根軌跡分析基本概念

第四章根軌跡分析法

本章的主要內(nèi)容根軌跡的基本概念根軌跡的繪制準(zhǔn)則特殊根軌跡繪制利用根軌跡分析閉環(huán)系統(tǒng)性能4.1引言

1848年，W．R伊凡思（Evans）在“控制系統(tǒng)的圖解分析”一文中，提出了根軌跡分析法，它的基本思想是：當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)的一個(gè)或多個(gè)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)，借助于若干條繪圖法則，繪制出閉環(huán)特征根隨參數(shù)從變化時(shí)的軌跡。利用根軌跡法可以分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，計(jì)算（或估算）閉環(huán)系統(tǒng)的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)，確定閉環(huán)系統(tǒng)的某些參數(shù)對(duì)于系統(tǒng)性能的影響以及對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行校正等。

利用根軌跡法，可以：分析系統(tǒng)的性能（穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)性能、響應(yīng)的快速性）確定系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)校正裝置的綜合4.1.1根軌跡

如圖所示二階系統(tǒng)-特征方程為：閉環(huán)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：特征根為：[根軌跡]：當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中某個(gè)參數(shù)（如根軌跡增益）在某一范圍內(nèi)（如）連續(xù)變化時(shí)，閉環(huán)特征根在s平面上移動(dòng)的軌跡，稱為根軌跡。特征根為：①當(dāng)Kg=0時(shí)，s1=0,s2=-2,是開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)②當(dāng)Kg=0.64時(shí)，s1=-0.4,s2=-1.6③當(dāng)Kg=1.0時(shí)，s1=-1,s2=-1④當(dāng)Kg=2時(shí)，s1=-1+j,s2=-1-j⑤當(dāng)Kg=10時(shí)，s1=-1+3j,s2=-1-3j⑥當(dāng)Kg=∞時(shí)，s1=-1+∞j,s2=-1-∞j[討論]：4.1.2根軌跡方程（1）負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡方程-系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：

所有滿足上式的閉環(huán)特征根連接起來，即是閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡，因此這個(gè)方程就是根軌跡方程，相應(yīng)的根軌跡稱為1800根軌跡。根軌跡方程可以分解為幅值方程和相角方程如下：幅值方程：

相角方程：

或：

為便于記憶，相角方程可以表示為:（2）幅值方程、相角方程的幾何意義根據(jù)幅值條件和相角條件畫出的曲線分別稱為等幅值根軌跡和等相角根軌跡，可以證明等幅值根軌跡和等相角根軌跡是正交的。從繪制根軌跡圖的角度來看，根軌跡上的任意一點(diǎn)只要滿足相角方程，即可畫出根軌跡了，可以說相角方程是根軌跡的充分必要條件。而幅值方程的作用主要用來確定已知點(diǎn)對(duì)應(yīng)的增益。根軌跡上的點(diǎn)S（閉環(huán)極點(diǎn)）幅值滿足：相角滿足：時(shí)，負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡稱為根軌跡，正反饋系統(tǒng)的根軌跡就稱為根軌跡。

相角方程是根軌跡的充分必要條件，而幅值方程的作用主要用來確定已知點(diǎn)對(duì)應(yīng)的增益。（