初中九年級數(shù)學(xué)課件-二次函數(shù)背景下的圖形面積問題小專題

二次函數(shù)背景下圖形的面積問題湖北省丹江口市六里坪鎮(zhèn)中學(xué)袁啟蘭中考總復(fù)習(xí)小專題——寧靜致遠——送給中考前的學(xué)子們1、如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）．（1）、求拋物線的解析式；(2)、求S△ABC(3)

、若點D為拋物線的頂點，求S△DBC(4)

、若點D為拋物線的頂點，求S四邊形ABCD(5)、若點P為第三象限內(nèi)拋物線上的一點，設(shè)△PAB的面積為S，求S的最大值并求出此時點P的坐標；(6)、

若點P為第三象限內(nèi)拋物線上的一點，設(shè)△PAC的面積為S，求S的最大值并求出此時點P的坐標；一、課前小訓(xùn)練答案展示：（１）、由圖象看出A（-3，0），B（1，0）

C（O，-3）∴設(shè)拋物線解析式為：y=a（x-3）（ｘ-１）Ｃ在拋物線上，∴a＝１

∴拋物線解析式為：ｙ＝ｘ２+2ｘ－3(4)、S四邊形ABCD=S△AED+S梯EOCD+S△BOCC=?AE.ED+?(OC+ED).OE+?OB.OC=9(5)、設(shè)點P(m,m２+2m－3)

(-3＜m＜0)

,過點P作PF⊥x軸于F點，則PF=-m２-2m+3∵AB=4∴

S△PAB

=?AB.PF=?(-m２-2m+3

).4=

-2m２-4m+6=

-2(m+1)２+8

∵-2＜0,-3＜m＜0,

∴當(dāng)m=-1時S△PAB最大為8，此時點P(-1,-4)

(6)、設(shè)點P(m,m２+2m－3)

(-3＜m＜0)

,過點P作PF⊥x軸于F點，則PF=-m２-2m+3

,AF=m+3,OF=-m,OC=3∴

S△PAC

=S△PAF+S梯PEOC-S△OAC=?AF.PF+?(PF+OC)OF-?OA.OC=?(m+3)(-m２-2m+3

)+?(3-m２-2m+3)(-m)-

?×3×3=(m２+3m)=-(m+)２+

∵＜0,-3＜m＜0,∴當(dāng)m=時S△PAC最大為，此時點P

二、課堂活動1、請各小組對答案；2、各組組長組織組員討論做錯的題；3、請第一組的組長簡單講一下第(2)題的解題思路；請第三組的組長簡單講一下第(4)題的解題思路;請第五組的組長簡單講一下第（5））題的解題思路。4、其他有需要做補充的請繼續(xù)補充。①、比較課前訓(xùn)練題中（2）、(3)、（4）求面積的方法，歸納在平面直角坐標系中求圖形面積的常用思路；②、比較題中（5）、(6)、求面積最大值的方法，歸納在平面直角坐標系中求圖形面積最大值的常用思路；三、練后思考：請各組討論下面的思考題四、思路整理：在平面直角坐標系中解決面積問題有如下的思路1、圖形形狀和位置規(guī)則：函數(shù)解析式點的坐標水平線段豎直線段面積2、圖形形狀或位置不規(guī)則：分割增補形狀和位置規(guī)則的圖形五、典例精析例1、如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）．（1）求拋物線的解析式；（ｙ＝ｘ２+2ｘ－3）變式1、在x軸下方的拋物線上（除點C外），是否存在點N，使得S△NAB=S△CAB，若存在，求出點N的坐標，若不存在，請說明理由。解析：N(-2,-3)解后思考：作直線CN,并判斷直線CN與直線AB有怎樣的位置關(guān)系？結(jié)論歸納：若兩個三角形同底且面積相等，則第三個頂點所在的直線與底平行例1、如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）．（1）求拋物線的解析式；（ｙ＝ｘ２+2ｘ－3）變式2、在拋物線上（除點B外）是否存在點M，使得S△MAC=S△ABC，若存在，求出點M的坐標，若不存在，請說明理由。解析：因為S△MAC=S△ABC且同底由（1）所得結(jié)論知直BM∥AC,所以M點即為過B點作AC的平行線與拋物線的交點（1）、求直線AC的解析式：y=-x-3;

(2)、設(shè)直線BM的解析式為y=-x+b;

(3)、把B(1,0)代入y=-x+b中得b=1,所以直線BM的解析式為y=-x+1；（4）、把y=-x+1與ｙ＝ｘ２+2ｘ－3聯(lián)立所得的解即得點M的坐標（-4，5)(合題意）,（1，0）（舍去）（5）寫結(jié)論：在拋物線上（除點B外）存在點M，使得S△MAC=S△ABC，點M的坐標為（-4，5）求解思路：例1、如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）．（1）求拋物線的解析式；(ｙ＝ｘ２+2ｘ－3）變式3、設(shè)點Q是拋物線（在第一象限內(nèi)）上的一個動點，是否存在一點Q，使S△QAC=S△BAC，若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．解析：因為S△QAC=S△ABC且同底,所以Q點到直線AC的距離等于B點到直線AC的距離的一半，所以可過高的中點作直線AC與拋物線的交點即為所求；也可把直線AC向上平移的距離是平移到點B距離的一半得直線。求解思路：（1）、求直線AC的解析式：y=-x-3;

(2)、設(shè)直線QM的解析式為y=-x+b;

(3)、把線段AB的中點M(-1,0)代入y=-x+b中得b=-1,所以直線QM的解析式為y=-x-1；（4）、把y=-x-1與ｙ＝ｘ２+2ｘ－3聯(lián)立所得的解即得點Q的坐標(合題意),（舍去）（5）寫結(jié)論：在拋物線上（除點B外）存在點Q，使得S△QAC=S△ABC，點M的坐標為（解法一）（解法二）求解思路：（1）、求直線AC的解析式：y=-x-3;

(2)、求經(jīng)過B點且平行于AC的直線解析式為y=-x+1，所以直線AC沿y軸向上平移了4個單位長度;

(3)、把直線AC沿y軸向上平移了4×=2個單位長度得直線GQ的解析式為y=-x-1；（4）、把y=-x-1與ｙ＝ｘ２+2ｘ－3聯(lián)立所得的解即得點Q的坐標(合題意),（舍去）（5）寫結(jié)論：在拋物線上（除點B外）存在點Q，使得S△QAC=S△ABC，點M的坐標為例1、如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）．（1）求拋物線的解析式；(ｙ＝ｘ２+2ｘ－3）變式4、設(shè)點Q是拋物線（在第一象限內(nèi)）上的一個動點，是否存在一點Q，使S△QBC=S△ABC，若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由解析：因為S△QBC=S△DBC且同底,所以點Q到直線BC的距離是點D到直線BC的距離的，所以直線BC平移到Q點的距離是平移到D點距離的（1）、求直線AC的解析式：y=-x-3;

(2)、求經(jīng)過B點且平行于AC的直線解析式為y=-x+1，所以直線AC沿y軸向上平移了4個單位長度;

(3)、把直線AC沿y軸向上平移了4×=3個單位長度得直線OQ的解析式為y=-x；（4）、把y=-x與ｙ＝ｘ２+2ｘ－3聯(lián)立所得的解即得點Q的坐標(合題意),（舍去）（5）寫結(jié)論：在拋物線上（除點B外）存在點Q，使得S△QAC=S△ABC，點M的坐標為求解思路：例1、如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）．（1）求拋物線的解析式；(ｙ＝ｘ２+2ｘ－3）變式5、若點P為第三象限內(nèi)拋物線上的一點，設(shè)△PAC的面積為S，求S的最大值并求出此時點P的坐標；解析：因為S△PAC的面積最大

且底不變，由（1）所得結(jié)論知經(jīng)過P點的直線與直線AC的距離最大,所以作AC的平行線與拋物線有且只有一個交點時，S△PAC的面積最大

求解思路：（1）、求直線AC的解析式：y=-x-3;

(2)、設(shè)過P點的直線解析式為y=-x+b;（3）、把y=-x+b與ｙ＝ｘ２+2ｘ－3聯(lián)立消y得ｘ２+3ｘ－3-b=0，此方程有兩個相等的實數(shù)根，所以△=4b+21=0，∴b=∴過P點的直線解析式為y=-x-；(4)、把y=-x-與ｙ＝ｘ２+2ｘ－3聯(lián)立所得的解即為P點的坐標（5）寫結(jié)論：在第三象限的拋物線上存在點P，使得S△PAC

最大為，點P的坐標為例1、如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）．（1）求拋物線的解析式；(ｙ＝ｘ２+2ｘ－3）變式6、若點P為第三象限內(nèi)拋物線上的一點，設(shè)四邊形ABCP的面積為S，求S的最大值并求出此時點P的坐標；

解析：因為S四ABCP=S△ABC+S△PAC,且S△ABC的面積不變，所以只需S△PAC最大即可，由（5）所得結(jié)論知P時，S四ABCP最大為學(xué)后提升1、通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你學(xué)到了解決哪些面積問題的方法？用平移法解決平面直角坐標系中的面積倍分問題和面積最值問題（三）課后作業(yè)1、如圖，拋物線頂點坐標為點C（1，4），交x軸于點A（3，0），交y軸于點B．（1）求拋物線和直線AB的解析式；（2）求△