6.5.1.1直線與平面垂直的性質(zhì)課件-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

6.5.1.1直線與平面垂直的性質(zhì)新授課1.理解直線與平面垂直的定義.2.理解并掌握直線與平面垂直的性質(zhì)定理，并能利用定理證明相關(guān)問題.3.理解直線與平面所成角的概念，并能求直線和平面所成的角.

問題1：如圖，陽光下直立于地面的旗桿AB與它在地面上的影子BC的位置關(guān)系是什么？隨著太陽的移動，旗桿AB與影子BC所成的角度會發(fā)生改變嗎？知識點1：直線與平面垂直的定義旗桿AB與影子BC是垂直關(guān)系，所成的角度不變，都為90°.BAC問題2：將一本書打開直立在桌面上，觀察書脊(想象成一條直線)與桌面的位置關(guān)系呈什么狀態(tài)？此時書脊與每頁書和桌面的交線的位置關(guān)系如何？書脊與桌面垂直，書脊與每頁書和桌面的交線都垂直.一般地，如果直線l和平面α內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么稱直線l和平面α垂直，記作l⊥α.概念生成直線l的垂面平面α的垂線垂足畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直.αPl思考：在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．將這一結(jié)論推廣到空間，過一點垂直于已知平面的直線有幾條？過一點有且只有一條直線與一個平面垂直.問題1：長方體ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1所在直線與底面ABCD的位置關(guān)系如何？各側(cè)棱之間具有什么位置關(guān)系？知識點2：直線與平面垂直的性質(zhì)各側(cè)棱所在直線與底面ABCD垂直，各側(cè)棱之間相互平行.問題2：已知直線a⊥α，b⊥α，那么直線a、b一定平行嗎？說明理由.a

過O作b′∥a，b′與b不重合，證：假設(shè)a與b不平行，又∵b′∥a，∴b′⊥l.這樣在平面β內(nèi)過點O有兩條直線b和b′都與l垂直，這與“平面內(nèi)，過直線上的一點只有一條直線與已知直線垂直”相矛盾.∵a⊥α，b⊥α，∴a⊥l，b⊥l，∴a∥b.O已知：a⊥α，b⊥α，b∩α＝O.證明a∥b．βlb'b∵b∩b′＝O，故直線b與b′確定一個平面，記為β，且記α∩β=l，直線與平面垂直的性質(zhì)定理

垂直于同一個平面的兩條直線平行.歸納總結(jié)利用這個定理可判定兩條直線平行.符號語言：若a⊥α，b⊥α，則a∥b．a(chǎn)b

思考交流：兩條異面直線能垂直于同一平面嗎？說明理由.不能，理由如下：假設(shè)兩條異面直線垂直于同一平面，那么這兩條直線平行，然而兩條平行直線確定一個平面，與這兩條直線異面矛盾，即兩條異面直線不能垂直于同一平面.例1

本章1.2節(jié)已提到從平面外一點作一個平面的垂線，這個點和垂足間的距離稱為點到平面的距離.請證明：如果一條直線平行一個平面，那么這條直線上各點到這個平面的距離都相等.證：如圖，直線與平面分別用l與α表示，且l∥α.要證明直線l上各點到平面α的距離相等，只要證明直線l上任意兩點到平面α的距離相等.而點到平面α的距離也就是點到平面α垂線段的長.αl過直線l上任意兩點A，B分別作平面α的垂線，垂足分別為E，F(xiàn).∵AE⊥α，BF⊥α，∴AE∥BF.設(shè)過直線AE和BF的平面為β，則β∩α＝EF.由l∥α，得l∥EF.∴四邊形AEFB是平行四邊形.∴AE＝BF，即直線l上各點到平面α的距離相等.αlABEF因此，如果一條直線與平面平行，那么這條直線上任意一點到平面的距離就是這條直線到這個平面的距離.問題：直線與平面垂直是直線與平面的相交時的一種特殊情況，當(dāng)它們不垂直時，可以發(fā)現(xiàn)不同的直線與平面相交的情況也是不同的，如何刻畫這種不同？知識點3：直線與平面所成的角平面的一條斜線和它在平面上的投影所成的銳角，叫作這條直線和這個平面所成的角．αlPAθ斜線斜足投影(直線)若直線l與平面α垂直，則稱它們所成的角為90°；若直線l與平面α平行，或在平面α內(nèi)，則稱它們所成的角為0°．例2

如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1.（1）求D1A與底面ABCD所成的角；（2）設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，求D1B與底面ABCD所成的角的余弦值.解：（1）∵DD1⊥底面ABCD，∴∠D1AD是D1A與底面ABCD所成的角.∵側(cè)面A1ADD1是正方形，∴∠D1AD＝45°，即D1A與底面ABCD所成的角為45°.∵DD1⊥底面ABCD，∴∠D1BD是D1B與底面ABCD所成的角，同時DD1⊥DB.在Rt△D1BD中，∴即D1B與底面ABCD所成的角的余弦值為（2）如圖，連接BD，則BD＝.歸納總結(jié)求斜線與平面所成的角的步驟：（1）作角：作(或找)出斜線在平面上的投影，將空間角(斜線與平面所成的角)轉(zhuǎn)化為平面角(兩條相交直線所成的銳角)，作投影要過斜線上一點作平面的垂線，再過垂足和斜足(有時可以是兩垂足)作直線.（2）證明：證明某平面角就是斜線與平面所成的角.（3）計算：通常在垂線段、斜線和投影所組成的直角三角形中計算.練一練1.在空間中，下列命題正確的是()A.垂直于