第六章簡(jiǎn)單的超靜定問(wèn)題

第六章簡(jiǎn)單的超靜定問(wèn)題材料力學(xué)第六章簡(jiǎn)單的超靜定問(wèn)題§6—2拉壓超靜定問(wèn)題§6—1超靜定問(wèn)題及其解法§6—3扭轉(zhuǎn)超靜定問(wèn)題§6—4簡(jiǎn)單超靜定梁第六章簡(jiǎn)單的超靜定問(wèn)題約束反力及軸力都可以由靜力平衡方程求得，這類問(wèn)題稱為靜定問(wèn)題。憑靜力平衡方程不能求得約束反力或軸力，這類問(wèn)題稱為靜不定問(wèn)題。定義：§6-1超靜定問(wèn)題及其解法未知力個(gè)數(shù)--平衡方程的個(gè)數(shù)=1一次超靜定

未知力個(gè)數(shù)--平衡方程的個(gè)數(shù)=2二次超靜定

解超靜定問(wèn)題的方法步驟:

平衡方程；

幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程；

物理方程——彈性定律；

補(bǔ)充方程：由幾何方程和物理方程得；

解由平衡方程和補(bǔ)充方程組成的方程組超靜定結(jié)構(gòu)的類型1、不同材料制成的組和桿件的超靜定問(wèn)題這類超靜定問(wèn)題的變形特征是:兩種材料的伸長(zhǎng)(縮短)變形相等.§6-2拉壓超靜定問(wèn)題例1

木制短柱的四角用四個(gè)40

40

4的等邊角鋼加固，角鋼和木材的許用應(yīng)力分別為[

]1=160MFa和[

]2=12MFa，彈性模量分別為E1=200GFa

和E2=10GFa；求許可載荷P。幾何方程物理方程及補(bǔ)充方程：解：

平衡方程:Py4FN1FN2

解平衡方程和補(bǔ)充方程，得:

求結(jié)構(gòu)的許可載荷：

方法1:角鋼面積由型鋼表查得:A1=3.086cm24FN1FN2所以在△1=△2

的前提下，角鋼將先達(dá)到極限狀態(tài)，即角鋼決定最大載荷。

求結(jié)構(gòu)的許可載荷：另外：若將鋼的面積增大5倍，怎樣？若將木的面積變?yōu)?5mm，又怎樣？結(jié)構(gòu)的最大載荷永遠(yuǎn)由鋼控制著。方法2:、幾何方程：解：

、平衡方程：例2

、結(jié)構(gòu)受力如圖,求兩端的約束反力L1L2pAE1A1CE2A2B二、兩端固定的超靜定問(wèn)題這類超靜定問(wèn)題的變形特征是:桿件的總長(zhǎng)度不變.FN1FN2ACBP、物理方程解平衡方程和補(bǔ)充方程，得:、補(bǔ)充方程伸長(zhǎng)縮短三、桿系超靜定結(jié)構(gòu)

這類超靜定問(wèn)題的變形特征是:結(jié)構(gòu)受力變形后各節(jié)點(diǎn)仍連接于一點(diǎn).

解這類超靜定問(wèn)題必須有兩種圖和兩種方程兩種圖受力圖變形幾何關(guān)系圖變形與內(nèi)力一致靜力平衡方程補(bǔ)充方程兩種方程例3

設(shè)1、2、3三桿用鉸鏈連接如圖，已知：各桿長(zhǎng)為：L1=L2、

L3=L

；各桿面積為A1=A2=A、A3

；各桿彈性模量為：E1=E2=E、E3。外力沿鉛垂方向，求各桿的內(nèi)力。CPABD123解：、平衡方程:PAFN1FN3FN2幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程：物理方程——彈性定律：補(bǔ)充方程：由幾何方程和物理方程得。

解由平衡方程和補(bǔ)充方程組成的方程組，得:CABD123A1例4、(練習(xí)）所示構(gòu)架的三根桿件由同一材料制成.各桿的橫截面面積為A1,A2,A3,在節(jié)點(diǎn)B所受的力為p,求各桿的內(nèi)力.CBADp1

32pBN2N3N1解這是一次超靜定1畫節(jié)點(diǎn)B的受力圖2列靜力平衡方程3畫節(jié)點(diǎn)B的位移圖BB3B2B1B/ED300231GED=BD-BG-GE5建立補(bǔ)充方程將物理關(guān)系代入幾何關(guān)系4建立幾何變形關(guān)系聯(lián)立(1),(2),(3)可得1、靜定結(jié)構(gòu)當(dāng)溫度升高時(shí)可自由變形所以不會(huì)引起構(gòu)件的內(nèi)力，即無(wú)溫度應(yīng)力。一、溫度應(yīng)力例1、如圖，1、2號(hào)桿的尺寸及材料都相同，當(dāng)結(jié)構(gòu)溫度由T1變到T2時(shí),求各桿的溫度內(nèi)力。（各桿的線膨脹系數(shù)分別為

i;△T=T2-T1)CABD123A12、靜不定問(wèn)題存在溫度應(yīng)力。溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力CABD123A1、幾何方程解：、平衡方程:、物理方程：PAFN1FN3FN2CABD123A1、補(bǔ)充方程解平衡方程和補(bǔ)充方程，得:

aaaaFN1FN2例2、

如圖，階梯鋼桿的上下兩端在T1=5℃時(shí)被固定,桿的上下兩段的面積分別

=cm2，

=cm2，當(dāng)溫度升至T2=25℃時(shí),求各桿的溫度應(yīng)力。(線膨脹系數(shù)

=12.5×彈性模量E=200GPa)、幾何方程：解：、平衡方程：、物理方程解平衡方程和補(bǔ)充方程，得:、補(bǔ)充方程、溫度應(yīng)力、幾何方程解：、平衡方程:

2、靜不定問(wèn)題存在裝配應(yīng)力。二、裝配應(yīng)力

1、靜定問(wèn)題無(wú)裝配應(yīng)力。例3

如圖，3號(hào)桿的尺寸誤差為

，求各桿的裝配內(nèi)力。ABC12ABC12DA13、物理方程及補(bǔ)充方程：

、解平衡方程和補(bǔ)充方程，得:dA1FN1FN2FN3AA1§6-3扭轉(zhuǎn)超靜定問(wèn)題

例題

兩端固定的圓截面等直桿AB，在截面C處受扭轉(zhuǎn)力偶矩Me作用，如圖a。已知桿的扭轉(zhuǎn)剛度為GIp。試求桿兩端的約束力偶矩以及C截面的扭轉(zhuǎn)角。(a)

解:

1.

有二個(gè)未知約束力偶矩MA,MB，但只有一個(gè)獨(dú)立的靜力平衡方程故為一次超靜定問(wèn)題。(a)MAMB

2.

以固定端B為“多余”約束，約束力偶矩MB為“多余”未知力。在解除“多余”約束后基本靜定系上加上荷載Me和“多余”未知力偶矩MB，如圖b；它應(yīng)滿足的位移相容條件為注：這里指的是兩個(gè)扭轉(zhuǎn)角的絕對(duì)值相等。另一約束力偶矩MA可由平衡方程求得為3.

根據(jù)位移相容條件利用物理關(guān)系得補(bǔ)充方程：由此求得“多余”未知力，亦即約束力偶矩MB為4.桿的AC段橫截面上的扭矩為從而有(a)

例題2由半徑為a的銅桿和外半徑為b的鋼管經(jīng)緊配合而成的組合桿，受扭轉(zhuǎn)力偶矩Me作用，如圖a。試求銅桿和鋼管橫截面上的扭矩Ta和Tb，并繪出它們橫截面上切應(yīng)力沿半徑的變化情況。(a)

解:

1.

銅桿和鋼管的橫截面上各有一個(gè)未知內(nèi)力矩──扭矩Ta和Tb(圖b)，但只有一個(gè)獨(dú)立的靜力平衡方程Ta+Tb=Me，故為一次超靜定問(wèn)題。TaTb(b)2.

位移相容條件為3.

利用物理關(guān)系得補(bǔ)充方程為4.

聯(lián)立求解補(bǔ)充方程和平衡方程得：TaTb(b)5.

銅桿橫截面上任意點(diǎn)的切應(yīng)力為鋼管橫截面上任意點(diǎn)的切應(yīng)力為上圖示出了銅桿和鋼管橫截面上切應(yīng)力沿半徑的變化情況。需要注意的是，由于銅的切變模量Ga小于鋼的切變模量Gb，故銅桿和鋼管在r=a處切應(yīng)力并不相等，兩者之比就等于兩種材料的切變模量之比。這一結(jié)果與銅桿和鋼管由于緊配合而在交界處切向的切應(yīng)變應(yīng)該相同是一致的?！?—4簡(jiǎn)單超靜定梁的求解1、用多余約束反力代替多余約束（取靜定基，原則：便于計(jì)算）2、在多余約束處根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件列出變形的幾何方程3、把物理?xiàng)l件代入幾何方程列出力的補(bǔ)充方程求出多余反力4、計(jì)算梁的內(nèi)力、應(yīng)力、強(qiáng)度、變形、剛度。L/2ACAqL/2B=L/2ACAqL/2BFcY分析——步驟——q

0LABFBY=、幾何方程解：、建立靜定基、由物理關(guān)系確定力的補(bǔ)充方程求出多余反力=FBY、幾何方程解：、建立靜定基例：結(jié)構(gòu)如圖，求B點(diǎn)反力。LBC、補(bǔ)充方程求出支反力FBYFBY例：結(jié)構(gòu)如上圖，E=210Gpa，

s=240MPa，LBC=1m，ABC=1cm2,AB為矩形截面梁,b=10cm,h=30cm,L=2m，q0=20kN/m,

求結(jié)構(gòu)的安全系數(shù)。

解：由上題可知——

彎矩如圖.——

NBCMx-23.72kNm1.64kNm例7梁AB和BC在B處鉸接，A、C兩端固定，梁的抗彎剛度均為EI，F(xiàn)=40kN，q=20kN/m。畫梁的剪力圖和彎矩圖。從B處拆開，使超靜定結(jié)構(gòu)變成兩個(gè)懸臂梁。變形協(xié)調(diào)方程為：FBMAFAyB1FBMCFCyB2物理關(guān)系解FBFBMAFAMCFCyB1yB2代入得補(bǔ)充方程：確定A端約束力FBF′BMAFAMCFCyB1yB2確定B端約束力MAFAMCFCA、B端約束力已求出最后作梁的剪力圖和彎矩圖

例題2

試求圖a所示等截面連續(xù)梁的約束力FA,FB,FC，并繪出該梁的剪力圖和彎矩圖。已知梁的彎曲剛度EI=5×106N·m2。

解:

1.

兩端鉸支的連續(xù)梁其超靜定次數(shù)就等于中間支座的數(shù)目。此梁為一次超靜定梁。

2.

為便于求解，對(duì)于連續(xù)梁常取中間支座截面處阻止左,右兩側(cè)梁相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的內(nèi)部角約束為“多余”約束，從而以梁的中間支座截面上的彎矩作為“多余”未知力，如圖b。此時(shí)基本靜定系為兩跨相鄰的簡(jiǎn)支梁，它們除承受原超靜定梁上的荷載外，在中間支座B處的梁端還分別作用有等值反向的“多余”未知力矩──彎矩MB，圖b中的“多余”未知力矩為一對(duì)正彎矩。