陜西省咸陽市2023-2024學年高三上學期模擬檢測（一）理科數(shù)學試題

咸陽市2024年高考模擬檢測（一）數(shù)學（理科）試題注意事項：1．本試題共4頁，滿分150分，時間120分鐘．2．答卷前，務必將答題卡上密封線內的各項目填寫清楚．3．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．考試結束后，監(jiān)考員將答題卡按順序收回，裝袋整理；試題不回收．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題；本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若集合，，則集合（）A． B． C． D．2．已知為虛數(shù)單位，，則復數(shù)在復平面上對應的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知向量，，若，則（）A． B． C．1 D．4．已知數(shù)列的前n項和為，且等比數(shù)列滿足，若，則（）A．6 B．5 C．4 D．35．著名的本福特定律：以數(shù)字1開頭的數(shù)字在各個領域中出現(xiàn)的頻率似乎要高于其他數(shù)，也稱為“第一位數(shù)定律”或者“首位數(shù)現(xiàn)象”．意指在一堆從實際生活中得到的十進制數(shù)據(jù)中，一個數(shù)的首位數(shù)字是的概率為．以此判斷，一個數(shù)的首位數(shù)字是1的概率與首位數(shù)字是9的概率之比約為多少？（參考數(shù)據(jù)：，）（）A．2.9 B．3.8 C．4.5 D．6.56．直線與圓有公共點的一個充分不必要條件是（）A． B． C． D．7．某同學寒假期間想到咸陽市的9個旅游景點乾陵、茂陵、漢陽陵、袁家村、鄭國渠、昭陵、旬邑馬欄革命舊址、長武亭口活動舊址、涇陽安吳青訓班中的3個景點進行旅游，其中旬邑馬欄革命舊址、長武亭口活動舊址、涇陽安吳青訓班三個景點為紅色旅游景點，則他所去的景點中至少包含一個紅色旅游景點的概率是（）A． B． C． D．8．將一個棱長為4的正四面體同一側面上的各棱中點兩兩連接，得到一多面體，則這個多面體的外接球的體積為（）A． B． C． D．9．等差數(shù)列中的，是函數(shù)的極值點，則（）A． B． C．3 D．10．已知的展開式中的常數(shù)項為0，則（）A．3 B． C．2 D．11．已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們一個公共點，設橢圓和雙曲線的離心率分別為，，若，則（）A． B． C． D．12．設，，，則（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題；本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知角，為銳角，且，，則角______．14．已知某圓錐的側面展開圖是一個圓心角為的扇形，若圓錐的體積為，則該圓錐的表面積為______．15．設x，y滿足約束條件，設，則z的取值范圍為______．16．已知函數(shù)，若，，且，則的最小值為______．三、解答題；共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（本小題滿分12分）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知該三角形的面積．（Ⅰ）求角A的大?。唬á颍┤?，求面積的最大值，并求當面積取得最大值時對應的周長．18．（本小題滿分12分）為慶祝元旦，某商場回饋消費者，準備舉辦一次有獎促銷活動，如果顧客一次消費達到500元，可參加抽獎活動，規(guī)則如下；抽獎盒子中初始裝有白球和紅球各一個，每次有放回的任取一個，連續(xù)取兩次，將以上過程記為一輪．如果每一輪取到的兩個球都是白球，則記該輪為成功，活動結束．否則記為失敗，隨即獲得紀念品1份，當然，如果顧客愿意可在盒子中再放入一個紅球，然后接著進行下一輪抽獎，如此不斷繼續(xù)下去，直至成功．（Ⅰ）某顧客進行該抽獎試驗時，最多進行三輪，即使第三輪不成功，也停止抽獎，記其進行抽獎試驗的輪次數(shù)為隨機變量X，求X的分布列和數(shù)學期望；（Ⅱ）為驗證抽獎試驗成功的概率不超過，有1000名數(shù)學愛好者獨立的進行該抽球試驗，記t表示成功時抽獎試驗的輪次數(shù)，y表示對應的人數(shù)，部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：t12345y23298604020求y關于t的回歸方程：，并預測成功的總人數(shù)（四舍五入精確到1）．附：經(jīng)驗回歸方程系數(shù)：，．參考數(shù)據(jù)：，，（其中）．19．（本小題滿分12分）如圖所示，在三棱錐中，，，點O、D分別是、的中點，底面．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）當k取何值時，二面角的余弦值為？20．（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率為，依次連接四個頂點得到的圖形的面積為．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）過直線上一點P作橢圓C的兩條切線，切點分別為M，N，求證直線過定點．21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，．（Ⅰ）若恒成立，求a的取值集合；（Ⅱ）證明．（二）選考題：共10分，考生從22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．22．（本小題滿分10分）【選修4-4：坐標系與參數(shù)方程】在平面直角坐標系中，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為，直線l的極坐標方程為．（Ⅰ）求曲線C和直線l的直角坐標方程；（Ⅱ）直線l與x軸的交點為P，經(jīng)過點P的直線m與曲線C交于A，B兩點，若，求直線m的斜率．23．（本小題滿分10分）【選修4-5：不等式選講】已知函數(shù)．（Ⅰ）畫出函數(shù)的圖象；（Ⅱ）設函數(shù)的最大值為m，若正實數(shù)a，b，c滿足，求的最小值．咸陽市2024年高考模擬檢測（一）數(shù)學（理科）試題參考答案及評分標準一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．B2．D3．C4．A5．D6．B7．C8．D9．A10．C11．C12．B二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13．（或） 14． 15． 16．三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．解：（Ⅰ）由，得．由余弦定理得：，．（Ⅱ）方法一：因為，，由余弦定理得，當且僅當時取等，，所以的面積：，此時的周長為：12．方法二：，，由正弦定理得，的面積，，又，，當時，面積最大值為．此時，，于是的周長為：12．18．解：（Ⅰ）X的取值可能為1，2，3，；；；所以X的分布列為：X123P所以數(shù)學期望為：．（Ⅱ）令，則，由題意可知，，所以．所以，．故所求的回歸方程為所以估計時，；估計時，；估計時，；預測成功的人的總數(shù)為．19．解：（Ⅰ）證明：在中，點O、D分別是、的中點，，平面，平面，平面．（Ⅱ）O為中點，連接，，則，平面，平面，，以O為坐標原點，所在的直線為x軸，所在的直線為y軸，所在的直線為z軸，建立空間直角坐標系．設，則，，，在中，，，，，，則，，，平面，平面，，又且，平面，是平面的一個法向量．設平面的一個法向量，則即，令，得，，設為二面角的平面角．則，解得．方法二：作，又，，平面，平面，，又，是二面角的平面角．設，由題意可知，，，即為等腰三角形．在中，作，則，且，在中，，則，在中，根據(jù)余弦定理，解得．20．解：（Ⅰ）由題可得，即，，得．①又，即，②由①②可得，，所以橢圓C的方程為：．（Ⅱ）設，，，由題知，直線上一點P作橢圓C的兩條切線斜率存在，設過點且與橢圓相切的直線方程為：，聯(lián)立方程得，，整理得，即，在橢圓上，，即，，，即，，解得，（此處也可以嘗試采用復合函數(shù)求導進而可得斜率）過點且與橢圓相切的直線方程為：，，即，整理可得以M為切點的橢圓C的切線方程為，同理，以N為切點的橢圓C的切線方程為，（上述切線方程也可以嘗試采用“構造縮放法”證明二級結論：過橢圓上點切線方程為：）又兩切線均過點P，故，且，整理化簡得，且，點，均在直線上，直線的方程為，直線過定點．21．解：（Ⅰ）由題可知函數(shù)的定義域為，，令，得，由x，，列表如下xa0極小值，只需證明，．令，，得，由x，，列表如下x10極大值．又，，，，，故a的取值集合為．（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知，當時，，即，，（當時，“”成立），令，，則，，由累加法可知累加可得，即，令，，恒成立，在是遞減的，，，，（二）選考題：共10分，考生從22、23題中任選一題