專題五 相似三角形與圓

專題一、相似三角形與圓一、知識(shí)梳理定理1射影定理直角三角形斜邊上的高分原三角形成兩個(gè)直角三角形，這兩個(gè)三角形與原三角形相似.定理2相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等。即：在。。中，???弦AB、CD相交于點(diǎn)月，:.PAPB=PCPD定理3推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。即：在。。中，\,直徑,CE2=AEBE定理4切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。即：在。。中，???24是切線，總是割線PA2=PC?PB定理5割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等〔如上圖〕。即：在。。中，???PS、PE是割線:.PC?PB=PD?PE二、根底過關(guān).如圖，半圓。與四邊形ABCD的邊AD、AB、BC都相切，切點(diǎn)分別為D、E、C,半徑OC=1,那么AE?BE=..如圖，。0的弦AB、CD相交于點(diǎn)P,CP=3,PD=4,AP=2,那么AB=..如圖，點(diǎn)P為弦AB上的一點(diǎn)，連接0P,過點(diǎn)P作PC±OP,PC交。。于C,假設(shè)AP=9,BP=4,那么PC=.C.如圖，P是圓。外的一點(diǎn)，點(diǎn)B、D在圓上，PB、PD分別交圓。于點(diǎn)A、C,如果AP=4,AB=2,PC=CD,那么PD=..如圖，直線PA過半圓的圓心。，交半圓于A,B兩點(diǎn)，PC切半圓與點(diǎn)C,PC=3,PB=1，那么該半圓的半徑為..如圖，PC是。O的切線，切點(diǎn)為C,PAB為。O的割線，交。O于點(diǎn)A、B,PC=2,PA=1,那么PB的長(zhǎng)為.第4第4題 第5題 第6題三、例題講解例1.AD為。O的直徑，BC為。O的切線，切點(diǎn)為M,分別過A,D兩點(diǎn)作BC的垂線，垂足分別為B,C,AD的延長(zhǎng)線與BC相交于點(diǎn)E.(1)求證：△ABMs^MCD；(2)假設(shè)AD=8,AB=5,求ME的長(zhǎng).CADCAD例2.如圖，CD是。O的切線，點(diǎn)C在直徑AB的延長(zhǎng)線上.(1)求證：NCAD=NBDC；(2)假設(shè)BD=2aD,AC=3,求CD的長(zhǎng).3例3.如圖，過。0外一點(diǎn)P作。0的切線PA切。。于點(diǎn)A,連接P0并延長(zhǎng)，與。0交于C、D兩點(diǎn)，M是半圓CD的中點(diǎn)，連接AM交CD于點(diǎn)N,連接AC、CM.(1)求證：CM2=MN*MA；(2)假設(shè)NP=30°,PC=2,求CM的長(zhǎng).例4.如圖，^ABC內(nèi)接于。0,AB=AC,NBAO36。，過點(diǎn)A作AD〃BC,與NABC的平分線交于點(diǎn)D,BD與AC交于點(diǎn)E,與。。交于點(diǎn)F.(1)求NDAF的度數(shù)；(2)求證：AE2=EF*ED；(3)求證：AD是。。的切線.例5.如圖，AB為。0直徑，AC是。。的切線，連接BC交。。于點(diǎn)F,取贏的中點(diǎn)D,連接AD交BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EHLAB于H.(1)求證：△HBEs^ABC；(2)假設(shè)CF=4,BF=5,求AC和EH的長(zhǎng).例6.如圖，AD是^ABC的外接圓。0的直徑，點(diǎn)P在BC延長(zhǎng)線上，且滿足NPAC=ZB.(1)求證：PA是。。的切線；(2)弦CE_LAD交AB于點(diǎn)F,假設(shè)AF?AB=12,求AC的長(zhǎng).例7.如圖，AB是。0的直徑，點(diǎn)E為線段0B上一點(diǎn)(不與0,B重合)，作ECX0B,交。0于點(diǎn)C,作直徑CD,過點(diǎn)C的切線交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,作AFLPC于點(diǎn)F,連接CB.(1)求證：AC平分NFAB；(2)求證：BC2=CE*CP；(3)當(dāng)AB=4病且受=3時(shí)，求劣弧而的長(zhǎng)度.,-CP4例8.如圖，AB,CD是。0的直徑，過點(diǎn)C作。。的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,。。的弦DE交AB于點(diǎn)F,且DF=EF.(1)求證：C02=0F*0P；(2)連接EB交CD于點(diǎn)G,過點(diǎn)G作GH1AB于點(diǎn)H,假設(shè)PC=4^,PB=4,求GH的長(zhǎng).四、課后練習(xí).如圖，RtAABC,ZC=90°,D為BC的中點(diǎn)，以AC為直徑的。0交AB于點(diǎn)E.(1)求證：DE是。0的切線；(2)假設(shè)AE：EB=1：2,BC=6,求AE的長(zhǎng)..如圖，AB為。0的直徑，點(diǎn)C在。。上，ADLCD于點(diǎn)D,且AC平分NDAB,求證:(1)直線DC是。0的切線;(2)AC2=2AD*AO..如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，連接DE.足為F,。。經(jīng)過點(diǎn)C、D、F,與AD相交于點(diǎn)G.(1)求證：△AFGs^DFC；過點(diǎn)A作AF,DE,垂(2)假設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,AE=1,過點(diǎn)A作AF,DE,垂.如下圖，。。的半徑為4,點(diǎn)A是。。上一點(diǎn)，直線I過點(diǎn)A；P是。。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，過點(diǎn)P作PBL于點(diǎn)B,交。。于點(diǎn)E,直徑PD延長(zhǎng)線交直線I于點(diǎn)F,點(diǎn)A是市的中點(diǎn).(1)求證：直線I是。。的切線;(2)假設(shè)PA=6,求PB的長(zhǎng)..如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。0,NBAD=90。，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上,且NDEONBAC.(1)求證：DE是。0的切線；(2)假設(shè)AC〃DE,當(dāng)AB=8,CE=2時(shí)，求AC的長(zhǎng)..如圖，P是。。外的一點(diǎn)，PA、PB是。0的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，P0交AB于點(diǎn)F,延長(zhǎng)B0交。。于點(diǎn)C,交PA的延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q,連結(jié)AC.(1)求證：AC/7P0；(2)設(shè)D為PB的中點(diǎn)，QD交AB于點(diǎn)E,假設(shè)。。的半徑為3,CQ=2,求地的BE值..：AB為。。的直徑，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)P,過點(diǎn)P作圓。的切線，切點(diǎn)為C,連接AC,且AC=CP.(1)求NP的度數(shù)；(2)假設(shè)點(diǎn)D是弧AB的中點(diǎn)，連接CD交AB于點(diǎn)E,且DE?DC=20,求。。的面積.(兀取3.14).如圖，AG是NHAF的平分線，點(diǎn)E在AF上，以AE為直徑的。。交AG于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作AH的垂線，垂足為點(diǎn)C,交AF于點(diǎn)B.(1)求證：直線BC是。。的切線；(2)假設(shè)AO2CD,設(shè)。。的半徑為r,求BD的長(zhǎng)度..如圖，BCXAC,圓心。在AC上，點(diǎn)M與點(diǎn)C分別是AC與。0的交點(diǎn),點(diǎn)D是MB與。。的交點(diǎn)，點(diǎn)P是AD延長(zhǎng)線與BC的交點(diǎn)，且理1包.APA0(1)求證：PD是。。的切線；(2)假設(shè)AD=12,AM=MC,求理的值.MD.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。0,AB是。。的直徑，AC和BD相交于點(diǎn)E,且DC2=CE,CA.(1)求證：BC=CD；(2)分別延長(zhǎng)AB,DC交于點(diǎn)P,過點(diǎn)A作AF,CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,假設(shè)PB=OB,CD=2V^,求DF的長(zhǎng).五、能力提升.如圖，AB是。M的直徑，BC是。M的切線，切點(diǎn)為B,C是BC上(除B點(diǎn)外)的任意一點(diǎn)，連接CM交。M于點(diǎn)G,過點(diǎn)C作DCLBC交BG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,連接AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E.(1)求證：△ABEs^BCD；(2)假設(shè)MB=BE=1,求C