7.3 三角函數(shù)的圖像和性質(zhì) 2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)蘇教版必修第一冊(cè)

高中數(shù)學(xué)蘇教版必修第一冊(cè)第7章三角函數(shù)7.3三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)第1課時(shí)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.能利用單位圓和三角函數(shù)的定義畫y=sinx,y=cosx的圖象.(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)2.掌握“五點(diǎn)法”畫正弦曲線與余弦曲線的步驟和方法,能利用“五點(diǎn)法”作出簡(jiǎn)單的正弦、余弦圖象.(直觀想象)3.初步掌握正弦、余弦函數(shù)的基本性質(zhì),并理解正弦曲線與余弦曲線之間的聯(lián)系.(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)情境導(dǎo)入將塑料瓶底部扎一個(gè)小孔做成一個(gè)漏斗,再掛在架子上,就做成了一個(gè)簡(jiǎn)易單擺.在漏斗下方放一塊紙板,板的中間畫一條直線作為坐標(biāo)系的橫軸.把漏斗灌上細(xì)沙并拉離平衡位置,放手使它擺動(dòng),同時(shí)勻速拉動(dòng)紙板,這樣就可在紙板上得到一條曲線,它就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象.物理中把簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象叫作“正弦曲線”或“余弦曲線”.它表示了漏斗對(duì)平衡位置的位移s(縱坐標(biāo))隨時(shí)間t(橫坐標(biāo))變化的情況.知識(shí)點(diǎn)撥一、“五點(diǎn)”法作圖及正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象

函數(shù)正弦函數(shù)y=sinx余弦函數(shù)y=cosx圖象圖象畫法“五點(diǎn)法”關(guān)鍵五點(diǎn)(0,0),,(π,0),,(2π,0)(0,1),,(π,-1),,(2π,1)微判斷(1)函數(shù)y=sinx與y=cos(+x)的圖象完全相同.(

)(2)直線y=與函數(shù)y=sinx,x∈[0,2π]的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).(

)答案

(1)×

(2)√微練習(xí)

函數(shù)y=sin(-x),x∈[0,2π]的簡(jiǎn)圖是(

)答案

B解析

y=sin(-x)=-sin

x,故圖象與y=sin

x的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱,故選B.二、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)

函數(shù)正弦函數(shù)y=sinx余弦函數(shù)y=cosx定義域RR值域[-1,1][-1,1]周期性2π2π單調(diào)性在每一個(gè)閉區(qū)間

[2kπ-,2kπ+](k∈Z)上都是增函數(shù),其值由-1增大到1;在每一個(gè)閉區(qū)間[2kπ+,2kπ+](k∈Z)上都是減函數(shù),其值由1減小到-1在每一個(gè)閉區(qū)間

[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上都是增函數(shù),其值由-1增大到1;在每一個(gè)閉區(qū)間[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上都是減函數(shù),其值由1減小到-1函數(shù)正弦函數(shù)y=sinx余弦函數(shù)y=cosx最值當(dāng)且僅當(dāng)x=+2kπ(k∈Z)時(shí),取得最大值1;當(dāng)且僅當(dāng)x=-+2kπ(k∈Z)時(shí),取得最小值-1當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ(k∈Z)時(shí),取得最大值1;當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ+π(k∈Z)時(shí),取得最小值-1奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)對(duì)稱軸x=kπ+,k∈Zx=kπ,k∈Z對(duì)稱中心(kπ,0),k∈Z,k∈Z名師點(diǎn)析

(1)正弦曲線(余弦曲線)的對(duì)稱軸一定過正弦曲線(余弦曲線)的最高點(diǎn)或最低點(diǎn),即此時(shí)的正弦值(余弦值)取最大值或最小值.(2)正弦曲線有無數(shù)個(gè)對(duì)稱中心,它們?yōu)辄c(diǎn)(kπ,0)(k∈Z);也有無數(shù)條軸對(duì)稱圖形,其對(duì)稱軸的方程為x=kπ+(k∈Z).(3)余弦曲線既是中心對(duì)稱圖形,又是軸對(duì)稱圖形.對(duì)稱中心的坐標(biāo)為

(k∈Z),對(duì)稱軸方程為x=kπ(k∈Z).微判斷(1)函數(shù)y=sinx的圖象向右平移

個(gè)單位得到函數(shù)y=cosx的圖象.(

)(2)存在實(shí)數(shù)x,使得cosx=.(

)(3)函數(shù)y=sinx,x∈(0,π)是奇函數(shù).(

)(4)函數(shù)y=sinx的增區(qū)間恰好是y=sin(-x)的減區(qū)間.(

)答案

(1)×

(2)×

(3)×(4)√微練習(xí)

1答案

A微練習(xí)

2函數(shù)y=2sin2x+2cosx-3的最大值是(

)A.-1

B.1C.-

D.-5答案

C探究一用“五點(diǎn)法”作函數(shù)的圖象例1用“五點(diǎn)法”作出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖:(1)y=+sinx,x∈[0,2π];(2)y=1-cosx,x∈[0,2π].解

(1)選用“五點(diǎn)法”畫一個(gè)周期的圖象,列表:描點(diǎn)畫圖,然后由周期性得整個(gè)圖象.(2)選用“五點(diǎn)法”畫一個(gè)周期的圖象,列表:描點(diǎn)畫圖,然后由周期性得出整個(gè)圖象.反思感悟用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)y=Asin

x+b(A≠0)(或y=Acos

x+b(A≠0))在區(qū)間[0,2π]上的簡(jiǎn)圖的步驟(1)列表:(3)連線:用光滑的曲線將描出的五個(gè)點(diǎn)連接起來.變式訓(xùn)練1函數(shù)y=2-sinx,x∈[0,2π]的簡(jiǎn)圖是(

)答案

A解析

列表:觀察各圖象發(fā)現(xiàn)A項(xiàng)符合.探究二三角函數(shù)的奇偶性例2判斷下列函數(shù)的奇偶性.(2)f(x)=sin(cosx).(2)函數(shù)的定義域?yàn)镽,且f(-x)=sin[cos(-x)]=sin(cos

x)=f(x),所以函數(shù)f(x)=sin(cos

x)是偶函數(shù).反思感悟利用定義判斷函數(shù)奇偶性的三個(gè)步驟

若函數(shù)f(x)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,無論f(-x)與f(x)有何關(guān)系,f(x)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).變式訓(xùn)練2判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1)f(x)=|sinx|+cosx;(2)f(x)=cos(2π-x)-x3sinx.解

(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽,又f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sin

x|+cos

x=f(x),所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù).(2)函數(shù)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,因?yàn)閒(x)=cos

x-x3sin

x,所以f(-x)=cos(-x)-(-x)3sin(-x)=cos

x-x3sin

x=f(x),所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù).探究三正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性例3求下列函數(shù)的減區(qū)間:反思感悟求正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的策略(1)結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的圖象,熟記它們的單調(diào)區(qū)間.(2)在求形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí),應(yīng)采用“換元法”整體代換,將“ωx+φ”看作一個(gè)整體“z”,即通過求y=Asin

z的單調(diào)區(qū)間而求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.求形如y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間同上.變式訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)=sinωx(其中ω>0)的圖象過(π,-1)點(diǎn),且在區(qū)間

上為增函數(shù),則ω的值為

.

例4比較下列各組數(shù)的大小:(1)sin250°與sin260°;解

(1)∵函數(shù)y=sin

x在90°到270°上是減函數(shù),且90°<250°<260°<270°,∴sin

250°>sin

260°.反思感悟比較三角函數(shù)值大小的方法(1)比較兩個(gè)同名三角函數(shù)值的大小,先利用誘導(dǎo)公式把兩個(gè)角化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角,再利用函數(shù)的單調(diào)性比較.(2)比較兩個(gè)不同名的三角函數(shù)值的大小,一般應(yīng)先化為同名的三角函數(shù),后面步驟同上.變式訓(xùn)練4比較下列各組數(shù)的大小.(2)∵sin

194°=sin(90°+104°)=cos

104°,而0°<104°<160°<180°,且y=cos

x在[0,π]上是減函數(shù).∴cos

104°>cos

160°,即sin

194°>cos

160°.探究四三角函數(shù)的最值例5求下列函數(shù)的最值.反思感悟與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域(或最值)的求解思路1.求形如y=asin

x+b的函數(shù)的最值或值域時(shí),可利用正弦函數(shù)的有界性(-1≤sin

x≤1)求解.2.對(duì)于形如y=Asin(ωx+φ)+k(Aω≠0)的函數(shù),當(dāng)定義域?yàn)镽時(shí),值域?yàn)閇-|A|+k,|A|+k];當(dāng)定義域?yàn)槟硞€(gè)給定的區(qū)間時(shí),需確定ωx+φ的范圍,再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定值域.3.求形如y=asin2x+bsin

x+c,a≠0,x∈R的函數(shù)的值域或最值時(shí),可以通過換元,令t=sin

x,將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù),利用配方法求值域或最值,求解過程中要注意正弦函數(shù)的有界性.4.求形如y=,ac≠0的函數(shù)的值域,可以用分離常量法求解;也可以利用正弦函數(shù)的有界性建立關(guān)于y的不等式反解出y.素養(yǎng)形成利用數(shù)形結(jié)合思想解決解的個(gè)數(shù)問題典例

方程lgx=sinx的解的個(gè)數(shù)為(

)A.0 B.1 C.2 D.3審題視角該方程無法用求根公式求解,且只要求得到方程根的個(gè)數(shù),而函數(shù)y=sin

x和y=lg

x是基本初等函數(shù),其圖象容易畫出,因此可采用數(shù)形結(jié)合的方法:在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象,觀察它們交點(diǎn)的個(gè)數(shù),即得方程根的個(gè)數(shù).解析

在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=lg

x與y=sin

x的圖象,如圖

無交點(diǎn).如圖所示,由圖知有三個(gè)交點(diǎn),故方程有三個(gè)解.答案

D方法點(diǎn)睛數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想,在研究方程的根以及根的個(gè)數(shù)問題時(shí),若方程中涉及的函數(shù)是基本初等函數(shù),其圖象容易作出,這時(shí)可以將方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn),通過數(shù)形結(jié)合解決問題,使抽象的代數(shù)問題獲得直觀形象地解決.變式訓(xùn)練(1)方程2x=cosx的解的個(gè)數(shù)為(

)A.0 B.1C.2 D.無窮多個(gè)(2)在區(qū)間(0,2π)內(nèi),使sinx>cosx成立的x的取值范圍是(

)答案

(1)D

(2)C解析

(1)畫出函數(shù)y=2x和y=cos

x的圖象,如圖所示,由圖知,兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)有無數(shù)個(gè),故選D.(2)在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=sin

x,x∈(0,2π),y=cos

x,x∈(0,2π)的圖象,當(dāng)堂檢測(cè)1.用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y=cos2x,x∈R的圖象時(shí),首先應(yīng)描出的五個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是(

)答案

B答案

B3.函數(shù)y=cos2x在下列哪個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)(

)答案

C解析

若函數(shù)y=cos

2x是減函數(shù),應(yīng)有2kπ≤2x≤π+2kπ,k∈Z,即kπ≤x≤+kπ,k∈Z,令k=0,可得0≤x≤.答案

B5.下列關(guān)系式中正確的是(

)A.sin11°<cos10°<sin168°B.sin168°<sin11°<cos10°C.sin11°<sin168°<cos10°D.sin168°<cos10°<sin11°答案

C解析

∵sin

168°=sin(180°-12°)=sin

12°,cos

10°=sin(90°-10°)=sin

80°.由正弦函數(shù)的單調(diào)性得sin

11°<sin

12°<sin

80°,即sin

11°<sin

168°<cos

10°.高中數(shù)學(xué)蘇教版必修第一冊(cè)第7章三角函數(shù)7.3.2三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)第2課時(shí)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.能借助單位圓中的正切線畫出y=tanx的圖象.(直觀想象)2.掌握正切函數(shù)y=tanx的性質(zhì),并能運(yùn)用性質(zhì)解決問題.(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)情境導(dǎo)入正弦、余弦函數(shù)的圖象可以通過平移實(shí)現(xiàn)相互轉(zhuǎn)化,請(qǐng)根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系思考,正切函數(shù)的圖象可以由正弦、余弦函數(shù)圖象平移得到嗎?知識(shí)點(diǎn)撥函數(shù)y=tan

x的圖象與性質(zhì)

解析式y(tǒng)=tanx圖象微判斷(1)正切函數(shù)的定義域和值域都是R.(

)(2)正切函數(shù)在整個(gè)定義域上是增函數(shù).(

)(3)正切函數(shù)在定義域內(nèi)無最大值和最小值.(

)(4)正切函數(shù)沒有對(duì)稱軸,但有對(duì)稱中心.(

)答案

(1)×

(2)×

(3)√

(4)√微練習(xí)

1tanx≥1的解集為(

)答案

D微練習(xí)

2答案

C探究一正切函數(shù)的定義域和值域例1求下列函數(shù)的定義域:反思感悟1.求正切函數(shù)定義域的方法(1)求與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時(shí),除了求函數(shù)定義域的一般要求外,還要保證正切函數(shù)y=tan

x有意義,即x≠+kπ,k∈Z.而對(duì)于構(gòu)建的三角不等式,常利用三角函數(shù)的圖象求解.(2)求正切型函數(shù)y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的定義域時(shí),要將“ωx+φ”視為一個(gè)“整體”.令ωx+φ≠kπ+,k∈Z,解得x.2.與正切函數(shù)有關(guān)的求解值域的方法為換元法和正切函數(shù)圖象的運(yùn)用.答案

(-∞,-1]∪[1,+∞)探究二與正切函數(shù)有關(guān)的周期性、奇偶性、對(duì)稱性問題例3關(guān)于x的函數(shù)f(x)=tan(x+φ)有以下幾種說法:①對(duì)任意的φ,f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù);③f(x)的圖象關(guān)于(π-φ,0)對(duì)稱;④f(x)是以π為最小正周期的周期函數(shù).其中正確的說法的序號(hào)是

.

答案

②③④

反思感悟正切型函數(shù)y=Atan(ωx+φ)的周期性、奇偶性、對(duì)稱性

變式訓(xùn)練2關(guān)于函數(shù)f(x)=-tan2x,有下列說法:A.①②③ B.②④⑤C.②④

D.③④⑤答案

C探究三正切函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用反思感悟1.求函數(shù)y=Atan(ωx+φ)(A,ω,φ都是常數(shù))的單調(diào)區(qū)間的方法(1)若ω>0,由于y=tan

x