湖南省長沙市名校聯(lián)考聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1湖南省長沙市名校聯(lián)考聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.2.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則等于（）A.2 B. C.1 D.〖答案〗B〖解析〗由題意得，且，解得，所以.故選：B.3.若，且，則角α是（）A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角〖答案〗A〖解析〗，又，，因此角為第一象限角.故選：A.4.下列命題正確的是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗B〖解析〗對于A，當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)時(shí)，，B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，C錯(cuò)誤；對于D，，，D錯(cuò)誤.故選：B.5.已知角的頂點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，若角的終邊所在直線的方程為，則的值為（）A. B. C.3 D.5〖答案〗C〖解析〗因?yàn)榻堑慕K邊所在直線的方程為，在角的終邊取一點(diǎn)，則，所以，則.故選：C.6.已知條件P：，條件Q：，則P是Q的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗當(dāng)條件P：成立時(shí)，因?yàn)闉樯显龊瘮?shù)，又，所以，又為上減函數(shù)，所以成立，所以是的充分條件；當(dāng)時(shí)，取，滿足條件，但此時(shí)無意義，所以不是的必要條件，故是的充分不必要條件.故選：A.7.計(jì)算（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故選：C.8.已知，，，則實(shí)數(shù)a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，設(shè)，函數(shù)與互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱，且的圖象在直線上方，的圖象在直線下方，因此當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞增，遞減，則遞增，顯然，即有，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，得，設(shè)，函數(shù)在R上遞減，在R上遞增，則在R上遞減，顯然，即有，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，得，令，當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，其圖象如圖：觀察圖象知，，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，顯然，，即有，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，得，所以.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20.分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗BD〖解析〗對于A，因?yàn)?，所以，所以，即，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)?，函?shù)在上單調(diào)遞增，所以，故B正確；對于，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)?，所以，所以，所以，故D正確.故選：BD.10.下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期是B.函數(shù)是奇函數(shù)C.函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減D.若直線與函數(shù)相交于兩點(diǎn)P，，則|PQ|的最小值為〖答案〗BCD〖解析〗函數(shù)的最小正周期，A錯(cuò)誤；由，得函數(shù)是奇函數(shù)，又其定義域?yàn)?，B正確；由，得，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，C正確；由直線與函數(shù)相交于兩點(diǎn)，得，則的最小值為，D正確.故選：BCD.11.已知，，且，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對于A，因?yàn)?，，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故A正確；對于，因?yàn)椋?，?dāng)，即時(shí)，等號成立，故B正確；對于C，由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)椋?，由，得，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故D正確.故選：ABD.12.已知函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，則下列說法正確的是（）A.若，則B.是周期為2的周期函數(shù)C.當(dāng)時(shí)，的值域D.當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椤即鸢浮紹CD〖解析〗對于AB，因?yàn)槭嵌x在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，且，所以，則是周期為2的周期函數(shù)，，故A錯(cuò)誤，B正確；對于C，令，則的定義域?yàn)?，又，所以是奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，故?dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，進(jìn)而可得時(shí)，的值域?yàn)?，故C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，，則的值域?yàn)?，即的值域?yàn)椋?，故值域?yàn)?，又時(shí)，的值域?yàn)?，因此時(shí)，的值域?yàn)?，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則等于__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，所以.故〖答案〗為：.14.化簡：___________.〖答案〗4〖解析〗.故〖答案〗為：4.15.已知函數(shù)，若在R上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗由函數(shù)在R上是增函數(shù)，得，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故〖答案〗為：.16.已知函數(shù)（），.記表示，中的最小者，設(shè)函數(shù)（），若關(guān)于x的方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為___________.〖答案〗〖解析〗當(dāng)時(shí)，，則，則在上沒有實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，，若，則，，則不是的實(shí)數(shù)解，若，則，因此，則是的實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，，則只需討論在區(qū)間的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)，由，得，即問題等價(jià)于與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由于，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，結(jié)合在區(qū)間上的圖象知，當(dāng)時(shí)，有3個(gè)實(shí)數(shù)解，所以實(shí)數(shù)取值范圍為.故〖答案〗為：.四.解答題；本題共6小題.共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.己知.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）由，得，即，所以.（2）由（1）知，，所以18.已知全集為R，集合，集合.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)取值范圍.解：（1），時(shí)，，故或，或.（2）因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，需滿足，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.已知二次函數(shù)滿足：，不等式的解集為，函數(shù)，.（1）求函數(shù)〖解析〗式；（2）證明；函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù).并求函數(shù)的最大值.解：（1）設(shè)，由，得，則，又不等式的解集為，則1，2是方程的兩根，且，因此，解得，所以函數(shù)〖解析〗式為.（2）由（1）知，，且，顯然，而，則，于是，即，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，.20.1903年前蘇聯(lián)（俄羅斯）航天之父齊奧爾科夫斯基推導(dǎo)出火箭的理想速度公式為：，其中為火箭的初始質(zhì)量，為火箭燃燒完畢熄火后的剩余質(zhì)量，稱為火箭的質(zhì)量比，為火箭的發(fā)動機(jī)的噴氣速度.100多年來，所有的大小火箭都遵循齊奧爾科夫斯基公式的基本規(guī)律.已知某型號火箭的發(fā)動機(jī)的噴氣速度為第一宇宙速度7900m/s.（1）當(dāng)該型號火箭的質(zhì)量比為10時(shí)，求該型號火箭的理想速度；（2）經(jīng)過材料更新和技術(shù)改進(jìn)后，某型號火箭的發(fā)動機(jī)的噴氣速度提高到了原來的2倍，質(zhì)量比縮小為原來的，若要使火箭的理想速度至少增加3950m/s.求在材料更新和技術(shù)改進(jìn)前質(zhì)量比的最小整數(shù)值，參考數(shù)據(jù)：，，.解：（1）依題意，.（2）技術(shù)改進(jìn)前的理想速度，技術(shù)改進(jìn)后的理想速度，要使火箭理想速度至少增加，則，即，因此，即，所以，所以在材料更新和技術(shù)改進(jìn)前質(zhì)量比的最小整數(shù)值為7.21.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）設(shè)，若對任意，當(dāng)時(shí).都有，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由，得，由，得，且，于是，解得，即，所以不等式的解集為.（2）由是增函數(shù)，在上單調(diào)遞減，得函數(shù)在上為減函數(shù)，因此，因?yàn)楫?dāng)，滿足，則只需，則，即對任意成立，由，得函數(shù)的圖象對稱軸，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得，所以的取值范圍為.22.已知定義在上的函數(shù)是偶函數(shù)，定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)，且滿足.（1）求