2018高考題及高考模擬考試題數(shù)學(xué)文-專題04數(shù)列和不等式分類匯編解析版

./4．?dāng)?shù)列與不等式1．[2018年XX卷]已知a1,a2,aA.a1<a3,a[答案]B點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)對(duì)不等式進(jìn)行放縮,進(jìn)而限制參數(shù)取值范圍,是一個(gè)有效方法.如x≥lnx+1,2．[2018年文北京卷]]"十二平均律"是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例,為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份,依次得到十三個(gè)單音,從第二個(gè)單音起,每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于122.若第一個(gè)單音的頻率f,則第八個(gè)單音頻率為A.32fB.322[答案]D[解析]分析：根據(jù)等比數(shù)列的定義可知每一個(gè)單音的頻率成等比數(shù)列,利用等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)可解.詳解：因?yàn)槊恳粋€(gè)單音與前一個(gè)單音頻率比為122,所以an=122an-1(n≥2,n∈N點(diǎn)睛：此題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用,解決本題的關(guān)鍵是能夠判斷單音成等比數(shù)列.等比數(shù)列的判斷方法主要有如下兩種：〔1定義法,若an+1an=q〔q≠0,n∈N*或anan-1=q〔q≠0,n≥2,n∈N*,數(shù)列{an}是等比數(shù)列；〔2等比中項(xiàng)公式法,若數(shù)列{an3．[2018年XX卷]已知集合A={x|x=2n-1,n∈N*},B={x|x=2n,n∈N*}．將A∪B的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an}．記[答案]2722k-2+2k+1-2>12(2k+1),(2k-1)2-20(2得滿足條件的n最小值為27.點(diǎn)睛：本題采用分組轉(zhuǎn)化法求和,將原數(shù)列轉(zhuǎn)化為一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的和.分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型主要有分段型〔如an=n,n為奇數(shù)24．[2018年XX卷]已知等比數(shù)列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中項(xiàng)．?dāng)?shù)列{bn}滿足b1=1,數(shù)列{〔bn+1?bnan}的前n項(xiàng)和為2n2+n．〔Ⅰ求q的值；〔Ⅱ求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．[答案]〔Ⅰq=2〔Ⅱb〔Ⅱ設(shè)cn=(bn+1-bn)an,數(shù)列{c由〔Ⅰ可知an=2n-1,所以bbn-b1=(b所以12Tn=3+4?又b1=1,所以點(diǎn)睛：用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意的問(wèn)題：<1>要善于識(shí)別題目類型,特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；<2>在寫出"Sn"與"qSn"的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式"錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊"以便下一步準(zhǔn)確寫出"Sn-qSn"的表達(dá)式；5．[2018年天津卷文]設(shè){an}是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn〔n∈N*；{bn}是等比數(shù)列,公比大于0,其前n項(xiàng)和為Tn〔n∈N*．已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6．〔Ⅰ求Sn和Tn；〔Ⅱ若Sn+〔T1+T2+…+Tn=an+4bn,求正整數(shù)n的值．[答案]<Ⅰ>Sn=n(n+1)2,T詳解：〔I設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q,由b1=1,b3=b2+2,可得q2-q-2=0．因?yàn)閝>0,可得q=2,故bn=2n-1．所以,Tn=1-2n1-2=2n-1．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為〔II由〔I,有T由Sn+(T1+T2+?+Tn)=an+4點(diǎn)睛：本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí).考查數(shù)列求和的基本方法和運(yùn)算求解能力.學(xué)*科..網(wǎng)6．[2018年文北京卷]設(shè){an}〔Ⅰ求{a〔Ⅱ求ea[答案]〔Inln2〔[解析]分析：〔1設(shè)公差為d,根據(jù)題意可列關(guān)于a1,d的方程組,求解a1,d,代入通項(xiàng)公式可得；〔2由〔1詳解：〔I設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,∵a2+a3=5ln2∴an〔II由〔I知an=nln2,∵ean=enln2∴ea1+∴ea點(diǎn)睛：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和共涉及五個(gè)基本量a1,a7．[2018年XX卷]設(shè)n∈N*,對(duì)1,2,···,n的一個(gè)排列i1i2?in,如果當(dāng)s<t時(shí),有is>it,則稱(is,it)是排列i1i〔1求f3〔2求fn(2)(n≥5)的表達(dá)式<用n表示[答案]〔1252n≥5時(shí),fn詳解：解：〔1記τ(abc)為排列abc的逆序數(shù),對(duì)1,2,3的所有排列,有τ(123)=0?，??τ(132)=1?，??τ(213)=1?，??τ(231)=2?，??τ(312)=〔2對(duì)一般的n〔n≥4的情形,逆序數(shù)為0的排列只有一個(gè)：12…n,所以fn逆序數(shù)為1的排列只能是將排列12…n中的任意相鄰兩個(gè)數(shù)字調(diào)換位置得到的排列,所以fn為計(jì)算fn+1(2),當(dāng)1,2,…,n的排列及其逆序數(shù)確定后,將n+1添加進(jìn)原排列,n+1在新排列中的位置只能是最后三個(gè)位置．因此,當(dāng)n≥5時(shí),f=(n-1)+(n-2)+…+4+f4(2)=n2-n-22,點(diǎn)睛：探求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法有觀察<觀察規(guī)律>、比較<比較已知數(shù)列>、歸納、轉(zhuǎn)化<轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列>、聯(lián)想<聯(lián)想常見的數(shù)列>等方法.尋求相鄰項(xiàng)之間的遞推關(guān)系,是求數(shù)列通項(xiàng)公式的一個(gè)有效的方法.8．[2018年XX卷]設(shè){an}是首項(xiàng)為a1,公差為d的等差數(shù)列,{b〔1設(shè)a1=0,b1=1,q=2,若|〔2若a1=b1>0,m∈N*,q∈(1,m2][答案]〔1d的取值范圍為[73,52]．〔2詳解：解：〔1由條件知：an=(n-1)d,bn=2n-1．因?yàn)閨an-b即|(n-1)d-2n-1|≤1對(duì)n=1,2,3,4均成立,即1≤1,1≤d≤3,3≤2d≤5,7≤3d≤9因此,d的取值范圍為[7〔2由條件知：an=b1+(n-1)d,bn=b1qn-1．若存在d,使得|an-bn|≤b1〔n=2,3,···,m+1成立,即|b1+(n-1)d-b1qn-1下面討論數(shù)列{qn-1-2n-1}②設(shè)f(x)=2x(1-x),當(dāng)x>0時(shí),f'(x)=(從而f(x)<f〔0=1．當(dāng)2≤n≤m時(shí),qnnqn-1n-1=q(n-1)n≤21n(1-1n點(diǎn)睛：對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問(wèn)題,一般有三個(gè)方法,一是分離參數(shù)法,使不等式一端是含有參數(shù)的式子,另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù),通過(guò)對(duì)具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法,根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論,三是數(shù)形結(jié)合法,將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù),通過(guò)兩個(gè)函數(shù)圖像確定條件.學(xué)@科3網(wǎng)9．[2018年新課標(biāo)I卷文]已知數(shù)列an滿足a1=1,n〔1求b1〔2判斷數(shù)列bn〔3求an[答案]<1>b1=1,b2=2,b3=4．<2>{bn}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列．理由見解析.<3>an=n·2n-1．[解析]分析：<1>根據(jù)題中條件所給的數(shù)列an的遞推公式nan+1=2n+1an,將其化為an+1=2(n+1)nan,分別令n=1和n=2,代入上式求得a2=4和a3=12,再利用bn=ann〔2{bn}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列．由條件可得an+1n+1=2ann,即bn+1=2bn,又b1=1,所以{b〔3由〔2可得ann=2n-1,所以an=n點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有根據(jù)數(shù)列的遞推公式確定數(shù)列的項(xiàng),根據(jù)不同數(shù)列的項(xiàng)之間的關(guān)系,確定新數(shù)列的項(xiàng),利用遞推關(guān)系整理得到相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系確定數(shù)列是等比數(shù)列,根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得數(shù)列bn的通項(xiàng)公式,借助于bn的通項(xiàng)公式求得數(shù)列a10．[2018年全國(guó)卷Ⅲ文]等比數(shù)列an中,a〔1求an〔2記Sn為an的前n項(xiàng)和．若Sm[答案]〔1an=(-2)n-1或[解析]分析：〔1列出方程,解出q可得；〔2求出前n項(xiàng)和,解方程可得m。詳解：〔1設(shè){an}的公比為q,由題設(shè)得an=qn-1．由已知得q4=4故an=(-2)〔2若an=(-2)n-1,則Sn=若an=2n-1,則Sn=2n-1．由Sm點(diǎn)睛：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式,屬于基礎(chǔ)題。11．[2018年天津卷文]設(shè)變量x,y滿足約束條件x+y≤5,2x-y≤4,-x+y≤1,y≥0,A.6B.19C.21D.45[答案]Czmax=3x+5y=3×2+5×3=21.本題選擇C選項(xiàng)點(diǎn)睛：求線性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by<ab≠0>的最值,當(dāng)b＞0時(shí),直線過(guò)可行域且在y軸上截距最大時(shí),z值最大,在y軸截距最小時(shí),z值最??；當(dāng)b＜0時(shí),直線過(guò)可行域且在y軸上截距最大時(shí),z值最小,在y軸上截距最小時(shí),z值最大.12．[2018年文北京卷]設(shè)集合A={(x,y)|x-y≥1,ax+y>4,x-ay≤2},則A.對(duì)任意實(shí)數(shù)a,(2,1)∈AB.對(duì)任意實(shí)數(shù)a,〔2,1?AC.當(dāng)且僅當(dāng)a<0時(shí),〔2,1?AD.當(dāng)且僅當(dāng)a≤32時(shí),〔2,1[答案]D點(diǎn)睛：此題主要結(jié)合充分與必要條件考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,集合法是判斷充分條件與必要條件的一種非常有效的方法,根據(jù)p,q成立時(shí)對(duì)應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷.設(shè)A={x|p(x)},B={x|q(x)},若A?B,則p?q；若A=B,則p=q,當(dāng)一個(gè)問(wèn)題從正面思考很難入手時(shí),可以考慮其逆否命題形式.13．[2018年XX卷]若x,y滿足約束條件x-y≥0,2x+y≤6,x+y≥2,則z=x+3y的最小值是___________,最大值是[答案]-28[解析]分析:先作可行域,再平移目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線,從而確定最值.詳解：作可行域,如圖中陰影部分所示,則直線z=x+3y過(guò)點(diǎn)A<2,2>時(shí)z取最大值8,過(guò)點(diǎn)B<4,-2>時(shí)z取最小值-2.點(diǎn)睛：線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問(wèn)題幾何化,即用數(shù)形結(jié)合的思想解題.需要注意的是：一,準(zhǔn)確無(wú)誤地作出可行域；二,畫目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí),要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較,避免出錯(cuò)；三,一般情況下,目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界處取得.學(xué)&科5網(wǎng)14．[2018年天津卷文]已知a?,?b∈R,且a-3b+6=0,[答案]1點(diǎn)睛：在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí),要把握不等式成立的三個(gè)條件,就是"一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號(hào)能否取得",若忽略了某個(gè)條件,就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．15．[2018年文北京卷]若??,y滿足x+1≤y≤2x,則2y???的最小值是_________.[答案]3[解析]分析：將原不等式轉(zhuǎn)化為不等式組,畫出可行域,分析目標(biāo)函數(shù)z=2y-x的幾何意義,可知當(dāng)x=1,y=2時(shí)取得最小值.詳解：不等式可轉(zhuǎn)化為y≥x+1??y≤2x?????x+1≤2x,即y≥x+1y≤2x令2y-x=z,y=12x+12z,由圖象可知,當(dāng)2y-x=z過(guò)點(diǎn)∴2y-x的最小值為3.點(diǎn)睛：此題考查線性規(guī)劃,求線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(ab≠0)的最值,當(dāng)b>0時(shí),直線過(guò)可行域在y軸上截距最大時(shí),z值最大,在y軸上截距最小時(shí),z值最??；當(dāng)b<0時(shí),直線過(guò)可行域在y軸上截距最大時(shí),z值最小,在y軸上截距最小時(shí),z值最大.16．[2018年XX卷]在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D,且BD=1,則4a+c的最小值為________．[答案]9為9.點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時(shí),要特別注意"拆、拼、湊"等技巧,使其滿足基本不等式中"正"<即條件要求中字母為正數(shù)>、"定"<不等式的另一邊必須為定值>、"等"<等號(hào)取得的條件>的條件才能應(yīng)用,否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.17．[2018年全國(guó)卷Ⅲ文]若變量x?，??y滿足約束條件2x+y+3≥0?[答案]3[解析]分析：作出可行域,平移直線可得詳解：作出可行域由圖可知目標(biāo)函數(shù)在直線x-2y+4=0與x=2的交點(diǎn)〔2,3處取得最大值3點(diǎn)睛：本題考查線性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題。18．[2018年全國(guó)卷II文]若x,?y滿足約束條件x+2y-5≥0,x-2y+3≥0,x-5≤0,則[答案]9點(diǎn)睛：線性規(guī)劃問(wèn)題是高考中?？伎键c(diǎn),主要以選擇及填空的形式出現(xiàn),基本題型為給出約束條件求目標(biāo)函數(shù)的最值,主要結(jié)合方式有：截距型、斜率型、距離型等.優(yōu)質(zhì)模擬試題19．[XX省XX市2018屆三模]記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1=1A.3(21009-1)B.32[答案]A點(diǎn)睛：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式,屬中檔題.20．[XX省2018屆沖刺演練〔一]設(shè)x,y滿足約束條件y≤ax+y≥12x-y≤0,若z=x+y的最大值為6,則A.23B.2C.4D.[答案]C[解析]分析：作出題中不等式組表示的平面區(qū)域,利用z=x+y的最大值為7,推出直線x+y=7與x+4y﹣16=0的交點(diǎn)A必在可行域的邊緣頂點(diǎn),得到a,利用所求的表達(dá)式的幾何意義,可得則yx+a的最大值．詳解：作出x,y滿足約束條件&y≤a&x+y≥1&2x-y≤0表示的平面區(qū)域,由&y=a&2x-y=0解得A〔a2,a,直線z=x+y,經(jīng)過(guò)交點(diǎn)A時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最大值6,可得a2+a=6,解得a=4．則yx+a=y點(diǎn)睛：本題考查的是線性規(guī)劃問(wèn)題,解決線性規(guī)劃問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問(wèn)題幾何化,即數(shù)形結(jié)合思想.需要注意的是：一,準(zhǔn)確無(wú)誤地作出可行域;二,畫目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí),要注意讓其斜率與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較,避免出錯(cuò);三,一般情況下,目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.21．[XX省XX市2018屆適應(yīng)性練習(xí)〔二]設(shè)x,y滿足約束條件x-1≥0x-2y≤02x+y≤4,向量a=(2x,1),b=(1,m-y),則滿足A.125B.-125C.[答案]B解得A(85,45),的實(shí)數(shù)m點(diǎn)睛：本題是常規(guī)的線性規(guī)劃問(wèn)題,線性規(guī)劃問(wèn)題常出現(xiàn)的形式有：①直線型,轉(zhuǎn)化成斜截式比較截距,要注意z前面的系數(shù)為負(fù)時(shí),截距越大,z值越??；②分式型,其幾何意義是已知點(diǎn)與未知點(diǎn)的斜率；③平方型,其幾何意義是距離,尤其要注意的是最終結(jié)果應(yīng)該是距離的平方；④絕對(duì)值型,轉(zhuǎn)化后其幾何意義是點(diǎn)到直線的距離.22．[天津市河?xùn)|區(qū)2018屆二模]已知正實(shí)數(shù)a,b,c滿足a2-ab+4b2-c=0,A.2B.34C.38[答案]C點(diǎn)睛：〔1本題主要考查基本不等式和二次函數(shù)的圖像性質(zhì),意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力及分析推理能力.<2>解答本題的關(guān)鍵是觀察分析已知聯(lián)想到消元,先得到c=a2﹣ab+4b2,代入cab消去c.轉(zhuǎn)化的思想是高中數(shù)學(xué)中最普遍的數(shù)學(xué)思想,利用它可以把復(fù)雜變簡(jiǎn)單,把陌生變熟悉,從而突破解題障礙,完成解題目標(biāo).學(xué)%科8網(wǎng)23．[XX省XX市2018屆三模]已知m,n是兩個(gè)非零向量,且m=1,m+2[答案]10詳解：根據(jù)題意,設(shè)設(shè)n=t,則t＞0,若m+2n=3,則m+2n2=9?（m+2n）2=m2+4點(diǎn)睛：本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算以及基本不等式的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是構(gòu)造關(guān)于n的模t的函數(shù)．24．[XX省示范高中〔皖江八校2018屆第八聯(lián)考]設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,已知a1=2,對(duì)任意p?q∈N+,都有[答案]30[解析]分析：當(dāng)q=1時(shí),ap+1=ap?a1=2ap,∴數(shù)列{an}fn點(diǎn)睛：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、利用基本不等式求函數(shù)的最值,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題．25．[XX省威海市2018屆二模]．在數(shù)列{an}中,an=2n-1A.216-10B.216+10[答案]C[解析]分析：由于該矩陣的第i行第j列的元素cij=ai?aj+ai+aj=〔2i﹣1〔2j﹣1+2i﹣1+2j﹣1=2i+j﹣1〔i=1,2,…,7；j=1,2,…,8,根據(jù)等比數(shù)列的求和公式即可求出．詳解：該矩陣的第i行第j列的元素cij=ai?aj+ai+aj=〔2i﹣1〔2j﹣1+2i﹣1+2j﹣1=2i+j﹣1〔i=1,2,…,7；j=1,2,…,8,其數(shù)據(jù)如下表所示：i,j12345678122﹣123﹣124﹣125﹣126﹣127﹣122223﹣124﹣125﹣126﹣127﹣128﹣122324﹣125﹣126﹣127﹣128﹣129﹣122425﹣126﹣127﹣128﹣129﹣1210﹣122526﹣127﹣128﹣129﹣1210﹣1211﹣122627﹣128﹣129﹣1210﹣1211﹣1222728﹣129﹣1210﹣1211﹣12222由表可知,該數(shù)表中所有不相等元素之和為22﹣1+23﹣1+?+215-1=4(1-214)1-2-14=2點(diǎn)睛：<1>本題主要考查等比數(shù)列求和,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握能力.<2>解答本題時(shí),要注意審題,本題求的是"所有不相等元素的和".26．[XX省XX市2018屆三模]已知數(shù)列an滿足a1=1,a2=3,an-[答案]-1005[解析]分析：先判斷a2n+1-a2n>0n≥1,a2n+2點(diǎn)睛：本題主要考查等差數(shù)列的定義以及已知數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng),屬于中檔題.由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)常用的方法有：〔1等差數(shù)列、等比數(shù)列〔先根據(jù)條件判定出數(shù)列是等差、等比數(shù)列；〔2累加法,相鄰兩項(xiàng)的差成等求和的數(shù)列可利用累加求通項(xiàng)公式；〔3累乘法,相鄰兩項(xiàng)的商是能求出積的特殊數(shù)列時(shí)用累乘法求通項(xiàng)；〔4構(gòu)造法,形如an=qan-1+p(p≠0,q≠1)的遞推數(shù)列求通項(xiàng)往往用構(gòu)造法,即將an=qan-127．[XX省XX2018屆二模]已知x表示不超過(guò)x的最大整數(shù),例如:2.3=2,-1.5=-2.在數(shù)列an中,an=1gn,n∈N+,記S[答案]4947點(diǎn)睛：〔1本題主要考查數(shù)列的求和,考查學(xué)生接受新定義運(yùn)用新定義處理問(wèn)題的能力,意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和應(yīng)用能力