2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)ⅲ）

2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅲ）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知集合A＝{（x，y）|x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）|x+y＝8}，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．62．（5分）復(fù)數(shù)的虛部是（）A．﹣ B．﹣ C． D．3．（5分）在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為p1，p2，p3，p4，且pi＝1，則下面四種情形中，對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是（）A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4 B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1 C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3 D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.24．（5分）Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I（t）（t的單位：天）的Logistic模型：I（t）＝，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I（t*）＝0.95K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則t*約為（）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．695．（5分）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x＝2與拋物線C：y2＝2px（p＞0）交于D，E兩點(diǎn)，若OD⊥OE，則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（，0） B．（，0） C．（1，0） D．（2，0）6．（5分）已知向量，滿足||＝5，||＝6，?＝﹣6，則cos＜，+＞＝（）A．﹣ B．﹣ C． D．7．（5分）在△ABC中，cosC＝，AC＝4，BC＝3，則cosB＝（）A． B． C． D．8．（5分）如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+29．（5分）已知2tanθ﹣tan（θ+）＝7，則tanθ＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．210．（5分）若直線l與曲線y＝和圓x2+y2＝都相切，則l的方程為（）A．y＝2x+1 B．y＝2x+ C．y＝x+1 D．y＝x+11．（5分）設(shè)雙曲線C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為．P是C上一點(diǎn)，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面積為4，則a＝（）A．1 B．2 C．4 D．812．（5分）已知55＜84，134＜85．設(shè)a＝log53，b＝log85，c＝log138，則（）A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）若x，y滿足約束條件則z＝3x+2y的最大值為．14．（5分）（x2+）6的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是（用數(shù)字作答）．15．（5分）已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為．16．（5分）關(guān)于函數(shù)f（x）＝sinx+有如下四個(gè)命題：①f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．②f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．③f（x）的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱．④f（x）的最小值為2．其中所有真命題的序號(hào)是．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝3，an+1＝3an﹣4n．（1）計(jì)算a2，a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn．18．（12分）某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：鍛煉人次空氣質(zhì)量等級(jí)[0，200]（200，400]（400，600]1（優(yōu)）216252（良）510123（輕度污染）6784（中度污染）720（1）分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1，2，3，4的概率；（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（3）若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？人次≤400人次＞400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附：K2＝P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819．（12分）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1．（1）證明：點(diǎn)C1在平面AEF內(nèi)；（2）若AB＝2，AD＝1，AA1＝3，求二面角A﹣EF﹣A1的正弦值．20．（12分）已知橢圓C：+＝1（0＜m＜5）的離心率為，A，B分別為C的左、右頂點(diǎn)．（1）求C的方程；（2）若點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q在直線x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面積．21．（12分）設(shè)函數(shù)f（x）＝x3+bx+c，曲線y＝f（x）在點(diǎn)（，f（））處的切線與y軸垂直．（1）求b；（2）若f（x）有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：f（x）所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22．（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)且t≠1），C與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)．（1）求|AB|；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求直線AB的極坐標(biāo)方程．[選修45：不等式選講]（10分）23．設(shè)a，b，c∈R，a+b+c＝0，abc＝1．（1）證明：ab+bc+ca＜0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c的最大值，證明：max{a，b，c}≥．2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅲ）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知集合A＝{（x，y）|x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）|x+y＝8}，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】利用交集定義求出A∩B＝{（7，1），（6，2），（5，3），（4，4）}．由此能求出A∩B中元素的個(gè)數(shù)．【解答】解：∵集合A＝{（x，y）|x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）|x+y＝8}，∴A∩B＝{（x，y）|}＝{（7，1），（6，2），（5，3），（4，4）}．∴A∩B中元素的個(gè)數(shù)為4．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查交集中元素個(gè)數(shù)的求法，考查交集定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．（5分）復(fù)數(shù)的虛部是（）A．﹣ B．﹣ C． D．【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．【解答】解：∵＝，∴復(fù)數(shù)的虛部是．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．3．（5分）在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為p1，p2，p3，p4，且pi＝1，則下面四種情形中，對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是（）A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4 B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1 C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3 D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2【分析】根據(jù)題意，求出各組數(shù)據(jù)的方差，方差大的對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差也大．【解答】解：選項(xiàng)A：E（x）＝1×0.1+2×0.4+3×0.4+4×0.1＝2.5，所以D（x）＝（1﹣2.5）2×0.1+（2﹣2.5）2×0.4+（3﹣2.5）2×0.4+（4﹣2.5）2×0.1＝0.65；同理選項(xiàng)B：E（x）＝2.5，D（x）＝2.05；選項(xiàng)C：E（x）＝2.5，D（x）＝1.05；選項(xiàng)D：E（x）＝2.5，D（x）＝1.45；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方差和標(biāo)準(zhǔn)差的問(wèn)題，記住方差、標(biāo)準(zhǔn)差的公式是解題的關(guān)鍵．4．（5分）Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I（t）（t的單位：天）的Logistic模型：I（t）＝，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I（t*）＝0.95K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則t*約為（）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．69【分析】根據(jù)所給材料的公式列出方程＝0.95K，解出t即可．【解答】解：由已知可得＝0.95K，解得e﹣0.23（t﹣53）＝，兩邊取對(duì)數(shù)有﹣0.23（t﹣53）＝﹣ln19，解得t≈66，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于中檔題5．（5分）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x＝2與拋物線C：y2＝2px（p＞0）交于D，E兩點(diǎn)，若OD⊥OE，則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（，0） B．（，0） C．（1，0） D．（2，0）【分析】利用已知條件轉(zhuǎn)化求解E、D坐標(biāo)，通過(guò)kOD?kOE＝﹣1，求解拋物線方程，即可得到拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：將x＝2代入拋物線y2＝2px，可得y＝±2，OD⊥OE，可得kOD?kOE＝﹣1，即，解得p＝1，所以拋物線方程為：y2＝2x，它的焦點(diǎn)坐標(biāo)（，0）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查．6．（5分）已知向量，滿足||＝5，||＝6，?＝﹣6，則cos＜，+＞＝（）A．﹣ B．﹣ C． D．【分析】利用已知條件求出||，然后利用向量的數(shù)量積求解即可．【解答】解：向量，滿足||＝5，||＝6，?＝﹣6，可得||＝＝＝7，cos＜，+＞＝＝＝＝．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用，數(shù)量積的運(yùn)算以及向量的夾角的求法，是中檔題．7．（5分）在△ABC中，cosC＝，AC＝4，BC＝3，則cosB＝（）A． B． C． D．【分析】先根據(jù)余弦定理求出AB，再代入余弦定理求出結(jié)論．【解答】解：在△ABC中，cosC＝，AC＝4，BC＝3，由余弦定理可得AB2＝AC2+BC2﹣2AC?BC?cosC＝42+32﹣2×4×3×＝9；故AB＝3；∴cosB＝＝＝，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．8．（5分）如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+2【分析】先由三視圖畫(huà)出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)，利用三棱錐的表面積公式計(jì)算即可．【解答】解：由三視圖可知，幾何體的直觀圖是正方體的一個(gè)角，如圖：PA＝AB＝AC＝2，PA、AB、AC兩兩垂直，故PB＝BC＝PC＝2，幾何體的表面積為：3×＝6+2，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查多面體的表面積的求法，幾何體的三視圖與直觀圖的應(yīng)用，考查空間想象能力，計(jì)算能力．9．（5分）已知2tanθ﹣tan（θ+）＝7，則tanθ＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【分析】利用兩角和差的正切公式進(jìn)行展開(kāi)化簡(jiǎn)，結(jié)合一元二次方程的解法進(jìn)行求解即可．【解答】解：由2tanθ﹣tan（θ+）＝7，得2tanθ﹣＝7，即2tanθ﹣2tan2θ﹣tanθ﹣1＝7﹣7tanθ，得2tan2θ﹣8tanθ+8＝0，即tan2θ﹣4tanθ+4＝0，即（tanθ﹣2）2＝0，則tanθ＝2，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)值的化簡(jiǎn)和求解，結(jié)合兩角和差的正切公式以及配方法是解決本題的關(guān)鍵．難度中等．10．（5分）若直線l與曲線y＝和圓x2+y2＝都相切，則l的方程為（）A．y＝2x+1 B．y＝2x+ C．y＝x+1 D．y＝x+【分析】根據(jù)直線l與圓x2+y2＝相切，利用選項(xiàng)到圓心的距離等于半徑，在將直線與曲線y＝求一解可得答案；【解答】解：直線l與圓x2+y2＝相切，那么直線到圓心（0，0）的距離等于半徑，四個(gè)選項(xiàng)中，只有A，D滿足題意；對(duì)于A選項(xiàng)：y＝2x+1與y＝聯(lián)立可得：2x﹣+1＝0，此時(shí)：無(wú)解；對(duì)于D選項(xiàng)：y＝x+與y＝聯(lián)立可得：x﹣+＝0，此時(shí)解得x＝1；∴直線l與曲線y＝和圓x2+y2＝都相切，方程為y＝x+，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，采用選項(xiàng)檢驗(yàn)，排除思想做題，有時(shí)事半功倍．11．（5分）設(shè)雙曲線C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為．P是C上一點(diǎn)，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面積為4，則a＝（）A．1 B．2 C．4 D．8【分析】利用雙曲線的定義，三角形的面積以及雙曲線的離心率，轉(zhuǎn)化求解a即可．【解答】解：由題意，設(shè)PF2＝m，PF1＝n，可得m﹣n＝2a，，m2+n2＝4c2，e＝，可得4c2＝16+4a2，可得5a2＝4+a2，解得a＝1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，雙曲線的定義以及勾股定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．12．（5分）已知55＜84，134＜85．設(shè)a＝log53，b＝log85，c＝log138，則（）A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【分析】根據(jù)，可得a＜b，然后由b＝log85＜0.8和c＝log138＞0.8，得到c＞b，再確定a，b，c的大小關(guān)系．【解答】解：∵＝＝log53?log58＜＝＜1，∴a＜b；∵55＜84，∴5＜4log58，∴l(xiāng)og58＞1.25，∴b＝log85＜0.8；∵134＜85，∴4＜5log138，∴c＝log138＞0.8，∴c＞b，綜上，c＞b＞a．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三個(gè)數(shù)大小的判斷，指數(shù)對(duì)的運(yùn)算和基本不等式的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）若x，y滿足約束條件則z＝3x+2y的最大值為7．【分析】先根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，再利用幾何意義求最值，z＝3x+2y表示直線在y軸上的截距的一半，只需求出可行域內(nèi)直線在y軸上的截距最大值即可．【解答】解：先根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，由解得A（1，2），如圖，當(dāng)直線z＝3x+2y過(guò)點(diǎn)A（1，2）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)在y軸上的截距取得最大值時(shí)，此時(shí)z取得最大值，即當(dāng)x＝1，y＝2時(shí)，zmax＝3×1+2×2＝7．故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）（x2+）6的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是240（用數(shù)字作答）．【分析】先求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再令x的冪指數(shù)等于0，求得r的值，即可求得展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)的值．【解答】解：由于（x2+）6的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)r+1＝?2r?x12﹣3r，令12﹣3r＝0，求得r＝4，故常數(shù)項(xiàng)的值等于?24＝240，故答案為：240．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為π．【分析】易知圓錐內(nèi)半徑最大的球應(yīng)為圓錐的內(nèi)切球，作圖，求得出該內(nèi)切球的半徑即可求出球的體積．【解答】解：因?yàn)閳A錐內(nèi)半徑最大的球應(yīng)該為該圓錐的內(nèi)切球，如圖，圓錐母線BS＝3，底面半徑BC＝1，則其高SC＝＝2，不妨設(shè)該內(nèi)切球與母線BS切于點(diǎn)D，令OD＝OC＝r，由△SOD∽△SBC，則＝，即＝，解得r＝，V＝πr3＝π，故答案為：π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐內(nèi)切球，考查球的體積公式，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．16．（5分）關(guān)于函數(shù)f（x）＝sinx+有如下四個(gè)命題：①f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．②f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．③f（x）的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱．④f（x）的最小值為2．其中所有真命題的序號(hào)是②③．【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，對(duì)稱性的判定，對(duì)稱軸的求法，逐一判斷即可．【解答】解：對(duì)于①，由sinx≠0可得函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠kπ，k∈Z}，故定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由f（﹣x）＝sin（﹣x）+＝﹣sinx﹣＝﹣f（x）；所以該函數(shù)為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以①錯(cuò)②對(duì)；對(duì)于③，由f（π﹣x）＝sin（π﹣x）+＝sinx+＝f（x），所以該函數(shù)f（x）關(guān)于x＝對(duì)稱，③對(duì)；對(duì)于④，令t＝sinx，則t∈[﹣1，0）∪（0，1]，由雙勾函數(shù)g（t）＝t+的性質(zhì)，可知，g（t）＝t+∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），所以f（x）無(wú)最小值，④錯(cuò)；故答案為：②③．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)，奇偶性的判斷，求函數(shù)的對(duì)稱軸、值域，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝3，an+1＝3an﹣4n．（1）計(jì)算a2，a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn．【分析】（1）利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求出a2，a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．（2）化簡(jiǎn)數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn．【解答】解：（1）數(shù)列{an}滿足a1＝3，an+1＝3an﹣4n，則a2＝3a1﹣4＝5，a3＝3a2﹣4×2＝7，…，猜想{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n+1．證明如下：（i）當(dāng)n＝1，2，3時(shí)，顯然成立，（ii）假設(shè)n＝k時(shí)，ak＝2k+1（k∈N+）成立，當(dāng)n＝k+1時(shí)，ak+1＝3ak﹣4k＝3（2k+1）﹣4k＝2k+3＝2（k+1）+1，故n＝k+1時(shí)成立，由（i）（ii）知，an＝2n+1，猜想成立，所以{an}的通項(xiàng)公式an＝2n+1．（2）令bn＝2nan＝（2n+1）?2n，則數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn＝3×21+5×22+…+（2n+1）2n，…①兩邊同乘2得，2Sn＝3×22+5×23+…+（2n+1）2n+1，…②①﹣②得，﹣Sn＝3×2+2×22+…+2×2n﹣（2n+1）2n+1＝6+﹣（2n+1）2n+1，所以Sn＝（2n﹣1）2n+1+2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法和數(shù)列求和，考查了轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬中檔題．18．（12分）某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：鍛煉人次空氣質(zhì)量等級(jí)[0，200]（200，400]（400，600]1（優(yōu)）216252（良）510123（輕度污染）6784（中度污染）720（1）分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1，2，3，4的概率；（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（3）若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？人次≤400人次＞400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附：K2＝P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【分析】（1）用頻率估計(jì)概率，從而得到估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1，2，3，4的概率；（2）采用頻率分布直方圖估計(jì)樣本平均值的方法可得得答案；（3）由公式計(jì)算k的值，從而查表即可，【解答】解：（1）該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1的概率為：＝；該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為2的概率為：＝；該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3的概率為：＝；該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為4的概率為：＝；（2）由題意可得：一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值為：＝100×0.20+300×0.35+500×0.45＝350；（3）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得下面的2×2列聯(lián)表，人次≤400人次＞400總計(jì)空氣質(zhì)量好333770空氣質(zhì)量不好22830總計(jì)5545100由表中數(shù)據(jù)可得：K2＝＝≈5.820＞3.841，所以有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)與頻率估計(jì)概率，估計(jì)平均值的求法，屬于中檔題．19．（12分）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1．（1）證明：點(diǎn)C1在平面AEF內(nèi)；（2）若AB＝2，AD＝1，AA1＝3，求二面角A﹣EF﹣A1的正弦值．【分析】（1）在AA1上取點(diǎn)M，使得A1M＝2AM，連接EM，B1M，EC1，F(xiàn)C1，由已知證明四邊形B1FAM和四邊形EDAM都是平行四邊形，可得AF∥MB1，且AF＝MB1，AD∥ME，且AD＝ME，進(jìn)一步證明四邊形B1C1EM為平行四邊形，得到EC1∥MB1，且EC1＝MB1，結(jié)合AF∥MB1，且AF＝MB1，可得AF∥EC1，且AF＝EC1，則四邊形AFC1E為平行四邊形，從而得到點(diǎn)C1在平面AEF內(nèi)；（2）在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，以C1為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以C1D1，C1B1，C1C所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．分別求出平面AEF的一個(gè)法向量與平面A1EF的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣EF﹣A1的余弦值，再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求得二面角A﹣EF﹣A1的正弦值．【解答】（1）證明：在AA1上取點(diǎn)M，使得A1M＝2AM，連接EM，B1M，EC1，F(xiàn)C1，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，有DD1∥AA1∥BB1，且DD1＝AA1＝BB1．又2DE＝ED1，A1M＝2AM，BF＝2FB1，∴DE＝AM＝FB1．∴四邊形B1FAM和四邊形EDAM都是平行四邊形．∴AF∥MB1，且AF＝MB1，AD∥ME，且AD＝ME．又在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，有AD∥B1C1，且AD＝B1C1，∴B1C1∥ME且B1C1＝ME，則四邊形B1C1EM為平行四邊形，∴EC1∥MB1，且EC1＝MB1，又AF∥MB1，且AF＝MB1，∴AF∥EC1，且AF＝EC1，則四邊形AFC1E為平行四邊形，∴點(diǎn)C1在平面AEF內(nèi)；（2）解：在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，以C1為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以C1D1，C1B1，C1C所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．∵AB＝2，AD＝1，AA1＝3，2DE＝ED1，BF＝2FB1，∴A（2，1，3），B（2，0，2），F(xiàn)（0，1，1），A1（2，1，0），則，，．設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為．則，取x1＝1，得；設(shè)平面A1EF的一個(gè)法向量為．則，取x2＝1，得．∴cos＜＞＝＝．設(shè)二面角A﹣EF﹣A1為θ，則sinθ＝．∴二面角A﹣EF﹣A1的正弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面的基本性質(zhì)與推理，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解空間角，是中檔題．20．（12分）已知橢圓C：+＝1（0＜m＜5）的離心率為，A，B分別為C的左、右頂點(diǎn)．（1）求C的方程；（2）若點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q在直線x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面積．【分析】（1）根據(jù)e＝，a2＝25，b2＝m2，代入計(jì)算m2的值，求出C的方程即可；（2）設(shè)出P，Q的坐標(biāo)，得到關(guān)于s，t，n的方程組，求出AP（8，1），AQ（11，2），從而求出△APQ的面積．【解答】解：（1）由e＝得e2＝1﹣，即＝1﹣，∴m2＝，故C的方程是：+＝1；（2）由（1）A（﹣5，0），設(shè)P（s，t），點(diǎn)Q（6，n），根據(jù)對(duì)稱性，只需考慮n＞0的情況，此時(shí)﹣5＜s＜5，0＜t≤，∵|BP|＝|BQ|，∴有（s﹣5）2+t2＝n2+1①，又∵BP⊥BQ，∴s﹣5+nt＝0②，又+＝1③，聯(lián)立①②③得或，當(dāng)時(shí)，則P（3，1），Q（6，2），而A（﹣5，0），則＝（8，1），＝（11，2），∴S△APQ＝＝|8×2﹣11×1|＝，同理可得當(dāng)時(shí)，S△APQ＝，綜上，△APQ的面積是．【點(diǎn)評(píng)】本題考查求橢圓方程以及了直線和橢圓的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．21．（12分）設(shè)函數(shù)f（x）＝x3+bx+c，曲線y＝f（x）在點(diǎn)（，f（））處的切線與y軸垂直．（1）求b；（2）若f（x）有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：f（x）所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．【分析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由題意可得f′（）＝3×，由此求得b值；（2）設(shè)x0為f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)題意，，且|x0|≤1，得到，由|x0|≤1，對(duì)c（x）求導(dǎo)數(shù)，可得c（x）在[﹣1，1]上的單調(diào)性，得到．設(shè)x1為f（x）的零點(diǎn)，則必有，可得，由此求得x1的范圍得答案．【解答】（1）解：由f（x）＝x3+bx+c，得f′（x）＝3x2+b，∴f′（）＝3×，即b＝﹣；（2）證明：設(shè)x0為f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)題意，，且|x0|≤1，則，由|x0|≤1，令c（x）＝（﹣1≤x≤1），∴c′（x）＝＝，當(dāng)x∈（﹣1，﹣）∪（，1）時(shí)，c′（x）＜0，當(dāng)x∈（﹣，）時(shí)，c′（x）＞0可知c（x）在（﹣1，﹣），（，1）上單調(diào)遞減，在（