6.1　平方根 課件 2023-2024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)

人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)第六章實(shí)數(shù)6.1平方根第1課時(shí)算術(shù)平方根導(dǎo)入新課在學(xué)校舉行的繪畫(huà)比賽中，歡歡同學(xué)準(zhǔn)備了一些正方形的畫(huà)布，若知道畫(huà)布的邊長(zhǎng)，你能計(jì)算出它們的面積嗎？若知道畫(huà)布的面積，你能求出它們的邊長(zhǎng)嗎？正方形的邊長(zhǎng)120.5正方形的面積表一：已知一個(gè)正數(shù)，求這個(gè)正數(shù)的平方．表二：已知一個(gè)正數(shù)的平方，求這個(gè)正數(shù)．表一：表二：思考正方形的面積140.36正方形的邊長(zhǎng)表一和表二中的兩種運(yùn)算有什么關(guān)系？140.25120.6探究新知填表：正方形的面積/dm2191636正方形的邊長(zhǎng)/dm1346實(shí)際上是已知一個(gè)正數(shù)的平方，求這個(gè)正數(shù)的問(wèn)題.算術(shù)平方根的概念知識(shí)歸納(1)一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2＝a，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根.(2)由算術(shù)平方根的定義知：a≥0，

≥0，即算術(shù)平方根的被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù).(3)被開(kāi)方數(shù)越大，對(duì)應(yīng)的算術(shù)平方根也越大.思考(1)一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根有幾個(gè)？(2)的算術(shù)平方有幾個(gè)？(3)－1有算術(shù)平方根嗎？負(fù)數(shù)有算術(shù)平方根？0的算術(shù)平方根有一個(gè)，是0.負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根.一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根有1個(gè).練一練下列各式中哪些有意義？哪些無(wú)意義？為什么？解:有意義，

無(wú)意義，因?yàn)?/p>

被開(kāi)方數(shù)不是非負(fù)數(shù).算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性：a的算術(shù)平方根

，其中

a≥0，

≥0.例題與練習(xí)例1

求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：（1）100；

（2）

；

（3）0.0001解:(1)因?yàn)?02

=100，所以100的算術(shù)平方根是10，即=10；例1

求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：（1）100；

（2）

；

（3）0.0001解:(2)因?yàn)?/p>

=，所以

的算術(shù)平方根是

，即

；例1

求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：（1）100；

（2）

；

（3）0.0001解:(3)因?yàn)?.012

=0.0001，所以0.0001的算術(shù)平方根是0.01，即

=0.01.小結(jié)從上面的例題可以看出：被開(kāi)方數(shù)越大，對(duì)應(yīng)的算術(shù)平方根也越大.這個(gè)結(jié)論對(duì)所有正數(shù)都成立.練習(xí)1.

求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：（1）0.0025；

（2）81；

（3）32.解:(1)

=0.05;(2)

=9;(3)

=3.2.

求下列各式的值：（1）

；

（2）

；

（3）

.解:(1)=1;(3)

=2.(2)

=

;例2

計(jì)算下列各式：（1）

；

（2）

；

（3）

.解:(1)

原式=;(2)

原式=0.9－0.2=0.7;(3)

原式==9.例3

已知|a＋7|＋

＝0，求a2－20b的算術(shù)平方根．解：∵|a＋7|≥0，

≥0，

∴a＋7＝0，且2a－3b－4＝0，

解得a＝－7，b＝－6.

∴

＝

＝13.練習(xí)1．下列說(shuō)法正確的是

()A．25是625的算術(shù)平方根B．±4是16的算術(shù)平方根C．－6是(－6)2的算術(shù)平方根D．0.01是0.1的算術(shù)平方根A2．(1)36的算術(shù)平方根是______，

0.49的算術(shù)平方根是______，

2

的算術(shù)平方根是______；(2)15是______的算術(shù)平方根，

是____的算術(shù)平方根，

____的算術(shù)平方根是1.60.72251(3)；

(4).3．求下列各式的值：(1)；(2)；解:原式=4＋=4;解:原式=3－10＋2=－5;解:原式=0.8＋=;解:原式=0.3－0.6＋6×0.2=0.9.課堂小結(jié)算術(shù)平方根算術(shù)平方根的概念求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根算術(shù)平方根非負(fù)性的運(yùn)用人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)第六章實(shí)數(shù)6.1平方根第2課時(shí)用計(jì)算器求一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根及其大小比較導(dǎo)入新課B1．什么叫正數(shù)a的算術(shù)平方根？如何表示正數(shù)a的算術(shù)平方根？2．下列各式中，計(jì)算正確的是

(

)A．

＝

B．

＝C．

＝2＋

D．

＝13－7＝6回顧算術(shù)平方根的相關(guān)知識(shí)3．若

有意義，則

x

滿足的條件

是______．思考：

有多大呢？你能比較

與2的大小嗎？探究新知探究1.能否用兩個(gè)面積為1

dm2的小正方形拼成一個(gè)面積為2

dm2的大正方形？如圖，把兩個(gè)小正方形分別沿對(duì)角線剪開(kāi)，將所得的4個(gè)直角三角形拼在一起，就得到一個(gè)面積為2dm2的大正方形.+＝思考能根據(jù)算術(shù)平方根的意義由大正方形的面積求出大正方形的邊長(zhǎng)嗎？設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為xdm，則

x2=2，由算術(shù)平方根的意義可知

x

=，

所以大正方形的邊長(zhǎng)是dm.小正方形的對(duì)角線長(zhǎng)是多少？探究2.有多大呢？能不能得到的更精確的范圍？思考：你是怎樣判斷出大于1而小于2的？因?yàn)?2=1，22=4，而1<2<4，所以1<<2．①∵1.42=1.96，1.52=2.25，而1.96<2<2.25，∴1.4<<1.5．②∵1.412=1.9881，1.422=2.0164，

而1.9881<2<2.0164，∴1.41<<1.42．③∵1.4142=1.999396，1.4152=2.002225，

而1.999396<2<2.002225，∴1.414<<1.415．用夾逼法求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的近似值無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是指小數(shù)位數(shù)無(wú)限，且小數(shù)部分不循環(huán)的小數(shù).如此進(jìn)行下去，可以得到的更精確的近似值．事實(shí)上=

1.414213562373…，它是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)．夾逼法知識(shí)歸納估算：在確定一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根時(shí)，可以通過(guò)每次增加一位小數(shù)計(jì)算平方與被開(kāi)方數(shù)比較大小，如此進(jìn)行下去，在精確度范圍內(nèi)逐步確定出正數(shù)的算術(shù)平方根的取值范圍，這種方法叫做夾逼法．例題與練習(xí)例1

估算

的大?。ńY(jié)果保留兩位小數(shù)）．①∵12＝1，22＝4，∴1<

<2.②∵1.72＝2.89，1.82＝3.24，∴1.7<

<1.8.③∵1.732＝2.9929，1.742＝3.0276，

∴1.73<

<1.74.④∵1.7322＝2.999824，1.7332＝3.003289，

∴1.732<

<1.733，

∴

≈1.73.解：例2

通過(guò)估算比較下列各組數(shù)的大小：(1)與1.9；(2)

與1.5.解：(1)因?yàn)?＞4，所以＞2，所以＞1.9.(2)因?yàn)?＞4，所以

＞2，所以

＞

＝1.5.小結(jié)估計(jì)一個(gè)有理數(shù)的算術(shù)平方根的近似值，必須先判斷這個(gè)有理數(shù)位于哪兩個(gè)數(shù)的平方之間.比較數(shù)的大小，先估計(jì)其算術(shù)平方根的近似值.例3

小麗想用一塊面積為400

cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為300

cm2的長(zhǎng)方形紙片，使它的長(zhǎng)寬之比為3:2．她不知能否裁得出來(lái)，正在發(fā)愁．你能幫小麗算出她能用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎？解：由題意知正方形紙片的邊長(zhǎng)為20cm.設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為3x

cm，則寬為2x

cm，則有3x·2x＝300，

x2＝50，

x＝.∵50＞49，∴＞7，∴3＞21，∴小麗不能裁出符合要求的紙片.∴長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為3x＝3.3就是3×.練一練1．實(shí)數(shù)的值在（

）

A．0和1之間

B．1和2之間

C．2和3之間

D．3和

4之間2．與1+

最接近的整數(shù)是（

）

A．1

B．2

C．3

D．4CC探究新知用計(jì)算器求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根在估計(jì)有理數(shù)的算術(shù)平方根的過(guò)程中，為方便計(jì)算，可借助計(jì)算器求一個(gè)正有理數(shù)a的算術(shù)平方根(或其近似數(shù)).a按鍵順序：注意：不同的計(jì)算器的按鍵方式可能有所差別?。骄氁痪氂糜?jì)算器求下列各式的值(精確到0.001)：（1）

；

（2）

；

（3）.解：(1)≈

2.392；(2)

≈

44.855；(3)

≈

5.447.算術(shù)平方根的規(guī)律利用計(jì)算器計(jì)算下表中的算術(shù)平方根，并將計(jì)算結(jié)果填在表中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？你能說(shuō)出其中的道理嗎？…………規(guī)律：被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右每移動(dòng)____位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就向右移動(dòng)____位；被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左每移動(dòng)____位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就向左移動(dòng)____位.0.250.79062.57.9062579.062502121小結(jié)被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左或向右移動(dòng)2n位時(shí)立方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)的向左或向右移動(dòng)n位（n為正整數(shù)）.探究用計(jì)算器計(jì)算（精確到0.001），并利用上面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律說(shuō)出

，

，

的近似值，你能根據(jù)的值說(shuō)出是多少嗎？顯示：1.732050808≈

1.732≈

0.1732≈

17.32≈

173.2不能根據(jù)的值說(shuō)出的值.解：依次按鍵：3＝練習(xí)1．下列選項(xiàng)中的整數(shù)，

與最接近的是（

）

A．3

B．4

C．5

D．62．比較大小.

(1)

_____

；

(2)

6

_____

.B＜＞3．用計(jì)算器計(jì)算

，下列按鍵順序正確

的是（

）A.0.012345 B.0.012345C.0.012345 D.0.012345＝＝＝＝A4．已知2＋的小數(shù)部分為a，5－的小數(shù)部分為b，

求a＋b的值.解：∵1<

<2，∴3<

2+

<4，

∴a=2+

–3=–1，

∵1<

<2，∴3<5–

<4，

∴b=5––3=2–，

∴a+b=–1+2–=1.課堂小結(jié)用計(jì)算器求一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根及其大小比較估算算術(shù)平方根和比較數(shù)的大小用計(jì)算器計(jì)算一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)第六章實(shí)數(shù)6.1平方根第3課時(shí)平方根導(dǎo)入新課回顧算術(shù)平方根的相關(guān)知識(shí)1．如果一個(gè)數(shù)的平方等于

9，那么

9

的算術(shù)平方根是____．2．

的平方等于

，那么

的算術(shù)平方根是____．3．展廳的地面是正方形，其面積為

49

m2，則邊長(zhǎng)為_(kāi)___m.37思考：還有沒(méi)有平方等于9，

，49的其他數(shù)？1.如果一個(gè)數(shù)的平方等于

9，這個(gè)數(shù)是多少？∵32＝9，(－3)2＝92.完成左側(cè)

表格：x21163649x1346思考：一對(duì)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的平方，結(jié)果是什么關(guān)系？你從中得出什么結(jié)論？∴這個(gè)數(shù)是3或

－3.探究新知平方根的概念、開(kāi)平方知識(shí)歸納(1)一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做

a的平方根或二次方根.●這就是說(shuō)x2=a，那么x叫做a的平方根.(2)求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)平方.思考–1+1+2–2+3–3149–1+1+2–2+3–3149平方開(kāi)平方兩圖中的運(yùn)算有什么關(guān)系？平方與開(kāi)平方互為逆運(yùn)算練一練(1)1.144的平方根是什么？(2)的平方根是什么？(3)0的平方根是什么？(4)－4有沒(méi)有平方根？為什么？沒(méi)有，因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)的平方不可能是負(fù)數(shù).±12±0思考正數(shù)有幾個(gè)平方根？0有幾個(gè)平方根？負(fù)數(shù)有平方根嗎？為什么？正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，其中正的平方根就是這個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根.因?yàn)?2=0，并且任何一個(gè)不為0的數(shù)的平方都不等于0，所以0的平方根是0.在我們所認(rèn)識(shí)的數(shù)中，任何一個(gè)數(shù)的平方都不會(huì)是負(fù)數(shù)，所以負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.平方根的性質(zhì)知識(shí)歸納(1)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；(2)0的平方根是0；(3)負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.例題與練習(xí)例1

求下列各式的值：（1）

；

（2）

；

（3）.解：（1）

＝6；（2）

＝

－0.9；（3）

＝

±

；例2

一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是2a＋1和a－4，求這個(gè)數(shù)．解：由于一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根是

2a＋1

和

a－4，

則有

2a＋1＋a－4＝0，

即

3a－3＝0，

解得

a＝1.

所以這個(gè)數(shù)為

(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9.

一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù).提示例3

求下列各式中

x

的值：(1)x2＝361；(2)81x2－49＝0；(3)49(x2＋1)＝50；(4)(3x－1)2＝(－5)2.解：(1)∵x2＝361，∴開(kāi)平方得x＝±＝±19；(2)整理81x2－49＝0，得x2＝

，∴開(kāi)平方得x＝±＝±；解：(3)整理49(x2＋1)＝50，得x2＝

，

∴開(kāi)平方得x＝±

＝±

；(4)∵(3x－1)＝(－5)