新教材2023版高中數(shù)學(xué)第一章直線與圓2圓與圓的方程2.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)生用書北師大版選擇性必修第一冊

2．1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程最新課標(biāo)回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)一圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1．圓的定義：平面內(nèi)到________的距離等于________的點(diǎn)的集合叫做圓，定點(diǎn)稱為圓心，定長稱為圓的半徑．2．確定圓的要素是________和________，如圖所示．3．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心為A(a，b)，半徑長為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________________________．當(dāng)a＝b＝0時(shí)，方程為x2＋y2＝r2，表示以________為圓心、半徑為r的圓．狀元隨筆圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2中有三個(gè)參數(shù)，要確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要確定這三個(gè)參數(shù)，其中圓心(a，b)是圓的定位條件，半徑r是圓的定量條件．要點(diǎn)二點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圓心A(a，b)，半徑為r.設(shè)所給點(diǎn)為M(x0，y0)，則位置關(guān)系判斷方法幾何法代數(shù)法點(diǎn)在圓上|MA|＝r?點(diǎn)M在圓A上點(diǎn)M(x0，y0)在圓上?(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2點(diǎn)在圓內(nèi)|MA|＜r?點(diǎn)M在圓A內(nèi)點(diǎn)M(x0，y0)在圓內(nèi)?(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2點(diǎn)在圓外|MA|＞r?點(diǎn)M在圓A外點(diǎn)M(x0，y0)在圓外?(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2[基礎(chǔ)自測]1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，(a，b，r∈R)表示一個(gè)圓．()(2)弦的垂直平分線必過圓心．()(3)圓內(nèi)的任意兩條弦的垂直平分線的交點(diǎn)一定是圓心．()(4)圓心與切點(diǎn)的連線長是半徑長．()2．圓(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圓心和半徑分別是()A.(－2，3)，1B．(2，－3)，3C.(－2，3)，2D．(2，－3)，23．以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.x2＋y2＝2B．x2＋y2＝4C.(x－2)2＋(y－2)2＝8D．x2＋y2＝24．點(diǎn)(1，1)在圓(x＋2)2＋y2＝m上，則圓的方程是________．題型一求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程角度1直接法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1求滿足下列條件的各圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)圓心是(3，4)，半徑是5；(2)過點(diǎn)A(－1，2)，B(5，－4)且以線段AB為直徑．方法歸納根據(jù)已知條件，寫出圓心坐標(biāo)和圓的半徑，代入標(biāo)準(zhǔn)方程即可．跟蹤訓(xùn)練1圓心在點(diǎn)C(8，－3)，且經(jīng)過點(diǎn)P(5，1)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．(x－8)2＋(y－3)2＝25B．(x－8)2＋(y＋3)2＝5C．(x－8)2＋(y－3)2＝5D．(x－8)2＋(y＋3)2＝25角度2待定系數(shù)法例2求圓心在直線2x－y－3＝0上，且過點(diǎn)(5，2)和點(diǎn)(3，－2)的圓的方程．方法歸納待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，先設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a、b、r的方程組，解方程組，求出a、b、r的值，代入所設(shè)方程即可．跟蹤訓(xùn)練2△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)，則它的外接圓的方程為_____________________________．角度3幾何法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例3求經(jīng)過A(6，5)，B(0，1)兩點(diǎn)，并且圓心在直線l：3x＋10y＋9＝0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．方法歸納(1)直接法根據(jù)已知條件，直接求出圓心坐標(biāo)和圓的半徑，然后寫出圓的方程．(2)待定系數(shù)法①根據(jù)題意，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程；②根據(jù)條件，列關(guān)于a，b，r的方程組；③解出a，b，r，代入標(biāo)準(zhǔn)方程．(3)常見的幾何條件與可以轉(zhuǎn)化成的方程①圓心在定直線上轉(zhuǎn)化為圓心坐標(biāo)滿足直線方程．②圓過定點(diǎn)轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)坐標(biāo)滿足圓的方程，或圓心到定點(diǎn)的距離等于半徑．③圓與定直線相切轉(zhuǎn)化為圓心到定直線的距離等于圓的半徑，或過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心．④弦的垂直平分線經(jīng)過圓心．跟蹤訓(xùn)練3求經(jīng)過兩點(diǎn)A(－1，4)，B(3，2)且圓心在y軸上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．題型二點(diǎn)與圓的位置關(guān)系例4已知圓的圓心M是直線2x＋y－1＝0與x－2y＋2＝0的交點(diǎn)，且圓過點(diǎn)P(－5，6)，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷點(diǎn)A(2，2)，B(1，8)，C(0，5)是在圓上，在圓內(nèi)，還是在圓外？方法歸納1．判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的方法(1)只需計(jì)算該點(diǎn)與圓的圓心距離，與半徑作比較即可；(2)把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷式子兩邊的符號，并作出判斷．2．靈活運(yùn)用若已知點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，也可利用以上兩種方法列出不等式或方程，求解參數(shù)范圍．跟蹤訓(xùn)練4(1)點(diǎn)P(m，5)與圓x2＋y2＝24的位置關(guān)系是()A．在圓外B．在圓內(nèi)C．在圓上D．不確定(2)已知點(diǎn)A(1，2)不在圓C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____________________________________．題型三與圓有關(guān)的最值問題例5已知x和y滿足(x＋1)2＋y2＝14，求x2＋y2首先觀察x，y滿足的條件，其次觀察所求式子的幾何意義，求出其最值．變式探究1本例條件不變，求yx變式探究2本例條件不變，求x＋y的最值．方法歸納與圓有關(guān)的最值問題的常見類型及解法1．形如u＝y(tǒng)-bx-a形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)(x，y)和(2．形如l＝ax＋by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線y＝－abx＋l3．形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)(x，y)到定點(diǎn)(a，b)的距離的平方的最值問題．跟蹤訓(xùn)練5已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，點(diǎn)A(0，－1)，B(0，1)，設(shè)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值．易錯(cuò)辨析利用函數(shù)的思想處理問題時(shí)忽略了函數(shù)的定義域例6已知點(diǎn)A(－2，－2)，B(－2，6)，C(4，－2)，點(diǎn)P在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，則|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值為________．解析：設(shè)P(a，b)，則|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝(a＋2)2＋(b＋2)2＋(a＋2)2＋(b－6)2＋(a－4)2＋(b＋2)2＝3a2＋3b2－4b＋68.∵點(diǎn)P在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，∴a2＋b2＝4，∴a2＝4－b2≥0，∴－2≤b≤2∴3a2＋3b2－4b＋68＝12－3b2＋3b2－4b＋68＝－4b＋80，因?yàn)閥＝－4b＋80是[－2，2]上的減函數(shù)．所以函數(shù)的最大值為88.∴|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值為88.答案：88【易錯(cuò)警示】易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得因?yàn)辄c(diǎn)P在圓x2＋y2＝4上，所以在利用函數(shù)的思想處理時(shí)，容易忽略求b的范圍出錯(cuò)．本題自變量b的范圍，可以像解析中的進(jìn)行推導(dǎo)，也可以直接觀察圓的圖象，發(fā)現(xiàn)b的取值范圍是[－2，2].[課堂十分鐘]1．圓心為(3，4)且過點(diǎn)(0，0)的圓的方程是()A．x2＋y2＝25B．x2＋y2＝5C．(x－3)2＋(y－4)2＝25D．(x＋3)2＋(y＋4)2＝52．方程(x－a)2＋(y＋b)2＝0表示的圖形是()A．以(a，b)為圓心的圓B．點(diǎn)(a，b)C．以(－a，－b)為圓心的圓D．點(diǎn)(a，－b)3．已知a，b是方程x2－x－2＝0的兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則點(diǎn)P(a，b)與圓C：x2＋y2＝8的位置關(guān)系是()A．點(diǎn)P在圓C內(nèi)B．點(diǎn)P在圓C外C．點(diǎn)P在圓C上D．無法確定4．一個(gè)圓經(jīng)過A(10，5)，B(－4，7)兩點(diǎn)，半徑為10，則圓的方程為________．5．過點(diǎn)A(2，－3)，B(－2，－5)兩點(diǎn)且面積最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．新知初探·課前預(yù)習(xí)要點(diǎn)一1．定點(diǎn)定長2．圓心半徑3．(x－a)2＋(y－b)2＝r2原點(diǎn)[基礎(chǔ)自測]1．(1)×(2)√(3)√(4)√2．解析：由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心為(2，－3)，半徑為2.故選D.答案：D3．解析：以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋y2＝4.故選B.答案：B4．解析：因?yàn)辄c(diǎn)(1，1)在圓(x＋2)2＋y2＝m上，故(1＋2)2＋12＝m，∴m＝10.即圓的方程為(x＋2)2＋y2＝10.答案：(x＋2)2＋y2＝10.題型探究·課堂解透例1解析：(1)由題意得，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋(y－4)2＝5.(2)圓心即為線段AB的中點(diǎn)，為(2，－1)．又|AB|＝-1-52∴半徑r＝32.∴所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝18.跟蹤訓(xùn)練1解析：R＝|CP|＝8-5∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－8)2＋(y＋3)2＝25.答案：D例2解析：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則2a-b∴圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝10.跟蹤訓(xùn)練2解析：設(shè)所求圓的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，①因?yàn)锳(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都滿足方程①，于是(解此方程組，得a=2∴△ABC的外接圓的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25.答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝25例3解析：AB中點(diǎn)坐標(biāo)(3，3)，kAB＝5-16-0＝23，AB中垂線方程y－3＝－32(x－3)，即3x聯(lián)立得方程組3x+2y-15=0即圓心C(7，－3)．r＝|AC|＝7-62∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－7)2＋(y＋3)2＝65.跟蹤訓(xùn)練3解析：方法一∵圓心在y軸上，∴可設(shè)圓的方程為x2＋(y－b)2＝r2.∵該圓經(jīng)過兩點(diǎn)A，B，∴(∴b=1∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－1)2＝10.方法二線段AB的中點(diǎn)為(1，3)，AB的斜率k＝2-43∴弦AB的垂直平分線方程為y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1.由y=2x+1，x=0，由圓心坐標(biāo)為(0半徑r＝0+12+1∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－1)2＝10.例4解析：解方程組2x+y-1=0，x-2y+2=0，得x=0，半徑r＝|MP|＝0+52+1-∴圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－1)2＝50.∵|AM|＝2-02+2∴點(diǎn)A在圓內(nèi)，∵|BM|＝1-02+8∴點(diǎn)B在圓上．∵|CM|＝6-02+5∴點(diǎn)C在圓外．綜上，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－1)2＝50，點(diǎn)A在圓內(nèi)，點(diǎn)B在圓上，點(diǎn)C在圓外．跟蹤訓(xùn)練4解析：(1)∵m2＋25＞24，∴點(diǎn)P在圓外．故選A.(2)由題意，點(diǎn)A在圓C上或圓C的外部，∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，∴2a＋5≥0，∴a≥－52.∵a≠0∴a的取值范圍為[－52，0)答案：(1)A(2)[－52，0)例5解析：由題意知x2＋y2表示圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的平方，顯然當(dāng)圓上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離取最大值和最小值時(shí)，其平方也相應(yīng)取得最大值和最小值．原點(diǎn)O(0，0)到圓心C(－1，0)的距離d＝1，故圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最大距離為1＋12＝32，最小距離為1－12＝12.因此x2＋y2的最大值和最小值分別為變式探究1解析：設(shè)k＝y(tǒng)x，變形為k＝y(tǒng)-0x-0，此式表示圓上一點(diǎn)(x，y由k＝y(tǒng)x，可得y＝kx，此直線與圓有公共點(diǎn)，圓心到直線的距離d≤r，即-kk2+1≤1即yx的取值范圍是[－3變式探究2解析：令y＋x＝b并將其變形為y＝－x＋b，問題轉(zhuǎn)化為斜率為－1的直線在經(jīng)過圓上的點(diǎn)時(shí)在y軸上的截距的最值．當(dāng)直線和圓相切時(shí)在y軸上的截距取得最大值和最小值，此時(shí)有-1-b2＝12，解得b＝±22－1，即最大值為2跟蹤訓(xùn)練5解析：設(shè)P(x，y)，則d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2.∵|CO|2＝32＋42＝25，∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2.即16≤x2＋y2≤36.∴d的最小值為2×16＋2＝34.最大值為2×36＋2＝74.[課堂十分鐘]1．解析：圓的半徑r＝3-02∴方程為(x－3)2＋(y－4)2＝25.故選C.答案：C2．解析：由(x－a)2＋(y＋b)2＝0得x－a＝0，且y＋b＝0，即x＝a，y＝－b，故方程(x－a)2＋(y＋b)2＝0表示的圖形是點(diǎn)(a，－b)．故選D.答案：D3．解析：由題意得，a＋b＝1，ab＝－2，