全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試卷及答案

二OO一年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽題

（10月4日上午8：00—9：40）

三總成

題號(hào)―*二合計(jì)加試

131415績(jī)

得分

評(píng)卷

人

復(fù)核

人

學(xué)生注意：1、本試卷共有三大題(15個(gè)小題)，全卷滿分150分。

2、用圓珠筆或鋼筆作答。

3、解題書(shū)寫(xiě)不要超過(guò)裝訂線。

4、不能使用計(jì)算器。

一、選擇題(本題滿分36分，每小題6分)

本題共有6個(gè)小是題，每題均給出(A)(B)(C)(D)四個(gè)結(jié)論，其中有且僅有

一個(gè)是正確的。請(qǐng)將正確答案的代表字母填在題后的括號(hào)內(nèi)，每小題選對(duì)得6分；

不選、選錯(cuò)或選的代表字母超過(guò)一個(gè)(不論是否寫(xiě)在括號(hào)內(nèi))，一律得0分。

1、已知a為給定的實(shí)數(shù)，那么集合乂=以尿2-3乂-￡+2=0〃￡國(guó)的子集的個(gè)數(shù)為

(A)1(B)2(C)4(D)不確定

2、命題1：長(zhǎng)方體中，必存在到各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)；

命題2：長(zhǎng)方體中，必存在到各棱距離相等的點(diǎn)；

命題3：長(zhǎng)方體中，必存在到各面距離相等的點(diǎn)；

以上三個(gè)命題中正確的有

(A)0個(gè)(B)1個(gè)(C)2個(gè)(D)3個(gè)

3、在四個(gè)函數(shù)y=sin|x|,y=cos|x|,y=|ctgx|,y=lg|sinx|中以？為周期、在（0,

-)上單調(diào)遞增的偶函數(shù)是

2

(A)y=sin|x|(B)y=cos|x|(C)y=|ctgx|(D)y=lg|sinx|

4、如果滿足NABC=60°,AC=12,BC=k的/ABC恰有一個(gè)，那么k的取值范圍是

(A)k=8V3(B)0<k^l2(02(D)0<kW12或Z=

210002000

5.若(1+x+x)的展開(kāi)式為ao+a]x+a2x2H--Fa2ooox,

則ao+a3+ae+a9H---Fa叨s的值為().

(A)3333(B)3666(C)3頰(D)3201n

6.已知6枝玫瑰與3枝康乃馨的價(jià)格之和大于24,而4枝攻瑰與5枝康乃馨的價(jià)格

之和小于22元，則2枝玫瑰的價(jià)格和3枝康乃馨的價(jià)格比較，結(jié)果是().

(A)2枝玫瑰價(jià)格高(B)3枝康乃馨價(jià)格高

(C)價(jià)格相同(D)不確定

二、填空題(本題滿分54分，每小題9分)

7.橢圓P=1/(2-cos0)的短軸長(zhǎng)等于.

8、若復(fù)數(shù)Zi,Z2滿足|z1=2,%|=3,3z「2z2=3-l,則zg=。

2

9、正方體ABCD—ABCD的棱長(zhǎng)為1,則直線A,C,與BD1的距離

是0

有種栽種方案。

解答題(本題滿分60分，每小題20分)

13、設(shè)｛aj為等差數(shù)列，匕｝為等比數(shù)列，且々=才，名=寸，4=蜻(a,<a2)，又

lim（仇+-+…+a）=拒+1,試求｛an｝的首項(xiàng)與公差。

〃一>+30

2

14、設(shè)曲線G:三+V=1（a為正常數(shù)）與Cz：y2=2（x+m）在x軸上方公有一個(gè)公共點(diǎn)P。

a

（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍（用a表示）；

（2）0為原點(diǎn)，若G與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A,當(dāng)0<a<L時(shí)，試求/0AP的面積

2

的最大值（用a表示）。

15、用電阻值分別為a1、a2>a3>a4>a5^a6>（a1>a2>a3>a,i>a5>a6）的電阻組裝成一個(gè)

如圖的組件，在組裝中應(yīng)如何選取電阻，才能使該組件總電阻值最??？證明你的結(jié)論。

二O。一年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽加試試題

（10月4日上午10：00—12：00）

學(xué)生注意：1、本試卷共有三大題，全卷滿分150分。

2、用圓珠筆或鋼筆作答。

3、解題書(shū)寫(xiě)不要超過(guò)裝訂線。

4、不能使用計(jì)算器。

一、（本題滿分50分）

如圖：/ABC中，。為外心，三條高AD、BE、CF交于點(diǎn)H,直線ED和AB交于點(diǎn)M,

FD和AC交于點(diǎn)N。求證：(1)0B1DF,0C1DE；(2)0H±MNo

二、（本題滿分50分）

設(shè)Xi，0(I=l,2,3,???,11)且如,2+2Z隈與=1求之巧的最大值與最小值。

i=l\<k<j<nVJi=\

三、（本題滿分50分）

將邊長(zhǎng)為正整數(shù)m,n的矩形劃分成若干邊長(zhǎng)均為正整數(shù)的正方形，每個(gè)正方形的邊均

平行于矩形的相應(yīng)邊，試求這些正方形邊長(zhǎng)之和的最小值。

2001年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

—.選擇題：CBDDCA

1.已知a為給定的實(shí)數(shù)，那么集合乂={x|x3x—a'+2=0,xeR）

的子集的個(gè)數(shù)為（）.

A.1B.2C.4D.不確定

講解：M表示方程X?—3x—aZ+2=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解集.由于A=l+4a2

>0,所以M含有2個(gè)元素.故集合M有2之=4個(gè)子集，選C.

2.命題1：長(zhǎng)方體中，必存在到各頂點(diǎn)距高相等的點(diǎn).

命題2：長(zhǎng)方體中，必存在到各條棱距離相等的點(diǎn)；

命題3：長(zhǎng)方體中，必存在到各個(gè)面距離相等的點(diǎn).

以上三個(gè)命題中正確的有（）.

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

講解：由于長(zhǎng)方體的中心到各頂點(diǎn)的距離相等，所以命題1正確.對(duì)于命題2和命

題3,一般的長(zhǎng)方體（除正方體外）中不存在到各條棱距離相等的點(diǎn)，也不存在到各

個(gè)面距離相等的點(diǎn).因此，本題只有命題1正確，選B.

3.在四個(gè)函數(shù)y=sin|x|、y=cos|x|、y=|ctgx|、y=

IgIsinx|中，以n為周期、在（0,JT/2）上單調(diào)遞增的偶函數(shù)是（）.

A.y=sin|x|B.y=cosIx|

C.y=|ctgx|D.y=lg|sinx|

講解：可考慮用排除法.y=sin|x|不是周期函數(shù)（可通過(guò)作圖判斷），排

除A；y=cosIx|的最小正周期為2口，且在（0,n/2）上是減函數(shù)，排除

B；丫=|（:18*|在（0,n/2）上是減函數(shù)，排除C.故應(yīng)選D.

4.如果滿足NABC=60°,AC=12,BC=k的aABC恰有一個(gè)，那么k

的取值范圍是（).

A.k=sMB.0<kW12

C.k212D.0<kW12或％=86

講解：這是“已知三角形的兩邊及其一邊的對(duì)角，解三角形”這類(lèi)問(wèn)題的一個(gè)逆向

問(wèn)題，由課本結(jié)論知，應(yīng)選結(jié)論D.

說(shuō)明：本題也可以通過(guò)畫(huà)圖直觀地判斷，還可以用特殊值法排除A、B、C.

5.若(1+x+x2)儂°的展開(kāi)式為ao+aix+azxz+i+a荻ox.,

則a0+a3+a6+a9T---------Fa瞬的值為().

A.3333B.3666C,3999D.32001

講解：由于要求的是展開(kāi)式中每間降兩項(xiàng)系數(shù)的和，所以聯(lián)想到1的單位根，用特

殊值法.

取3=—(1/2)+(有/2)i,貝！J33=1,G)2+w+1=0.

令x=1,得

31000=a°+ai+a?+a3+…+a2000；

令x=3,得

J

0=a0+a1w+a20+,,,+a2000°"°°°；

令x=32,得

O=a()+ai3'+a23"+a33"+…+a20000",IJO.

三個(gè)式子相加得

1000

3=3(ao+a3+a6+-+a1998).

a0+a3+a6+，"+a1998=3"'"，選C.

6.已知6枝玫瑰與3枝康乃馨的價(jià)格之和大于24,而4枝攻瑰與5枝康乃馨的價(jià)

格之和小于22元，則2枝玫瑰的價(jià)格和3枝康乃馨的價(jià)格比較，結(jié)果是().

A.2枝玫瑰價(jià)格高B.3枝康乃馨價(jià)格高

C.價(jià)格相同D.不確定

講解：這是一個(gè)大小比較問(wèn)題.可先設(shè)玫瑰與康乃馨的單價(jià)分別為X元、y元，則

由題設(shè)得，

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在條件①、②的約束下，比較2x與3y的大小.有以下兩種解法：

解法1：為了整體地使用條件①、②，令6x+3y=a,4x+5y=b,聯(lián)立解得x=

(5a-3b)/18,y=(3b-2a)/9.

.,.2x—3y=???=(11a—12b)/9.

*/a>24,b<22,

.*.11a-12b>11X24-12X22=0.

/.2x>3y,選A.

圖1

解法2：由不等式①、②及x>0、y>0組成的平面區(qū)域如圖1中的陰影部分(不

含邊界).令2x—3y=2c,則c表示直線I：2x—3y=2c在x軸上的截距.顯

然，當(dāng)1過(guò)點(diǎn)(3,2)時(shí)，2c有最小值為0.故2x—3y>0,即2x>3y,選A.

說(shuō)明：(1)本題類(lèi)似于下面的1983年一道全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題：

已知函數(shù)M=f(x)=ax2—c滿足：一4Wf(1)W—1,一IWf(2)W5,

那么f(3)應(yīng)滿足().

A.-7Wf(3)W26B.-4Wf(3)W15

C.—lWf(3)W20D.-28/3Wf(3)W35/3

(2)如果由條件①、②先分別求出x、y的范圍，再由2x—y的范圍得結(jié)論,

容易出錯(cuò).上面的解法1運(yùn)用了整體的思想，解法2則直觀可靠，詳見(jiàn)文[1].

填空題

半&一*存9.A

10.(0,l)U(l,2S)U(4,+oo)11.[l,-1)U[2,+oo)12.732

7.橢圓P=1/(2-cos0)的短軸長(zhǎng)等于.

講解：若注意到極點(diǎn)在橢圓的左焦點(diǎn)，可利用特殊值法；若注意到離心率e和焦參數(shù)p

(焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離)的幾何意義，本題也可以直接求短半軸的長(zhǎng).

=。+。=1

解法1:由)=a—c=l/3得

a=2/3,從而b=半，故2b=￥

解法2：由6=(:/a=1/2,p=b'/c=l及b'=a2—c°,得

iV3IIOL2-73

b=——.從而2b=-----.

33

說(shuō)明：這是一道符合教學(xué)大綱而超出高考范圍的試題.

8.若復(fù)數(shù)z?、z2滿足Iz?I=2,|Z3I=3,3ZL2zz=(3/2)—i,則z「z

2=?

講解：參考答案給出的解法技巧性較強(qiáng)，根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，用復(fù)數(shù)的三角形式似乎更符

合學(xué)生的思維特點(diǎn)，而且也不繁.

令Zi=2(cosa+isina),z2=3(cos0+isinB),則由3z1

-2Z2=(3/2)一i及復(fù)數(shù)相等的充要條件，得

即

二式相除，得tg(a+B)/2)=3/2.由萬(wàn)能公式，得

sin(a+B)=12/13,cos(a+B)=—5/13.

故z-z2=6[cos(a+B)+isin(a+B)]

=-(30/13)+(72/13)i.

說(shuō)明：本題也可以利用復(fù)數(shù)的幾何意義解.

9.正方體則直線AiC?與BD?的距離是

講解：這是一道求兩條異面直線距離的問(wèn)題，解法較多，下面給出一種基本的解法.

圖2

為了保證所作出的表示距離的線段與A?C?和BD?都垂直，不妨先將其中一條直線置

于另一條直線的垂面內(nèi).為此，作正方體的對(duì)角面BDDiB-則A|Ci_L面BDD1B1，

且BD?U面BDD?B一設(shè)A】C?AB?D1=0,在面BDD?B?內(nèi)作0H，BD?,垂足

為H,則線段OH的長(zhǎng)為異面直線AiCi與BDi的距離.在RtZ\BB|D|中，OH等于

斜邊BD,上高的一半，即011=m/6.

10.不等式I(1/1og”2X)+2|>3/2的解集為.

講解：從外形上看，這是一個(gè)絕對(duì)值不等式，先求得1ogsxV—2,或一2/7V1

og1/2x<0,或1og,/2x>0.

從而x>4,或1VXV2”“，或OVxVl.

11.函數(shù)y=x+-3x+2的值域?yàn)?

講解：先平方去掉根號(hào).

由題設(shè)得(y—x)2=X2-3X+2,則*=(y-2)/(2y-3).

由yex,得y?(y2-2)/(2y-3).解得l〈y<3/2,或y?2.

由于五2-3x+2能達(dá)到下界。所以函數(shù)的值域?yàn)閇1,3/2)U[2,+8).

說(shuō)明：(1)參考答案在求得iWyV3/2或y22后，還用了較長(zhǎng)的篇幅進(jìn)行了一番

驗(yàn)證，確無(wú)必要.

(2)本題還可以用三角代換法和圖象法來(lái)解，不過(guò)較繁，讀者不妨一試.

圖3

12.在一個(gè)正六邊形的六個(gè)區(qū)域栽種觀賞植物(如圖3),要求同一塊中種

同一種植物，相鄰的兩塊種不同的植物.現(xiàn)有4種不同的植物可供選擇，則有

_____________種栽種方案.

講解：為了敘述方便起見(jiàn)，我們給六塊區(qū)域依次標(biāo)上字母A、B、C、D、E、

F.按間隔三塊A、C、E種植植物的種數(shù)，分以下三類(lèi).

(1)若A、C、E種同一種植物，有4種種法.當(dāng)A、C、E種植后，B、D、

E可從剩余的三種植物中各選一種植物(允許重復(fù))，各有3種方法.此時(shí)共有

4X3X3X3=108種方法.

(2)若A、C、E種二種植物，有P/種種法.當(dāng)A、C、E種好后，若A、

C種同一種，則B有3種方法，D、F各有2種方法；若C、E或E、A種同一種，

相同(只是次序不同).此時(shí)共有PJX3(3X2X2)=432種方法.

(3)若A、C、E種三種植物，有種種法.這時(shí)B、D、F各有2種種方

法.此時(shí)共有P「X2X2X2=192種方法.

根據(jù)加法原理，總共有N=108+432+192=732種栽種方案.

說(shuō)明：本題是一個(gè)環(huán)形排列問(wèn)題.

三.解答題

13.設(shè)所求公差為"，VaVaz,：.d>0.由此得

山⑷+24)2=(%+d)4化簡(jiǎn)得：2al2+4°3+1=0

解得：d=(-2土6M...................................................................................5分

而-2±丘<0,故&V0

若d=(-2—")％，貝！Jq=^-=(41+I)2

a\

2

若d=(—2+歷)。］,貝(J夕=—^~=(?—1)2.........................10分

%

但加(4+(+…+%)=拒+1存在,故|q|<1,于是4="1+1)2不可能.

"T+CO

2

從而--------=yp2+1na：=(26-2)(>/2+1)=2

1-(V2-1)2

所以,=-無(wú)，d=(-2+7I)q=2后-2.........................20分

尸2_1

14.解：(1)由</+)消去y得：x2+2a2x+2a2m-a2=0①

y2-2(x+m)

T^.f(x)=x2+2a2x+2a2m-a2,問(wèn)題(1)化為方程①在(—a,a)上有唯一解或等

根.

只需討論以下三種情況：

1°△=()得：m=a—},此時(shí)瑪=-at當(dāng)且僅當(dāng)一a<—即0<a<l時(shí)

2

適合；

2°f(a)f(—a)V0,當(dāng)且僅當(dāng)一a</<a；

3°f(—a)=0得力=a,此時(shí)局>=a—2a2,當(dāng)且僅當(dāng)一a<a—2a?Va,即OVaV

1時(shí)適合.

/1(a)=0得力=-a,此時(shí)4=-a—2a,,由于一a—2a2V—a,從而加齊一a.

綜上可知，當(dāng)OVa<l時(shí)，機(jī)=^^或一aV/Wa；

2

當(dāng)時(shí)，—a〈m〈a.......................................

10分

(2)△物產(chǎn)的面積S=yayp

VO<<a<—,故一aV/z?Wa時(shí)，0<-/+1-26Va,

2

22

由唯一■性得xp=-a+a^a+i-2m

顯然當(dāng)m—a時(shí)，力取值最小.由于Xp>0,從而yp=取值最大，此時(shí)

2

yp=2y]a-a，

...S=ayja-a2.

當(dāng),"=幺5n時(shí)，Xp=-a,%=&-f,此時(shí)S=；ajl-a2.

下面比較a>ja-a~與LaJl-cJ的大?。?/p>

2

令ay]a-a2=—ay]\-a2,得a=工

23

故當(dāng)0<aW，時(shí)，a庠/wL癥/，此時(shí)5,四=工〃71萬(wàn).

322

當(dāng)時(shí)，ayla-a2>—ay]\-a2）此時(shí)S”1=a/a-a2......20分

322ax

15.解：設(shè)6個(gè)電阻的組件（如圖3）的總電阻為及，當(dāng)心=4，，=3,4,5,6,

A、癥是國(guó)、色的任意排列時(shí),，幾；最小.......................................

5分

證明如下：

1.設(shè)當(dāng)兩個(gè)電阻《、后并聯(lián)時(shí)，所得組件阻值為此則==々+5.故交換二

R&R2

電阻的位置，不改變7?值，且當(dāng)A或兄變小時(shí)，〃也減小，因此不妨取">花.

2.設(shè)3個(gè)電阻的組件（如圖1）的總電阻為此"

RRC&&+&R3+R2R3

RAB

&+R2

顯然“+尼越大，程越小，所以為使礴最

小必須取用為所取三個(gè)電阻中阻值最小的一個(gè).

3.設(shè)4個(gè)電阻的組件（如圖2）的總電阻為幾

R、

—A/WV~

-------------M-------------------------P

圖2

若記S1=￡&Rj,S2=ZRRjRk,則S、S為定值，于是

1夕</44]^i<j<k^4

_S?-舄7?2%

CL51-%見(jiàn)

只有當(dāng)花兄最小，〃曲兄最大時(shí)，&最小，故應(yīng)取同〈尼，兄〈后，&<R\,即得總

電阻的阻值最小........................................................

15分

40對(duì)于圖3把由兄、尼、尼組成的組件用等效電阻島代替.要使B最小，由3°

必需使尼〈屈且由1°應(yīng)使色?最小.由2°知要使危最小，必需使尼（兄，且應(yīng)使

心最小.

而由3°,要使島最小，應(yīng)使用〈后〈后且用〈兄VA,

這就說(shuō)明，要證結(jié)論成立...............................................

20分

2001年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽加試參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

一.證明：（1）:爾aD、尸四點(diǎn)共圓

ABDF=ABAC

又/如仁，（180。一4BOO=90°-ABAC

2

,OBVDF.

：.MC2-Mlf=AC2-AH2①

■:BE工NA

:.NB2-NH2^AB2-AH'2②

,：DAVBC

:.BD2-CD'2=BA2-AC2③

,?OBIDF

:.BN2-BD2=ON2-OD2④

OC工DE

：.CM2-CD2=OM2-OD2⑤...................................................30分

①一②+③+④一⑤，得

NH2-MH』ON2-OM2MO2-NO2-NH2

：.OHLMN...............................................................................................50分

另證：以比'所在直線為x軸，〃為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,

設(shè)4(0,a),B(b,0),C(c,0),則k^--,k^--

ACcAnb

???直線4。的方程為y=-g(x-c),直線6￡的方程為》=￡(工-力

y=一(x-b)2.122I

由,得一點(diǎn)坐標(biāo)為(，

a、E""t"；一絲’)

y=---a(.x-c)a+ca"+c

c

同理可得同Jc，4節(jié)）

直線力。的垂直平分線方程為y-q=￡(x，)

2a2

直線%的垂直平分線方程為x="

2

y--=-(x--),,2

由2a2得0(小￡,包士L)

2

x=-b-+--c-2a

I2

bc+a1

,_2a_bc+a2_ab2-abc_ab-ac

kB==

°b+ch~^b，DF=a2bse=1^

2

：.OBVDF

同理可證OC工DE.

在直線座的方程y=￡(x-力中令x=0得〃(0,

aa

bc+a~be

?f_2a+a_4、+3bc

一ox^-ah+ac

~1T

直線加的方程為丁=絲二竺X

a~+bc

ab-ac

x

y=―—―a%+加2abc-ac2、

由4a+be得N(

ci~+2bc—c~a2+2hc-c~

y^--(x-c)

同理可得〃(段片,累臉)

a(b2-c2)(a2+be)_ab+ac

(c-b)(a2+bc)(a2+3bc)a2+3》c

:松?兒v=—1,：?OH1MN.

二解：先求最小值，因?yàn)?Z%i)2=￡毛2+2ZJ~^xkxj-1n

/=1/=1\<k<j<nVJi=l

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)存在，使得x=l,毛=0,j=i

???￡毛最小值為i.........................................................................................................10

i=l

分

再求最大值，令勾=?力

a+22均以=1①

k=il<k<j<n

M+%+…+%=a\

設(shè)乂工.之舊…令乃+一""=%

k=lk=\

%=勺

則①？a：+說(shuō)+…+片=1.....................................30分

令a,i=O，則M=￡VT(4「4+I)

k=\

=^4kak-^/kak+i=^/kak-^y[k^lak-y[k^l)ak

k=\k=\k=\blk=1

由柯西不等式得：

—病工廠也才吊心=[t(近-vrn-)2^

A=I攵=1k=l

等號(hào)成立？冬=...=.公―；