（新課標）北京市高考數(shù)學一輪復習 第4講 平面向量課后練習 理

第4講平面向量經(jīng)典精講已知正方形ABCD的邊長為1，記以A為起點，其余頂點為終點的向量分別為以C為起點，其余頂點為終點的向量分別為若i，j，k，l∈{1，2，3}，且i≠j，k≠l，則的最小值是．定義：在平面內(nèi)，我們把既有大小又有方向的量叫做平面向量．平面向量可以用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向．其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量．

如以正方形ABCD的四個頂點中某一點為起點，另一個頂點為終點作向量，可以作出8個不同的向量：（由于是相等向量，因此只算一個）．

（1）作兩個相鄰的正方形（如圖一）．以其中的一個頂點為起點，另一個頂點為終點作向量，可以作出不同向量的個數(shù)記為f（2），試求f（2）的值；

（2）作n個相鄰的正方形（如圖二）“一字型”排開．以其中的一個頂點為起點，另一個頂點為終點作向量，可以作出不同向量的個數(shù)記為f（n），試求f（n）的值；

（3）作2×3個相鄰的正方形（如圖三）排開．以其中的一個頂點為起點，另一個頂點為終點作向量，可以作出不同向量的個數(shù)記為f（2×3），試求f（2×3）的值；

（4）作m×n個相鄰的正方形（如圖四）排開．以其中的一個頂點為起點，另一個頂點為終點作向量，可以作出不同向量的個數(shù)記為f（m×n），試求f（m×n）的值．

如圖，在△ABC和△AEF中，B是EF的中點，AB＝EF＝1，CA＝CB＝2，若·＋·＝2，則與的夾角θ等于________．已知點P是圓x2＋y2＝1上的一個動點，過點P作PQ⊥x軸于點Q，設＝＋.(1)求點M的軌跡方程；(2)求向量和夾角最大時的余弦值，并求此時P點的坐標．設點P是三角形ABC內(nèi)一點(不包括邊界)，且＝m＋n，m，n∈R，則m2＋(n－2)2的取值范圍為________．如圖，在正方形ABCD中，E為AB的中點，P為以A為圓心、AB為半徑的圓弧上的任意一點，設向量＝λ＋μ，則λ＋μ的最小值為________．第4講平面向量經(jīng)典精講5．詳解：不妨記以A為起點，其余頂點為終點的向量分別為以C為起點，其余頂點為終點的向量分別為如圖建立坐標系．

（1）當i=1，j=2，k=1，l=2時，則=[（1，0）+（1，1）]?[（1，0）+（1，1）]=5；

（2）當i=1，j=2，k=1，l=3時，則=[（1，0）+（1，1）]?[（1，0）+（0，1）]=3；（3）當i=1，j=2，k=2，l=3時，則=[（1，0）+（1，1）]?[（1，1）+（0，1）]=4；

（4）當i=1，j=3，k=1，l=2時，則=[（1，0）+（0，1）]?[（1，0）+（1，1）]=3；

同樣地，當i，j，k，l取其它值時，=5，4，或3．

所以的最小值是5．故答案為：5．（1）14；（2）6n+2；（3）34；（4）2（m+n）+4mn．詳解：（1）作兩個相鄰的正方形，以其中的一個頂點為起點，另一個頂點為終點作向量，可以作出不同向量的個數(shù)f（2）=14；

（2）分別求出作兩個、三個、四個相鄰的正方形（如圖1）．以其中的一個頂點為起點，另一個頂點為終點作向量，可以作出不同的向量個數(shù)，找出規(guī)律，

∵f（1）=6×1+2=8，f（2）=6×2+2=14，f（3）=6×3+2=20，f（4）=6×4+2=26，

∴f（n）=6n+2；

（3）f（2×3）=34；

（4）∵f（2×2）=24，f（2×3）=34，f（2×4）=44，f（3×2）=34，f（3×3）=48，f（3×4）=62

∴f（m×n）=2（m+n）+4mn．eq\f(π,3)．詳解：因為△ABC中，CA＝CB＝2，AB＝1，所以cos∠CAB＝eq\f(1,2)·eq\f(AB,AC)＝eq\f(1,4)，所以·＝eq\f(1,2).又因為·＋·＝2，所以·(＋)＋·(＋)＝2，即1＋·＋eq\f(1,2)＋·＝2，所以·＋·＝eq\f(1,2).因為＝－，所以－·＋·＝eq\f(1,2)，即(－)＝eq\f(1,2)，所以·＝eq\f(1,2)，所以cosθ＝eq\f(1,2)，故θ＝eq\f(π,3).（1）eq\f(x2,4)＋y2＝1；（2）余弦值為eq\f(2\r(2),3)，此時P點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(\r(3),3)，±\f(\r(6),3)))．詳解：(1)設P(x0，y0)，M(x，y)，則＝(x0，y0)，＝(x0，0)，＝＋＝(2x0，y0)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2x0，,y＝y(tǒng)0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(1,2)x，,y0＝y(tǒng).))∵xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝1，∴eq\f(x2,4)＋y2＝1.故點M的軌跡方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)設向量與的夾角為α，則cosα＝eq\f(·,||·||)＝eq\f(2x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0),\r(4x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)))＝，令t＝3xeq\o\al(2,0)＋1，則cosα＝eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)eq\r(t＋\f(4,t)＋4)≥eq\f(2\r(2),3)，當且僅當t＝2時，等號成立，即α最大．∴與夾角最大時的余弦值為eq\f(2\r(2),3)，此時P點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(\r(3),3)，±\f(\r(6),3)))．(1,5).詳解：因為點P是三角形ABC內(nèi)一點(不包括邊界)，所以0<m，n<1,0<m＋n<1，根據(jù)線性規(guī)劃的知識，作出如圖陰影部分，m2＋(n－2)2表示點P(0,2)到陰影內(nèi)點的距離的平方，顯然到點A(0,1)的距離最近，為1；到點B(1,0)的距離最遠，這時m2＋(n－2)2＝5，故所求取值范圍為(1,5)．eq\f(1,2)．詳解：以A為原點，為x軸正方向，為y軸正方向，建立直角坐標系．設AB＝1，P(cosθ，sinθ)，θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則＝(1,1)，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))，＝(cosθ，sinθ)，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝\f(1,2)λ＋μcosθ，,1＝－λ＋μsinθ，))解得μ＝eq\f(3,2cosθ＋sinθ).又λ＝μsinθ－1，所以λ＋μ＝μ(sinθ＋1)－1＝.