數(shù)學(xué)-專項(xiàng)3對角互補(bǔ)模型-【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案（原版）

【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案專題3對角互補(bǔ)模型解題策略解題策略模型1：全等形——90°對角互補(bǔ)模型模型2：全等形——120°對角互補(bǔ)模型模型3：全等形——任意角對角互補(bǔ)模型

模型4：相似形——90°對角互補(bǔ)模型經(jīng)典例題經(jīng)典例題【例1】．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在四邊形ABCD的邊BC，CD上，∠EAF=12（1）思路梳理將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△ADG，使AB與AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即點(diǎn)F，D，G三點(diǎn)共線，易證△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系為__；（2）類比引申

如圖2，在圖1的條件下，若點(diǎn)E，F(xiàn)由原來的位置分別變到四邊形ABCD的邊CB，DC延長線上，∠EAF=12（3）聯(lián)想拓展如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D，E均在邊BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接寫出DE的長為________________.【例2】．（2019·山東棗莊·中考真題）在ΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D,（1）如圖1，點(diǎn)M，N分別在AD，AB上，且∠BMN=90°，當(dāng)∠AMN=30°，AB=2時(shí)，求線段AM的長；（2）如圖2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且∠EDF=90°，求證：BE=AF；（3）如圖3，點(diǎn)M在AD的延長線上，點(diǎn)N在AC上，且∠BMN=90°，求證：AB+AN=2【例3】．（2022·江蘇·八年級課時(shí)練習(xí)）（1）如圖①，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠BAD．請直接寫出線段EF，BE（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=1（3）在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD所在直線上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠BAD．請畫出圖形（除圖②外），并直接寫出線段EF，BE【例4】．（2022·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）四邊形ABCD是由等邊ΔABC和頂角為120°的等腰ΔABD

排成，將一個(gè)60°角頂點(diǎn)放在D處，將60°角繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，該60°交兩邊分別交直線BC、AC于M、N，交直線AB于E、F兩點(diǎn)．（1）當(dāng)E、F都在線段AB上時(shí)（如圖1），請證明：BM+AN=MN；（2）當(dāng)點(diǎn)E在邊BA的延長線上時(shí)（如圖2），請你寫出線段MB，AN和MN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）在（1）的條件下，若AC=7，AE=2.1，請直接寫出MB的長為．培優(yōu)訓(xùn)練培優(yōu)訓(xùn)練一、解答題1．（2022·陜西·西安市第三中學(xué)七年級期末）回答問題（1）【初步探索】如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是_______________；（2）【靈活運(yùn)用】如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；（3）【拓展延伸】知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若點(diǎn)E在CB的延長線上，點(diǎn)F在CD的延長線上，如圖3所示，仍然滿足EF=BE+FD，請直接寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關(guān)系．

2．（2021·陜西·交大附中分校八年級開學(xué)考試）問題探究（（1）如圖①，已知∠A=45°，∠ABC=30°，∠ADC=40°，則∠BCD的大小為___________；（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠ADC=90°，對角線BD=6．求四邊形ABCD的面積；小明這樣來計(jì)算．延長DC，使得CE=AD，連接BE，通過證明△ABD≌△CBE，從而可以計(jì)算四邊形ABCD的面積．請你將小明的方法完善．并計(jì)算四邊形ABCD的面積；問題解決（3）如圖③，四邊形ABCD是正在建設(shè)的城市花園，其中AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，DC=40米，AD=30米．請計(jì)算出對角線BD的長度．3．（2021·福建三明·八年級期中）感知：如圖①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°．判斷DB與DC的大小關(guān)系并證明．探究：如圖②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，DB與DC的大小關(guān)系變嗎？請說明理由．應(yīng)用：如圖③，四邊形ABDC中，∠B=45°，∠C=135°，DB=DC=m，則AB與AC差是多少（用含m

的代數(shù)式表示）4．（2021·遼寧大連·九年級期中）如圖1，正方形ABCD中，BD是對角線，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在BC上，連接EF（EF與BD不垂直），點(diǎn)G是線段EF的中點(diǎn)，過點(diǎn)G作GH⊥EF交線段BD于點(diǎn)H．（1）猜想GH與EF的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）探索AE，CF，DH之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖2，若點(diǎn)E在AB的延長線上，點(diǎn)F在BC的延長線上，其他條件不變，請直接寫出AE，CF，DH之間的數(shù)量關(guān)系．5．（2020·河南洛陽·八年級期中）在∠MAN內(nèi)有一點(diǎn)D，過點(diǎn)D分別作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分別為B，C．且BD=CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AM和AN上．（1）如圖1，若∠BED=∠CFD，請說明DE=DF；（2）如圖2，若∠BDC=120°，∠EDF=60°，猜想EF，BE，CF具有的數(shù)量關(guān)系，并說明你的結(jié)論成立的理由．6．（2020·江西萍鄉(xiāng)·八年級期末）【課題研究】旋轉(zhuǎn)圖形中對應(yīng)線段所在直線的夾角（小于等于90°的角）與旋轉(zhuǎn)角的關(guān)系．【問題初探】線段AB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段CD，其中點(diǎn)A與點(diǎn)C對應(yīng)，點(diǎn)B與點(diǎn)D對應(yīng)，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為α，且0°＜α＜180°．

（1）如圖①，當(dāng)α＝60°時(shí)，線段AB、CD所在直線夾角（銳角）為；（2）如圖②，當(dāng)90°＜α＜180°時(shí)，直線AB與直線CD所夾銳角與旋轉(zhuǎn)角α存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；【形成結(jié)論】旋轉(zhuǎn)圖形中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角小于平角時(shí)，對應(yīng)線段所在直線的夾角與旋轉(zhuǎn)角．【運(yùn)用拓廣】運(yùn)用所形成的結(jié)論解決問題：（3）如圖③，四邊形ABCD中，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AB＝BC，CD＝3，BD＝19，求AD的長．7．（2021··九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB=120°，BC>AC，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)D在AB上，CE=CA，連接DE，∠ACB+∠ADE=180°，CH⊥AB，垂足為H．證明：DE+AD=238．（2020·湖南湘西·中考真題）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC于E、F．探究圖中線段AE，CF，EF之間的數(shù)量關(guān)系．小李同學(xué)探究此問題的方法是：延長FC到G，使CG=AE，連接BG，先證明△BCG≌△BAE，再證明△BFC≌△BFE，可得出結(jié)論，他的結(jié)論就是_______________；探究延伸1：如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=2∠MBN，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC于E、F．上述結(jié)論是否仍然成立？請直接寫出結(jié)論（直接寫出“成立”或者“不成立”），不要說明理由．探究延伸2：如圖3，在四邊形ABCD中，BA=BC，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC=2∠MBN，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC于E、F．上述結(jié)論是否仍然成立？并說明理由．實(shí)際應(yīng)用：如圖4，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處艦艇乙在指揮中心南偏東70°

的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以75海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，同時(shí)艦艇乙沿北偏東50°的方向以100海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，1.2小時(shí)后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E、F處，且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．9．（2019·重慶·西南大學(xué)附中八年級階段練習(xí)）如圖1，四邊形ABCD中，BD⊥AD，E為BD上一點(diǎn)，AE＝BC，CE⊥BD，CE＝ED（1）已知AB＝10，AD＝6，求CD；（2）如圖2，F(xiàn)為AD上一點(diǎn)，AF＝DE，連接BF，交BF交AE于G，過G作GH⊥AB于H，∠BGH＝75°．求證：BF＝22GH+2EG．10．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）探究問題：(1)方法感悟：如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且滿足∠BAF＝45°，連接EF，求證DE＋BF＝EF．感悟解題方法，并完成下列填空：將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，此時(shí)AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴

∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，點(diǎn)G，B，F(xiàn)在同一條直線上．∵

∠EAF＝45°∴

∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°．∵

∠1＝∠2，∠1＋∠3＝45°．

即∠GAF＝∠________．又AG＝AE，AF＝AE∴

△GAF≌△________．∴

_________＝EF，故DE＋BF＝EF．(2)方法遷移：如圖②，將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且∠EAF＝1211．（2021·全國·八年級專題練習(xí)）我們規(guī)定：一組鄰邊相等且對角互補(bǔ)的四邊形叫作“完美四邊形”．（1）在①平行四邊形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定為“完美”四邊形的是（請?zhí)钚蛱枺?；?）在“完美”四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，連接AC．①如圖1，求證：AC平分∠BCD；小明通過觀察、實(shí)驗(yàn)，提出以下兩種想法，證明AC平分∠BCD：想法一：通過∠B+∠D=180°，可延長CB到E，使BE=CD，通過證明△AEB≌△ACD，從而可證AC平分∠BCD；想法二：通過AB=AD，可將△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AD與AB重合，得到△AEB，可證C,B,E三點(diǎn)在條直線上，從而可證AC平分∠BCD．請你參考上面的想法，幫助小明證明AC平分∠BCD；②如圖2，當(dāng)∠BAD=90°，用等式表示線段AC,BC,CD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

12．（2019·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，∠EDF=120°，把∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使∠EDF的兩邊分別與線段AB、AC交于點(diǎn)E、F．（1）當(dāng)DF⊥AC時(shí)，求證：BE=CF；（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，BE+CF是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請說明理由13．（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖所示，ΔABC為等邊三角形，邊長為4，點(diǎn)O為BC邊中點(diǎn)，∠EOF=120°，其兩邊分別交AB和CA的延長線于E，F(xiàn)，求AE?AF的值.14．（2019·全國·九年級專題練習(xí)）如圖所示，ΔABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一塊含30°角的直角三角板DEF的直角頂點(diǎn)D放在AC的中點(diǎn)上（直角三角板的短直角邊為DF，長直角邊為DE），將三角板DEF繞D點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn).（1）在如圖所見中，DE交AB于M，DF交BC于N，證明DM=DN；（2）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖所見，延長AB交DE于M，延長BC交DF于N，證明DM=DN.15．（2019·江西·南昌市第十九中學(xué)九年級階段練習(xí)）一位同學(xué)拿了兩塊45°三角尺ΔMNK，ΔACB做了一個(gè)探究活動：將ΔMNK的直角頂點(diǎn)M放在ΔACB的斜邊AB的中點(diǎn)處，設(shè)AC=BC=4.

（1）如圖1所示，兩三角尺的重疊部分為ΔACM，則重疊部分的面積為______，周長為______.（2）將如圖1所示中的ΔMNK繞頂點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到如圖2所示，此時(shí)重疊部分的面積為______，周長為______.（3）如果將ΔMNK繞M旋轉(zhuǎn)到不同于如圖1所示和如圖2所示的圖形，如圖3所示，請你猜想此時(shí)重疊部分的面積為______.（4）在如圖3所示情況下，若AD=1，求出重疊部分圖形的周長.16．（2019·江蘇常州·一模）我們定義：有一組對角為直角的四邊形叫做“對直角四邊形”．（1）如圖①，四邊形ABCD為對直角四邊形，∠B=90°，若AB2-AD2=4，求CD2-BC2的值；（2）如圖②，四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC，若BD平分∠ADC，求證：四邊形ABCD為對直角四邊形；（3）在（2）的條件下，如圖③，連結(jié)AC，若S△ACD17．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）閱讀下面材料：小炎遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，∠EAF=45°，連結(jié)EF，則EF=BE+DF，試說明理由．

小炎是這樣思考的：要想解決這個(gè)問題，首先應(yīng)想辦法將這些分散的線段相對集中．她先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，最后發(fā)現(xiàn)線段AB，AD是共點(diǎn)并且相等的，于是找到解決問