（普通班）高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八篇 立體幾何與空間向量 第6節(jié) 空間向量及其運(yùn)算基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練 理-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題

第6節(jié)空間向量及其運(yùn)算【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)空間直角坐標(biāo)系3,5,14空間向量的線性運(yùn)算4,6,8,10空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及數(shù)量積1,2,7,9,11,15綜合問(wèn)題12,13,16基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練(時(shí)間:30分鐘)1.已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),則下列結(jié)論正確的是(C)(A)a∥c,b∥c (B)a∥b,a⊥c(C)a∥c,a⊥b (D)以上都不對(duì)解析:因?yàn)閏=2a,所以a∥c,又a·b=(-2,-3,1)·(2,0,4)=-4+0+4=0,所以a⊥b.故選C.2.已知a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=ma+nb+(4,-4,1).若c與a及b都垂直,則m,n的值分別為(A)(A)-1,2 (B)1,-2 (C)1,2 (D)-1,-2解析:由已知得c=(m+4,m+2n-4,m-n+1),a·c=3m+n+1=0,b·c=m+5n-9=0.解得m3.(2014高考北京卷)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,2).若S1,S2,S3分別是三棱錐DABC在xOy,yOz,zOx坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積,則(D)(A)S1=S2=S3 (B)S2=S1且S2≠S3(C)S3=S1且S3≠S2 (D)S3=S2且S3≠S1解析:根據(jù)題目條件,在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中作出該三棱錐DABC,顯然S1=QUOTE12×2×2=2,S2=S3=QUOTE12×2×2=2.故選D.4.(2014高考廣東卷)已知向量a=(1,0,-1),則下列向量中與a成60°夾角的是(B)(A)(-1,1,0) (B)(1,-1,0)(C)(0,-1,1) (D)(-1,0,1)解析:設(shè)b=(1,-1,0),則cos<a,b>=a·b|a||b|=12即b與a的夾角為60°.故選B.5.(2016福州質(zhì)檢)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,點(diǎn)M在AC1上且AM→=12MC(A)216a (B)66a (C)156解析:以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則A(a,0,0),C1(0,a,a),N(a,a,QUOTEa2).設(shè)M(x,y,z).因?yàn)辄c(diǎn)M在AC1上且AM→=1所以(x-a,y,z)=QUOTE12(-x,a-y,a-z),所以x=QUOTE23a,y=QUOTEa3,z=QUOTEa3.所以M(2a3,QUOTEa3,QUOTEa3),所以|MN→|==216故選A.6.(2016晉江模擬)設(shè)OABC是四面體,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一點(diǎn),且OG=3GG1,若OG→=xOA→+yOB→+zOC→,則x+y+z等于((A)1 (B)QUOTE43 (C)QUOTE34 (D)2解析:如圖所示,取BC的中點(diǎn)E,連接AE.OG→=3所以34OG1→=xOA所以O(shè)G1→=QUOTE43xOA→+QUOTE43yOB→+QUOTE43zOC→,又G1,A,B,C四點(diǎn)共面,所以QUOTE43x+QUOTE43y+QUOTE43z=1,所以x+y+z=QUOTE34.7.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),滿足條件(c-a)·2b=-2,則x=.

解析:因?yàn)閏-a=(0,0,1-x),所以(c-a)·2b=(0,0,1-x)·2(1,2,1)=2(1-x)=-2,解得x=2.答案:28.已知空間四邊形OABC,點(diǎn)M,N分別是OA,BC的中點(diǎn),且OA→=a,OB→=b,OC→=c,用a,b,c表示向量MN→解析:如圖所示,MN→=QUOTE12(MB→+MC→=QUOTE12[(OB→-OM→)+(OC→-OM=QUOTE12(OB→+OC→-2OM→=QUOTE12(OB→+OC→-OA→=QUOTE12(b+c-a).答案:QUOTE12(b+c-a)9.已知點(diǎn)A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若AP→=2PB→,則|PD→|的值是解析:設(shè)P(x,y,z),則AP→PB→由AP→=2PB→得點(diǎn)P坐標(biāo)為(-QUOTE13,QUOTE83,3),又D(1,1,1),所以|PD→|=77答案:7710.已知各個(gè)面都是平行四邊形的四棱柱ABCDA′B′C′D′.設(shè)M是底面ABCD的中心,N是側(cè)面BCC′B′的對(duì)角線BC′上的點(diǎn),且BN∶NC′=3∶1,設(shè)MN→=αAB→+βAD→+γAA'→,試求α解:MN→=MB→=12DB=QUOTE12(DA→+AB→)+QUOTE34(BC→+CC'→=QUOTE12(-AD→+AB→)+QUOTE34(AD→+AA'→=12AB→+1所以α=QUOTE12,β=QUOTE14,γ=QUOTE34.11.已知空間中三點(diǎn)A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),設(shè)a=AB→,b=AC(1)求向量a與向量b的夾角的余弦值;(2)若ka+b與ka-2b互相垂直,求實(shí)數(shù)k的值.解:(1)因?yàn)閍=(1,1,0),b=(-1,0,2),所以a·b=(1,1,0)·(-1,0,2)=-1,又|a|=12+1|b|=(-1)2所以cos<a,b>=a·b|a||即向量a與向量b的夾角的余弦值為-1010(2)法一因?yàn)閗a+b=(k-1,k,2).ka-2b=(k+2,k,-4),且ka+b與ka-2b互相垂直,所以(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=0,所以k=2或k=-QUOTE52,所以當(dāng)ka+b與ka-2b互相垂直時(shí),實(shí)數(shù)k的值為2或-QUOTE52.法二由(1)知|a|=2,|b|=5,a·b=-1,所以(ka+b)·(ka-2b)=k2a2-ka·b-2b=2k2+k-10=0,得k=2或k=-QUOTE52.能力提升練(時(shí)間:15分鐘)12.A,B,C,D是空間不共面的四點(diǎn),且滿足AB→·AC→=0,AC→AB→·AD→=0,M為BC的中點(diǎn),則(A)鈍角三角形 (B)銳角三角形(C)直角三角形 (D)不確定解析:因?yàn)镸為BC中點(diǎn),所以AM→=QUOTE12(AB→+AC→所以AM→·AD→=QUOTE12(AB→+AC→)=12AB→·AD→=0.所以AM⊥AD,△AMD為直角三角形.13.(2015寧波檢測(cè))如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,棱長(zhǎng)為a,M,N分別為A1B和AC上的點(diǎn),A1M=AN=2a(A)斜交 (B)平行 (C)垂直 (D)不確定解析:建立如圖所示的坐標(biāo)系,由于A1M=AN=2則M(a,2a3,QUOTEa3),N(2a3,2aMN→=(-QUOTEa3,0,2a3)又C1D1⊥平面BB1C所以C1D1因?yàn)镸N→·C所以MN→⊥C所以MN∥平面BB1C14.在空間直角坐標(biāo)系中,以點(diǎn)A(4,1,9),B(10,-1,6),C(x,4,3)為頂點(diǎn)的△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形,則實(shí)數(shù)x的值為.

解析:由題意知AB→·AC|AB→|=|AC又AB→=(6,-2,-3),AC所以6解得x=2.答案:215.如圖所示,已知空間四邊形OABC,OB=OC,且∠AOB=∠AOC=QUOTEπ3,則cos<OA→,BC→>的值為.

解析:設(shè)OA→=a,OB→=b,由已知條件<a,b>=<a,c>=QUOTEπ3,且|b|=|c|,OA→·BC→=a·(c-b)=a·c-a=QUOTE12|a||c|-QUOTE12|a||b|=0,所以cos<OA→,BC答案:016.(2015汕頭模擬)已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為3,點(diǎn)E在AA1上,點(diǎn)F在CC1上,且AE=FC1=1.(1)求證:E,B,F,D1四點(diǎn)共面;(2)若點(diǎn)G在BC上,BG=QUOTE23,點(diǎn)M在BB1上,GM⊥BF,垂足為H,求證:EM⊥平面BCC1B1.證明:(1)以B為原點(diǎn),以BA,BC,BB1為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Bxyz,則B(0,0,0),E(3,0,1),F(0,3,2),D1(3,3,3),則BE→BF→BD所以BD1→=BE由向量共面的充要條件知E,B,F,D1四點(diǎn)共面.(2)設(shè)M(0,0,z0),又G(0,QUOTE23,0),則GM→=(0,-QUOTE23,z0),而B(niǎo)F→=(0,3,2),由題設(shè)得GM→·BF→=-QUOTE23×3+z0×2=0,得z0=1.故M(0,0,1),有ME→又BB1→所以ME→·BB1→=0,從而ME⊥BB1,ME⊥BC.又BB1∩BC=B,故ME⊥平面BCC1B1.精彩5分鐘1.已知矩形ABCD,AB=1,BC=2,將△ABD沿矩形的對(duì)角線BD所在的直線進(jìn)行翻折,在翻折過(guò)程中(B)(A)存在某個(gè)位置,使得直線AC與直線BD垂直(B)存在某個(gè)位置,使得直線AB與直線CD垂直(C)存在某個(gè)位置,使得直線AD與直線BC垂直(D)對(duì)任意位置,三對(duì)直線“AC與BD”“AB與CD”“AD與BC”均不垂直解題關(guān)鍵:將線線垂直轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積求解.解析:如圖所示,在圖(1)中,易知AE=CF=63BE=EF=FD=33在圖(2)中,設(shè)AE→=a,EF→=b,則<a,b>=<b,c>=90°,設(shè)<a,c>=θ,又AC→=a+b+c,BD故AC→·BD→=3b2=1故AC與BD不垂直,A不正確;AB→=AE→+EB→=a-b,CD→=所以AB→·CD→=-a·c-b2=-QUOTE23cosθ-QUOTE13.當(dāng)cosθ=-QUOTE12,即θ=2π3時(shí),AB→AD→=AE→+ED→=a+2b,BC→=所以AD→·BC→=a·c+4b2=QUOTE23cosθ+QUOTE43=QUOTE23(cosθ+2),故無(wú)論θ為何值,AD→·BC→2.(2015徐州模擬)已知O點(diǎn)為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),向量OA→(1,2,3),OB→=(2,1,2),OP→=(1,1,2),且點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng),當(dāng)QA→·QB→取得最小值時(shí),OQ解題關(guān)鍵:利用轉(zhuǎn)化思想把數(shù)量積的最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)最值問(wèn)題,求得點(diǎn)的坐標(biāo).解析:因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線OP上,所以設(shè)點(diǎn)Q(λ,λ,2λ)