解得，取，可得，即可得．因?yàn)?，由圖可知二面角是鈍二面角，故二面角的余弦值為.22.已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓M的離心率為，橢圓上異于長軸頂點(diǎn)的任意