11-13靜力學(xué)：相圖、物理平衡復(fù)習(xí)（上）

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁(yè)/共頁(yè)第第4講靜力學(xué)化簡(jiǎn)本講導(dǎo)學(xué)本講導(dǎo)學(xué)靜力學(xué)的基本方程大家都是熟知的，對(duì)于每個(gè)物體寫合力為零+合力矩為零，但是這樣的后果是常常造出一個(gè)n元一次方程組（n元不等式的處理主意我們?cè)谏弦恢v已經(jīng)部分解決）。如何省去不須要的棘手是這一講的目標(biāo)。正是“去掉所有不須要的東西”，“用同一個(gè)方程表述盡量多的情況”這樣的主意誘發(fā)了拉格朗日等人建立了理論力學(xué)。如今理論力學(xué)已經(jīng)幾乎現(xiàn)代物理的標(biāo)準(zhǔn)描述方式。知識(shí)模塊知識(shí)模塊 靜力學(xué)化簡(jiǎn)的基本原理在于，約束力是“要多大，有多大”。約束力和約束總是成對(duì)浮上，增強(qiáng)一個(gè)幾何條件，增強(qiáng)一個(gè)未知的力。倘若能讓一個(gè)約束力不浮上在方程中，方程組就會(huì)從一個(gè)元一次方程組變成元一次方程組。要知道在n很大的時(shí)候，解方程計(jì)算量大約是，從而導(dǎo)致你的運(yùn)算時(shí)光隨著增長(zhǎng)，計(jì)算準(zhǔn)確率隨著下降，其中是你一次計(jì)算犯錯(cuò)的概率。所以要干事情就是不讓約束力浮上。 第一部分：矢量力學(xué)的基本主意在垂直于約束力方向?qū)懛匠蹋簿褪歉咧刑焯炷钸兜摹霸赬X方向的分力”通過(guò)合理選取支點(diǎn)，讓一些力不浮上。注重I惟獨(dú)合外力等于0的體系才干導(dǎo)致體系不同點(diǎn)為支點(diǎn)計(jì)算力矩相同 II同一個(gè)物體挑選兩個(gè)支點(diǎn)寫方程，相當(dāng)于一個(gè)力矩方程+一個(gè)不平行于支點(diǎn)連線方向的受力方程。通過(guò)以整體為對(duì)象，將內(nèi)部互相作用消去（相當(dāng)于用目測(cè)的主意把兩個(gè)方程加了一下）即將滑動(dòng)的時(shí)候?qū)⒛Σ亮椭С至铣梢粋€(gè)決定方向，不定大小的力。然后配合矢量圖或者三力匯交解決問(wèn)題。（相當(dāng)于用目測(cè)的主意把這個(gè)式子帶入了）計(jì)算的主要復(fù)雜度來(lái)源于將方程相加時(shí)候，要把同類項(xiàng)都乘一遍，再加一遍，倘若能每次都能“用一個(gè)方程消失一個(gè)未知數(shù)”，那么你解的就是個(gè)一元一次方程，而不是元一次方程組，準(zhǔn)確概率會(huì)變成，時(shí)光變成，顯然好了無(wú)數(shù)。以5為最后目標(biāo)，以1-4為手段，絕大部分靜力學(xué)暴力計(jì)算題都可以合理時(shí)光內(nèi)解決。附加說(shuō)明兩點(diǎn) 1明了這些原理的教師命的題可以使得以上做法所有失效，參見(jiàn)出的《第29屆復(fù)賽模擬試題匯編》（六套），在下載。 2如何在壓根沒(méi)時(shí)光解方程時(shí)候，只通過(guò)解方程混分，參見(jiàn)暑期最后一節(jié)課的騙分學(xué)導(dǎo)論。

例題精講經(jīng)典老題，體味一下怎么從初學(xué)時(shí)候?qū)懭齻€(gè)方程，變化到寫兩個(gè)方程，再變化到只寫一個(gè)方程。（03年北京力學(xué)比賽決賽）如圖所示，一個(gè)半徑為R的光潔半球面固定在水平面上，ABC代表一剛性勻稱細(xì)桿，它和A、B點(diǎn)接觸均無(wú)摩擦，若圖示桿所處的位置是平衡位置，已測(cè)出AC=L，那么圖中的ABC和水平的角度可以計(jì)算出來(lái)為_(kāi)_____________。經(jīng)典老題，注重怎么樣挑選支點(diǎn)，“每一步都解出一個(gè)未知數(shù)”，避免高元方程。如圖所示，半徑分離為和的兩個(gè)勻稱圓柱體置于同一水平面上，在大圓柱上繞有一根細(xì)繩，通過(guò)細(xì)繩對(duì)大圓柱施以水平拉力。設(shè)所有接觸處的靜摩擦因數(shù)均為。為使在力的作用下，大圓柱能翻過(guò)小圓柱，問(wèn)應(yīng)滿意何條件？第28屆復(fù)賽第二題，注重怎么樣拆分體系，“每一步都解出一個(gè)未知數(shù)”，避免高元方程。二、（20分）質(zhì)量勻稱分布的剛性桿AB、CD如圖28復(fù)—2放置，A點(diǎn)與水平地面接觸，與地面間的靜摩擦因數(shù)為μA，B、D兩點(diǎn)與光潔豎直墻面接觸，桿AB和CD接觸處的靜摩擦因數(shù)為μC，兩桿的質(zhì)量均為m，長(zhǎng)度均為l.（1）已知系統(tǒng)平衡時(shí)AB桿與墻面夾角θ，求CD桿與墻面的夾角α應(yīng)滿意的條件（用α及已知量滿意的方程式表示）。（2）若μA=1.00，μC=0.866，θ=60.0°，求系統(tǒng)平衡時(shí)α的取值范圍（用數(shù)值計(jì)算求出）。θθαABCD圖28復(fù)—2

知識(shí)模塊知識(shí)模塊 第二部分：分析力學(xué)的基本主意 詳細(xì)的推導(dǎo)有興趣的學(xué)生可以翻周樂(lè)柱寫的《理論力學(xué)簡(jiǎn)明教程》。我們只講其中跟高中相關(guān)的。在滿意約束條件的情況下，約束力一定不做功，惟獨(dú)主動(dòng)力做功，因此在寫能量變化的方程的時(shí)候，惟獨(dú)主動(dòng)力會(huì)浮上，從而達(dá)到了消去約束力的目的。例題精講復(fù)習(xí)一下情景的受力求法。質(zhì)量為長(zhǎng)度為1/4圓弧的鏈條鋪在半徑為的光潔圓柱上，為了保持平衡需要在頂端加一個(gè)水平拉力。求拉力大小。質(zhì)量為長(zhǎng)度為的過(guò)山車駛過(guò)一個(gè)半徑為的軌道，速度為。求不同車廂之間的拉力隨著不同位置變化的函數(shù)。分離計(jì)算表面張力為的球形氣泡和兩段封閉的圓柱形氣泡的內(nèi)外壓強(qiáng)差。半徑為平行板電容器面積為，厚度為。充電點(diǎn)為，求兩極板之間的作使勁。已知真空中電場(chǎng)的能量密度為還是那個(gè)電容器，兩極板接電源，求兩極板之間的作使勁。還是那個(gè)電容器，將其普通面積塞上介電系數(shù)為的電介質(zhì)，求維持平衡需要的外力。兩塊充足大的導(dǎo)體板，相距為，流動(dòng)著面電流密度為的電流，兩面流動(dòng)方向相反。求為了保持平衡單位面積上需要加的外力為多少。已知真空中磁場(chǎng)能量密度為?？偨Y(jié)：使用虛功原理的條件。平衡態(tài)保守力能量和做功能順利寫出虛功原理的使用步驟尋找合適的變量（滿意約束條件的自立變量）寫出體系總能量寫出這個(gè)變量變化的時(shí)候?qū)?yīng)的做功表達(dá)式1.求圓心角為的勻質(zhì)圓環(huán)的質(zhì)心2.求勻質(zhì)半圓柱的質(zhì)心3.把這個(gè)半圓柱放在斜面上，能保持平衡。求斜面傾斜角度和摩擦系數(shù)應(yīng)該滿意的條件。

平衡吊如圖四根桿鉸接。長(zhǎng)度比為3：3：1：1。短桿長(zhǎng)度為，兩邊吊著質(zhì)量為的重物，中間放著原長(zhǎng)為的彈簧，要求平衡的時(shí)候桿和水平角度為，問(wèn)彈簧勁度系數(shù)應(yīng)該為多少。如圖做出一個(gè)半徑為半的圓形的厚度為的平行板電容器，其中是一個(gè)質(zhì)量為能繞過(guò)圓心的軸宣傳的金屬片。上下兩片接電壓。中間版接地。先讓中間的板轉(zhuǎn)出角度。問(wèn)當(dāng)前狀態(tài)是否平衡。是否穩(wěn)定。倘若穩(wěn)定，求出振動(dòng)周期；倘若不平衡求出保持平衡所需要的力矩`。將電壓條件換成上下極板帶電為各自為，中間極板帶電為，重做第一問(wèn)。如圖左右是兩面墻，中間是兩個(gè)相同的圓柱，所有地方磨擦系數(shù)充足。圓柱勻稱，質(zhì)量均為。問(wèn)體系是否可能平衡。若可以，求出平衡對(duì)應(yīng)的條件。若不能，描述體系從靜止開(kāi)始的運(yùn)動(dòng)。無(wú)限大空間彌漫密度為的水。中間放置了兩個(gè)空心硬質(zhì)球，半徑為，距離為。求保持兩球平衡所需的外力?？κ裁谞栃?yīng)（選講）兩塊面積為的間距為的金屬板對(duì)立放置。求兩塊板之間可能的電磁波的駐波頻率（只考慮垂直于板方向）我們做一個(gè)不準(zhǔn)確的但是便于理解的近似：當(dāng)溫度為的時(shí)候，能量狀態(tài)大于的態(tài)上沒(méi)有光子，能量狀態(tài)小于的態(tài)上有一個(gè)光子。求這個(gè)體系的電磁波的能量。求為了保持兩塊板平衡所需要的外力。物理世界太陽(yáng)風(fēng) 太陽(yáng)風(fēng)是從恒星上層大氣射出的超聲速等離子體帶電粒子流。在不是太陽(yáng)的情況下，這種帶電粒子流也常稱為“恒星風(fēng)”。太陽(yáng)風(fēng)是一種延續(xù)存在，來(lái)自太陽(yáng)并以200-800km/s的速度運(yùn)動(dòng)的等離子體流。這種物質(zhì)固然與地球上的空氣不同，不是由氣體的分子組成，而是由更容易的比原子還小一個(gè)層次的基本粒子——質(zhì)子和電子等組成，但它們流動(dòng)時(shí)所產(chǎn)生的效應(yīng)與空氣流動(dòng)十分相似，所以稱它為太陽(yáng)風(fēng)。 太陽(yáng)會(huì)在太陽(yáng)黑子活動(dòng)的高峰時(shí)產(chǎn)生太陽(yáng)風(fēng)暴，它是由美國(guó)“水手2號(hào)”探測(cè)器于1962年發(fā)現(xiàn)的，它是太陽(yáng)因能量的增強(qiáng)而使得自身活動(dòng)加強(qiáng)，從而向廣袤的空間釋放出大量帶電粒子所形成的高速粒子流，科學(xué)家把這一現(xiàn)象比喻為太陽(yáng)打“噴嚏”。因?yàn)樘?yáng)風(fēng)中的氣團(tuán)主要內(nèi)容是帶電等離子體，并高速闖入太空，因此它會(huì)對(duì)地球的空間環(huán)境產(chǎn)生龐大的沖擊。 1850年，一位名叫卡林頓的英國(guó)天文學(xué)家在看見(jiàn)太陽(yáng)黑子時(shí)，發(fā)現(xiàn)在太陽(yáng)表面上浮上了一道小小的閃光，它持續(xù)了約5分鐘?？诸D認(rèn)為自己碰巧看到一顆大隕石落在太陽(yáng)上。到了20世紀(jì)20年代，因?yàn)橛辛烁赖难芯刻?yáng)的儀器。人們發(fā)現(xiàn)這種“太陽(yáng)光”是普通的事情，它的浮上往往與太陽(yáng)黑子有關(guān)。例如，1899年，美國(guó)天文學(xué)家霍爾發(fā)現(xiàn)了一種“太陽(yáng)攝譜儀”，能夠用來(lái)看見(jiàn)太陽(yáng)發(fā)出的某一種波長(zhǎng)的光。這樣，人們就能夠靠太陽(yáng)大氣中發(fā)光的氫、鈣元素等的光，拍攝到太陽(yáng)的照片。結(jié)果查明，太陽(yáng)的閃光和什么隕石毫不相干，那不過(guò)是熾熱的氫的短暫爆炸而已。 在本世紀(jì)之前，這類情況對(duì)人類并沒(méi)有發(fā)生什么影響。但是，到了20世紀(jì)，人們發(fā)現(xiàn)，磁暴會(huì)影響無(wú)線電接收，各種電子設(shè)備也會(huì)受到影響。因?yàn)槿祟愒絹?lái)越依賴于這些設(shè)備，磁暴也就變得越