2024年高考數(shù)學(xué)優(yōu)等生培優(yōu)第51講 圓的方程-解析版16

第51講圓的方程通關(guān)一、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的一般方程定義平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓，確定一個(gè)圓最基本的要素是圓心和半徑方程圓心半徑r區(qū)別與聯(lián)系（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確地表現(xiàn)出圓的幾何要素，即圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)；（2）圓的一般方程的代數(shù)結(jié)構(gòu)明顯,圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)需要通過(guò)代數(shù)運(yùn)算了解；（3）二者可以互化，將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開(kāi)可得一般方程,將圓的一般方程配方可得標(biāo)準(zhǔn)方程．通關(guān)二、幾種特殊圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（ｒ＞０）特殊條件圓的方程圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)圓心在x軸上圓心在y軸上過(guò)原點(diǎn)（a,b不同時(shí)為０）與x軸相切與y軸相切與兩坐標(biāo)軸都相切或以為直徑端點(diǎn)結(jié)論一、圓的一般方程已知方程１.當(dāng)時(shí),方程表示以為圓心，以為半徑的圓；２．當(dāng)時(shí),方程表示一個(gè)點(diǎn)；３.當(dāng)時(shí),方程沒(méi)有意義,不表示任何圖形．【例1】方程表示圓的充要條件是() A.<m<1 B.m>１ C.m< D.m<或m>１【答案】D【解析】此方程表示圓的充要條件是，即，解得m<或m>1.故選D.【變式】如果圓的方程為，那么當(dāng)圓面積最大時(shí),圓心坐標(biāo)為（） A.(-1,1) B.(1,-1) C.(-1,0) D.(0,-1)【答案】D【解析】化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:，圓的面積最大等價(jià)于最大,此時(shí)k=0,圓心坐標(biāo)為(0,-1).故選D．結(jié)論二、求圓的方程的兩種方法１.直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì),直接求出圓心坐標(biāo)和半徑,進(jìn)而寫(xiě)出方程；２.待定系數(shù)法：①若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān),則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于ａ，ｂ，ｒ的方程組,從而求出ａ，ｂ，ｒ的值；②若已知條件沒(méi)有明確給出圓心或半徑,則選擇設(shè)圓的一般方程,依據(jù)已知條件設(shè)出圓的一般方程：，列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值【例2】過(guò)三點(diǎn)A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圓交y軸于M,N兩點(diǎn),則|MN|=（） A.2 B.8 C. D.10【答案】C【解析】設(shè)過(guò)A,B,C三點(diǎn)的圓的方程為，則，解得D=-2,E=4,F=-20,所求圓的方程為．令x=0,得+4y-20=0.設(shè)，則，所以．故選C．【變式】若圓心在x軸上、半徑為的圓O位于y軸左側(cè),且與直線x+2y=0相切,則圓O的方程是（） 【答案】D【解析】設(shè)圓心O(a,0)(a<0),則=，即|a|=5,解得a=-5,所以圓O的方程為．故選D．結(jié)論三、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系１.根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離d與圓的半徑r的大小判斷:d>r點(diǎn)在圓外；d=r點(diǎn)在圓上；點(diǎn)在圓內(nèi)．２.根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)與圓的方程的關(guān)系判斷；點(diǎn)在圓外；點(diǎn)在圓上；點(diǎn)在圓內(nèi)．【例3】已知點(diǎn)M(a,b)在圓O:外,則直線ax+by=1與圓O的位置關(guān)系是（） A.相切 B.相交 C．相離 D.不確定【答案】B【解析】點(diǎn)M(a,b)在圓外，所以，圓O(0,0)到直線ax+by=１的距離d=<1,所以直線與圓相交.故選B【變式】已知是圓內(nèi)一點(diǎn),現(xiàn)有以M為中點(diǎn)的弦所在直線和直線,則（）. A.,且與圓相交 B.,且與圓相交 C.,且與圓相離 D.,且與圓相離【答案】【解析】由圓的性質(zhì)可知中點(diǎn)弦與垂直,所以斜率=?ba,中點(diǎn)弦的方程為:,可得.另一方面,,因?yàn)樵趫A內(nèi),所以,所以,直線與圓相離.故選C.結(jié)論四、與圓有半的對(duì)稱問(wèn)題1.圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(1)求已知圓關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱的圓,只需確定所求圓的圓心位置;(2兩圓關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱,則此點(diǎn)為兩圓圓心連線的中點(diǎn).2.圓關(guān)于直線對(duì)稱(1)求已知圓關(guān)于某條直線對(duì)稱的圓,只需確定所求圓的圓心位置;(2)兩圓關(guān)于某條直線對(duì)稱,則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線.【例4】已知圓,圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱,則圓的方程為（）. A. B. C. D.【答案】【解析】設(shè)圓的圓心為,則依題意有,解得,對(duì)稱圓的半徑不變?yōu)?.故選B.【變式】若直線始終平分圓的周長(zhǎng),則的最小值為_(kāi)___________.【答案】4【解析】直線平分圓的周長(zhǎng),即直線過(guò)圓心,從而有,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故的最小值為.結(jié)論五、確定圓心位置的方法圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線垂直的直線上;圓心在圓的任意弦的垂直平分線上;(3)兩圓相協(xié)時(shí),協(xié)點(diǎn)與兩圓圓心共線.【例5】若過(guò)點(diǎn)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切,則圓心到直線的距離為(). A. B. C. D.【答案】B【解析】由于圓上的點(diǎn)在第一象限,若圓心不在第一象限,則圓至少與一條坐標(biāo)軸相交,不合乎題意,所以圓心必在第一象限.設(shè)圓心的坐標(biāo)為,則圓的半徑為,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由題意可得,可得,解得或,所以圓心的坐標(biāo)為或,圓心到直線的距離均為.故選.【變式】若直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,則點(diǎn)所在的圓為（）. A. B. C. D.【答案】【解析】由題意知直線與直線互相垂直,所以.又圓上兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,故直線過(guò)圓心,所以,結(jié)合選項(xiàng)可知,點(diǎn)在圓上,故選.結(jié)論六、圓的參數(shù)方程已知圓心為,半徑為的圓的參數(shù)方程為:（θ是參數(shù)，θ∈）；特別地，當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí)，其參數(shù)方程為（θ是參數(shù)）.【例6】若直線通過(guò)點(diǎn),則() A. B. C. D. 【答案】【解析】解法一因?yàn)?故原點(diǎn)到直線的距離不大于1,即,從而.故選.解法二由題意知,即,故,得到.故選.解法三.故選.【變式】在平面直角坐標(biāo)系中,記為點(diǎn)到直線的距離,當(dāng)變化時(shí),