人教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)第十七章（勾股定理）單元測(cè)試卷及答案

答案（解析版）選擇題（本大題共有10個(gè)小題，每小題3分，共30分）如圖，一次颶風(fēng)災(zāi)害中，一棵大樹在離地面3米處折斷，樹的頂端落在離樹桿底部4米處，那么這棵樹折斷之前的高度是（）

A．5米 B．6米 C．7米 D．8米【答案】D【分析】由題意得：在直角三角形中，知道了兩直角邊，運(yùn)用勾股定理即可求出斜邊，從而得出這棵樹折斷之前的高度．【詳解】∵垂直于地面的大樹在離地面3米處折斷，樹的頂端落在離樹桿底部4米處，∴折斷的部分長(zhǎng)為5，∴折斷前高度為5+3=8（米）．故選：D．2.在中，，，的對(duì)邊分別記為，，，則由下列條件：（1）；（2）；（3）；（4）能判定為直角三角形的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．利用勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，進(jìn)行計(jì)算逐一判斷即可解答．【詳解】解：（1），，，，為直角三角形；（2），，，為直角三角形；（3），，為直角三角形；（4），設(shè)，，（其中，，不是直角三角形，故選：C3.開學(xué)之際，為了歡迎同學(xué)們，學(xué)校打算在主樓前的樓梯上鋪地毯.如圖，這是一段樓梯的側(cè)面，它的高是3米，斜邊是5米，則該段樓梯鋪上地毯至少需要的長(zhǎng)度為（）A．8米 B．7米 C．6米 D．5米【答案】B【分析】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，以及利用平移可知地毯的長(zhǎng)為的和，解題的關(guān)鍵是能熟練掌握勾股定理以及數(shù)形結(jié)合的方法；先根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：是直角三角形，，，如果在樓梯上鋪地毯，那么至少需要地毯為，故選：B．如圖，一圓柱高，底面半徑為，一只螞蟻從點(diǎn)A沿圓柱表面爬到點(diǎn)B處吃食物，要爬行的最短路程（取3）是（）A． B． C． D．28cm【答案】A【分析】根據(jù)題意可把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形進(jìn)行求解，如圖，然后根據(jù)勾股定理可進(jìn)行求解．【詳解】解：如圖，∵圓柱高，底面半徑為，∴，∴在Rt△ACB中，由勾股定理得，∴螞蟻從點(diǎn)A沿圓柱表面爬到點(diǎn)B處吃食物，要爬行的最短路程為15cm；故選A．如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻壁，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為米，頂端距離地面米若梯子底端位置保持不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面米，則小巷的寬度為（）A．米 B．米 C．2米 D．米【答案】A【分析】先根據(jù)勾股定理求出梯子的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可得出小巷的寬度.【詳解】由題意可得：，在中，，米，，，，，，小巷的寬度為（米）.故選.6.如圖：一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為4cm、3cm、12cm的長(zhǎng)方體盒子能容下的最長(zhǎng)木棒長(zhǎng)為（）A．11cm B．12cm C．13cm D．14cm【答案】C【詳解】解：∵側(cè)面對(duì)角線BC2=32+42=52，∴CB=5(cm)，∵AC=12(cm)，∴AB==13（cm），∴空木箱能放的最大長(zhǎng)度為13cm，故選：C．7.如圖，在△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，將△ABC折疊，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處，AD是折痕，則△BDE的周長(zhǎng)為（）A．6 B．8 C．12 D．14【答案】C【分析】利用勾股定理求出AB=10，利用翻折不變性可得AE=AC=6，推出BE=4即可解決問題．【詳解】在Rt△ABC中，∵AC=6，BC=8，∠C=90°，∴AB10，由翻折的性質(zhì)可知：AE=AC=6，CD=DE，∴BE=4，∴△BDE的周長(zhǎng)=DE+BD+BE=CD+BD+E=BC+BE=8+4=12．故選：C．8．如圖，秋千靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度，將它往前推至C處時(shí)（即水平距離），踏板離地的垂直高度，它的繩索始終拉直，則繩索的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)繩索的長(zhǎng)是，則，求出，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)繩索的長(zhǎng)是，則，，，，在中，由勾股定理得：，即，解得：，即繩索的長(zhǎng)是，故選：B．如圖，“趙爽弦圖”是吳國的趙爽創(chuàng)制的．以直角三角形的斜邊為邊長(zhǎng)得到一個(gè)正方形，該正方形由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的小正方形組成，在一次游園活動(dòng)中，數(shù)學(xué)小組制作了一面“趙爽弦圖”，其中，，，則陰影部分的面積是（

）．A．169 B．25 C．49 D．64【答案】C【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．在中，先根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，然后用大正方形的面積減去4個(gè)小三角形的面積即可求出陰影部分的面積．【詳解】解：，，，，則陰影部分的面積是，故選：C．勾股定理與黃金分割并稱為幾何學(xué)中的兩大瑰寶勾股定理的發(fā)現(xiàn)可以稱為是數(shù)學(xué)史上的里程碑，2000多年來，人們對(duì)它進(jìn)行了大量的研究，至今已有幾百種證法．利用圖形中有關(guān)面積的等量關(guān)系可以證明勾股定理，利用如圖①的直角三角形紙片拼成的②③④⑤四個(gè)圖形中，可以證明勾股定理的圖形有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】利用面積與恒等式，②中矩形面積等于兩個(gè)直角三角形面積之和，都為ab，無法證明勾股定理；③中梯形面積等于兩個(gè)直角邊分別為a，b的直角三角形與一個(gè)直角邊為c的等腰直角三角形面積之和；④中大正方形的面積等于4個(gè)小直角三角形面積與一個(gè)小正方形面積之和；⑤中大正方形的面積等于4個(gè)小直角三角形面積與一個(gè)小正方形面積之和，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：②中矩形面積等于兩個(gè)直角三角形面積之和，都為ab，無法證明勾股定理；③中梯形面積等于兩個(gè)直角邊分別為a，b的直角三角形與一個(gè)直角邊為c的等腰直角三角形面積之和，即，整理得：，可以證得勾股定理；④中大正方形的面積等于4個(gè)小直角三角形面積與一個(gè)小正方形面積之和，即，整理得：，可以證得勾股定理；⑤中大正方形的面積等于4個(gè)小直角三角形面積與一個(gè)小正方形面積之和，即，整理得：，可以證得勾股定理；所以可以證明勾股定理的圖形有③④⑤，共3個(gè)．故選：C填空題（本大題共有8個(gè)小題，每小題3分，共24分）如圖，某處有一塊長(zhǎng)方形草坪，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，僅僅少走了米．【答案】4【分析】利用勾股定理求出的長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】解：∵在中，，∴，∴，∴僅僅少走了4米，故答案為：4．九章算術(shù)中有一道“引葭赴岸”問題：“僅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊問水深，葭長(zhǎng)各幾何？”題意是：有一個(gè)池塘，其地面是邊長(zhǎng)為尺的正方形，一棵蘆葦生長(zhǎng)在它的中央，高出水面部分為尺，如果把蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳壳『门龅桨哆叺模疽鈭D如圖，則水深為尺

【答案】【分析】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用．我們可以將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)幾何圖形，如圖所示，根據(jù)題意，可知的長(zhǎng)為尺，則尺，設(shè)出尺，表示出水深，根據(jù)勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到蘆葦?shù)拈L(zhǎng)和水深．【詳解】解：依題意畫出圖形，設(shè)蘆葦長(zhǎng)尺，則水深尺，

因?yàn)槌?，所以尺，在中，，解之得，即水深尺，蘆葦長(zhǎng)尺．故答案為：．13.如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù)為________【答案】【分析】本題考查了勾股定理與無理數(shù)，實(shí)數(shù)與數(shù)軸．利用勾股定理求得的長(zhǎng)，再根據(jù)數(shù)形結(jié)合即可求解．【詳解】解：∵，∴點(diǎn)所表示的數(shù)為．故答案為：14.如圖，有一個(gè)圓柱體，它的高為20，底面周長(zhǎng)為30，如果一只螞蟻要從圓柱體下底面的點(diǎn)，沿圓柱表面爬到與相對(duì)的上底面點(diǎn)，則螞蟻爬的最短路線長(zhǎng)約為．【答案】25【分析】要求最短路線，首先要把圓柱的側(cè)面展開，利用兩點(diǎn)之間線段最短，再利用勾股定理即可求解．【詳解】解：將圓柱體側(cè)面沿點(diǎn)所在直線展開，點(diǎn)A，B的最短距離為線段AB的長(zhǎng)，由上圖可知：，，∴為最短路徑．則螞蟻爬的最短路線長(zhǎng)約為25．故答案為：25．蕩秋千(圖1)是中國古代北方少數(shù)民族創(chuàng)造的一種運(yùn)動(dòng)．有一天，趙彬在公園里游玩，如圖2，他發(fā)現(xiàn)秋千靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度，將它往前推送(水平距離)時(shí)，秋千的踏板離地的垂直高度，秋千的繩索始終拉得很直，則繩索的長(zhǎng)度是_______．

【答案】【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，設(shè)繩索的長(zhǎng)度為，則，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得：，在中，由勾股定理得：，設(shè)繩索的長(zhǎng)度為，則，∴，解得：，答：繩索的長(zhǎng)度是．如圖，在中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)B和C為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N，②作直線交邊于點(diǎn)E，若，，則．

【答案】7【分析】本題考查中垂線的性質(zhì)，勾股定理．連接，得到，進(jìn)而得到，推出，勾股定理求出的長(zhǎng)，再用進(jìn)行求解即可．【詳解】解：連接，由作圖可知：垂直平分，

∴，∴，∴，∴，∴，∴；故答案為：7．如圖，在中，，且周長(zhǎng)為，點(diǎn)從點(diǎn)開始，沿邊向點(diǎn)以每秒的速度移動(dòng)；點(diǎn)從點(diǎn)開始，沿邊向點(diǎn)以每秒2cm的速度移動(dòng)．若同時(shí)出發(fā)，則過秒時(shí)，的面積為．【答案】18【分析】首先設(shè)AB為3xcm，BC為4xcm，AC為5xcm，利用方程求出三角形的三邊，由勾股定理的逆定理得出三角形為直角三角形．再求出3秒后的，BP，BQ的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式計(jì)算求解．【詳解】解：設(shè)AB為3xcm，BC為4xcm，AC為5xcm，∵周長(zhǎng)為36cm，則AB+BC+AC＝36cm，∴3x+4x+5x＝36，解得x＝3，∴AB＝9cm，BC＝12cm，AC＝15cm，∵AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，過3秒時(shí)，BP＝9﹣3×1＝6（cm），BQ＝2×3＝6（cm），∴S△PBQ＝BP?BQ＝×（9﹣3）×6＝18（cm2）．故答案為：18．如圖，在中，，點(diǎn)D為邊上一點(diǎn)，將沿翻折得到，若點(diǎn)在邊上，，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)；熟練掌握翻折變換的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．由勾股定理求出，由折疊的性質(zhì)得出，，得出，設(shè)則在中，由勾股定理得出方程，可求長(zhǎng)，由勾股定理可求的長(zhǎng)．【詳解】解：由折疊可知：，，在中，由勾股定理得：∴設(shè)則在中，由勾股定理得：，∴，∴，∴，故答案為：．三、解答題（本大題共有6個(gè)小題，共46分）19．如圖，四邊形ABCD中，∠B=90°，，，，，求四邊形的面積．【答案】36【分析】連接，首先根據(jù)勾股定理求出，然后根據(jù)勾股定理的逆定理得到是直角三角形，最后根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】解：連接，在中，∵∠B=90°，，，∴，，在中，∵，，，∴，∴是直角三角形，∴．∴四邊形的面積．20.如圖，小麗發(fā)現(xiàn)，秋千靜止時(shí)踏板離地面的垂直高度，將它往前推送至點(diǎn)B，測(cè)得秋千的踏板離地面的垂直高度，此時(shí)水平距離，秋千的繩索始終拉的很直，求繩索的長(zhǎng)度．

【答案】3m【分析】設(shè)繩索的長(zhǎng)度為，則，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)秋千的繩索長(zhǎng)為，則為，∵四邊形是矩形，，，則為在中，由勾股定理得：，即：解得：繩索的長(zhǎng)度為3m．21.如圖，在5×5的方格紙中，每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1．（1）∠BCD是不是直角？請(qǐng)說明理由．（2）求四邊形ABCD的面積．【答案】（1）∠BCD=90°，理由見解析；（2）14.5．【分析】（1）連接BD，由于每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，根據(jù)勾股定理可分別求出△BCD的三邊長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷出△BCD的形狀；（2）.【詳解】解：（1）∠BCD是直角，理由如下：連接BD，∵BC==2，CD==，BD==5，∴BC2+CD2=BD2∴△BCD為直角，（2）S四邊形ABCD=S正方形AHEJ-S△BCE-S△ABH-S△ADI-S△DCF-S正方形DFJI，所以S四邊形ABCD=5×5-×4×2-×2×1-1×1-×4×1-×5×1，=25-4-1-1-2-=．22．一架云梯長(zhǎng)25米，如圖，靠在一面墻上，梯子底端離墻7米．(1)這個(gè)梯子的頂端距離地面有多高?(2)如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了多少米?【答案】(1)這個(gè)梯子的頂端距離地面有24米高(2)梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了8米【分析】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用．（1）在中，直接利用勾股定理進(jìn)行求解即可；（2）在中，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，用的長(zhǎng)減去的長(zhǎng)，求解即可；掌握勾股定理，是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：在中，，，∴；答：這個(gè)梯子的頂端距離地面有24米高；（2）∵，在中，，∴，∴．答：梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了8米．23.如圖，在矩形中，，，為邊上的一點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿著邊向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，連接．設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．（1）求的長(zhǎng)；（2）當(dāng)為多少秒時(shí)，是直角三角形？【答案】（1）5；（2）當(dāng)t=7或秒時(shí)，△BPE為直角三角形．【分析】（1）根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；（2）分∠BPE＝90°、∠BEP＝90°兩種情況，根據(jù)勾股定理計(jì)算．【詳解】解：（1）由題意知，CD=AB=10，DE=7，BC=4CE=CD-DE=10﹣7=3，在Rt△CBE中，BE=；（2）①當(dāng)以P為直角頂點(diǎn)時(shí)，即∠BPE=90°，AP=10﹣3=7，則t=7÷1=7（秒），②當(dāng)以E為直角頂點(diǎn)時(shí)，即∠BEP=90°，由勾股定理得BE2+PE2=BP2，設(shè)AP=t，，即52+42+（7﹣t）2=（10﹣t）2，解得，t=，當(dāng)t=7或秒時(shí)，△BPE為直角三角形．24．課本再現(xiàn)如圖1，有一個(gè)圓柱，它的高為，底面圓的周長(zhǎng)為．在圓柱下底面的點(diǎn)A處有一只螞蟻，它想吃到上底面與點(diǎn)A相對(duì)的點(diǎn)B處的食物，螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？

方法探究對(duì)于立體圖形中求最短路程問題