湖南省岳陽(yáng)市湘陰縣多校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1湖南省岳陽(yáng)市湘陰縣多校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，.故選：B.2.若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗由，得或，所以“”是“或”的充分不必要條件，即“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.已知函數(shù)則的值為（）A.7 B.3 C.9 D.8〖答案〗D〖解析〗.故選：D.4.命題“，”的否定是（）A.不存在， B.，C.， D.，〖答案〗C〖解析〗由題意知，命題“”的否定為“”.故選：C.5.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，，即，解得.故選：C.6.若，則的大小關(guān)系是（）A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗∵，，，∴．故選：．值0，1比較大小7.已知圓與直線相切于點(diǎn)，若點(diǎn)，同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，沿直線勻速向右、沿圓周按順時(shí)針?lè)较蛞韵嗤乃俾蔬\(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到如圖所示的位置時(shí)，點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，連接，，則曲邊三角形的面積與扇形的面積的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.先，再，最后〖答案〗B〖解析〗因?yàn)樗俾氏嗟?，所以線段與劣弧長(zhǎng)的長(zhǎng)度相等，因?yàn)橹本€與圓相切于，所以，則三角形的面積，扇形的面積，所以三角形的面積與扇形的面積相等，因?yàn)樯刃螢楣膊糠?，所以剩余部?故選：B.8.已知函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任意的，若函數(shù)與圖像的交點(diǎn)為，則的值為（）A.0 B.2n C.n D.-n〖答案〗C〖解析〗因?yàn)槿我獾?，故的圖象關(guān)于對(duì)稱，又，設(shè)，則的定義域?yàn)榍?，故為奇函?shù)，故其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而，故圖像關(guān)于對(duì)稱，故函數(shù)與圖像的諸交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，不妨設(shè)，則，且，其中，故，所以，故.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列圖象表示的函數(shù)中有兩個(gè)零點(diǎn)的有（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗A：由零點(diǎn)的定義知，該圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以該函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，故A符合題意；B：由零點(diǎn)的定義知，該圖象與x軸有3個(gè)交點(diǎn)，所以該函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，故B不符合題意；C：由零點(diǎn)的定義知，該圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以該函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，故C符合題意；D：由零點(diǎn)的定義知，該圖象與x軸有1個(gè)交點(diǎn)，所以該函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)，故D不符合題意.故選：AC.10.下列說(shuō)法正確的是（）A.兩個(gè)角的終邊相同，則它們的大小可能不相等B.C.若，則為第一或第四象限角D.扇形的圓心角為，周長(zhǎng)為，則扇形面積為〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，兩個(gè)角的終邊相同，則它們的大小可能不相等，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若，則為第一或第四象限角或終邊落在軸正半軸上，C錯(cuò)；對(duì)于D，設(shè)扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，則，，聯(lián)立解得，，所以該扇形的面積為，D對(duì).故選：ABD.11.若、、，則下列命題正確的是（）A.若，則B.C.若正數(shù)、滿足，則的最小值是D.若，則〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)檎龜?shù)、滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，的最小值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，由知，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)或時(shí)，等號(hào)成立，故D正確．故選：BD.12.已知定義在上的奇函數(shù)滿足：①；②當(dāng)時(shí)，．下列說(shuō)法正確的有（）A.B.C.當(dāng)時(shí)，D.方程有個(gè)實(shí)數(shù)根〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)AB，因?yàn)楹瘮?shù)在上為奇函數(shù)，故，因?yàn)椋?，則，故，故的周期為，故，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)C，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，，故，則，當(dāng)時(shí)，，，故當(dāng)時(shí)，，故C正確；對(duì)D，，即，如下圖所示：由圖可知，直線與函數(shù)的圖象共有個(gè)交點(diǎn)，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.______．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.14.若一個(gè)冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則它的單調(diào)遞減區(qū)間是________.〖答案〗〖解析〗設(shè)該冪函數(shù)的〖解析〗式為，由題意可得，解得，故，易知其單調(diào)遞減區(qū)間為.故〖答案〗為：.15.用二分法逐次計(jì)算函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)附近的函數(shù)值，所得數(shù)據(jù)如下：則精度為0.1的條件下方程的一個(gè)近似根為_(kāi)_______.〖答案〗0.625（〖答案〗不唯一，在范圍內(nèi)即可）〖解析〗在上單調(diào)遞增，根據(jù)題意，，，滿足精度要求.故〖答案〗為：.16.已知函數(shù)，關(guān)于的方程.①當(dāng)時(shí)，題中方程有________.個(gè)不同的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)題中方程恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，則的取值范圍是________.〖答案〗2〖解析〗，畫(huà)出函數(shù)圖像，如圖所示：①當(dāng)時(shí)，方程化簡(jiǎn)為，，結(jié)合圖象知方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根；②方程可變形為，當(dāng)時(shí)有1個(gè)根，顯然，故必須有2個(gè)根，即與圖象必有兩個(gè)交點(diǎn)，故或，解得或.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.化簡(jiǎn)或求值：（1）；（2）．解：（1）原式.（2）原式.18.已知集合，集合．（1）若，求；（2）命題P：，命題Q；，若P是Q的必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）由，可得，當(dāng)時(shí)，，所以．（2）因?yàn)镻是Q的必要條件，所以，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．19.已知角終邊上一點(diǎn)坐標(biāo)為，其中.（1）若，求的值；（2）求的值.解：（1），可知，，，，則，因?yàn)?，所以，?（2），則原式.20.已知函數(shù)（且）．（1）若，且，求的定義域；（2）若，函數(shù)的定義域?yàn)?，存在，使得在上的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）當(dāng)且時(shí)，，由題知，即，解得，故當(dāng)且時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?）因?yàn)椋驗(yàn)閮?nèi)層函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，外層函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，存在，使得在上的值域?yàn)?，故，所以，關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的解，故，即有兩個(gè)不同的解，令，若，則，，即方程可轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不同的正數(shù)根，令，則，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為、，則，不合乎題意；若，則，，即方程可轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，得，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．21.長(zhǎng)沙市地鐵8號(hào)線項(xiàng)目正在進(jìn)行中，通車后將給市民帶來(lái)便利．該線路通車后，列車的發(fā)車時(shí)間間隔t（單位：分鐘）滿足，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研測(cè)算，列車載客量與發(fā)車時(shí)間間隔t相關(guān)，當(dāng)時(shí)，列車處于滿載狀態(tài)，載客量為600人，當(dāng)時(shí)，載客量會(huì)減少，減少的人數(shù)與成正比，且發(fā)車時(shí)間間隔為2分鐘時(shí)的載客量為280人，記列車載客量為．（1）求的表達(dá)式，并求當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)，列車的載客量．（2）若該線路每分鐘的凈收益（元），問(wèn)當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大？并求出最大值．解：（1）顯然當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，即，解得，故，故；當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)，載客量為475人．（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，由于，故當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大，且最大值為1400元．22.已知函數(shù)為偶函數(shù).（1