數(shù)學(xué)-專題17 特殊平行四邊形中最?？嫉奈宸N幾何模型（原版）

專題17特殊平行四邊形中最?？嫉奈宸N幾何模型（原卷版）類型一對(duì)角互補(bǔ)模型1．（2022春?江岸區(qū)校級(jí)月考）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是正方形A1B1C1O的一個(gè)頂點(diǎn)，且這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)相等．OA1與OC1分別交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求證：OE＝OF；（2）若BE＝a，BF＝b，請(qǐng)直接寫(xiě)出四邊形EBFO的面積為（用含有a，b的式子表示）；（3）已知AE＝2，CF＝3，求A1E的長(zhǎng)．2．（2022?隆昌市校級(jí)三模）某研究性學(xué)習(xí)小組在探究矩形的折紙問(wèn)題時(shí)，將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)繞著矩形ABCD（AB＜BC）的對(duì)角線交點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（如圖①→②→③），圖中M、N分別為直角三角板的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點(diǎn)．（1）該學(xué)習(xí)小組中一名成員意外地發(fā)現(xiàn)：在圖①（三角板的一直角邊與OD重合）中，BN2＝CD2+CN2；在圖③（三角板的一直角邊與OC重合）中，CN2＝BN2+CD2．請(qǐng)你對(duì)這名成員在圖①和圖③中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論選擇其一說(shuō)明理由．（2）試探究圖②中BN、CN、CM、DM這四條線段之間的關(guān)系，寫(xiě)出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由．

類型二將軍飲馬模型兩定一動(dòng)模型3．（2020春?洛陽(yáng)期末）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為16，點(diǎn)M在邊DC上，且DM＝4，點(diǎn)N是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，則線段DN+MN的最小值為（）A．16 B．162 C．20 D．4174．（2019?霍邱縣二模）如圖，菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB的最小值是．5．（2021春?紅安縣期中）如圖，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，使PD+PE的和最小，則這個(gè)最小值為．（2）兩動(dòng)一定模型6．如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，P，E分別是線段AC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，PE+PB的最小值為（）A．1.5 B．2 C．2 D．37．（2022春?合肥期末）如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，點(diǎn)P、Q、K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為（）A．1 B．3 C．2 D．3（3）兩動(dòng)兩定模型

8．（如圖，矩形OABC放在以O(shè)為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系中，A(3，0)，C(0，2)，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC邊上，且CF＝1，若M為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，N為y軸上的動(dòng)點(diǎn)，則四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小值是． （4）造橋選址模型9．如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為10，E為AB中點(diǎn)，對(duì)角線BD上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，Q總保持PQ＝2，若BD＝16，則四邊形AEPQ的周長(zhǎng)最小值為（）A．16 B．21 C．7+85 D．7類型三十字架模型10．（2021春?淮南期中）數(shù)學(xué)活動(dòng)：探究正方形中的“十字架”①猜想：如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在CD、AD邊上，且BF⊥AE，猜想線段AE與BF之間的數(shù)量關(guān)系：．②探究：如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在AB，BC，CD，AD邊上，且EG⊥HF，此時(shí)線段HF與EG相等嗎？如果相等請(qǐng)給出證明，如果不相等請(qǐng)說(shuō)明理由．③應(yīng)用：如圖3，將邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)A落在CD邊的中點(diǎn)E處，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，折痕為MN，則線段MN的長(zhǎng)為25．

11．（2022?新化一模）如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC邊上，DE＝AF，DE⊥AF于點(diǎn)G．（1）求證：四邊形ABCD是正方形；（2）延長(zhǎng)CB到點(diǎn)H，使得BH＝AE，判斷△AHF的形狀，并說(shuō)明理由．（3）如圖2，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC邊上，DE與AF相交于點(diǎn)G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，請(qǐng)類比（2），求DE的長(zhǎng)．類型四一線三直角模型12．（2021春?禹州市期末）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、AB上的點(diǎn)，且CE＝BF，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥DE，使EG＝DE，連接FG、FC．（1）判斷：FG與CE的位置關(guān)系是，BE、CD、FG之間的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CB，BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其它條件不變，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)作出判斷并給予證明；（3）如圖3，若點(diǎn)E、F分別是邊BC、AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12，GE＝13，其他條件不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出四邊形FGEB的面積．

類型五半角模型13．（2022春?南崗區(qū)期末）問(wèn)題解決：如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，連接CE，CF，EF，且∠ECF＝45°．（1）求證：BE+DF＝EF；（2）若AB＝6，EF＝5，AE＞AF，求線段AE的長(zhǎng)．類比遷移：如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，對(duì)角線AC平分∠BAD，點(diǎn)E、F分別在AB、AD上，且AE＞AF，連接CE，CF，EF，∠ECF＝60°，若AC=2033，EF14．（2020春?無(wú)錫期中）如圖，菱形ABCD中，∠B＝60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，且BE＝AF．（1）求證：△ECF為等邊三角形；（2）連接AC，若AC將四邊形AECF的面積分為1：2兩部分，當(dāng)AB＝6時(shí)，求△BEC的面積．

15．（2021秋?交口縣期末）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且滿足∠EAF＝45°，連接EF，求證：DE+BF＝EF．小明是這樣解決的：將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，此時(shí)AB與AD重合，再證明△GAF≌△EAF，可得結(jié)論．（1）如圖2，在四邊形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D＝90°，AD＝CD＝10，且∠BAE＝45°，DE＝4，求BE的長(zhǎng)．（2）類比（1）證明思想完成下列問(wèn)題：在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等