專題03向量的數(shù)乘（6大考點(diǎn)知識(shí)串講熱考題型專題訓(xùn)練）（原卷版）

專題03向量的數(shù)乘知識(shí)聚焦考點(diǎn)聚焦知識(shí)點(diǎn)1向量的數(shù)乘運(yùn)算1、向量數(shù)乘的定義：規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作：λa，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：（1）|λa|＝|λ||a|；（2）當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；（3）當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反．2、向量數(shù)乘的幾何意義當(dāng)時(shí)，把向量沿的相同方向放大或縮小；當(dāng)時(shí)，把向量沿的相反方向放大或縮小。3、向量數(shù)乘的運(yùn)算律：設(shè)λ，μ為任意實(shí)數(shù)，則有：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特別地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)；λ(a－b)＝λa－λb.4、向量的線性運(yùn)算：向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量．對(duì)于任意向量a，b，以及任意實(shí)數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b.知識(shí)點(diǎn)2向量共線定理1、向量共線的條件（1）當(dāng)向量時(shí)，與任一向量共線．（2）當(dāng)向量時(shí)，對(duì)于向量．如果有一個(gè)實(shí)數(shù)，使，那么由實(shí)數(shù)與向量的積的定義知與共線．反之，已知向量與（）共線且向量的長(zhǎng)度是向量的長(zhǎng)度的倍，即，那么當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，．2、向量共線的判定定理：是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使，則向量與非零向量共線．3、向量共線的性質(zhì)定理：若向量與非零向量共線，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使．【注意】（1）兩個(gè)向量定理中向量均為非零向量，即兩定理均不包括與共線的情況；（2）是必要條件，否則，時(shí)，雖然與共線但不存在使；（3）有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使．（4）是判定兩個(gè)向量共線的重要依據(jù)，其本質(zhì)是位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的高度統(tǒng)一.4、向量共線的常用結(jié)論（1）設(shè),均為實(shí)數(shù)，若，不共線，點(diǎn)滿足，，則三點(diǎn)共線；（2）中線向量公式：在中，若是的中點(diǎn)，則；（3）與同方向的單位向量為，與共線的單位向量為；（4）是的重心的充要條件是考點(diǎn)剖析考點(diǎn)1向量數(shù)乘的基本運(yùn)算【例1】（2023·重慶綦江·高一校考期中）化簡(jiǎn)為（）A．B．C．D．【變式11】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量，那么等于（）A．B．C．D．【變式12】（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)是兩兩不共線的向量，且向量，，則（）A．B．C．D．【變式13】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）（1）已知向量，，計(jì)算：．（2）若向量，滿足，，、為已知向量，求向量，．【變式14】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）求下列未知向.（1）；（2）；（3）.考點(diǎn)2用已知向量表示其他向量【例2】（2023·新疆阿克蘇·高一?？茧A段練習(xí)）在中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，記，則（）A．B．C．D．【變式21】（2023·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期中）已知中，，則（）A．B．C．D．【變式22】（2023·北京順義·高一牛欄山一中?？计谥校┤鐖D所示，在中，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則（）A．B．C．D．【變式23】（2023·福建三明·高一統(tǒng)考期末）在平行四邊形ABCD中，，，G為EF的中點(diǎn)，則（）A．B．C．D．【變式24】（2023·河南周口·高一太康縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示平行四邊形中，設(shè)向量，，又，，用，表示??.考點(diǎn)3用向量共線證明三點(diǎn)共線【例3】（2023·重慶·高二?？计谥校┮阎臻g向量，，且，，，則一定共線的三點(diǎn)是（）A．B．C．D．【變式31】（2023·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）已知空間向量，，且，，，則一定共線的三點(diǎn)是（）A．B．C．D．【變式32】（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，，，且三點(diǎn)共線，則（）A．B．2C．4D．【變式33】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高一統(tǒng)考期末）設(shè)與是兩個(gè)不共線向量，向量，，，若，，三點(diǎn)共線，則（）A．B．C．D．3【變式34】（2023·廣東廣州·高一廣州市第五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)，是兩個(gè)不共線的向量，已知，，，若三點(diǎn)A，B，D共線，則k的值為（）A．－8B．8C．6D．－6考點(diǎn)4利用向量共線求參數(shù)【例4】（2023·山西運(yùn)城·高一統(tǒng)考期中）已知向量，不共線，且向量與方向相同，則實(shí)數(shù)的值為（）A．1B．C．1或D．1或【變式41】（2023·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中?？计谀┮阎?，是兩個(gè)不共線的向量，向量，．若，則（）A．B．C．D．【變式42】（2023·遼寧遼陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）已知向量不共線，，，，則實(shí)數(shù)．【變式43】（2023·山西朔州·高一校考階段練習(xí)）已知兩個(gè)非零向量不共線，且與共線，求實(shí)數(shù)k的值．【變式44】（2023·四川成都·高一樹德中學(xué)?？计谀┰O(shè)，是兩個(gè)不共線的向量，且向量與是平行向量，則實(shí)數(shù)的值為（）A．B．1C．1或D．或考點(diǎn)5向量共線定理推論應(yīng)用【例5】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）在中，D為CB上一點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，若，則．【變式51】（2022·陜西渭南·高三?？计谀┤鐖D所示，中為重心，過(guò)點(diǎn)，，，則．【變式52】（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知平行四邊形，若點(diǎn)是邊的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)處），點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，則（）A．B．C．D．【變式53】（2023·廣西玉林·高一博白縣中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，中線AD、BE、CF相交于點(diǎn)G，點(diǎn)G稱為的重心，那么是（）A．3∶2B．2∶1C．3∶1D．4∶3【變式54】（2024·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)G是的重心，過(guò)點(diǎn)G作直線分別與兩邊交于兩點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），設(shè)，，則的最小值為（）A．1B．C．2D．考點(diǎn)6向量線性運(yùn)算的幾何應(yīng)用【例6】（2023·高一單元測(cè)試）已知點(diǎn)O為所在平面上一點(diǎn)，且滿足，若的面積與的面積比值為，則的值為（）A．B．C．2D．3【變式61】（2023·高一單元測(cè)試）（多選）已知，若點(diǎn)滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）A．點(diǎn)一定在內(nèi)部B．C．D．【變式62】（2023·安徽蕪湖·高一安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校ǘ噙x）在中，，以下結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．【變式63】（2023·甘肅·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）設(shè)點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若，則點(diǎn)是的中點(diǎn)B．若，則點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上C．若，則點(diǎn)是的重心D．若，則【變式64】（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)分別是AD，DC的中點(diǎn)，BE，BF分別交AC于M，N．求證：M，N三等分AC．過(guò)關(guān)檢測(cè)一、單選題1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知m、n是實(shí)數(shù)，、是向量，對(duì)于命題：①

②③若，則

④若，則其中正確命題的個(gè)數(shù)是：（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，已知AD，BE分別為的邊BC，AC上的中線，=，=，則（

）A．+ B．+ C． D．+3．（2023·安徽滁州·高一統(tǒng)考期末）如圖，在平面四邊形中，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，那么（

）A． B．C． D．4．（2022·廣東深圳·高一紅嶺中學(xué)?？计谥校┮阎?，則共線的三點(diǎn)為（

）A． B． C． D．5．（2023·河南信陽(yáng)·高一信陽(yáng)高中?？茧A段練習(xí)）在平行四邊形中，與交于點(diǎn)，點(diǎn)滿足，若，則（

）A． B． C． D．6．（2023·江蘇南通·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知P為平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且，若，，則（

）A． B．1 C． D．27．（2023·江蘇南通·高一統(tǒng)考期中）已知，是兩個(gè)不共線的向量，向量，．若，則（

）A．－2 B． C．2 D．8．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知O是平面上的一個(gè)定點(diǎn)，A?B?C是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過(guò)的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心二、多選題9．（2023·安徽淮北·高一淮北師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．10．（2023·陜西西安·高一期中）下列命題正確的的有（

）A．B．C．若，則共線D．，則共線11．（2023·浙江嘉興·高一校考期中）如圖，點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．12．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾中學(xué)?？计谥校┤鐖D在中，AD?BE?CF分別是邊BC?CA?AB上的中線，且相交于點(diǎn)G，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題13．（2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二?？茧A段練習(xí)）若，則．14．（2023·河北石家莊·高一?？计谥校┰O(shè)是內(nèi)部一點(diǎn)，且，則．15．（2023·黑龍江·高一富錦市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為CD上靠近點(diǎn)C的四等分點(diǎn)，點(diǎn)G為AE上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，則向量用與表示為16．（2023·云南玉溪·高二玉溪第三中學(xué)?？计谀┶w爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成）.類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)較大的等邊三角形，設(shè)，若，則的值為.四、解答題17．（2023·海南儋州·高一校考階段練習(xí)）化簡(jiǎn)：（1）；（2）；（3）.18．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）判斷下列各小題中的向量，是否共線：（1），；（2），（其中兩個(gè)非零向量和不共線）；（3），.19．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)O是