2022年全國高考甲卷數(shù)學（理）試題（原卷版）

絕密★啟用前2022年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上，并認真核準條形碼上的準考證號、姓名、考場號、座位號及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1若，則（）A. B. C. D.2.某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：則（）A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于C.講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差3.設(shè)全集，集合，則（）A. B. C. D.4.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該多面體的體積為（）A.8 B.12 C.16 D.205.函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（）A. B.C. D.6.當時，函數(shù)取得最大值，則（）A. B. C. D.17.在長方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（）A. B.AB與平面所成的角為C. D.與平面所成的角為8.沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是的AB中點，D在上，．“會圓術(shù)”給出的弧長的近似值s的計算公式：．當時，（）A. B. C. D.9.甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（）A. B. C. D.10.橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（）A B. C. D.11.設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.12.已知，則（）A. B. C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則_________．14.若雙曲線的漸近線與圓相切，則_________．15.從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為________．16.已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時，________．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分．17.記為數(shù)列的前n項和．已知．（1）證明：等差數(shù)列；（2）若成等比數(shù)列，求的最小值．18.在四棱錐中，底面．（1）證明：；（2）求PD與平面所成的角的正弦值．19.甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結(jié)果相互獨立．（1）求甲學校獲得冠軍的概率；（2）用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望．20.設(shè)拋物線的焦點為F，點，過F的直線交C于M，N兩點．當直線MD垂直于x軸時，．（1）求C的方程；（2）設(shè)直線與C的另一個交點分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當取得最大值時，求直線AB的方程．21.已知函數(shù)．（1）若，求a取值范圍；（2）證明：若有兩個零點，則環(huán)．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．[選修44：坐標系與參數(shù)方程]22.在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（s為參數(shù)）．（1）寫出的普通方程；（2）以