中考數(shù)學一輪培優(yōu)微專題 中點問題七大模型

微專題中點問題七大模型(綿陽：2考；宜賓：3考；眉山：4考)中點問題常用性質(zhì)及常見輔助線作法：1.多個中點或平行＋中點構(gòu)造中位線；2.直角＋斜邊中點直角三角形斜邊中線；3.中線或與中點有關(guān)的線段倍長中線構(gòu)造全等；4.等腰＋底邊中點等腰三角形“三線合一”；5.三角形面積＋中點被中線分割成的兩個小三角形面積相等；6.同一邊遇垂直＋中點垂直平分線性質(zhì)；7.圓＋弦或弧的中點垂徑定理及圓周角定理模型一出現(xiàn)多個中點或平行＋中點(中點在平行線上)時，?？紤]構(gòu)造三角形中位線模型分析在三角形中，如果有中點，可構(gòu)造三角形的中位線，利用三角形中位線的性質(zhì)定理：DE∥BC且DE＝BC，△ADE∽△ABC，解決線段之間的相等或比例關(guān)系及平行問題．針對演練1．如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，E是邊CD的中點，連接OE，若∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，則∠1的度數(shù)為(

)A.50° B.40°C.30° D.20°第1題圖B2.如圖，M是△ABC的邊BC的中點，AN平分∠BAC，BN⊥AN于點N，且AB＝8，MN＝3，則AC的長是(

)A.12 B.14C.16 D.18第2題圖B模型二已知直角三角形斜邊中點，可以考慮構(gòu)造斜邊中線模型分析在直角三角形中，當遇見斜邊中點時，經(jīng)常會作斜邊上的中線，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即得到CD＝AD＝BD＝AB，而且可以得到兩個等腰三角形：△ACD和△BCD，可簡記為“直角＋中點，等腰必出現(xiàn)”．針對演練3.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的中線，且CD＝5，則△ABC的中位線EF的長是(

)A.4 B. C.5 D.第3題圖C模型三遇到三角形一邊上的中點(中線或與中點有關(guān)的線段)，考慮倍長中線法構(gòu)造全等三角形模型分析如圖，當遇見中線或者中點時，可以嘗試用倍長中線法構(gòu)造全等三角形，證明線段間的數(shù)量關(guān)系，該類型經(jīng)常會與中位線定理一起綜合應(yīng)用．4．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，連接BE并延長，交AC于點F，使得AF＝EF，求證：AC＝BE.第4題圖(證法一)證明：如解圖①，延長AD到點G，使DG＝AD，連接BG.∵BD＝CD，∠BDG＝∠CDA，AD＝GD，∴△ADC≌△GDB(SAS)．∴AC＝GB，∠G＝∠EAF，又∵AF＝EF，∴∠EAF＝∠AEF，∵∠AEF＝∠BED，∴∠G＝∠BED.∴BE＝BG，∴AC＝BE.第4題解圖①(證法二)證明：如解圖②，延長ED到點G，使得DG＝DE，連接CG.∵點D是BC的中點，∴BD＝CD.∵∠BDE＝∠CDG，∴△BED≌△CGD(SAS)．∴∠G＝∠BED，BE＝CG.∵AF＝EF，∴∠FAE＝∠AEF＝∠BEG.∴∠G＝∠EAF.∴AC＝GC.∴AC＝BE.第4題解圖②模型四等腰三角形中遇到底邊上的中點，常聯(lián)想“三線合一”的性質(zhì)模型分析如圖，等腰三角形中有底邊上的中點時，常作邊的中線，利用等腰三角形底邊中線、高線、頂角平分線“三線合一”的性質(zhì)得到：∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，解決線段相等及平行問題、角度之間的相等問題．針對演練5.如圖，在△ABC中，D是AB上一點，AD＝AC，AE⊥CD，垂足為點E，F(xiàn)是BC的中點，若BD＝16，則EF的長為________．第5題圖8模型五中線等分三角形面積模型分析如圖，AD是△ABC的中線，則S△ABD＝S△ACD＝S△ABC.(△ABD與△ACD是等底同高的兩個三角形)針對演練6.在△ABC中，點D、E、F分別為BC、AD、CE的中點，且S△ABC＝16，則S△DEF＝(

)A.2 B.8C.4 D.1第6題圖A模型六遇到三角形一邊垂線過這邊中點時，利用垂直平分線的性質(zhì)模型分析如圖，當三角形一邊垂線過這邊中點時，可以考慮用垂直平分線的性質(zhì)得到AE＝BE，證明線段間的數(shù)量關(guān)系．針對演練7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，點D是AB的中點，過點D作DE⊥AB交BC的延長線于點E，則CE

的長為________．第7題圖8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，若CD＝5，則AE＝_________.第8題圖模型七遇到圓中弦(或弧)的中點，利用垂徑定理及圓周角定理模型分析如圖，(1)O是直徑的中點，常與已知中點連接，或過點O作一邊的平行線或垂線構(gòu)造中位線；(2)圓中遇到弦的中點，聯(lián)想“垂徑定理”，出現(xiàn)“四中點一垂直”解決相應(yīng)問題；(3)圓中遇到弧的中點，利用“一等四等”、“垂徑定理”解決相應(yīng)問題．針對演練9.如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，OD⊥BC于點D，AC＝6，則OD的長為(

)A.2

B.3

C.3.5

D.4