課時圓錐曲線方程

高中同步測控優(yōu)化設(shè)計GAOZHONGTONGBUCEKONGYOUHUASHEJI第3課時圓錐曲線的方程復(fù)習(xí)課2023成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動更新永不過期內(nèi)容索引010203知識梳理構(gòu)建體系專題歸納核心突破高考體驗知識梳理構(gòu)建體系【知識網(wǎng)絡(luò)】

圓錐曲線的方程

圓錐曲線的方程

圓錐曲線的方程

【要點梳理】

1.橢圓的定義、圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程分別是什么?有哪些幾何性質(zhì)?請完成下表:2.雙曲線的定義、圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程分別是什么?有哪些幾何性質(zhì)?請完成下表:3.拋物線的定義、圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程分別是什么?有哪些幾何性質(zhì)?請完成下表:4.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有哪些?怎樣判斷其位置關(guān)系?提示:有相交、相切、相離三種.將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立,化簡后得到關(guān)于x(或y)的方程,根據(jù)方程解的情況判斷即可.【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)橢圓的焦點只能在坐標(biāo)軸上.(×)(4)平面內(nèi)與兩個定點的距離的差等于常數(shù)的點的軌跡就是雙曲線.(×)(5)對于三個參數(shù)a,b,c,在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中,最大的是a,在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中,最大的是c.(√)(6)雙曲線的焦點一定位于雙曲線的實軸上.(√)(7)焦點在x軸上的雙曲線與焦點在y軸上的雙曲線不可能具有共同的漸近線.(×)(9)雙曲線的離心率越大,其漸近線斜率的絕對值就越大.(√)(10)拋物線y=6x2的焦點在x軸的正半軸上.(×)(11)直線與圓錐曲線相交時,一定有兩個公共點.(×)(12)橢圓、雙曲線與拋物線都既是軸對稱圖形,也是中心對稱圖形.(×)(13)拋物線的頂點一定在過焦點且與準(zhǔn)線垂直的直線上.(√)專題歸納核心突破專題一圓錐曲線的定義及應(yīng)用【例1】

(1)已知動點M的坐標(biāo)滿足方程5=|3x+4y-12|,則動點M的軌跡是(

)A.橢圓 B.雙曲線C.拋物線 D.以上都不對(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C的中心為原點,焦點F1,F2在x軸上,離心率為

.過F1的直線l交C于A,B兩點,且△ABF2的周長為16,則C的方程為

.

則動點M到原點的距離與它到直線3x+4y-12=0的距離相等,故點M的軌跡是以原點為焦點,直線3x+4y-12=0為準(zhǔn)線的拋物線.因為AB過F1且A,B在橢圓上,如圖所示,則△ABF2的周長為|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=16,a=4.反思感悟“回歸定義”解題的三點應(yīng)用應(yīng)用一:在求軌跡方程時,若所求軌跡符合某種圓錐曲線的定義,則根據(jù)圓錐曲線的定義,寫出所求的軌跡方程;應(yīng)用二:涉及橢圓、雙曲線上的點與兩個定點構(gòu)成的三角形問題時,常用定義結(jié)合解三角形的知識來解決;應(yīng)用三:在求有關(guān)拋物線的最值問題時,常利用定義把到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離,結(jié)合幾何圖形,利用幾何意義去解決.提醒:應(yīng)用定義解題時注意圓錐曲線定義中的限制條件.【變式訓(xùn)練1】

(1)若一動圓與兩圓:x2+y2=1和x2+y2-6x+5=0都外切,則動圓圓心的軌跡為(

)A.拋物線 B.雙曲線C.雙曲線的一支 D.橢圓解析:x2+y2=1是圓心為原點,半徑為1的圓,x2+y2-6x+5=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+y2=4,是圓心為A(3,0),半徑為2的圓.設(shè)所求動圓圓心為P,動圓半徑為r,結(jié)合圖形(圖略)可知,動圓圓心的軌跡為雙曲線的一支.答案:C(2)已知點P是拋物線y2=8x上的任意一點,F是拋物線的焦點,點M的坐標(biāo)是(2,3),求|PM|+|PF|的最小值,并求出此時點P的坐標(biāo).解:拋物線y2=8x的準(zhǔn)線方程是x=-2,點P到焦點F的距離等于它到準(zhǔn)線x=-2的距離,過點P作PD垂直于準(zhǔn)線x=-2,垂足為D,那么|PM|+|PF|=|PM|+|PD|.如圖所示,根據(jù)平面幾何知識,當(dāng)M,P,D三點共線時,|PM|+|PF|的值最小,且最小值為|MD|=2-(-2)=4,所以|PM|+|PF|的最小值是4.專題二求圓錐曲線的方程【例2】

(1)已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1,0),離心率等于,則C的方程是(

)(2)已知拋物線y2=8x的準(zhǔn)線過雙曲線(a>0,b>0)的一個焦點,且雙曲線的離心率為2,則該雙曲線的方程為

.

反思感悟一般求已知曲線類型的曲線方程問題,可采用“先定形,后定式,再定量”的步驟.(1)定形——指的是二次曲線的焦點位置與對稱軸的位置.(2)定式——根據(jù)“形”設(shè)方程的形式,注意曲線系方程的應(yīng)用,如當(dāng)橢圓的焦點不確定在哪個坐標(biāo)軸上時,可設(shè)方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0).(3)定量——由題設(shè)中的條件找到“式”中待定系數(shù)的等量關(guān)系,通過解方程(組)得到量的大小.【變式訓(xùn)練2】

(1)焦點在x軸上,右焦點到短軸端點的距離為2,到左頂點的距離為3的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(

)(2)已知一雙曲線與橢圓x2+4y2=64共焦點,它的一條漸近線方程為x-

y

=0,則雙曲線的方程為

.

專題三圓錐曲線的性質(zhì)及應(yīng)用【例3】

(1)如圖,橢圓C1,C2與雙曲線C3,C4的離心率分別是e1,e2與e3,e4,則e1,e2,e3,e4的大小關(guān)系是(

)A.e2<e1<e3<e4B.e2<e1<e4<e3C.e1<e2<e3<e4D.e1<e2<e4<e3反思感悟求解離心率的三種方法(1)定義法:由橢圓(雙曲線)的標(biāo)準(zhǔn)方程可知,不論橢圓(雙曲線)的焦點在x軸上還是y軸上都有關(guān)系式a2-b2=c2(a2+b2=c2)以及e=,已知其中的任意兩個參數(shù),可以求其他的參數(shù),這是基本且常用的方法.(2)方程法:建立參數(shù)a與c之間的齊次關(guān)系式,從而求出其離心率,這是求離心率的十分重要的思路及方法.(3)幾何法:求與過焦點的三角形有關(guān)的離心率問題,根據(jù)平面幾何性質(zhì)以及橢圓(雙曲線)的定義、幾何性質(zhì),建立參數(shù)之間的關(guān)系,通過畫出圖形,觀察線段之間的關(guān)系,使問題更形象、直觀.答案:A

解析:拋物線y2=4cx的焦點為(c,0),準(zhǔn)線方程為x=-c,|PF1|=4a+c,由雙曲線的定義可得,|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF2|=2a+c.由拋物線的定義可得|PF2|=xP+c=2a+c,答案:A專題四直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(1)求斜率為2的平行弦中點的軌跡方程;(2)過N(1,2)的直線l與橢圓相交,求l被橢圓截得的弦的中點的軌跡方程;解:設(shè)弦的兩端點為A(x1,y1),B(x2,y2),中點M(x0,y0),則有x1+x2=2x0,y1+y2=2y0.故所求的軌跡方程為x+4y=0(在已知橢圓的內(nèi)部).(2)不妨設(shè)l交橢圓于點A,B,弦中點為M(x,y).

反思感悟直線與圓錐曲線相交,經(jīng)常出現(xiàn)弦長、中點弦問題

(2)處理中點弦問題,一般有兩種思路,思路一:聯(lián)立方程組,消元,利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行設(shè)而不求;思路二:利用“點差法”.【例5】

設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,經(jīng)過點F的直線交拋物線于A,B兩點,點C在拋物線的準(zhǔn)線上,且BC∥x軸.證明:直線AC經(jīng)過原點O.反思感悟圓錐曲線中的定值、定點問題(1)定值問題的常見類型及解題策略:①求代數(shù)式為定值.依題意設(shè)條件,得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式,代入代數(shù)式、化簡即可得出定值.②求點到直線的距離為定值.利用點到直線的距離公式得出距離的解析式,利用題設(shè)條件化簡、變形求得.③求某線段長度為定值.利用長度公式求得解析式,依據(jù)條件對解析式進(jìn)行化簡、變形即可求得.(2)定點問題的兩種解法:①引進(jìn)參數(shù)法,引進(jìn)動點的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量,研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系,找到定點.②特殊到一般法,根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點,證明該定點與變量無關(guān).【例6】

已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點,對稱軸為坐標(biāo)軸,且拋物線x2=-4y的焦點是它的一個焦點,又點A(1,)在該橢圓上.(1)求橢圓E的方程;(2)若斜率為

的直線l與橢圓E交于不同的兩點B,C,當(dāng)△ABC的面積最大時,求直線l的方程.分析:(1)利用待定系數(shù)法求解;(2)求出△ABC面積的表達(dá)式,利用基本不等式或函數(shù)思想求最值.反思感悟最值問題的常用解法(1)代數(shù)法:若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系,則可先建立目標(biāo)函數(shù)再求這個函數(shù)的最值.求函數(shù)最值的常用方法有配方法、判別式法、換元法、基本不等式法、單調(diào)性法.(2)幾何法:若題目的條件與結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義,則考慮利用幾何圖形的性質(zhì)來解決.(1)若點A是橢圓E的一個頂點,求橢圓的方程;(2)若線段AB上存在點P滿足|PF1|+|PF2|=2a,求a的取值范圍.若線段AB上存在點P滿足|PF1|+|PF2|=2a,則線段AB與橢圓E有公共點,等價于方程6y2-8y+4-a2=0在y∈[0,1]上有解.設(shè)f(y)=6y2-8y+4-a2,高考體驗考點一圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1.(多選題)(2020·山東高考)已知曲線C:mx2+ny2=1.(

)A.若m>n>0,則C是橢圓,其焦點在y軸上答案:ACD考點二圓錐曲線的幾何性質(zhì)答案:A答案:B4.(2021·全國新高考Ⅰ卷)已知F1,F2是橢圓C:的兩個焦點,點M在C上,則|MF1|·|MF2|的最大值為(

)A.13 B.12 C.9 D.6解析:由題意知|MF1|+|MF2|=2a=6,則|MF1|·|MF2|≤9,當(dāng)且僅當(dāng)|MF1|=|MF2|=3時,等號成立.故|MF1|·|MF2|的最大值為9.故選C.答案:C答案:A答案:4答案:89.(2021·全國新高考Ⅰ卷)已知O為坐標(biāo)原點,拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,P為C上一點,PF與x軸垂直,Q為x軸上一點,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,則C的準(zhǔn)線方程為

.

考點三圓錐曲線的離心率問題10.(2021·全國Ⅱ高考)已知F1,F2