廣東省惠州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1廣東省惠州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)?座位號(hào)?學(xué)校?班級(jí)等考生信息填寫(xiě)在答題卡上.2.作答單項(xiàng)及多項(xiàng)選擇題時(shí)，選出每個(gè)小題〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗信息點(diǎn)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.非選擇題必須用黑色字跡簽字筆作答，〖答案〗必須寫(xiě)在答題卡各題指定的位置上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.一、選擇題：本題共8小題，每小題滿(mǎn)分5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的.1.拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由得，故拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為.故選：D2.若直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量為，求直線(xiàn)的傾斜角（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗直線(xiàn)l一個(gè)方向向量為，則直線(xiàn)斜率為，所以直線(xiàn)的傾斜角為.故選：C3.已知正項(xiàng)等比數(shù)列}滿(mǎn)足為與的等比中項(xiàng)，則（）A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意得，即，，，，故選：B.4.已知平面，其中，法向量，則下列各點(diǎn)中不在平面內(nèi)的是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗若點(diǎn)在平面內(nèi)，則，對(duì)于A：，所以A選項(xiàng)的點(diǎn)不在平面內(nèi)；對(duì)于B：，滿(mǎn)足要求，所以在平面內(nèi)；對(duì)于C：，滿(mǎn)足要求，所以在平面內(nèi)；對(duì)于D：，滿(mǎn)足要求，所以在平面內(nèi)，故選：A5.設(shè)A，B為兩個(gè)互斥的事件，且，則下列各式錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗事件，為兩個(gè)互斥事件，，，故正確；事件、為兩個(gè)互斥事件，則，，故錯(cuò)誤；，故正確；，故正確，綜上，ACD正確．故選：B．6.在數(shù)列中，若，，，則（）A. B. C.2 D.1〖答案〗C〖解析〗由題意知數(shù)列中，若，，，故，，，，，則為周期為6的周期數(shù)列，故，故選：C7.如圖，是的重心，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗是的重心，，，，，，，，．故選：D．8.已知雙曲線(xiàn)C：的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F作直線(xiàn)分別與雙曲線(xiàn)的兩漸近線(xiàn)相交于A、B兩點(diǎn)，且，，則該雙曲線(xiàn)的離心率為（）A B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，漸近線(xiàn)方程為，，則有，到漸近線(xiàn)的距離，，，∴，，則，，，由，有，即，解得，則有，所以離心率.故選：B.二、多選題：本題共4小題，每小題滿(mǎn)分5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A. B.C.的最小值為 D.的最大值為〖答案〗ABD〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得.對(duì)于A選項(xiàng)，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，故當(dāng)或時(shí)，取最小值，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，D對(duì).故選：ABD.10.已知圓，直線(xiàn).則（）A.直線(xiàn)與圓可能相切B.圓被軸截得的弦長(zhǎng)為C.直線(xiàn)被圓截得的最短弦長(zhǎng)為D.直線(xiàn)被圓截得最短弦長(zhǎng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為〖答案〗BD〖解析〗，則恒成立，故，則直線(xiàn)恒過(guò)，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)部，因?yàn)橹本€(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，所以直線(xiàn)與圓恒相交，所以A錯(cuò)；對(duì)于圓，令，得，解得，所以圓被軸截得的弦長(zhǎng)為，所以B選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)：由于點(diǎn)在圓的內(nèi)部，故直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，垂直于直線(xiàn)，最短弦長(zhǎng)為，故C錯(cuò)；因?yàn)閳A心，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，可知直線(xiàn)的斜率為，所以直線(xiàn)的方程為，即，所以D正確；故選：BD.11.已知正方體的棱長(zhǎng)為1，則（）A.直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角為B.平面C.點(diǎn)到平面的距離為D.直線(xiàn)與平面所成角的余弦值為〖答案〗BD〖解析〗建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：.A：，因?yàn)?，所以，因此選項(xiàng)A不正確；B：，所以，所以，而，平面ACD1，因此平面，所以選項(xiàng)正確；C：因?yàn)槠矫?，所以是平面的法向量，，所以點(diǎn)到平面的距離為，因此選項(xiàng)C不正確；：設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則，所以直線(xiàn)與平面所成角的余弦值，因此選項(xiàng)D正確.故選：BD.12.數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微.”事實(shí)上，很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決.例如，與相關(guān)的代數(shù)問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的幾何問(wèn)題.結(jié)合上述觀點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)B.函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)C.函數(shù)有最小值D.關(guān)于x的方程的解為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)AB，有，解得，且此時(shí)根式有意義，故有且僅有一根，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)CD，因?yàn)?，其幾何意義為上的點(diǎn)與點(diǎn)，之間的距離和.易得關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，故即的最小值為，故C正確；又到點(diǎn)，之間的距離和為的點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，的橢圓，故的解即與橢圓的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).即，解得，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.甲、乙兩人獨(dú)立地破譯同一份密碼，已知各人能成功破譯的概率分別是，，則該密碼被成功破譯的概率為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，甲乙兩人能成功破譯的概率分別是，，則密碼沒(méi)有被破譯，即甲乙都沒(méi)有成功破譯密碼的概率，故該密碼被成功破譯的概率．故〖答案〗為：．14.已知兩圓和相交，則公共弦的長(zhǎng)度為_(kāi)____．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，聯(lián)立兩圓的方程，則有，即，則公共弦所在直線(xiàn)的方程為；圓，即，其圓心為，半徑，圓心到直線(xiàn)的距離，則公共弦的長(zhǎng)度，故〖答案〗為：．15.已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且直線(xiàn)的方向向量為，則點(diǎn)到的距離為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗由題知，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且直線(xiàn)的方向向量為，點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)到的距離為故〖答案〗：16.已知函數(shù)，正數(shù)數(shù)列滿(mǎn)足且，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為_(kāi)__________.〖答案〗〖解析〗依題意，函數(shù)，正數(shù)數(shù)列滿(mǎn)足且，所以，，即，所以，所以不等式恒成立等價(jià)于恒成立，由得，令，則，則恒成立.令所以函數(shù)表示雙曲線(xiàn)在第一象限的一部分，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為，所以對(duì)應(yīng)圖象上任意兩點(diǎn)的連線(xiàn)的斜率的取值范圍是，即的取值范圍是，所以的最小值為.故〖答案〗為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減可得，當(dāng)時(shí)，，符合上式，因此，的通項(xiàng)公式為；（2）由（1）可知，所以，．綜上．18.已知盒中有大小、質(zhì)地相同的紅球、黃球、藍(lán)球共4個(gè)，從中任取一球，得到紅球或黃球的概率是，得到黃球或藍(lán)球的概率是.（1）求盒中紅球、黃球、藍(lán)球的個(gè)數(shù)；（2）隨機(jī)試驗(yàn)：從盒中有放回的取球兩次，每次任取一球記下顏色.（i）寫(xiě)出該試驗(yàn)的樣本空間；（ii）設(shè)置游戲規(guī)則如下：若取到兩個(gè)球顏色相同則甲勝，否則乙勝.從概率的角度，判斷這個(gè)游戲是否公平，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）從中任取一球，分別記得到紅球、黃球、藍(lán)球?yàn)槭录驗(yàn)闉閮蓛苫コ馐录?，由已知得，解?∴盒中紅球、黃球、藍(lán)球的個(gè)數(shù)分別是；（2）（i）由（1）知紅球、黃球、藍(lán)球個(gè)數(shù)分別為2，1，1，用1，2表示紅球，用表示黃球，用表示藍(lán)球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示試驗(yàn)的樣本點(diǎn)，則樣本空間.（ii）由（i）得，記“取到兩個(gè)球顏色相同”為事件，“取到兩個(gè)球顏色不相同”為事件，則，所以所以因?yàn)?，所以此游戲不公?19.已知曲線(xiàn)C位于y軸右側(cè)，且曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)P與定點(diǎn)的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1．（1）求曲線(xiàn)C的軌跡方程；（2）若直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，與曲線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，且，求直線(xiàn)l的方程．解：（1）由題意動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到直線(xiàn)的距離相等，所以，曲線(xiàn)C是以F為焦點(diǎn)，直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)拋物線(xiàn)（去掉頂點(diǎn)），，所以曲線(xiàn)C的軌跡方程是；（2）若直線(xiàn)斜率不存在，則不合題意，因此直線(xiàn)斜率存在，設(shè)直線(xiàn)方程為，代入曲線(xiàn)C方程整理得，設(shè)，則，，所以直線(xiàn)方程為，即或．20.如圖，這是某圓弧形山體隧道的示意圖，其中底面AB的長(zhǎng)為16米，最大高度CD的長(zhǎng)為4米，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線(xiàn)為x軸建立直角坐標(biāo)系．（1）求該圓弧所在圓的方程；（2）若某種汽車(chē)的寬約為2.5米，高約為1.6米，車(chē)輛行駛時(shí)兩車(chē)的間距要求不小于0.5米以保證安全，同時(shí)車(chē)頂不能與隧道有剮蹭，則該隧道最多可以并排通過(guò)多少輛該種汽車(chē)？（將汽車(chē)看作長(zhǎng)方體）解：（1）由圓的對(duì)稱(chēng)性可知，該圓弧所在圓的圓心在y軸上，設(shè)該圓的半徑為r米，則，解得，故該圓弧所在圓的方程為．（2）設(shè)與該種汽車(chē)等高且能通過(guò)該隧道的最大寬度為d米，則，解得．若并排通過(guò)5輛該種汽車(chē)，則安全通行的寬度為，故該隧道不能并排通過(guò)5輛該種汽車(chē)．若并排通過(guò)4輛該種汽車(chē)，則安全通行的寬度為．隧道能并排通過(guò)4輛該種汽車(chē)．綜上所述，該隧道最多可以并排通過(guò)4輛該種汽車(chē)．21.如圖所示的幾何體是由一個(gè)直三棱柱和半個(gè)圓柱拼接而成.其中，，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，且四點(diǎn)共面.（1）證明：四點(diǎn)共面；（2）若平面與平面夾角的余弦值為，求長(zhǎng).解：（1）連接，因?yàn)?，所以直棱柱的底面為等腰直角三角形，，在半圓上，是弧中點(diǎn)，所以，所以，又，所以，所以四點(diǎn)共面.（2）法1：直棱柱中，以為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)面的法向量為，則，取，所以，，設(shè)面的法向量為，則，取，所以，平面與平面所成夾角，即與夾角或其補(bǔ)角，所以，解得，所以法2：設(shè)，由（1）知四點(diǎn)共面，則面面.取中點(diǎn)，連接，則，而面，面，故，，面，則平面，過(guò)作于，又平面，所以平面，過(guò)作于，連接，則，又是銳角.所以是平面與平面所成的夾角，則，所以在Rt中，，在中，根據(jù)等面積法，在中，.所以.所以，解得，即，所以.22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為，設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)，是橢圓上異于，的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記直線(xiàn)，的斜率分別為，，且．（1）求證：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)；（2）設(shè)直線(xiàn)，相交于點(diǎn)，記，的面積分別為，，求的取值范圍．解：（1）