2024年高考數(shù)學(xué)優(yōu)等生培優(yōu)第43講 表面積與體積-解析版2

第43講表面積與體積通關(guān)一、多面體的表面積和體積公式名稱側(cè)面積全面積體積棱柱棱柱直截面周長或直棱柱棱錐棱錐各側(cè)面面積之和正棱錐棱臺(tái)棱臺(tái)各側(cè)面面積之和正棱臺(tái)要點(diǎn)詮釋：表中表示面積，分別表示上、下底面周長，表示高，表示斜高，表示側(cè)棱長通關(guān)二、旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積公式名稱側(cè)面積全面積體積圓柱（即）圓錐圓臺(tái)球要點(diǎn)詮釋表中分別表示母線、高，表示圓柱圓錐的底面半徑，分別表示圓臺(tái)的上下底面半徑，表示球的半徑.結(jié)論一、公式法1.柱體的體積公式：2.錐體的體積公式：3.臺(tái)體的體積公式：4.球的體積：【例1】如圖，在長方體中，分別過的兩個(gè)平行截面將長方體分成三部分，其體積分別記為,若，則截面的面積為__________.【答案】【解析】由可知，又因?yàn)?，解?在中，，所以.【變式】如圖，在三棱柱中，若分別為，的中點(diǎn)，平面將三棱柱分成體積為，的兩部分，那么____________.【答案】【解析】設(shè)三棱柱的高為，，則，所以，所以，所以.結(jié)論二、等體積法（顛倒法）一個(gè)幾何體無論怎樣轉(zhuǎn)化，其體積總是不變的。盡量使顛倒后的底面在已知多面體的表面或者對角面上.【例】2 三棱柱各側(cè)棱和底面邊長均為a，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，連結(jié)，，，則三棱錐的體積為()A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖所示，由題意知三棱錐，所以.故選C.【變式】已知長方體，棱.（1）求點(diǎn)到平面的距離.（2）連接，過點(diǎn)作的垂線交于，交于.①求證：；②求點(diǎn)D到平面的距離【解析】（1）解法一 設(shè)點(diǎn)到平面的距離為.因?yàn)椋?在中，由已知條件有，，所以而，，所以.解法二 連結(jié)交于點(diǎn)，則，因?yàn)樯系酌?，從而有，因?yàn)?，所以面，又面，所以面面，且面?過作交于，則面，所以點(diǎn)到平面的距離即為長.在中，由已知條件可得，，，所以.（2）①證明 因?yàn)殚L方體中棱，所以又，且，所以，從而，所以.因?yàn)槊?，且，所以，且，所以，且，所以又因?yàn)?，所?②，且，所以，所以點(diǎn)到平面的距離可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離.又因?yàn)?，所以即為所求距離，.結(jié)論三、割補(bǔ)法運(yùn)用割補(bǔ)法處理不規(guī)則的空間幾何體或不易求解的空間幾何體的體積計(jì)算問題，關(guān)鍵是能根據(jù)幾何體中的線面關(guān)系合理選擇截面進(jìn)行切割或者補(bǔ)成規(guī)則的幾何體。要弄清切割后或補(bǔ)形后的幾何體的體積是否與原幾何體的體積之間有明顯的確定關(guān)系，從一定意義上說，用割補(bǔ)法求幾何體的體積，就是求體積的“加、減法”?！纠?】若三棱柱的一個(gè)側(cè)面是邊長為2的正方形，另外兩個(gè)側(cè)面都是有一個(gè)內(nèi)角為60°的菱形，則該棱柱的體積等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，是正方形，取中點(diǎn)，若，則連結(jié)，易知底面三角形是邊長為2的正三角形，且為正三角形，于是，且，，不難算得，于是.因此.若，則連結(jié)，此時(shí)有，可計(jì)算出，同上可知三棱柱的體積為.故選.【變式】如圖，已知三棱雉中，之間的距離為，且，則三棱雉的體積為_____________?！敬鸢浮俊窘馕觥恳?，為鄰邊補(bǔ)成平行四邊形，以為側(cè)棱補(bǔ)成平行六面體，如右圖，則三棱雉的體積與平行六面體的體積之間有，易知平行六面體左、右側(cè)面之間的距離就是異面直線，之間的距離.因?yàn)?，所以四邊形為矩?所以.結(jié)論四、正方體與球的組合正方體的棱長為，內(nèi)切球半徑為，棱切球半徑為，外接球半徑為.【例4】 若三棱雉的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面積是_______?！敬鸢浮俊窘馕觥看巳怙艨梢钥闯蛇呴L為的正方體的一個(gè)角，故它的外接球的直徑為，從而它的外接球的表面積為.【變式】正方體全面積為24，則它的內(nèi)切球的表面積為__________接球的表面積__________?！敬鸢浮俊窘馕觥坑汕蚺c正方體的對稱性易知，正方體的外接球和內(nèi)切球的球心都與正方體的中心重合，體對角線為外接球的一條直徑，內(nèi)切球的直徑等于正方體邊長的一半.正方體的全面積為24，故它的邊長為，故它的體對角線長為，即它的內(nèi)切球的半徑為1，外接球的半徑為，故它的內(nèi)切球的表面積為，外接球的表面積為.結(jié)論五、正四面體與球的組合正四面體的棱長為，它的高為，體積為，外接球半徑為，內(nèi)接半徑為.【例5】 知正四面體棱長為a，則其外接球的表面積為__________，內(nèi)切球的表面積為__________.【答案】 【解析】正四面體的外接球和內(nèi)切球是同心球，且球心在正四面體一截面的高上.解法一 如圖，正四面體中，內(nèi)切球切底面于，切側(cè)面于，則，為底面和側(cè)面的中心.連結(jié)，則.取中點(diǎn)，連結(jié)，，，分別在，上.設(shè)內(nèi)切球半徑為，外接球半徑為，，為等腰三角形，連結(jié)并延長交于，則垂直平分，.因?yàn)椋?，所以，所以，所以外接球的表面積為，內(nèi)切球的表面積為解法二 由于球心將正四面體分割成四個(gè)全等的三棱雉，且每個(gè)三棱雉的高為內(nèi)切球的半徑.因?yàn)檎拿骟w的體積，又，所以又因?yàn)?，所?所以外接球的表面積為，內(nèi)切球的表面積為.【變式】如圖所示，正四面體的外接球的體積為，則正四面體的體積為_________.【答案】【解析】解法一：如圖，為底面的中心，大圓圓心在上，設(shè)正四面體棱長為，由題意知，故.所以，，所以在中，，解得.所以.解法二：在中應(yīng)用射影定理.如圖，為底面的中心，在正四面體中，大圓圓心在上，為球的大圓直徑.由題意知，故.因?yàn)闉榍虻闹睆剑?，，設(shè)，則，故，由射影定理知，，解得.故.解法三：將正四面體置于正方體中，正四面體的外接球即為正方體的外接球，正方體的體對角線為球的直徑.由得，所以體對角線長為，因此正方體邊長為2，所以正方體的面對角線即正四面體的棱長，為，所以.結(jié)論六、表面積和體積最值問題1.求棱長或高為定值的幾何體的體積或表面積的最值.2.求表面積一定的空間幾何體的體積最大值和求體積一定的空間幾何體的表面積的最小值.3.組合體中的最值問題一般思路：(1)根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征和體積、表面積的計(jì)算公式，將體積或表面積的最值轉(zhuǎn)化為平面圖形中的有關(guān)最值，根據(jù)平面圖形的有關(guān)結(jié)論直接進(jìn)行判斷；(2)利用基本不等式或建立關(guān)于表面積和體積的函數(shù)關(guān)系式，然后利用函數(shù)或者導(dǎo)數(shù)方法解決.【例6】 已知正四棱錐內(nèi)接于一個(gè)半徑為的球，則正四棱錐體積的最大值是（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】如右圖，記為正四棱雉外接球心，為底面的中心，則，，三點(diǎn)共線，連結(jié)，，.設(shè)，則，，，所以正四棱錐的體積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選C.【變式】如圖所示，是圓柱的母線，是圓柱底面圓的直徑，是底面圓周上異于，的任意一點(diǎn)，.(1)求證：；(2)求三棱錐的體積的最大值.【解析】（1）證明 因?yàn)槭堑酌鎴A周上異于，的一點(diǎn)，且為底面圓