北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練 專題1.22 特殊平行四邊形“將軍飲馬”專題（鞏固篇）（專項(xiàng)練習(xí)）

專題1.22特殊平行四邊形“將軍飲馬”專題（鞏固篇）（專項(xiàng)練習(xí)）一、單選題【知識(shí)點(diǎn)一】菱形將軍飲馬問題1．如圖，在菱形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，AB＝4，BD＝，E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，則EP＋BP的最小值為（

）A．4 B． C． D．82．如圖，在△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=120°，點(diǎn)M在邊BC上，且BM=1，點(diǎn)N是直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，則PM+PN的最小值為（

）A．B．C． D．43．在邊長(zhǎng)為的菱形中，，E是上異于兩點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是上的動(dòng)點(diǎn)，滿足，則的面積的最小值為（

）A． B． C． D．4．如圖，在菱形中，，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，若，，則的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．【知識(shí)點(diǎn)二】矩形將軍飲馬問題5．如圖，矩形的邊，E為上一點(diǎn)，且，F(xiàn)為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，若以為邊向右側(cè)作等腰直角三角形，連接，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．6．如圖，點(diǎn)M、N分別是矩形ABCD的邊BC和對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AM、MN，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．57．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA上的動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，若四點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中滿足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，則四邊形EFGH周長(zhǎng)的最小值等于（

）A．10 B．10 C．5 D．58．如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3．動(dòng)點(diǎn)P滿足＝S矩形ABCD，則點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之和PA+PB的最小值為（

）A． B． C． D．【知識(shí)點(diǎn)三】正方形將軍飲馬問題9．如圖，在正方形ABCD中，AB=4，E為對(duì)角線AC上與A，C不重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AB與點(diǎn)F，EG⊥BC與點(diǎn)G，連接DE，F(xiàn)G，下列結(jié)論：①DE=FG，②DE⊥FG，③∠BFG=∠ADE，④FG的最小值為3，其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)有(

)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)10．如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，連接EF，有下列5個(gè)結(jié)論：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤EF的最小值等于．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)11．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，∠DAC的平分線交CD于點(diǎn)E，若點(diǎn)P，Q分別是AD和AE上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．212．如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，BE＝CF．連接AE，BD交于點(diǎn)G，連接CG，DF交于點(diǎn)M．若正方形的邊長(zhǎng)為1，則線段BM的最小值是（

）A． B． C． D．二、填空題【知識(shí)點(diǎn)一】菱形將軍飲馬問題13．如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線，，M，N分別是BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，P是線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______．14．已知菱形中，，．點(diǎn)、、分別為、、上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是________．15．如圖，在菱形中，，，點(diǎn)，在上，且，連接，，則的最小值為________．如圖，菱形的對(duì)角線，點(diǎn)E為對(duì)角線上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_________．【知識(shí)點(diǎn)二】矩形將軍飲馬問題17．如圖，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，點(diǎn)E、F分別為AD、DC邊上的點(diǎn)，且EF＝2，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P為BC上一動(dòng)點(diǎn)，則PA＋PG的最小值為_____________18．如圖，在矩形中，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，是上一動(dòng)點(diǎn)，、分別是，的中點(diǎn)，則的最小值為______．19．如圖，在長(zhǎng)方形中，已知，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與重合），連接，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則線段的最小值為_________．20．動(dòng)手操作：在長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AB＝6，AD＝10，如圖所示，折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的A'處，折痕為PQ，當(dāng)點(diǎn)A'在BC邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動(dòng)，若限定點(diǎn)P、Q分別在AB、AD邊上移動(dòng)，則△A'CQ面積的最大值為_____．【知識(shí)點(diǎn)三】正方形將軍飲馬問題21．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是5，E是邊BC上一點(diǎn)且BE＝2，F(xiàn)為邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右作等邊三角形EFG，連接CG，則CG長(zhǎng)的最小值為______．22．如圖，在正方形中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將四邊形沿折疊，得到四邊形．（1）若，，三點(diǎn)在同一條直線上，則的大小為______°；（2）若，則，兩點(diǎn)的連線段的最小值為______．23．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為cm，動(dòng)點(diǎn)E、F分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，都以0.5cm/s的速度分別沿AB、CD向終點(diǎn)B、D移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，過點(diǎn)B作直線EF的垂線BG，垂足為點(diǎn)G，連接AG，則AG長(zhǎng)的最小值為______cm．24．如圖，點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，連接PE，并將PE繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到PF，連接EF，則EF的最小值是_________．三、解答題25．提出問題如圖，，是直線同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)，的距離的和最短？分析問題如圖，若，兩點(diǎn)在直線的異側(cè)，則連接，與直線交于一點(diǎn)，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，可知該點(diǎn)即為點(diǎn)，因此，要解決上面提出的問題，只需要將點(diǎn)或點(diǎn)移到直線的另一側(cè)的點(diǎn)處，且保證（或）即可；解決問題：在圖中確定點(diǎn)的位置要求尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡；如圖，在菱形中，，，是邊的中點(diǎn)，是對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．26．如圖，先將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DEC，再將線段DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到DG，連接BE、BG、AD，且AC＝4．(1)若∠ABC＝135°．①求證：B、E、D三點(diǎn)共線；②求BG的長(zhǎng)；(2)若∠ABC＝90°，AC＝2CE，點(diǎn)P在邊AB上，求線段PD的最小值．27．小紅在學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)后，用它來探究直角在正方形中的旋轉(zhuǎn)問題．如圖1，有和一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD，點(diǎn)O是正方形的中心．(1)如圖2，當(dāng)頂點(diǎn)P是正方形邊上任意一點(diǎn)時(shí)，的兩邊分別與正方形的邊BC，AD交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接EF．若繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中EF長(zhǎng)的最小值為______．(2)如圖3，當(dāng)點(diǎn)P與正方形的中心O重合時(shí)，的兩邊分別與正方形的邊BC和AB交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接EF．若繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中．①求EF長(zhǎng)的最小值；②四邊形EOFB的面積是否會(huì)發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由．28．如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接BN、AM、CM．（1）求證：△AMB≌△ENB；（2）若正方形的邊長(zhǎng)為，正方形內(nèi)是否存在一點(diǎn)P，使得PA＋PB＋PC的值最??？若存在，求出它的最小值；若不存在，說明理由．參考答案1．C【分析】連接DE交AC于點(diǎn)P，連結(jié)BP，根據(jù)菱形的性質(zhì)推出AO是BD的垂直平分線，推出PE+PB=PE+PD=DE且值最小，根據(jù)勾股定理求出DE的長(zhǎng)即可．解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD＝2，∵AB＝4，∴，連接DE交AC于點(diǎn)P，連結(jié)BP，作EM⊥BD于點(diǎn)M，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且DO＝BO，即AO是BD的垂直平分線，∴PD＝PB，∴PE+PB＝PE+PD＝DE且值最小，∵E是AB的中點(diǎn)，EM⊥BD，∴BE=2∴，∴∴DM＝BD-BM＝BO＝3，∴DE＝，故選C．【點(diǎn)撥】此題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，菱形的性質(zhì)，勾股定理等等，關(guān)鍵是根據(jù)題意確定P點(diǎn)位置從而確定PE+PB的最小值的情形．2．B【分析】作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C'，連接AC'，BC'，取AN'=AN，連接PN'，得四邊形ACBC'是菱形，則PN=PN'，故而PM+PN=PM+PN'，當(dāng)M、P、N'共線，PM+PN'最小，從而解決問題．解：作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C'，連接AC'，BC'，取AN'=AN，連接PN'，則CA=C'A=CB=BC'，∴四邊形ACBC'是菱形，∴PN=PN'，∴PM+PN=PM+PN'，∴當(dāng)M、P、N'共線，且MN'⊥AC'時(shí)，PM+PN最小，過點(diǎn)C'作C'H⊥BC于H，∵∠ACB=120°，∴∠C'BH=60°，∴C'H=BC'=2，∴PM+PN的最小值為2，故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱-最短路線問題，菱形的判定與性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，作輔助線將PM+PN的最小值轉(zhuǎn)化為C'M的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．3．D【分析】連接BD，根據(jù)四邊形ABCD為菱形，可得AB=AD=BC=CD，由，可得△ABD為等邊三角形，可證BD=AB=BC=DC，△BCD為等邊三角形，可得∠BDF=∠A=60°，由，DF+CF=2a，可得AE=DF，可證△ABE≌△DBF（SAS），可證△EBF為等邊三角形，可得BE最短時(shí)，△EBF面積最小，當(dāng)點(diǎn)E為AD中點(diǎn)時(shí)，BE最短，在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理BE=，根據(jù)等邊三角形面積公式球即可．解：連接BD，∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=AD=BC=CD，∵∴△ABD為等邊三角形，∴BD=AB=BC=DC，∴△BCD為等邊三角形，∴∠BDF=∠A=60°，∵，DF+CF=2a，∴AE=DF，在△ABE和△DBF中，∴△ABE≌△DBF（SAS），∴EB=FB，∠ABE=∠DBF，∵∠ABE+∠EBD=∠ABD=60°，∴∠DBF+∠EBD=∠ABE+∠EBD=60°，∴△EBF為等邊三角形，∴BE最短時(shí)，△EBF面積最小，當(dāng)點(diǎn)E為AD中點(diǎn)時(shí)，BE最短，∵△ABD為等邊三角形，點(diǎn)E為AD中點(diǎn)，∴BE⊥AD，AE=，在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理BE=，S△EBF最小=．故選擇D．【點(diǎn)撥】本題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．D【分析】先找出點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E’，過點(diǎn)E’作E’F⊥BC于F，交AC于P，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題以及垂線段最短可知E’F為PE＋PF的最小值的最小值，過點(diǎn)C作CG⊥AD于G，再根據(jù)平行線間的距離相等即可得解．解：如圖，點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E’，過點(diǎn)E’作E’F⊥BC于F，交AC于P，則PE＋PF＝E’F為最小值的情況，過點(diǎn)C作CG⊥AD于G，∵，，∴CG＝4÷＝2，∵AD∥BC，∴E’F＝CG＝2，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱確定最短路線問題，菱形的性質(zhì)，作出圖形，確定出最短路線為菱形的對(duì)邊的距離是解題的關(guān)鍵．5．B【分析】過點(diǎn)G作GH⊥AB于H，過點(diǎn)G作MN∥AB，由“AAS”可證△GEH≌△EFA，可得GH＝AE＝1，可得點(diǎn)G在平行AB且到AB距離為1的直線MN上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)F與D重合時(shí)，CG有最小值，即可求解．解：如圖，過點(diǎn)G作GH⊥AB于H，過點(diǎn)G作MN∥AB，∵四邊形ABCD是矩形，AB＝，BC＝3，∴∠B＝90°，CD＝，AD＝3，∵AE＝1，∴BE＝，∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°，∴∠GEH＋∠EGH＝90°，∠GEH＋∠FEA＝90°，∴∠EGH＝∠FEA，又∵GE＝EF，∴△GEH≌△EFA（AAS），∴GH＝AE＝1，∴點(diǎn)G在平行AB且到AB距離為1的直線MN上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)F與D重合時(shí)，CG有最小值，此時(shí)AF＝EH＝3，∴CG的最小值＝，故選B．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，確定點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是本題的關(guān)鍵．6．B【分析】根據(jù)動(dòng)點(diǎn)最值問題求解步驟，①分析所求線段端點(diǎn)（定、動(dòng)）；②動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線；③模型方法（類比將軍飲馬模型，作定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)軌跡的對(duì)稱點(diǎn)）；④確定最值對(duì)應(yīng)的定線段；⑤求定線段長(zhǎng)，按步驟進(jìn)行即可求解．解：如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，過作，，即當(dāng)三點(diǎn)共線，時(shí)，的最小值為，在中，，連接，如上圖所示，，則，在矩形ABCD中，，，則，，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查動(dòng)點(diǎn)最值問題，熟練掌握動(dòng)點(diǎn)最值問題的求解步驟，根據(jù)題意按步驟逐步分析是解決問題的關(guān)鍵．7．A【分析】由矩形的性質(zhì)與線段的等量關(guān)系證明，，則，，如圖，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，此時(shí)最小，即四邊形周長(zhǎng)最小，作于，則四邊形是矩形，，，則，，在中，由勾股定理得求出的值，進(jìn)而可求最小的周長(zhǎng)．解：∵四邊形是矩形，∴，，，∵，，∴，，在和中∵，∴，∴，同理，∴，如圖，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，此時(shí)最小，即四邊形周長(zhǎng)最小，作于，∴四邊形是矩形，∴，，∵，，∴，，在中，由勾股定理得，∴四邊形的周長(zhǎng)，故選A．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于找出四邊形周長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)、的位置關(guān)系．8．C【分析】首先由，得出動(dòng)點(diǎn)在與平行且與的距離是2的直線上，作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，連接，則的長(zhǎng)就是所求的最短距離．然后在直角三角形中，由勾股定理求得的值，即的最小值．解：設(shè)中邊上的高是．，，，動(dòng)點(diǎn)在與平行且與的距離是2的直線上，如圖，作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，連接，則的長(zhǎng)就是所求的最短距離．在中，，，，即的最小值為．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱最短路線問題，三角形的面積，矩形的性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)．得出動(dòng)點(diǎn)所在的位置是解題的關(guān)鍵．9．C【分析】連接BE交FG于H，延長(zhǎng)DE交AB于I，交FG于J．根據(jù)正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定定理和性質(zhì)確定BE=DE，根據(jù)正方形的性質(zhì)，矩形的判定定理和性質(zhì)，等量代換思想即可判斷①符合題意；根據(jù)矩形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，全等三角形的性質(zhì)和等價(jià)代換思想即可判斷③符合題意；根據(jù)直角三角形兩個(gè)銳角互余，等量代換思想和三角形內(nèi)角和定理即可判斷②符合題意；根據(jù)垂線段最短確定當(dāng)DE⊥AC時(shí)，F(xiàn)G取得最小值為DE，根據(jù)正方形的性質(zhì)和三角形面積公式即可判斷④不符合題意．解：如下圖所示，連接BE交FG于H，延長(zhǎng)DE交AB于I，交FG于J．∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAE=∠DAE，∠FBG=90°．∵AE是△ABE和△ADE的公共邊，∴．∴BE=DE．∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴四邊形FBGE是矩形．∴BE=FG．∴DE=FG．故①符合題意．∵矩形FBGE的對(duì)角線相交于點(diǎn)H，∴HF=HB．∴∠ABE=∠BFG．∵，∴∠ABE=∠ADE．∴∠BFG=∠ADE．故③符合題意．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAI=90°．∴∠AID+∠ADE=90°．∴∠AID+∠BFG=90°．∴∠FJI=180°-（∠AID+∠BFG）=90°．∴DE⊥FG．故②符合題意．∵DE=FG，∴當(dāng)DE取得最小值時(shí)，F(xiàn)G取得最小值．∵點(diǎn)E是對(duì)角線AC上與A，C不重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)DE⊥AC時(shí)，DE取得最小值，即FG取得最小值為DE．∵正方形ABCD中，AB=4，∴AD=CD=AB=4，∠ADC=90°．∴，．∴．∴FG的最小值為．故④不符合題意．故①②③，共3個(gè)符合題意．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定定理和性質(zhì)，矩形的判定定理和性質(zhì)，等邊對(duì)等角，直角三角形兩個(gè)銳角互余，三角形內(nèi)角和定理，垂線段最短，綜合應(yīng)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．10．C【分析】延長(zhǎng)FP交AB于點(diǎn)N，延長(zhǎng)AP交EF于點(diǎn)M，只需要證明△ANP≌△FPE得到AP=EF，∠PFE=∠BAP即可判斷①④；根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可判斷②；根據(jù)P的任意性可以判斷③；根據(jù)AP=EF，當(dāng)AP最小時(shí)，EF有最小值，即可判斷⑤；解：延長(zhǎng)FP交AB于點(diǎn)N，延長(zhǎng)AP交EF于點(diǎn)M．∵四邊形ABCD是正方形．∴∠ABP=∠CBD，∠ABC=90°，AB=BC，又∵NP⊥AB，PE⊥BC，∴∠PNB=∠NBE=∠PEB=90°，PN=PE，∴四邊形BNPE是正方形，∠ANP=∠EPF=90°，四邊形BCFN是矩形，∴NP=EP=BE，BC=NF，∴AN=PF，在△ANP與△FPE中，，∴△ANP≌△FPE（SAS），∴AP=EF，∠PFE=∠BAP（故①④正確）；在△APN與△FPM中，∠APN=∠FPM，∠NAP=∠PFM，∴∠PMF=∠ANP=90°，∴AP⊥EF，（故②正確）；∵P是BD上任意一點(diǎn)，因而△APD是等腰三角形不一定成立，（故③錯(cuò)誤）；∵AP=EF，∴當(dāng)AP⊥BD時(shí)，AP有最小值即EF有最小值，∵AB=AD，AP⊥BD，∴此時(shí)P為BD的中點(diǎn)，又∵∠BAD=90°，∴，即EF的最小值為（故⑤正確）故正確的是：①②④⑤．故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確證明△ANP≌△FPE，以及理解P的任意性是解決本題的關(guān)鍵．11．A【分析】過D作AE的垂線交AE于F，交AC于D′，再過D′作AP′⊥AD，由角平分線的性質(zhì)可得出D′是D關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)，進(jìn)而可知D′P′即為DQ+PQ的最小值．解：作D關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)D′，再過D′作D′P′⊥AD于P′，∵DD′⊥AE，∴∠AFD=∠AFD′，∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，∴△DAF≌△D′AF，∴D′是D關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)，AD′=AD=2，∴D′P′即為DQ+PQ的最小值，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAD′=45°，∴AP′=P′D′，∴在Rt△AP′D′中，P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=4，∵AP′=P′D’，2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=4，∴P′D′=，即DQ+PQ的最小值為，故A正確．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)和軸對(duì)稱-最短路線問題，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．12．D【分析】先證明△ABE≌△DCF（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠BAE＝∠CDF，證明△ABG≌△CBG（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠BAG＝∠BCG，取CD的中點(diǎn)O，連接OB、OF，則OF＝CO＝CD＝，由勾股定理求出OB的長(zhǎng)，當(dāng)O、M、B三點(diǎn)共線時(shí)，BM的長(zhǎng)度最小，則可求出答案．解：如圖，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CB，∠EBA＝∠FCD，∠ABG＝∠CBG，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠BAE＝∠CDF，在△ABG和△CBG中，，∴△ABG≌△CBG（SAS），∴∠BAG＝∠BCG，∴∠CDF＝∠BCG，∵∠DCM+∠BCG＝∠FCD＝90°，∴∠CDF+∠DCM＝90°，∴∠DMC＝180°﹣90°＝90°，取CD的中點(diǎn)O，連接OB、OF，則OF＝CO＝CD＝，在Rt△BOC中，OB＝＝＝，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OF+BM＞OB，∴當(dāng)O、M、B三點(diǎn)共線時(shí)，BM的長(zhǎng)度最小，∴BM的最小值＝OB﹣OF＝＝．故選：D．【點(diǎn)撥】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．##4.8【分析】作點(diǎn)M關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)，連接，P，連接，，根據(jù)垂線段最短原理，當(dāng)時(shí)，的值最小，根據(jù)菱形的性質(zhì)表示菱形的面積，然后計(jì)算求解即可．解：如圖，作點(diǎn)M關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)，連接，P，連接，則=，根據(jù)垂線段最短原理，當(dāng)時(shí)，的值最小，∵菱形ABCD中，對(duì)角線，，對(duì)角線的交點(diǎn)為O，∴OA=3，OB=4，AO⊥OB，∴由勾股定理得，∴，即，解得，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱，垂線段最短原理，熟練掌握菱形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，垂線段最短原理是解題的關(guān)鍵．14．【分析】作出點(diǎn)M關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)，過點(diǎn)作N⊥BC，利用PM=P，根據(jù)PM+PN=P+PN≥N，結(jié)合垂線段最短，計(jì)算即可．解：作出點(diǎn)M關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)，過點(diǎn)作N⊥BC，∴PM=P，PM+PN=P+PN≥N，根據(jù)垂線段最短，此時(shí)N最小，恰好是菱形的高，過點(diǎn)A作AQ⊥BC，垂足為Q，∵菱形中，，，∴AD∥BC，∴=，∴N=，∴的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，軸對(duì)稱性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，垂線段最短，熟練掌握垂線段最短是解題的關(guān)鍵．15．【分析】連接BD交AC于點(diǎn)O，根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理可得DO=3，當(dāng)點(diǎn)O為MN的中點(diǎn)時(shí)，BM+DN的值最小，再證明得DN=BM，由勾股定理求出DN的長(zhǎng)即可．解：連接BD交AC于點(diǎn)O，如圖，∵四邊形ABCD是菱形，AC=8∴又在Rt△AOB中，∴∴DO=5當(dāng)點(diǎn)O為MN的中點(diǎn)時(shí)，BM+DN的值最小，∵M(jìn)N=1∴在Rt△DON中，∴在Rt△DON和Rt△BOM中，∴∴DN=BM∴∴的最小值為故答案為【點(diǎn)撥】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用菱形的性質(zhì)和勾股定理求出BN=是解答本題的關(guān)鍵．16．3【分析】過點(diǎn)作的垂線，垂足為，過點(diǎn)作，根據(jù)已知條件求得的長(zhǎng)，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，可得，當(dāng)時(shí)，最小，股定理求得的長(zhǎng)即可求解．解：如圖，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，過點(diǎn)作，中，，如圖，當(dāng)時(shí)，最小，最小值為的最小值為．故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱求線段和的最小值，垂線段最短，轉(zhuǎn)化線段是解題的關(guān)鍵．17．4【分析】因?yàn)镋F=2，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得出DG=1，所以G是以D為圓心，以1為半徑的圓弧上的點(diǎn)，作A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交BC于P，交以D為圓心，以1為半徑的圓于G，此時(shí)PA+PG的值最小，最小值為的長(zhǎng)；根據(jù)勾股定理求得，即可求得，從而得出PA+PG的最小值．解：∵EF=2，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，∴DG=1，∴G是以D為圓心，以1為半徑的圓弧上的點(diǎn)，作A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交BC于P，交以D為圓心，以1為半徑的圓于G，此時(shí)PA+PG的值最小，最小值為的長(zhǎng)；∵AB=2，AD=3，∴，∴，∴，∴PA+PG的最小值為4，故答案為：4．【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，判斷出G點(diǎn)的軌跡是解題的關(guān)鍵．凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)．18．【分析】根據(jù)題意可知，本題考查的是“兩定一動(dòng)”問題，求線段和最小，即“將軍飲馬”問題，以此進(jìn)行解題即可．解：如圖所示，作EH⊥BC，交BC于H，作AB，CD的中點(diǎn)M、N，連接MN，作Q點(diǎn)關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)，∵P為EF的中點(diǎn)，∴P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡在線段MN上，∴最小時(shí)，F(xiàn)與點(diǎn)重合，∵，EH⊥BC，∴BH=AE=3，DC=EH=2，∵Q為AE的中點(diǎn)，∴QE=，∴在中，，即最小值為：．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查的是“將軍飲馬”問題，從幾何問題中提取對(duì)應(yīng)模型，并進(jìn)行解題是本題的關(guān)鍵．19．4【分析】根據(jù)對(duì)稱性得到AB＝AM＝6，在中根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得，所以當(dāng)A，M，C三點(diǎn)共線時(shí)，CM最短，求解即可．解：連接AM，AC，如圖所示：∵點(diǎn)B和M關(guān)于AP對(duì)稱，∴AB＝AM＝6，在中根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得：，∴當(dāng)A，M，C三點(diǎn)共線時(shí)，CM最短，∵在矩形ABCD中，AC＝，∴CM＝AC-AM=10﹣6＝4，故答案為：4．【點(diǎn)撥】本題考查動(dòng)點(diǎn)最值問題，解題過程涉及到對(duì)稱性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系、矩形性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定CM的取值范圍．20．24【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得BA′與AP的關(guān)系，因?yàn)镼在AD上，所以△A'CQ的高是6，因此△A'CQ面積取最大值時(shí)，最大，根據(jù)折疊情況分析即可得到．解：長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AB＝6，AD＝10．①當(dāng)Q與D重合時(shí)，如圖，由折疊得：由勾股定理，得，②當(dāng)與B重合時(shí)，如圖，由折疊得：，，∴CA′的最大值是是8，∴當(dāng)CA′取最大值8時(shí)，△A'CQ面積最大，△A'CQ面積的最大值=故答案為24．【點(diǎn)撥】本題考查了翻折變換，利用了翻折的性質(zhì)，勾股定理，分類討論是解題關(guān)鍵．21．【分析】由題意分析可知，點(diǎn)F為主動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)軌跡是線段AB，G為從動(dòng)點(diǎn)，所以以點(diǎn)E為旋轉(zhuǎn)中心構(gòu)造全等關(guān)系，得到點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡，也是一條線段，之后通過垂線段最短構(gòu)造直角三角形獲得CG最小值．解：由題意可知，點(diǎn)F是主動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G是從動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G的軌跡也是一條線段，將△EFB繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)60°，使EF與EG重合，得到△EFB≌△EGH，從而可知△EBH為等邊三角形，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠FBE=90°，∴∠GHE=∠FBE=90°，∴點(diǎn)G在垂直于HE的直線HN上，延長(zhǎng)HG交DC于點(diǎn)N，過點(diǎn)C作CM⊥HN于M，則CM即為CG的最小值，過點(diǎn)E作EP⊥CM于P，可知四邊形HEPM為矩形，∠PEC=30°，∠EPC=90°，則CM=MP+CP=HE+EC=2+=，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了線段最值問題，分清主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)，通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等，從而判斷出點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡，是本題的關(guān)鍵，之后運(yùn)用垂線段最短，構(gòu)造圖形計(jì)算，是最值問題中比較典型的類型．22．

67.5

【分析】（1）易得，利用翻折的性質(zhì)得到；（2）連接，，，易證，得到，，當(dāng)，，在同一條直線上時(shí)，F(xiàn)Q最小，計(jì)算可得．解：（1）如圖1，易得，∴，故答案為：67.5；（2）如圖2，連接，，，易證，∴，，當(dāng)，，在同一條直線上時(shí)，最小，最小值為，故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，正確掌握翻折的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．【分析】連接BD，交EF于點(diǎn)O．取OB中點(diǎn)M，連接MA，MG，則MA，MG為定長(zhǎng)，利用兩點(diǎn)之間線段最短解決問題即可．解：連接BD，交EF于點(diǎn)O．取OB中點(diǎn)M，連接MA，MG，在正方形ABCD中，AB=CD，，，，，，在中，在中，，連接AC，則于點(diǎn)O，在中，，，AG≥AM-MG=，當(dāng)A，M，G三點(diǎn)共線時(shí)，AG最小=cm，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，連接OB，取OB中點(diǎn)M，連接MA，MG，則MA，MG為定長(zhǎng)，利用兩點(diǎn)之間線段最短解決問題是解決本題的關(guān)鍵．24．##【分析】當(dāng)EP⊥AC時(shí)，EF有最小值，過點(diǎn)P作PM⊥EF于點(diǎn)M，由直角三角形的性質(zhì)求出PE的長(zhǎng)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出PE=PF，∠EPF=120°，求出PM的長(zhǎng)，則可得出答案．解：如圖，當(dāng)EP⊥AC時(shí)，EF有最小值，過點(diǎn)P作PM⊥EF于點(diǎn)M，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ACB=45°，∵E為BC的中點(diǎn)，BC=1，∴CE=，∴PE=CE=，∵將PE繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到PF，∴PE=PF，∠EPF=120°，∴∠PEF=30°，∴PM=PE=由勾股定理得EM=，∴EF=2EM=，∴EF的最小值是．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，垂線段的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25．（1）見分析（2）【分析】（1）作點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B交l于C；（2）根據(jù)菱形的對(duì)稱性可知點(diǎn)B、D關(guān)于AC對(duì)稱，則PB＋PE的最小值即為DE的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出DE的長(zhǎng)即可．解：（1）如圖所示：點(diǎn)C即為所求；（2）連接DE，交AC于點(diǎn)P，作DH⊥BC，交BC延長(zhǎng)線于H，∵四邊形ABCD是菱形，∴點(diǎn)B、D關(guān)于AC對(duì)稱，AB＝CD＝BC=4，ABCD，∴PB=PD∴PB＋PE的最小值PD+PE即為DE的長(zhǎng)，∵∠DCH＝∠B＝60°，∴CH＝CD＝2，DH＝CH＝2，∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴CE＝2，∴EH＝4，在Rt△DEH中，由勾股定理得，DE＝，∴PE＋PB的最小值為．【點(diǎn)撥】本題是四邊形綜合題，主要考查了菱形的性質(zhì)，軸對(duì)稱?最短路線問題，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．26．(1)①見分析；②BG＝4(2)22【分析】（1）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠ACD＝90°＝∠BCE，AB＝DE，BC＝CE，AC＝CD，∠ABC＝∠DEC＝135°，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠BEC＝45°＝∠CBE，可證∠BEC+∠CED＝180°，可得結(jié)論；②通過證明四邊形ABDG是矩形，可得AD＝BG，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求解；（2）由垂線段最短可得當(dāng)PD⊥AB時(shí)，PD的長(zhǎng)度有最小值，先證點(diǎn)P，點(diǎn)E，點(diǎn)D三點(diǎn)共線，由勾股定理可求DE的長(zhǎng)，由正方形的性質(zhì)可得BC＝PE＝2，即可求解．(1)①證明：如圖，連接AG，∵將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DEC，∴△ABC≌△DEC，∠ACD＝90°＝∠BCE，∴AB＝DE，BC＝CE，AC＝CD，∠ABC＝∠DEC＝135°，∴∠BEC＝45°＝∠CBE，∴∠BEC+∠CED＝180°，∴B、E、D三點(diǎn)共線．②∵將線段DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到DG，∴DE＝DG，∠EDG＝90°，∴AB＝DE＝DG，∵∠ABE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°，∴∠ABE+∠EDG＝180°，∴AB∥DG，∴四邊形ABDG是平行四邊形，又∵∠BDG＝90°，∴四邊形ABDG是矩形，∴AD＝BG，∵AC＝CD＝4，∠ACD＝90°，∴ADAD＝4，∴BG＝4．(2)如圖，∵點(diǎn)P在邊AB上，∴當(dāng)PD⊥AB時(shí)，PD的長(zhǎng)度有最小值，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠ABC＝∠CED＝∠BCE＝90°，∴BC∥DE，∵∠ABC+∠BPD＝180°，∴DP∥BC，∴點(diǎn)P，點(diǎn)E，點(diǎn)D三點(diǎn)共線，∵AC＝2CE，∴BC＝CE＝2，又∵∠ABC＝∠BPE＝∠BCE＝90°，∴四邊形BPEC是正方形，∴B