考點(diǎn)34直線和圓的方程-2019年浙江新高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過+含解析

考點(diǎn)34直線和圓的方程

。、旁擁原攵

一、直線方程和兩直線的位置關(guān)系

1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素.

2.理解直線的傾斜角和斜率的概念及相互間的關(guān)系，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.

3.掌握直線方程的幾種形式（點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式及一般式），了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.

4.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.

5.會(huì)求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo).

6.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離.

二、圓的方程及點(diǎn)、線、圓的位置關(guān)系

1.掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.

2.能判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.

3.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問題.

4.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題.

一、直線

（一）直線的傾斜角與斜率

1.直線的傾斜角

（1）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與x軸相交的直線，把x軸所在的直線繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針方

向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)過的最小正角稱為這條直線的傾斜角.當(dāng)直線/與X軸平行或重合時(shí)，規(guī)定

它的傾斜角為0°.

（2）范圍：直線/傾斜角的范圍是［0°,180。）.

2.斜率公式

（1）若直線/的傾斜角2W90。，則斜率Z=tana.

y-y.

⑵PR，M），*，”）在直線/上，且收2,則直線/的斜率仁2厚

（-）直線的方程

1.直線方程的五種形式

方程適用范圍

①點(diǎn)斜式：y-=A;（x-xi）不包含直線x=%

②斜截式：y=kx+b不包含垂直于X軸的直線

不包含直線工=毛（毛=毛）和直

J.V-vsx-x

③兩點(diǎn)式：-~—=——-

毛一再線1'=弘。'1=乃）

不包含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的

④截距式：—I--=1

ab線

⑤一般式：Xx+約+C=O（&B不全為0）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用

2.必記結(jié)論

常見的直線系方程

（1）過定點(diǎn)P（x（）,九）的直線系方程：A（x—x（））+B（y-y^+CnfXT+B2，。）還可以表示為y—%=&（x-

沏），斜率不存在時(shí)可設(shè)為x=須.

（2）平行于直線Ax+B），+C=O的直線系方程：Ar+By+G=O（C#C）.

（3）垂直于直線Ax+B），+C=O的直線系方程：8x-Ay+G=0.

（4）過兩條已知直線Aix+B]y+G=O,A2x+82y+C2=0交點(diǎn)的直線系方程：A[%+S,y+C\+2（Aix+

B2y+C2）=0（其中不包括直線A2X+B2）：+C2=O）.

（三）兩條直線的位置關(guān)系

—x+ah：4%+3]j+G=o

斜截式f▼'=左/+與一般式.+G=°

/1與，2相交區(qū)工傷4%—h0

4與垂直kyk2=—144+B]B[=0

-43]=0-44=0

4與4平行%=—且二w區(qū)V

3]G—殳G+o或4G—4G工o

4與4重合k、=k?日.b]=Z?2-應(yīng)用=4c2—=B]C]—B[C]=0

注意：（1）當(dāng)兩條直線平行時(shí)，不要忘記它們的斜率不存在時(shí)的情況；（2）當(dāng)兩條直線垂直時(shí)，不要

忘記一條直線的斜率不存在、另一條直線的斜率為零的情況.

（四）兩條直線的交點(diǎn)

對(duì)于直線/1：A|x+Biy+G=O,4：A2x+B2y+C2—0<

'^x+^y+Cj=0

/t與，2的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組56+&J+C?=°的解.

（1）方程組有唯一解04與相交，交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解；

（2）方程組無(wú)解

（3）方程組有無(wú)數(shù)解0（與4重合.

（五）距離問題

（1）平面上任意兩點(diǎn)PG”力），尸2（物力澗的距離島心戶加七一百1+Srj.

（2）點(diǎn)Po（xo,刈）到直線/：Ar+By+C=0的距離d="+爐.

（3）兩條平行線Ax+By+C^O與Ax+By+C2=0（G#C2）間的距離d=.

VA2+B2

（六）對(duì)稱問題

x=\_\

（1）中心對(duì)稱：點(diǎn)B（x,y）為點(diǎn)與C（W，%）的中點(diǎn)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式為12

v2i121

’=2

fPP_直幺卻

（2）軸對(duì)稱：若點(diǎn)尸關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)為一，則<...,,.

尸與p的中點(diǎn)在/上

二、圓

（一）圓的方程

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的一般方程

定義在平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓，確定一個(gè)圓最基本的要素是圓心和半徑

方程(x-o)2+(X-6)2=r2(r>0)x2+y2-hDx-kEy-hF=0(D:+￡2-4F>0)

圓心(a,b)(-衿)

半徑r-^D2+E2-4F

2

（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程明確地表現(xiàn)出圓的幾何要素，即圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)；

區(qū)別與

（2）圓的一般方程的代數(shù)結(jié)構(gòu)明顯，圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)需要通過代數(shù)運(yùn)算才能得出；

聯(lián)系

（3）二者可以互化：將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開可得一般方程，將圓的一般方程配方可得標(biāo)準(zhǔn)方程

DE

注：當(dāng)DW-4F=0時(shí)，方程x+^+Dx+Ey+F=0表示一個(gè)點(diǎn)（-y,-y）；當(dāng)D2+E^-4F<0時(shí)，方

程X1+y1+Dx+Ey+F=O沒有意義，不表示任何圖形.

（-）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

標(biāo)準(zhǔn)方程的形式一般方程的形式

點(diǎn)（沏，加）在圓上（天-萬(wàn)+（線-獷=/君+D七+&0+F=0

::2

點(diǎn)（的，然）在圓外(^-a)+(v-0-5)>r君+y；+%+&o+F>O

點(diǎn)、（刈，yo）在圓內(nèi)（與一。）、5-6）晨/君+君+%+Ey0+F<0

（三）必記結(jié)論

（1）圓的三個(gè)性質(zhì)

①圓心在過切點(diǎn)且垂直于切線的直線上；

②圓心在任一弦的中垂線上；

③兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線.

（2）兩個(gè)圓系方程

具有某些共同性質(zhì)的圓的集合稱為圓系，它們的方程叫圓系方程.

①同心圓系方程：+=其中。，6為定值，'是參數(shù)；

②半徑相等的圓系方程：（x-a）2+G'-&y=/O>°）,其中r為定值，a,b為參數(shù).

（四）直線與圓的三種位置關(guān)系

（1）直線與圓相離，沒有公共點(diǎn)；

（2）直線與圓相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)；

（3）直線與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn).

（五）直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法

判斷方法直線與圓的位置關(guān)系

d>r

直線與圓相離

幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑長(zhǎng)

，?的大小關(guān)系來(lái)判斷d=r直線與圓相切

d<r直線與圓相交

J<0方程無(wú)實(shí)數(shù)解，直線與圓相離

代數(shù)法：聯(lián)立直線與圓的方程，消元后得

到關(guān)于X（或y）的一元二次方程，根據(jù)4=0方程有唯一的實(shí)數(shù)解，直線與圓相切

一元二次方程的解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷

J>0方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，直線與圓相交

（六）圓與圓的位置關(guān)系

兩圓的位置關(guān)系

外切

1兩圓有唯一公共點(diǎn)

，相切

內(nèi)切

內(nèi)含

，相離兩圓沒有公共點(diǎn)

外離

相交兩圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)

（七）圓與圓位置關(guān)系的判斷

圓與圓的位置關(guān)系的判斷方法有兩種：

（1）幾何法：由兩圓的圓心距”與半徑長(zhǎng)凡r的關(guān)系來(lái)判斷（如下圖，其中R>r）.

外離外切相交內(nèi)班內(nèi)含

（2）代數(shù)法：設(shè)圓C：,產(chǎn)+/+0工+后y+尸產(chǎn)。①，圓Ci：x2+y,+D2x+E2y+F2=0②，

聯(lián)立①②，如果該方程組沒有實(shí)數(shù)解，那么兩圓相離；如果該方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解，那么兩圓相

切；如果該方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解，那么兩圓相交.

.(八)兩圓相交時(shí)公共弦所在直線的方程

設(shè)圓Ci：jr2+>,2+Z)|X+￡iy+F|=O①，圓C2：jC+y2+D2x+E2y+F2=0②，

若兩圓相交，則有一條公共弦，由①一②，得(。-6)x+(Ei-E?)y+Ft-F2=O③.

方程③表示圓G與圓C2的公共弦所在直線的方程.

了盡重點(diǎn)考向.

考向一直線的傾斜角與斜率

1.由斜率取值范圍確定直線傾斜角的范圍要利用正切函的圖象，特別要注意傾斜角取值范圍的限

制.

2.求解直線的傾斜角與斜率問題要善于利用數(shù)形結(jié)合的思想，要注意直線的傾斜角由銳角變到直角及由直角

變到鈍角時(shí)，需依據(jù)正切函數(shù)y=tanx的單調(diào)性求k的范圍.

典例引領(lǐng)

典例1直線/經(jīng)過點(diǎn)A(2,l),8(1,〃/)兩點(diǎn)(加eR),那么/的傾斜角的取值范圍是

A.?[0,7t)B.[0，]U(g㈤

C.[0q]D.[―:—)L(—:7T)

【答案】B

【解析】由直線，經(jīng)過點(diǎn)次2，1),5(1,加：)兩點(diǎn)，則可利用斜率公式得左=匕工=1-療VL

2-1

五71

由左=tanc41,則傾斜角取值范圍是[0：7]UGpQ.故選B.

一

變式拓展

1.已知M（l,2）,N（4,3）,直線/過點(diǎn)尸（2,-1）且與線段MN相交，那么直線/的斜率左的取值范圍是

A.(-OO,-3]U[2,-H?)B.

3,2

C.[—3,—2]

考向二直線的方程

求直線方程的常用方法有

1.直接法：根據(jù)已知條件靈活選用直線方程的形式，寫出方程.

2.待定系數(shù)法：先根據(jù)已知條件設(shè)出直線方程，再根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于待定系數(shù)的方程（組）求系數(shù)，最后

代入求出直線方程.

3.直線在X。，）軸上的截距是直線與My）軸交點(diǎn)的橫（縱）坐標(biāo)，所以截距是一個(gè)實(shí)數(shù)，可正、可負(fù)，也可為0,

而不是距離.

4.求直線方程時(shí)，如果沒有特別要求，求出的直線方程應(yīng)化為一般式Ar+By+C=0,且A20.

典例引領(lǐng)

典例2已知2）*（3］）,則過點(diǎn)M和線段A3的中點(diǎn)的直線方程為

A.4x+2y=5B.4x-2y=5

C.x+2y=5D.x—2y-5

【答案】B

1+32+13J弓x—3

【解析】由題意可知線段48的中點(diǎn)坐標(biāo)為（一丁，、-）,即（2：）.故所求直線方程為一=k二，整

2225/2-3

2~2

理，得4x-2y-5=0,故選B.

變式拓展

2.已知直線1過點(diǎn)（-3,4）,且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12,則直線1的方程為

考向三共線問題

已知三點(diǎn)A,B,C,若直線AB,AC的斜率相同，則A,B,C三點(diǎn)共線.因此三點(diǎn)共線問題可以轉(zhuǎn)化為斜率相等

問題，用于求證三點(diǎn)共線或由三點(diǎn)共線求參數(shù).

典例引領(lǐng)

典例3若三點(diǎn)月(2,3),3(3,2),C(［M)共線，則實(shí)數(shù)，片.

【思路分析】由三點(diǎn)共線構(gòu)造兩條直線的斜率相等，問題便轉(zhuǎn)化為解方程左.=怎°.

2-3加一3

［解析］由題意得左心:三=一1'/=廠'

——2

7

???4民。三點(diǎn)共線，???左他=以「

m-3

9

'I解得m=-.

2

變式拓展

3.若三點(diǎn),4(2,2),3(q0),。(0力)(附工0)共線，則：+、=

考向四兩直線平行與垂直的判斷及應(yīng)用

由兩直線平行或垂直求參數(shù)的值：在解這類問題時(shí)，一定要“前思后想”.“前思”就是在解題前考慮斜率

不存在的可能性，是否需要分情況討論；“后想”就是在解題后，檢驗(yàn)答案的正確性，看是否出現(xiàn)增解或漏

解.

典例引領(lǐng)

典例4若直線丁=2犬一1與直線工+沖'+3=()平行，則小的值為

11

A."-B.

22

C.-2D.2

【答案】B

【解析】直線y=2x-l化為2x-y-l=0,因?yàn)?x-j-l=0與直線工+叼，+3=0平行，

解得故選B.

2-1-12

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查兩直線平行的充要條件，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握的熟練程度，屬于簡(jiǎn)單題直

接根據(jù)兩直線平行的充要條件，列出關(guān)于用的方程求解即可.

變式拓展

4.ua=\n是"直線|2°+1"+碼'+1=°和直線方一3卜+3=0垂直，，的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

考向五兩直線的相交問題

1.兩直線交點(diǎn)的求法

求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是解由兩直線方程組成的方程組，以方程組的解為點(diǎn)的坐標(biāo)，即交點(diǎn)的坐標(biāo).

2.求過兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法

求過兩直線交點(diǎn)的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程.也可借助

直線系方程，利用待定系數(shù)法求出直線方程，這樣能簡(jiǎn)化解題過程.

典例引領(lǐng)

典例5已知直線I經(jīng)過直線2x-.y-3=O和4x-3y-5=0的交點(diǎn)尸,且垂直于直線2r+3y+5=0,求直線I的方程.

【答案】直線/的方程為3x-2y-4=0.

2x-y-3=0(x-7

【解析】方法一：由'_；,解得［二*即“點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1),

b*1

3

因?yàn)橹本€1與直線2r+3y+5=0垂直，所以直線/的斜率為,

由點(diǎn)斜式得直線/的方程為3x-2y-4=0.

[2x-v-3=0

方法二：由，；..；解得人_/即點(diǎn)P的坐標(biāo)為②1）,

14x-3y-5=0廣一士

因?yàn)橹本€I與直線2x-3y-5=0垂直，所以可設(shè)直線：的方程為3x-2j-aO,把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得

3x2-2xl-c=0,解得A-4.

故直線/的方程為3x-2y-4=0.

方法三：直線I的方程可設(shè)為2X-A3-，（4X-3：5）=Q[其中上為常數(shù)），即（27，止（1-32）尸513=0,

、+4/

因?yàn)橹本€/與直線2x-3v-5=0垂直.所以暮丁?（--）=-1解得＜=1.

l+3z3

故直線/的方程為3i-2i-4=0.

變式拓展

5.已知直線3E和直線％:生什么y=i相交于點(diǎn)p（2,3）,則經(jīng)過點(diǎn)尸|（見，仇）和22（。2,歷）的直

線方程是.

考向六距離問題

1.求兩點(diǎn)間的距離，關(guān)鍵是確定兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入公式即可，一般用來(lái)判斷三角形的形狀等.

2.解決點(diǎn)到直線的距離有關(guān)的問題，應(yīng)熟記點(diǎn)到直線的距離公式，若已知點(diǎn)到直線的距離求直線方程，一般

考慮待定斜率法，此時(shí)必須討論斜率是否存在.

3.求兩條平行線間的距離，要先將直線方程中x,y的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)轉(zhuǎn)化成相等的形式，再利用距離公式求解.

也可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到直線的距離問題.

典例引領(lǐng)

典例6（1）若點(diǎn)4（2,3）,8（—4,5）到直姓I的距離相等，且直線/過點(diǎn)尸（-1,2）,則直線I的方程為

（2）若直線〃?被兩直線人工一），+1=0與/2：x-y+3=0所截得的線段的長(zhǎng)為2a，則直線，"的傾斜角

3（0為銳角）為.

【答案】（1）x+3y-5=0或x=-l；（2）15?；?5°

【解析】（I）方法一：當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直線/：x=-l,點(diǎn)A,B到直線/的距離相等，符合題意.

當(dāng)宜線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為y-2=k（x+l）,即kx-y+k+2=O.

2左一3+R+2I1—4左一5+上+211

由題意知一一二=——R=-^，即|3左一1|=|-3k—3],解得左=一，

”?+1JV+13

...直線/的方程為y-2=-；(x+l),即x+3y—5=0.

綜上，直線/的方程為x+3y-5=0或x=-l.

方法二：當(dāng)A8〃/時(shí)，有k產(chǎn)kAB=-；，直線/的方程為y—2=-g(x+1),即x+3y—5=0.

當(dāng)/過A8的中點(diǎn)時(shí)，由A8的中點(diǎn)為(-1,4),得直線/的方程為x=-1.

綜上，直線/的方程為x+3y—5=0或x=-1.

|1-3|_

<2)顯然直線/]〃〃，直線八，上之間的距離d=丁二

設(shè)直線加與A,區(qū)分別相交于點(diǎn)5,則."=2盧，

過點(diǎn)N作直線!垂直于直線A，垂足為。，則XC=g0,

在RtA.4BC中，sinZ.4BC==埠=所以乙!3c=30。，

|叫202

又直線/1的傾斜角為45°,所以直線w的傾斜角為45。-31=15。或45。-30。=75。,

故直線，”的傾斜角8=15〉或75\

變式拓展

|X1：

6.若動(dòng)點(diǎn)月用)—'分別在直線‘1：x_y_5=0/：x_y_15=0上移動(dòng)，則的中點(diǎn)P到

原點(diǎn)的距離的最小值是

D150

A.5&D.--------------

2

5&

C.1572D.-2!—

2

考向七對(duì)稱問題

解決對(duì)稱問題要抓住以下兩點(diǎn)：

(1)已知點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸垂直；(2)以已知點(diǎn)和對(duì)稱點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上.

典例引領(lǐng)

典例7已知直線/:3x-y+3=0,求：

(1)點(diǎn)尸(4,5)關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)直線x-y-2=0關(guān)于直線/對(duì)稱的直線方程.

【答案】(1)(-2,7)；(2)7x+y+22=0.

【解析】設(shè)P(xj)關(guān)于直線/:3x-v-3=0的對(duì)稱點(diǎn)為

,：kppki=-l,

vf-v_

/.-3=-l,①

X-x

又PP的中點(diǎn)在直線3x-y-3=0上，

x'+xv'+l'c

「3丁丁3=0.②

-^=4^9③

聯(lián)立①②解得二：,

/=3x+4v+3④

u5

⑴把口,尸5代入③④彳號(hào)x'=-2:j=7,

...P(4,5)關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-2,7).

3+，+3

(2)用③④分別代換A-?-2=0中的xj得關(guān)于I對(duì)稱的直線方程為--；-2=0：

即7x-y-22?0.

變式拓展

7.光線通過點(diǎn)A(2,3),在直線‘：x+y+l=°上反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)8(1,1).

(1)求點(diǎn)A(2,3)關(guān)于直線/對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)求反射光線所在直線的一般式方程.

考向八直線過定點(diǎn)問題

求解含有參數(shù)的直線過定點(diǎn)問題，有兩種方法：

(1)任給直線中的參數(shù)賦兩個(gè)不同的值，得到兩條不同的直線，然后驗(yàn)證這兩條直線的交點(diǎn)就是題目中含

參數(shù)直線所過的定點(diǎn)，從而問題得解.

(2)分項(xiàng)整理，含參數(shù)的并為一項(xiàng)，不含參數(shù)的并為一項(xiàng)，整理成等號(hào)右邊為零的形式，然后令含參數(shù)的

項(xiàng)和不含參數(shù)的項(xiàng)分別為零，解方程組所得的解即為所求定點(diǎn).

典例引領(lǐng)

典例8求證：不論初取什么實(shí)數(shù)，直線(2機(jī)-l)x+(,〃+3)y-(加-11)=0都經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定

點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】詳見解析.

【解析】證法一：對(duì)于方程(2加一1興+(附+3?-(冽-11)=0,

令加=0,得x-3y-H=0;令？”=1,得x+4j，+10=。.

解方程組｛fx-；3v-sll=c0得兩直線的交點(diǎn)為(2,-3).

將點(diǎn)(2,—3)代入已知直線方程左邊，^(2??-l)x2+(?M+3)x(-3)-(m-ll)=4?i—2-3w-9-?n+11

=0.

這表明不論加為什么實(shí)數(shù)，所給直線均經(jīng)過定點(diǎn)仁，-3).

證法二：以刑為未知數(shù)，整理為(2x+廠l)，〃+(-x+3j+U)=。.

2x+1'—1=0

由于加取值的任意性，所以；~C，解得1=2,丁=一3.

-x+3y+ll=0

所以所給的直線不論比取什么實(shí)數(shù)，都經(jīng)過定點(diǎn)(2,-3).

變式拓展

8.已知點(diǎn)A(2,O),點(diǎn)5(-2,0),直線/「/+3d+1/-14-44=0(其中丸€1<).

(1)求直線/所經(jīng)過的定點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(2)若分別過A,8且斜率為后的兩條平行直線截直線/所得線段的長(zhǎng)為46，求直線/的方程.

考向九求圓的方程

1.求圓的方程必須具備三個(gè)獨(dú)立的條件.從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來(lái)看，關(guān)鍵在于求出圓心坐標(biāo)和半徑，從圓的一

般方程來(lái)講，能知道圓上的三個(gè)點(diǎn)即可求出圓的方程，因此，待定系數(shù)法是求圓的方程常用的方法.

2.用幾何法求圓的方程，要充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)，如“圓心在圓的任一條弦的垂直平分線上”，"半徑、弦

心距、弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成直角三角形

典例引領(lǐng)

典例9圓心在)，軸上，半徑為1,且過點(diǎn)(1,3)的圓的方程是

A/+(廣2『=1B./+3+2『=1

cx*+(y-3)*=1D.^+(y+3)*=1

【答案】C

【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)為(0M),?.?圓的半徑為1,且過點(diǎn)(L3),二(0-1『+(。-3『=1,解得a=3,

二所求圓的方程為V+(y-3y=1.

故選C.

【名師點(diǎn)睛】本題考查圓的方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用半徑為1,且過

點(diǎn)(L3),即可求得結(jié)論.

變式拓展

9.已知圓C"x-6l+IJ+S)=4,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則以O(shè)C為直徑的圓的方程為

(x-3)：+(y+4)：=100(x+3)：+(y-4)2=100

2：：2

c.(x-3)+(y-4)=25D(x+3)+(y-4)=25

考向十與圓有關(guān)的對(duì)稱問題

1.圓的軸對(duì)稱性:圓關(guān)于直徑所在的直線對(duì)稱.

2.圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：

(1)求已知圓關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置；

(2)兩圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則此點(diǎn)為兩圓圓心連線的中點(diǎn).

3.圓關(guān)于直線對(duì)稱：

(1)求己知圓關(guān)于某條直線對(duì)稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置；

(2)兩圓關(guān)于直線對(duì)稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線.

典例引領(lǐng)

典例10(1)已知圓Cl：(x+1)2+(y—1)2=],圓C2與圓C|關(guān)于直線x-y—l=0對(duì)稱，則圓C2的方

程為

A.(X+2)2+(V-2):=1B.(X-2)2+(>+2):=1

C.(x+2):+(y+2)2=lD.(X-2):+G--2)2=1

(2)若圓(x+1)2+(y—3)2=9上相異兩點(diǎn)p,Q關(guān)于直線匕+2y—4=0對(duì)稱，則k的值為.

【答案】⑴B；(2)2.

【解析】(D圓。的圓心為(-1,1),半徑長(zhǎng)為1,設(shè)圓析的圓心為(a,b),

由題意得胃一空一1=0且*=一1,解得m2,>—2,

22。+1

所以圓G的圓心為(2,-2),且半徑長(zhǎng)為1,故圓6的方程為(x-2)。(VH-2)2=1.

(2)已知圓(x+1)3”=9的圓心為(—1,3),

由題設(shè)知，直線匕-2)-4=0過圓心，則"(-1)-2x3-4=0,解得卜2.

變式拓展

10.圓廣+￡一亦+2j'+l=°關(guān)于直線x—y=l對(duì)稱的圓的方程為f+y2=i,則實(shí)數(shù)a的值為

A.0B.1

C.±2D.2

考向十一與圓有關(guān)的軌跡問題

1.求軌跡方程的步驟如下：

建系，設(shè)點(diǎn)：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)曲線上任一點(diǎn)坐標(biāo)”(x,y).

寫集合：寫出滿足復(fù)合條件P的點(diǎn)M的集合口1|P(JZ)}.

列式：用坐標(biāo)表示尸(M),列出方程/(x,y)=0.

化簡(jiǎn)：化方程/(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式.

證明：證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).

2.求與圓有關(guān)的軌跡方程的方法

典例引領(lǐng)

典例11已知點(diǎn)P(2,2),圓C：x2+y2-8y=0,過點(diǎn)尸的動(dòng)直線/與圓C交于A,2兩點(diǎn)，線段A8的中

點(diǎn)為M,0為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求點(diǎn)M的軌跡方程；

(2)當(dāng)|OP|=|OM時(shí)，求直線/的方程及的面積.

18

+-

【答案】(1)M的方程為(X—1)2+(y—3)2—2；(2)/的方程為-?3△POM的面積為學(xué).

【解析】⑴圓C的方程為爐+(1-4)-=16,圓心為(0,4>,半徑r=4.

設(shè)M(x,y),則南=(x,j-4),謗(2-工2-j).

:

由題設(shè)可知而>標(biāo)=0,即：x(2-x)+(y-4)(2-y)=0:BP(x-1)+(j-3)-=2,

由于點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部，

所以點(diǎn)M的軌跡方程為(x-1)2+(v-3)-=2.

(2)由(1)可知，點(diǎn)M的軌跡方程是以N(1,3)為圓心，半徑為戲的圓，

由于|OP|=|OM，故。在線段PM的垂直平分線上，

又P在圓N上，從而ON1.PM.

因?yàn)镺N的斜率為3,

所以直線/的斜率為T

8

-

故直線/的方程為y=3

乂|OM=QP|=2/，點(diǎn)。到直線/的距離為4頁(yè)，

所以△POM的面積為學(xué).

變式拓展

11.已知點(diǎn)P(2,2),圓C：x.+y:-8j'=°,過點(diǎn)P的動(dòng)直線/與圓c交于A,3兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)

為M,。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求M的軌跡方程；

(2)當(dāng)時(shí)，求/的方程及△POM的面積.

考向十二與圓有關(guān)的最值問題

對(duì)于圓中的最值問題，一般是根據(jù)條件列出關(guān)于所求目標(biāo)的式子——函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的

特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法等，應(yīng)用不等式的性質(zhì)求出最值.特別地，要利用圓的幾何性質(zhì)，根

據(jù)式子的兒何意義求解，這正是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

典例引領(lǐng)

典例12與直線"一1'一4=0和圓x-+>+2x-2y=°都相切的半徑最小的圓的方程是

A(x+l)2+(y+l)：=2(x-l)2+(j+l)：=4

2：：：

c(x-l)+(y+l)=2D(x+l)+(y+l)=4

【答案】C

【解析】m/+]'~+2x-2j=0的圓心為,半徑為W,過圓心(-L1)與直線x-j'-4=0垂直的

直線方程為x+y=0,所求的圓心在此直線上，又圓心i-lll到直線x-y-4=0的距離為

則所求圓的半徑為設(shè)所求圓心為他乃)，且圓心在直線X-]?-4=0的左上方，則*二。,

V2

目a+6=0,解得。=1力=-1(a=3力=-3不符合，舍去)，故所求圓的方程為(x-lf+(y+1『=2,

故選C.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，計(jì)算能力，屬于中檔題.

變式拓展

12.已知方程丫+尸+4工一2》-4=0,則f+y2的最大值是

A.14—6＞/5B.14+6＞/5

C.9D.14

考向十三直線與圓的位置關(guān)系

判斷直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，通常用幾何法，其步驟是：

(1)明確圓心C的坐標(biāo)(a,b)和半徑長(zhǎng)r,將直線方程化為一般式；

(2)利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離d-,

(3)比較d與/?的大小，寫出結(jié)論.

典例引領(lǐng)

典例13若直線/：丁=丘+1伏＜°)與圓C：+(jT=2相切，則直線/與圓

D：(X—2)+J，=3的位置關(guān)系是

A.相交B.相切

C.相離D.不確定

【答案】A

【解析】因?yàn)橹本€，3=辰+1(左＜0)與圓U(x+2『+(a=2相切，所以12二+"=0,解得

JK+I

k=±1,因?yàn)樽螅?,所以k=一1,所以直線，的方程為X+J-1=0,圓D的圓心(20)到直線的距離

〃=中=￡力,所以直線1與圓。相交.故選A.

02

【名師點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系及點(diǎn)到直線的距離，屬于中檔題.判定直線與圓的位置關(guān)系可

以聯(lián)立方程，利用方程組的解的個(gè)數(shù)判斷位置關(guān)系，也可以轉(zhuǎn)化為判斷圓心到直線的距高與半徑的大小關(guān)

系來(lái)確定直線與圓位置關(guān)系,求解本題時(shí)，直線與圓相切轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離等于半徑，求出斜率左，

再根據(jù)圓。的圓心到宜線的距離，判斷其與宜線的關(guān)系

變式拓展

13.已知半圓(”-1廠*(y-2)*=4|y>2l與直線y=k\x-11+5有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)%的取值范圍

是

:在苴)

■33~

A.'B.——，一

_22一

-3⑸蘆31

r7531n-25~LT=2

C.--D.L/1」

22

考向十四圓與圓的位置關(guān)系

判斷圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，一般用幾何法，其步驟是：

(1)確定兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)；

(2)利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心距d,求為+々，|八一丹

(3)比較d，G+%|"一々|的大小,寫出結(jié)論.

典例引領(lǐng)

典例14圓。|：/+『2-2》=0和圓。2：/+/-4￥=0的位置關(guān)系是

A.相離B.相交

C.外切D.內(nèi)切

【答案】B

【解析】圓01的圓心坐標(biāo)為(1,0),半徑長(zhǎng)八=1,圓。:的圓心坐標(biāo)為(0,2),半徑長(zhǎng)巧=2,故兩圓的

圓心距d=在，而為一今=1，彳+今=3,則+々，故兩圓相交.選B.

變式拓展

14.圓心為(2,0)的圓C與圓/+「+4工一6丁+4=°相外切，則c的方程為

Ax:+v:+4x+2=0X2+V:-4X+2=0

A.BN.

x24-V24-4X=0nx2+v2-4x=0

rC.D.

考向十五圓的弦長(zhǎng)問題

1.涉及直線被圓截得的弦長(zhǎng)問題，一般有兩種求解方法：

一是利用半徑長(zhǎng)八弦心距從弦長(zhǎng)/的一半構(gòu)成直角三角形，結(jié)合勾股定理d?+（'）?=/求解;

2

二是若斜率為k的直線/與圓C交于，4（再,乃），兩點(diǎn)，則二津|=率1+左」西一七|.

2.求兩圓公共弦長(zhǎng)一般有兩種方法：

一是聯(lián)立兩圓的方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求解；

二是求出兩圓公共弦所在直線的方程，轉(zhuǎn)化為直線被圓截得的弦長(zhǎng)問題.

典例引領(lǐng)

典例15已知直線產(chǎn)質(zhì)+3與圓X，+j'~-6x—4y+5=0相交于MN兩點(diǎn)，若|MN|=2G，則k的值是

A.1或6B.1或-1

一ID.&或;

C.一2或一

2

【答案】C

【解析】由已知得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（X-3）：+。-2）：=8,則該圓的圓心為（3,2），半徑為設(shè)圓心到直線

|3左-2+3|=#，解得左=-或

的距離為d則2^=2次二不:解得必吞即22.

J1+F

故選C.

變式拓展

15.在圓x'+】”—4x+2j=°內(nèi)，過點(diǎn)M0,o）的最短弦的弦長(zhǎng)為

A.垂）B.2石

C.V3D.2A/3

考向十六圓的切線問題

1.求過圓上的一點(diǎn)（毛，為）的切線方程：

先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率&,若人不存在，則由圖形可寫出切線方程為y=%；若&=0,則由圖形可寫出

切線方程為x=%;若%存在且原0,則由垂直關(guān)系知切線的斜率為-［，由點(diǎn)斜式方程可求切線方程.

K

2.求過圓外一點(diǎn)（天,%）的圓的切線方程：

（1）幾何方法

當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為底則切線方程為J?一比=蟲＞一毛），即版一P+Jb-a=0.由圓心到直線的距離等

干半徑長(zhǎng)，即可得出切線方程.

（2）代數(shù)方法

當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為k,則切線方程為）」此=封》一天），即尸=去一七+y0,代入圓的方程，得到一個(gè)

關(guān)于x的一元二次方程，由/=0,求得匕切線方程即可求出.

3.在求過一定點(diǎn)的圓的切線方程時(shí)，應(yīng)首先判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，若點(diǎn)在圓上，則該點(diǎn)為切點(diǎn)，切線

只有一條；若點(diǎn)在圓外，切線有兩條；若點(diǎn)在圓內(nèi)，則切線不存在.

典例引領(lǐng)

典例16已知點(diǎn)產(chǎn)（0+L2-JI）,點(diǎn)M（3,1）,圓C：（X-1）。一2）2=4.

（1）求過點(diǎn)P的圓C的切線方程；

（2）求過點(diǎn)例的圓C的切線方程，并求出切線長(zhǎng).

【答案】（I）x-y+l-2V2=0：（2）過點(diǎn)M的圓C的切線方程為x—3=0或3x—4），-5=0,切線長(zhǎng)為

1

【解析】由題意得圓心C（1,2）,半徑長(zhǎng)r=2.

（1）因?yàn)椋?+1-1）2+（2-6-2）2=4，

所以點(diǎn)P在圓C上.

2-、萬(wàn)一2

又kpc=—"二二=-1,

V2+1-1

,1,

所以切線的斜率左=一二=1,

kK

所以過點(diǎn)P的圓C的切線方程是1一(2-0)=，

即x-y+1-20=0.

(2)因?yàn)?3-1)'+(1-2)'=5>4,

所以點(diǎn)〃在圓C外部.

當(dāng)過點(diǎn)”的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為、=3,

又點(diǎn)C(l,2)到直線x=3的距離加3—l=2-r,

所以直線x=3是圓的一條切線.

當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為1一1二2"一3),即以一丁+1-3Q0,

依-2+1-3左、3

則圓心C到切線的距離g'~~r==—=尸=2,解得仁；，

R+14

3

所以切線方程為J-1二二(x-3),即3x-4j?-5=0.

4

綜上可得，過點(diǎn)”的圓c的切線方程為X—3=0或3A--4T