數(shù)學北屯高級中學馬玲分類討論思想在高中數(shù)學解題中的應用

分類討論思想在高中數(shù)學解題中的應用作者：馬玲北屯高級中要：分類討論思想是高中數(shù)學進行解題的一種常見思路，近年來也是高考中的熱門考點，分類討論思想具有嚴謹性與周密性的特點，它可以開拓學生思維，培養(yǎng)學生的邏輯能力與靈活運用能力，從而幫助學生構建解題思路。它還可以將復雜的問題進行簡單化處理，降低數(shù)學題的難度，進而讓學生能夠更加快速的解題。本文結合了函數(shù)、數(shù)列、概率等問題，具體的分析了分類討論思想在高中數(shù)學中的應用，以此來供同行參考與借鑒。關鍵詞：分類討論思想、高中數(shù)學、解題應用引言：隨著新課改的不斷推行與發(fā)展，分類討論思想在高中數(shù)學題中逐漸的被應用，它是一種數(shù)學思想，也是一種解決問題的方法。分類討論思想對于簡化研究對象、提升解題質量、提高解題效率都起著至關重要的作用，另外，它還有助于鍛煉學生的思維，培養(yǎng)學生學習的慣性，從而讓學生在學習過程中能夠將每道題解析的更快更好。一.分類討論思想在高中數(shù)學解題中的應用1.1分類討論思想在概率中的應用概率的學習特別考驗學生的思維能力，在學習它過程中首先需要學生理清思路，然后集中精力緊跟教師講課的步伐，之后根據(jù)題意把握住整體環(huán)境逐一進行分析與計算，才可解析出正確的答案。概率題是每年高考必考題，可想而知它的重要性，那么如何運用分類討論的思想解答數(shù)學中的概率題呢，以下通過舉例來說明。例題；A，B，C三個班共有100名學生，為調查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學生一周的鍛煉時間，數(shù)據(jù)如表（單位：小時）：A66.577.58B6789101112C34.567.5910.51213.5從A班和C班抽出的學生中，各隨機選取一個人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙．假設所有學生的鍛煉時間相對獨立，求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率？該題首先要分析一共有多少種情況發(fā)生，其次通過分類討論的方法，來分情況討論甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長有幾種可能。解析：從A班和C班抽出的學生中，各隨機選取一個人，共有5×8=40種情況，而且這些情況是等可能發(fā)生的。1.當甲鍛煉時間為6時，甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長有2種情況；2.當甲鍛煉時間為6.5時，甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長有3種情況；3.當甲鍛煉時間為7時，甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長有3種情況；4.當甲鍛煉時間為7.5時，甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長有3種情況；5.當甲鍛煉時間為8時，甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長有4種情況；故甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率P=（2+3+3+3+4）/40=3/8；通過以上的解題思路我們可以看出，應用分類討論解答概率不僅可以降低概率題的難度，還可以幫助學生快速的解出答案，從而也提高了他們學習數(shù)學的信心。1.2分類討論思想在函數(shù)中的應用函數(shù)題在高考的試卷中占有很大的分值，但是函數(shù)題的難度也是相當?shù)拇?，解析出答案拿到高分，這對于大部分的老師和學生來說都具有很大的挑戰(zhàn)性。函數(shù)題中總是存在著參數(shù)，并且參數(shù)還是變量，故在實際的解題中采用分類討論的思想來解決問題是最佳的方案。例：已知函數(shù)f（x）=x2－2ax+2,x∈[-5,5]。（1）求實數(shù)a的取值范圍，使y=f（x）在區(qū)間[-5,5]上是單調函數(shù)；（2）求y=f（x）的最小值。解析：對于第一題首先要討論函數(shù)為幾次函數(shù)，圖像是什么樣的，其次要分析對稱軸x是否等于-a，其次再考慮參數(shù)a在什么情況下的范圍，才能使得y=f（x）在區(qū)間[-5,5]上是單調函數(shù)。因f（x）=x2－2ax+2的圖像是拋物線，開口向上，它的對稱軸為x=-a，故當-a≤-5或者-a≥-5時，f（x）為單調函數(shù)。對于第二題要分別討論a的取值范圍，從第一題中分析得到f（x）=x2－2ax+2的圖像是拋物線，開口向上，它的對稱軸為x=-a，所以當a≥5時，f（x）在[-5,5]上是增函數(shù)，那么f（x）的最小值是f（-5）=27-10a；當a大于-5，小于5時，f（x）在[-5,5]上是先減后增的函數(shù)，所以f（x）的最小值f（-a）=2-a2;當a≤-5，f（x）在[-5,5]上是減函數(shù)，故f（x）的最小值f（5）=27+10a；從該題中分析得出，f（x）的圖像是拋物線，區(qū)間在對稱軸的一側時是為單調函數(shù)，對稱軸在區(qū)間內時，要學會分類討論在什么情況下f（x）才有最小值。1.3分類討論思想在數(shù)列中的應用在解析數(shù)列的題時，分類討論的思想也被廣泛的應用，特別是求在等比數(shù)列的和以及以q為公比的等差數(shù)列Sn與bn的大小中的應用。那么如何將分類討論思想運用在數(shù)列中呢，首先在解析數(shù)列的問題時，一定要學會根據(jù)題的條件來討論分類的級別，然后分析所討論的級別的標準和對象，之后要學會將結果歸類合并。以下通過舉例子來具體的說明分類討論思想在數(shù)列中運用，設{an}是公比為q的等比數(shù)列，且a1，a3，a2成等差數(shù)列。(1)求q的值；(2)設{bn}是以2為首項，q為公差的等差數(shù)列，其前n項和為Sn，當n≥2時，比較Sn與bn的大小，并說明理由。這道題的該如何解析呢，首先要根據(jù)題設進行詳細的分析，然后巧妙運用例題中的條件，來解答出答案。解析（1）由題設可得2a3＝a1＋a2，即得出2a1q2＝a1＋a1q。又因為a1≠0，所以2q2－q－1＝0。那么得出q＝1，或者q＝1/2。解析（2）,這道題的答案取決于n的取值范圍，首先用定值來分兩種兩種情況討論，如果q＝1，那么Sn＝2n＋n（n-1）/2=（n2＋3n）/2.則有當n≥2時，Sn－bn＝Sn－1＝(n-1)(n＋2)/2＞0，故而Sn＞bn，如果q＝－1/2，那么Sn＝2n＋(-1/2)n(n-1)/2＝（-n2＋9n）/2.則有當n≥2時，Sn－bn＝Sn－1＝(n-1)(10-n)/4,故此時應該討論n的具體取值范圍，因n∈N+，那么當2≤n≤9時，Sn＞bn；當n＝10時，Sn＝bn；當n≥11時，Sn＜bn。通過例題分析我們得出，分類討論的思想在數(shù)列中的運用也是非常方便，不僅使每道題的答案都能夠解析透徹，也培養(yǎng)的學生解題思路的形成。二.結論分類討論的思想在高中數(shù)學解題中的應用不僅僅能夠提高學生的做題效率，提高學生的邏輯思維，同時，還可以提升學校的教學質量與教學效率。分類討論的思想能夠簡化數(shù)學題的難度，讓學生在解題的過程中更加有自信，從而激發(fā)出他們不斷的想要追求出正確的答案，進而提高數(shù)學成績，為高考打下堅實的基礎。參考文獻曹燕.淺析數(shù)形結合思想在高中數(shù)學解題中的應用[J].科學咨詢（科技·管理），2016,（08）82.成壘.淺談分類討論思