《概率論和數(shù)理統(tǒng)計》習題三答案解析

./《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》習題及答案習題三1.將一硬幣拋擲三次,以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù),以Y表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對值.試寫出X和Y的聯(lián)合分布律.[解]X和Y的聯(lián)合分布律如表：XXY01231003002.盒子里裝有3只黑球、2只紅球、2只白球,在其中任取4只球,以X表示取到黑球的只數(shù),以Y表示取到紅球的只數(shù).求X和Y的聯(lián)合分布律.[解]X和Y的聯(lián)合分布律如表：XXY0123000102P<0黑,2紅,2白>=03.設二維隨機變量〔X,Y的聯(lián)合分布函數(shù)為F〔x,y=求二維隨機變量〔X,Y在長方形域內(nèi)的概率.[解]如圖題3圖說明：也可先求出密度函數(shù),再求概率。4.設隨機變量〔X,Y的分布密度f〔x,y=求：〔1常數(shù)A；〔2隨機變量〔X,Y的分布函數(shù)；〔3P{0≤X<1,0≤Y<2}.[解]〔1由得A=12〔2由定義,有<3>5.設隨機變量〔X,Y的概率密度為f〔x,y=〔1確定常數(shù)k；〔2求P{X＜1,Y＜3}；〔3求P{X<1.5}；〔4求P{X+Y≤4}.[解]〔1由性質(zhì)有故〔2<3><4>題5圖6.設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量,X在〔0,0.2上服從均勻分布,Y的密度函數(shù)為fY〔y=求：〔1X與Y的聯(lián)合分布密度；〔2P{Y≤X}.題6圖[解]〔1因X在〔0,0.2上服從均勻分布,所以X的密度函數(shù)為而所以<2>7.設二維隨機變量〔X,Y的聯(lián)合分布函數(shù)為F〔x,y=求〔X,Y的聯(lián)合分布密度.[解]8.設二維隨機變量〔X,Y的概率密度為f〔x,y=求邊緣概率密度.[解]題8圖題9圖9.設二維隨機變量〔X,Y的概率密度為f〔x,y=求邊緣概率密度.[解]題10圖10.設二維隨機變量〔X,Y的概率密度為f〔x,y=〔1試確定常數(shù)c；〔2求邊緣概率密度.[解]〔1得.<2>11.設隨機變量〔X,Y的概率密度為f〔x,y=求條件概率密度fY｜X〔y｜x,fX｜Y〔x｜y.題11圖[解]所以12.袋中有五個號碼1,2,3,4,5,從中任取三個,記這三個號碼中最小的號碼為X,最大的號碼為Y.〔1求X與Y的聯(lián)合概率分布；〔2X與Y是否相互獨立？[解]〔1X與Y的聯(lián)合分布律如下表YYX345120300<2>因故X與Y不獨立13.設二維隨機變量〔X,Y的聯(lián)合分布律為XXY2580.40.80.150.300.350.050.120.03〔1求關于X和關于Y的邊緣分布；〔2X與Y是否相互獨立？[解]〔1X和Y的邊緣分布如下表XXY258P{Y=yi}0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.20.20.420.38<2>因故X與Y不獨立.14.設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量,X在〔0,1上服從均勻分布,Y的概率密度為fY〔y=〔1求X和Y的聯(lián)合概率密度；〔2設含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0,試求a有實根的概率.[解]〔1因故題14圖<2>方程有實根的條件是故X2≥Y,從而方程有實根的概率為：15.設X和Y分別表示兩個不同電子器件的壽命〔以小時計,并設X和Y相互獨立,且服從同一分布,其概率密度為f〔x=求Z=X/Y的概率密度.[解]如圖,Z的分布函數(shù)<1>當z≤0時,〔2當0<z<1時,〔這時當x=1000時,y=<如圖a>題15圖<3>當z≥1時,〔這時當y=103時,x=103z〔如圖b即故16.設某種型號的電子管的壽命〔以小時計近似地服從N〔160,202分布.隨機地選取4只,求其中沒有一只壽命小于180的概率.[解]設這四只壽命為Xi<i=1,2,3,4>,則Xi~N〔160,202,從而17.設X,Y是相互獨立的隨機變量,其分布律分別為P{X=k}=p〔k,k=0,1,2,…,P{Y=r}=q〔r,r=0,1,2,….證明隨機變量Z=X+Y的分布律為P{Z=i}=,i=0,1,2,….[證明]因X和Y所有可能值都是非負整數(shù),所以于是18.設X,Y是相互獨立的隨機變量,它們都服從參數(shù)為n,p的二項分布.證明Z=X+Y服從參數(shù)為2n,p的二項分布.[證明]方法一：X+Y可能取值為0,1,2,…,2n.方法二：設μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…,μn′均服從兩點分布〔參數(shù)為p,則X=μ1+μ2+…+μn,Y=μ1′+μ2′+…+μn′,X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′,所以,X+Y服從參數(shù)為〔2n,p>的二項分布.19.設隨機變量〔X,Y的分布律為XXY012345012300.010.030.050.070.090.010.020.040.050.060.080.010.030.050.050.050.060.010.020.040.060.060.05<1>求P{X=2｜Y=2},P{Y=3｜X=0}；〔2求V=max〔X,Y的分布律；〔3求U=min〔X,Y的分布律；〔4求W=X+Y的分布律.[解]〔1〔2所以V的分布律為V=max<X,Y>012345P00.040.160.280.240.28<3>于是U=min<X,Y>0123P0.280.300.250.17<4>類似上述過程,有W=X+Y012345678P00.020.060.130.190.240.190.120.0520.雷達的圓形屏幕半徑為R,設目標出現(xiàn)點〔X,Y在屏幕上服從均勻分布.〔1求P{Y＞0｜Y＞X}；〔2設M=max{X,Y},求P{M＞0}.題20圖[解]因〔X,Y的聯(lián)合概率密度為〔1<2>21.設平面區(qū)域D由曲線y=1/x及直線y=0,x=1,x=e2所圍成,二維隨機變量〔X,Y在區(qū)域D上服從均勻分布,求〔X,Y關于X的邊緣概率密度在x=2處的值為多少？題21圖[解]區(qū)域D的面積為〔X,Y的聯(lián)合密度函數(shù)為〔X,Y關于X的邊緣密度函數(shù)為所以22.設隨機變量X和Y相互獨立,下表列出了二維隨機變量〔X,Y聯(lián)合分布律及關于X和Y的邊緣分布律中的部分數(shù)值.試將其余數(shù)值填入表中的空白處.XYXYy1y2y3P{X=xi}=pix1x21/81/8P{Y=yj}=pj1/61[解]因,故從而而X與Y獨立,故,從而即：又即從而同理又,故.同理從而故YYX123.設某班車起點站上客人數(shù)X服從參數(shù)為λ<λ>0>的泊松分布,每位乘客在中途下車的概率為p〔0<p<1,且中途下車與否相互獨立,以Y表示在中途下車的人數(shù),求：〔1在發(fā)車時有n個乘客的條件下,中途有m人下車的概率；〔2二維隨機變量〔X,Y的概率分布.[解]<1>.<2>24.設隨機變量X和Y獨立,其中X的概率分布為X~,而Y的概率密度為f<y>,求隨機變量U=X+Y的概率密度g<u>.[解]設F〔y是Y的分布函數(shù),則由全概率公式,知U=X+Y的分布函數(shù)為由于X和Y獨立,可見由此,得U的概率密度為25.25.設隨機變量X與Y相互獨立,且均服從區(qū)間[0,3]上的均勻分布,求P{max{X,Y}≤1}.解：因為隨即變量服從[0,3]上的均勻分布,于是有因為X,Y相互獨立,所以推得.26.設二維隨機變量〔X,Y的概率分布為XXY101101a00.20.1b0.200.1c其中a,b,c為常數(shù),且X的數(shù)學期望E<X>=0.2,P{Y≤0|X≤0}=0.5,記Z=X+Y.求：〔1a,b,c的值；〔2Z的概率分布；〔3P{X=Z}.解<1>由概率分布的性質(zhì)知,a+b+c+0.6=1即a+b+c=