2024年1月普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試適應(yīng)性測(cè)試（九省聯(lián)考）數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024年1月普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試適應(yīng)性測(cè)試（九省聯(lián)考）數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：]．答卷前，考生務(wù)必將自己的考生號(hào)、姓名、考點(diǎn)學(xué)校、考場(chǎng)號(hào)及座位號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.樣本數(shù)據(jù)16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位數(shù)為（）A.14 B.16 C.18 D.20【答案】B【解析】【分析】由中位數(shù)定義即可得.【詳解】將這些數(shù)據(jù)從小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，則其中位數(shù)為16.故選：B.2.橢圓的離心率為，則（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】由橢圓的離心率公式即可求解.【詳解】由題意得，解得，故選：A.3.記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A.120 B.140 C.160 D.180【答案】C【解析】【分析】利用下標(biāo)和性質(zhì)先求出的值，然后根據(jù)前項(xiàng)和公式結(jié)合下標(biāo)和性質(zhì)求解出的值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，故選：C.4.設(shè)是兩個(gè)平面，是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】【分析】由線面平行性質(zhì)判斷真命題，舉反例判定假命題即可.【詳解】對(duì)于A，可能平行，相交或異面，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，可能相交或平行，故B錯(cuò)誤，對(duì)于D，可能相交或平行，故D錯(cuò)誤，由線面平行性質(zhì)得C正確，故選：C5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有（）A.20種 B.16種 C.12種 D.8種【答案】B【解析】【分析】分類討論：乙丙及中間人占據(jù)首四位、乙丙及中間人占據(jù)尾四位，然后根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)橐液捅g恰有人，所以乙丙及中間人占據(jù)首四位或尾四位，①當(dāng)乙丙及中間人占據(jù)首四位，此時(shí)還剩末位，故甲在乙丙中間，排乙丙有種方法，排甲有種方法，剩余兩個(gè)位置兩人全排列有種排法，所以有種方法；②當(dāng)乙丙及中間人占據(jù)尾四位，此時(shí)還剩首位，故甲在乙丙中間，排乙丙有種方法，排甲有種方法，剩余兩個(gè)位置兩人全排列有種排法，所以有種方法；由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，一共有種排法，故選：B.6.已知為直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，記的軌跡為，則（）A.是一個(gè)半徑為的圓 B.是一條與相交的直線C.上的點(diǎn)到的距離均為 D.是兩條平行直線【答案】C【解析】【分析】設(shè)，由可得點(diǎn)坐標(biāo)，由在直線上，故可將點(diǎn)代入坐標(biāo)，即可得軌跡，結(jié)合選項(xiàng)即可得出正確答案.【詳解】設(shè)，由，則，由在直線上，故，化簡(jiǎn)得，即軌跡為為直線且與直線平行，上的點(diǎn)到的距離，故A、B、D錯(cuò)誤，C正確.故選：C.7.已知，則（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正弦、余弦、正切二倍角公式，將齊次化即可得出答案.【詳解】由題，得，則或，因?yàn)?，所以?故選：A8.設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，，則的離心率為（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】由雙曲線的對(duì)稱性可得、且四邊形為平行四邊形，由題意可得出，結(jié)合余弦定理表示出與、有關(guān)齊次式即可得離心率.【詳解】由雙曲線的對(duì)稱性可知，，有四邊形為平行四邊形，令，則，由雙曲線定義可知，故有，即，即，，，則，即，故，則有，即，即，則，由，故.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是找到關(guān)于、、之間的等量關(guān)系，本題中結(jié)合題意與雙曲線的定義得出、與的具體關(guān)系及的大小，借助余弦定理表示出與、有關(guān)齊次式，即可得解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)為偶函數(shù)B.曲線對(duì)稱軸為C.在區(qū)間單調(diào)遞增D.的最小值為【答案】AC【解析】【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】，即，對(duì)于A，，易知為偶函數(shù)，所以A正確；對(duì)于B，對(duì)稱軸為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，單調(diào)遞減，則單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D，，則，所以，故D錯(cuò)誤；故選：AC10.已知復(fù)數(shù)均不為0，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】設(shè)出、，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)定義及復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)逐個(gè)計(jì)算即可得.【詳解】設(shè)、；對(duì)A：設(shè)，則，，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：，又，即有，故B正確；對(duì)C：，則，，，則，即有，故C正確；對(duì)D：，，故，故D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，若，則（）A. B.C.函數(shù)是偶函數(shù) D.函數(shù)是減函數(shù)【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)抽象函數(shù)采用賦值法，令、，結(jié)合題意可得，對(duì)A：令、，代入計(jì)算即可得；對(duì)B、C、D：令，可得，即可得函數(shù)及函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，代入，即可得.【詳解】令、，則有，又，故，即，令、，則有，即，由，可得，又，故，故A正確；令，則有，即，故函數(shù)是奇函數(shù)，有，即，即函數(shù)是減函數(shù)，令，有，故B正確、C錯(cuò)誤、D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用賦值法解決抽象函數(shù)問題，借助賦值法，得到，再重新賦值，得到，再得到.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知集合，若，則的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】由可得，解出集合后結(jié)合集合的關(guān)系計(jì)算即可得.【詳解】由，故，由，得，故有，即，即，即的最小值為.故答案為：.13.已知軸截面為正三角形的圓錐的高與球的直徑相等，則圓錐的體積與球的體積的比值是__________，圓錐的表面積與球的表面積的比值是__________．【答案】①.②.【解析】【分析】設(shè)圓錐的底面圓半徑以及球的半徑，用表示出圓錐的高和母線以及球的半徑，然后根據(jù)體積公式求出體積比，根據(jù)表面積公式求得表面積之比.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，球的半徑為，因?yàn)閳A錐的軸截面為正三角形，所以圓錐的高，母線，由題可知：，所以球的半徑所以圓錐的體積為，球的體積，所以；圓錐的表面積，球的表面積，所以，故答案為：；.14.以表示數(shù)集中最大的數(shù)．設(shè)，已知或，則的最小值為__________．【答案】##0.2【解析】【分析】利用換元法可得，進(jìn)而根據(jù)不等式的性質(zhì)，分情況討論求解.【詳解】令其中，所以，若，則，故，令，因此,故,則，若，則，即，，則,故,則，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，綜上可知的最小值為，故答案：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用換元法，在和前提下進(jìn)行合理分類討論，根據(jù)題意得到相對(duì)應(yīng)的不等式組，注意題目的條件關(guān)鍵詞是“或”.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直．（1）求；（2）求單調(diào)區(qū)間和極值．【答案】（1）（2）單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，極大值，極小值【解析】【分析】（1）結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線垂直的性質(zhì)計(jì)算即可得；（2）借助導(dǎo)數(shù)可討論單調(diào)性，即可得極值.【小問1詳解】，則，由題意可得，解得；【小問2詳解】由，故，則，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為、，的單調(diào)遞減區(qū)間為，故有極大值，有極小值.16.盒中有標(biāo)記數(shù)字1，2，3，4的小球各2個(gè)，隨機(jī)一次取出3個(gè)小球．（1）求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字兩兩不同的概率；（2）記取出的3個(gè)小球上的最小數(shù)字為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）先確定個(gè)不同數(shù)字的小球，然后再?gòu)拇_定的每種小球中取個(gè)，通過計(jì)算可求符合要求的取法數(shù)，再除以總的取法數(shù)可得結(jié)果；（2）先確定的可取值為，然后計(jì)算出不同取值的概率，注意的每種取值對(duì)應(yīng)兩種情況，由此可求分布列和期望.【小問1詳解】記“取出的個(gè)小球上的數(shù)字兩兩不同”為事件，先確定個(gè)不同數(shù)字的小球，有種方法，然后每種小球各取個(gè)，有種取法，所以.【小問2詳解】由題意可知，的可取值為，當(dāng)時(shí)，分為兩種情況：只有一個(gè)數(shù)字為的小球、有兩個(gè)數(shù)字為的小球，所以；當(dāng)時(shí)，分為兩種情況：只有一個(gè)數(shù)字為的小球、有兩個(gè)數(shù)字為的小球，所以；當(dāng)時(shí)，分為兩種情況：只有一個(gè)數(shù)字為的小球、有兩個(gè)數(shù)字為的小球，所以，所以的分布列為：所以.17.如圖，平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，為與的交點(diǎn)，．（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用線面垂直的判定定理證明即可.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角的正弦值.【小問1詳解】連接，因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為2的正方形，所以，又因，，所以，所以，點(diǎn)為線段中點(diǎn)，所以，在中，，，所以，則，又，平面，平面，所以平面.【小問2詳解】由題知正方形中，平面，所以建系如圖所示，則，則，，設(shè)面的法向量為，面的法向量為，則，，設(shè)二面角大小為，則，所以二面角的正弦值為.18.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交于兩點(diǎn)，過與垂直的直線交于兩點(diǎn)，其中在軸上方，分別為的中點(diǎn)．（1）證明：直線過定點(diǎn)；（2）設(shè)為直線與直線的交點(diǎn)，求面積的最小值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)出直線與直線的方程，聯(lián)立曲線后得到與縱坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理，結(jié)合題意，表示出直線后即可得定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)出直線與直線的方程，聯(lián)立兩直線后結(jié)合第一問中韋達(dá)定理得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)恒為，再結(jié)合面積公式及基本不等式即可得.【小問1詳解】由，故，由直線與直線垂直，故兩只直線斜率都存在且不為，設(shè)直線、分別為、，有，、、、，聯(lián)立與直線，即有，消去可得，，故、，則，故，，即，同理可得，當(dāng)時(shí)，則，即，由，即，故時(shí)，有，此時(shí)過定點(diǎn)，且該定點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，由，即時(shí)，有，亦過定點(diǎn)，故直線過定點(diǎn)，且該定點(diǎn)為；【小問2詳解】由、、、，則，由、，故，同理可得，聯(lián)立兩直線，即，有，即，有，由，同理，故，故，過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，則，由、，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，下證：由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，有，則點(diǎn)在軸上方，點(diǎn)亦在軸上方，有，由直線過定點(diǎn)，此時(shí)，同理，當(dāng)時(shí)，有點(diǎn)在軸下方，點(diǎn)亦在軸下方，有，故此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，故恒成立，且時(shí)，等號(hào)成立，故，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第二問關(guān)鍵在于借助直線聯(lián)立及第一問中韋達(dá)定理得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)恒為，此時(shí)可根據(jù)三角形的面積公式及基本不等式求取最值.19.離散對(duì)數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用．設(shè)是素?cái)?shù)，集合，若，記為除以的余數(shù)，為除以的余數(shù)；設(shè)，兩兩不同，若，則稱是以為底的離散對(duì)數(shù)，記為．（1）若，求；（2）對(duì)，記為除以的余數(shù)（當(dāng)能被整除時(shí)，）．證明：，其中；（3）已知．對(duì)，令．證明：．【答案】（1）1（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）第一問直接根據(jù)新定義來即可.（2