河北省保定市部分重點高中2024屆高三上學期12月期末數(shù)學試題（解析版）

PAGEPAGE1河北省保定市部分重點高中2024屆高三上學期12月期末數(shù)學試題一?選擇題1.已知復數(shù)，則的虛部是（）A. B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗復數(shù)，則的虛部是2.故選：C.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，則，解得，故，，故.故選：D.3.已知命題，，與共線，命題，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗充分性：由與共線，則，解得或0，p是q的不充分條件；必要性：當，時，由，則與共線，p是q的必要條件.故選：B.4.新高考在賦分時，先根據(jù)考生原始分劃定等級，再根據(jù)該等級下考生原始分數(shù)的排名進行賦分（賦分均為整數(shù)），某校在高三年級某次化學模擬考試中對全校1000人進行賦分，一同學該科目全校排名300名，則其賦分為（）（保留整數(shù)）等級ABCDE比例賦分區(qū)間A.80 B.79 C.78 D.77〖答案〗B〖解析〗由題意可知：，該同學被劃定為等級B，設其賦分為，則，解得.故選：B.5.已知函數(shù)，將的圖象向右平移個單位后可以得到的圖象，則的最大值為（）A.2 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可得：，則，所以當，即時，取到最大值.故選：C.6.已知函數(shù)滿足：，，成立，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，則，所以，令，則，所以，令，則，所以，令，則，所以，則當時，，則，當時，上式也成立，所以，所以.故選：C.7.已知拋物線，是直線上的一個動點，過作拋物線的兩條切線，切點分別為，，若為圓上的動點，則點到直線距離的最大值為（）A. B.5 C.2 D.〖答案〗D〖解析〗設，由題意在點和點處的切線方程的斜率不等于零，設點處的切線方程為，聯(lián)立，消得，則，即又，所以，所以，所以點處的切線方程為，即，同理可得點處的切線方程為，又兩切線都過點，所以，，所以直線的方程為，即，令，解得，所以直線過定點，圓的圓心，半徑，所以點到直線距離的最大值即為點到定點的最大距離，所以點到直線距離的最大值為.故選：D.8.已知函數(shù)，若恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，則，即，即，即，則，等價于，令，因為都是增函數(shù)，所以函數(shù)是增函數(shù)，則，即為，所以，所以，令，則，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，所以的取值范圍是.故選：A.二?多選題9.已知雙曲線的漸近線方程為，則下列結論正確的是（）A. B.的離心率為C.曲線經(jīng)過的一個頂點 D.與有相同的漸近線〖答案〗ACD〖解析〗雙曲線的漸近線方程為，所以，解得（舍去），故A正確；雙曲線，所以的離心率為，故B錯誤；雙曲線的頂點為，因為，所以曲線經(jīng)過的一個頂點，故C正確；對于D，令，則，即的漸近線方程為，故D正確.故選：ACD.10.已知數(shù)列為等差數(shù)列，公差為；數(shù)列為等比數(shù)列，公比為，則下列說法正確的是（）A.存在和，使得．B.若為的前項和，則，，，成等差數(shù)列C.若為的前項和，則，，，成等比數(shù)列D.當時，存在實數(shù)A、使得〖答案〗ABD〖解析〗對于選項A：例如，，故A正確；對于選項B：因為，所以，，，成等差數(shù)列，故B正確；對于選項C：例如，則，可得，，，不一定成等比數(shù)列，故C錯誤；對于選項D：因為數(shù)列為等差數(shù)列，設，又因為，則，令，則，即存在實數(shù)A、使得，故D正確；故選：ABD.11.在直三棱柱中，已知，，下列說法正確的是（）A.平面平面B.若，則與平面所成角的余弦值為C.若，設為的中點，則平面平面D.無論取任何值，不會垂直于〖答案〗ACD〖解析〗對于A，在直三棱柱中，平面，因為平面，所以，又因平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，故A正確；對于C，因為四邊形為矩形，為的中點，所以點即為與的交點，則平面即為平面，因為平面，平面，所以，因為，所以四邊形為正方形，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面，即平面平面，故C正確；對于D，假設，因為平面，所以平面，因為平面，所以，而，不可能重合，所以假設不成立，即無論取任何值，不會垂直于，故D正確；對于B，如圖，以點原點建立空間直角坐標系，則，故，設平面的法向量為，則，可取，則，所以與平面所成角的余弦值為，故B錯誤.故選：ACD.12.在中，角、、的對邊分別為、、，且，，則以下四個命題中正確的是（）A.滿足條件的不可能是直角三角形B.面積的最大值為C.當時，的內(nèi)切圓的半徑為D.若為銳角三角形，則〖答案〗BC〖解析〗，則，對選項A：取，則，，故，是直角三角形，錯誤；對選項B：設，則，，，，當時，最大為，正確；對選項C：時，，，，，故，設內(nèi)切圓的半徑為，則，解得，正確；對選項D：為銳角三角形，則，即，解得，且，即，解得，故，錯誤；故選：BC.三?填空題13.展開式中項的系數(shù)為________．〖答案〗〖解析〗展開式的通項為，令，則，令，則，所以展開式中項的系數(shù)為.故〖答案〗為：.14.已知，則________．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.15.已知，，，，，，例如，則，，，．若，則________．〖答案〗0〖解析〗令，則，，可知，的周期為2，令，則，可知，的周期為4，由題意可得：，，，注意到，所以.故〖答案〗為：0.16.如圖，在棱長為8的正方體中，是棱上的一個動點，給出下列三個結論：①若為上的動點，則的最小值為；②到平面的距離的最大值為；③為的中點，為空間中一點，且與平面所成的角為，與平面所成的角為，則在平面上射影的軌跡長度為，其中所有正確結論的序號是________．〖答案〗①②③〖解析〗對于①：以為坐標原點建立空間直角坐標系，則，可得，設，則，即，可得，當，即時，取到最小值，故①正確；對于②：設到平面的距離的最大值為，由可得，則，由（1）可知的最小值為，所以到平面的距離的最大值為，故②正確；對于③：設在平面上射影為，連接，可知：與平面所成的角為，與平面所成的角為，則，可得，在空間直角坐標系，則，設，則，整理得，可知在平面上射影的軌跡為半徑為的圓，所以軌跡長度為，故③正確；故〖答案〗為：①②③.四?解答題17.已如等差數(shù)列的前項和為，若，．（1）求的通項公式；（2）若數(shù)列的前項和，求數(shù)列的前項和．解：（1）設的公差為，由題意可得，解得，所以.（2）因為，當，則；當，則；綜上所述：.則，設數(shù)列前項和，當，則；當，則；注意到符合上式，所以.18.在平行六面體中，已知，．（1）證明：平面；（2）當三棱錐體積最大時，求二面角的余弦值．（1）證明：設，則為的中點，連接，因為，可知，可得，則，又因為為菱形，則，且，平面，所以平面.（2）解：設，則為的中點，連接，設到的距離為，則，當且僅當，即平面時，等號成立，又因為，即，可得，當且僅當時，等號成立，綜上所述：當且僅當為正方體時，三棱錐體積最大，由題意可知：，為的中點，則，可知二面角的平面角為，中，，可得，所以二面角的余弦值為.19.2023年第19屆亞運會在中國浙江杭州舉行，杭州亞運會以“中國新時代杭州新亞運”為定位、“中國特色、浙江風采、杭州韻味、精彩紛呈”為目標，秉持“綠色、智能、節(jié)儉、文明”辦會理念，堅持“以杭州為主、浙江全省共享”的辦賽原則，會前，為喜迎亞運，某商場組織了“文明迎亞運”知識競賽活動，每名參賽者需要回答A、、三道題目，通過答題獲得積分，進而獲得相應的禮品．每題答錯得0分，答對A題目得1分，答對、題目分別得2分，每名參賽者的最后得分為每題得分的累積得分，已知一名參賽者答對A題目的概率為，答對、題目的概率均為，并且每題答對與否相互獨立．（1）求該名參賽者恰好答對兩道題目的概率：（2）求該名參賽者最終累積得分的分布列和數(shù)學期望．解：（1）由題意可得：該名參賽者恰好答對兩道題目概率.（2）設該名參賽者最終累積得分為，可知，則：；；；；；；可得該名參賽者最終累積得分的分布列為：012345所以數(shù)學期望.20.在圓內(nèi)接四邊形中，已知，，平分．（1）若，求的長度；（2）求的值．解：（1）平分，有，又，，所以，有，由，，在和中，由余弦定理得，，有，解得，，則有.（2）由（1）知，有，設，在和中，由余弦定理得，，有，解得，又，，，，在和中，由余弦定理得，，即，得，即，.21.已知動點在上，過作軸的垂線，垂足為，若為中點．（1）求點的軌跡方程；（2）過作直線交的軌跡于、兩點，并且交軸于點．若，，求證：為定值．（1）解：設點的坐標為，則，，點在上，則有，即，所以點的軌跡方程為.（2）證明：直線斜率不存在時，直線方程為，則、，，，得，，由，得，，，由，，此時.直線斜率存在時，由直線交軸于點知斜率不為0，設直線方程為，則有，設、，由，消去得，，有，，，由，得，，，由，，此時.綜上可知，為定值.22.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）已知，若恒成立，求的值．解：（1）令，其定義域為，.當時，恒成立，在上單