2016年天津高考文科數(shù)學(xué)試題及答案

2016年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的1．（5分）（2016?天津）已知集合A={1，2，3}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}，則A∩B=（）A．{1，3} B．{1，2} C．{2，3} D．{1，2，3}2．（5分）（2016?天津）甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿椋ǎ〢． B． C． D．3．（5分）（2016?天津）將一個(gè)長(zhǎng)方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線截去一個(gè)棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)（左）視圖為（）A． B． C． D．4．（5分）（2016?天津）已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2x+y=0垂直，則雙曲線的方程為（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1C．﹣=1 D．﹣=15．（5分）（2016?天津）設(shè)x＞0，y∈R，則“x＞y”是“x＞|y|”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件6．（5分）（2016?天津）已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)a滿足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），則a的取值范圍是（）A．（﹣∞，） B．（﹣∞，）∪（，+∞） C．（，） D．（，+∞）7．（5分）（2016?天津）已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)D、E分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得DE=2EF，則?的值為（）A．﹣ B． C． D．8．（5分）（2016?天津）已知函數(shù)f（x）=sin2+sinωx﹣（ω＞0），x∈R，若f（x）在區(qū)間（π，2π）內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，則ω的取值范圍是（）A．（0，] B．（0，]∪[，1） C．（0，] D．（0，]∪[，]二、填空題本大題6小題，每題5分，共30分9．（5分）（2016?天津）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z=2，則z的實(shí)部為_(kāi)_____．10．（5分）（2016?天津）已知函數(shù)f（x）=（2x+1）ex，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則f′（0）的值為_(kāi)_____．11．（5分）（2016?天津）閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出S的值為_(kāi)_____．12．（5分）（2016?天津）已知圓C的圓心在x軸正半軸上，點(diǎn)（0，）圓C上，且圓心到直線2x﹣y=0的距離為，則圓C的方程為_(kāi)_____．13．（5分）（2016?天津）如圖，AB是圓的直徑，弦CD與AB相交于點(diǎn)E，BE=2AE=2，BD=ED，則線段CE的長(zhǎng)為_(kāi)_____．14．（5分）（2016?天津）已知函數(shù)f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程|f（x）|=2﹣恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是______．三、解答題：本大題共6小題，80分15．（13分）（2016?天津）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知asin2B=bsinA．（1）求B；（2）已知cosA=，求sinC的值．16．（13分）（2016?天津）某化工廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，需要A，B，C三種主要原料，生產(chǎn)1扯皮甲種肥料和生產(chǎn)1車皮乙種肥料所需三種原料的噸數(shù)如表所示：ABC甲483乙5510現(xiàn)有A種原料200噸，B種原料360噸，C種原料300噸，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)甲、乙兩種肥料．已知生產(chǎn)1車皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤(rùn)為2萬(wàn)元；生產(chǎn)1車品乙種肥料，產(chǎn)生的利潤(rùn)為3萬(wàn)元、分別用x，y表示計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種肥料的車皮數(shù)．（1）用x，y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；（2）問(wèn)分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料，求出此最大利潤(rùn)．17．（13分）（2016?天津）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，DE=3，BC=EF=1，AE=，∠BAD=60°，G為BC的中點(diǎn)．（1）求證：FG∥平面BED；（2）求證：平面BED⊥平面AED；（3）求直線EF與平面BED所成角的正弦值．18．（13分）（2016?天津）已知{an}是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn（n∈N*），且﹣=，S6=63．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若對(duì)任意的n∈N*，bn是log2an和log2an+1的等差中項(xiàng)，求數(shù)列{（﹣1）nb}的前2n項(xiàng)和．19．（14分）（2016?天津）設(shè)橢圓+=1（a＞）的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，已知+=，其中O為原點(diǎn)，e為橢圓的離心率．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線l與橢圓交于B（B不在x軸上），垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)H，若BF⊥HF，且∠MOA=∠MAO，求直線l的斜率．20．（14分）（2016?天津）設(shè)函數(shù)f（x）=x3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若f（x）存在極值點(diǎn)x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求證：x1+2x0=0；（3）設(shè)a＞0，函數(shù)g（x）=|f（x）|，求證：g（x）在區(qū)間[﹣1，1]上的最大值不小于．2016年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的1．（5分）（2016?天津）已知集合A={1，2，3}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}，則A∩B=（）A．{1，3} B．{1，2} C．{2，3} D．{1，2，3}【分析】根據(jù)題意，將集合B用列舉法表示出來(lái)，可得B={1，3，5}，由交集的定義計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，集合A={1，2，3}，而B(niǎo)={y|y=2x﹣1，x∈A}，則B={1，3，5}，則A∩B={1，3}，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的運(yùn)算，注意集合B的表示方法．2．（5分）（2016?天津）甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿椋ǎ〢． B． C． D．【分析】利用互斥事件的概率加法公式即可得出．【解答】解：∵甲不輸與甲、乙兩人下成和棋是互斥事件．∴根據(jù)互斥事件的概率計(jì)算公式可知：甲不輸?shù)母怕蔖=+=．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查互斥事件與對(duì)立事件的概率公式，關(guān)鍵是判斷出事件的關(guān)系，然后選擇合適的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）（2016?天津）將一個(gè)長(zhǎng)方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線截去一個(gè)棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)（左）視圖為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)主視圖和俯視圖作出幾何體的直觀圖，找出所切棱錐的位置，得出答案．【解答】解：由主視圖和俯視圖可知切去的棱錐為D﹣AD1C，棱CD1在左側(cè)面的投影為BA1，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了棱錐，棱柱的結(jié)構(gòu)特征，三視圖，考查空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）（2016?天津）已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2x+y=0垂直，則雙曲線的方程為（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【分析】利用雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2x+y=0垂直，求出幾何量a，b，c，即可求出雙曲線的方程．【解答】解：∵雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距為2，∴c=，∵雙曲線的一條漸近線與直線2x+y=0垂直，∴=，∴a=2b，∵c2=a2+b2，∴a=2，b=1，∴雙曲線的方程為=1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查待定系數(shù)法的運(yùn)用，確定雙曲線的幾何量是關(guān)鍵．5．（5分）（2016?天津）設(shè)x＞0，y∈R，則“x＞y”是“x＞|y|”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件【分析】直接根據(jù)必要性和充分判斷即可．【解答】解：設(shè)x＞0，y∈R，當(dāng)x=0，y=﹣1時(shí)，滿足x＞y但不滿足x＞|y|，故由x＞0，y∈R，則“x＞y”推不出“x＞|y|”，而“x＞|y|”?“x＞y”，故“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分條件，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的性質(zhì)、充要條件的判定，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）（2016?天津）已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)a滿足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），則a的取值范圍是（）A．（﹣∞，） B．（﹣∞，）∪（，+∞） C．（，） D．（，+∞）【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性可知f（x）在（0，+∞）遞減，故只需令2|a﹣1|＜即可．【解答】解：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．∵2|a﹣1|＞0，f（﹣）=f（），∴2|a﹣1|＜=2．∴|a﹣1|，解得．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性的性質(zhì)，屬于中檔題．7．（5分）（2016?天津）已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)D、E分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得DE=2EF，則?的值為（）A．﹣ B． C． D．【分析】由題意畫出圖形，把、都用表示，然后代入數(shù)量積公式得答案．【解答】解：如圖，∵D、E分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，且DE=2EF，∴?========．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查向量加減法的三角形法則，是中檔題．8．（5分）（2016?天津）已知函數(shù)f（x）=sin2+sinωx﹣（ω＞0），x∈R，若f（x）在區(qū)間（π，2π）內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，則ω的取值范圍是（）A．（0，] B．（0，]∪[，1） C．（0，] D．（0，]∪[，]【分析】函數(shù)f（x）=，由f（x）=0，可得=0，解得x=?（π，2π），因此ω?∪∪∪…=∪，即可得出．【解答】解：函數(shù)f（x）=+sinωx﹣=+sinωx=，由f（x）=0，可得=0，解得x=?（π，2π），∴ω?∪∪∪…=∪，∵f（x）在區(qū)間（π，2π）內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，∴ω∈∪．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．二、填空題本大題6小題，每題5分，共30分9．（5分）（2016?天津）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z=2，則z的實(shí)部為1．【分析】把已知等式變形，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．【解答】解：由（1+i）z=2，得，∴z的實(shí)部為1．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．10．（5分）（2016?天津）已知函數(shù)f（x）=（2x+1）ex，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則f′（0）的值為3．【分析】先求導(dǎo)，再帶值計(jì)算．【解答】解：∵f（x）=（2x+1）ex，∴f′（x）=2ex+（2x+1）ex，∴f′（0）=2e0+（2×0+1）e0=2+1=3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題．11．（5分）（2016?天津）閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出S的值為4．【分析】根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)，結(jié)合循環(huán)的條件，求出最后輸出S的值．【解答】解：第一次循環(huán)：S=8，n=2；第二次循環(huán)：S=2，n=3；第三次循環(huán)：S=4，n=4，結(jié)束循環(huán)，輸出S=4，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查程序框圖，循環(huán)結(jié)構(gòu)，注意循環(huán)的條件，屬于基礎(chǔ)題．12．（5分）（2016?天津）已知圓C的圓心在x軸正半軸上，點(diǎn)（0，）圓C上，且圓心到直線2x﹣y=0的距離為，則圓C的方程為（x﹣2）2+y2=9．【分析】由題意設(shè)出圓的方程，把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入圓的方程，結(jié)合圓心到直線的距離列式求解．【解答】解：由題意設(shè)圓的方程為（x﹣a）2+y2=r2（a＞0），由點(diǎn)M（0，）在圓上，且圓心到直線2x﹣y=0的距離為，得，解得a=2，r=3．∴圓C的方程為：（x﹣2）2+y2=9．故答案為：（x﹣2）2+y2=9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，訓(xùn)練了點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，是中檔題．13．（5分）（2016?天津）如圖，AB是圓的直徑，弦CD與AB相交于點(diǎn)E，BE=2AE=2，BD=ED，則線段CE的長(zhǎng)為．【分析】由BD=ED，可得△BDE為等腰三角形，過(guò)D作DH⊥AB于H，由相交弦定理求得DH，在Rt△DHE中求出DE，再由相交弦定理求得CE．【解答】解：如圖，過(guò)D作DH⊥AB于H，∵BE=2AE=2，BD=ED，∴BH=HE=1，則AH=2，BH=1，∴DH2=AH?BH=2，則DH=，在Rt△DHE中，則，由相交弦定理可得：CE?DE=AE?EB，∴．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查與圓有關(guān)的比例線段，考查相交弦定理的應(yīng)用，是中檔題．14．（5分）（2016?天津）已知函數(shù)f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程|f（x）|=2﹣恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是[，）．【分析】由減函數(shù)可知f（x）在兩段上均為減函數(shù)，且在第一段的最小值大于或等于第二段上的最大值，作出|f（x）|和y=2﹣的圖象，根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷3a與2的大小關(guān)系，列出不等式組解出．【解答】解：∵f（x）是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，∴y=x2+（4a﹣3）x+3a在（﹣∞．，0）上單調(diào)遞減，y=loga（x+1）+1在（0，+∞）上單調(diào)遞減，且f（x）在（﹣∞，0）上的最小值大于或等于f（0）．∴，解得≤a≤．作出y=|f（x）|和y=2﹣的函數(shù)草圖如圖所示：∵|f（x）|=2﹣恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，∴3a＜2，即a．綜上，．故答案為[，）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷，結(jié)合函數(shù)函數(shù)圖象判斷端點(diǎn)值的大小是關(guān)鍵，屬于中檔題．三、解答題：本大題共6小題，80分15．（13分）（2016?天津）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知asin2B=bsinA．（1）求B；（2）已知cosA=，求sinC的值．【分析】（1）利用正弦定理將邊化角即可得出cosB；（2）求出sinA，利用兩角和的正弦函數(shù)公式計(jì)算．【解答】解：（1）∵asin2B=bsinA，∴2sinAsinBcosB=sinBsinA，∴cosB=，∴B=．（2）∵cosA=，∴sinA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理解三角形，兩角和的正弦函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．16．（13分）（2016?天津）某化工廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，需要A，B，C三種主要原料，生產(chǎn)1扯皮甲種肥料和生產(chǎn)1車皮乙種肥料所需三種原料的噸數(shù)如表所示：ABC甲483乙5510現(xiàn)有A種原料200噸，B種原料360噸，C種原料300噸，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)甲、乙兩種肥料．已知生產(chǎn)1車皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤(rùn)為2萬(wàn)元；生產(chǎn)1車品乙種肥料，產(chǎn)生的利潤(rùn)為3萬(wàn)元、分別用x，y表示計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種肥料的車皮數(shù)．（1）用x，y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；（2）問(wèn)分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料，求出此最大利潤(rùn)．【分析】（1）根據(jù)原料的噸數(shù)列出不等式組，作出平面區(qū)域；（2）令利潤(rùn)z=2x+3y，則y=﹣，結(jié)合可行域找出最優(yōu)解的位置，列方程組解出最優(yōu)解．【解答】解：（1）x，y滿足的條件關(guān)系式為：．作出平面區(qū)域如圖所示：（2）設(shè)利潤(rùn)為z萬(wàn)元，則z=2x+3y．∴y=﹣x+．∴當(dāng)直線y=﹣x+經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，截距最大，即z最大．解方程組得B（20，24）．∴z的最大值為2×20+3×24=112．答：當(dāng)生產(chǎn)甲種肥料20噸，乙種肥料24噸時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為112萬(wàn)元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃的應(yīng)用，抽象概括能力和計(jì)算求解能力，屬于中檔題．17．（13分）（2016?天津）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，DE=3，BC=EF=1，AE=，∠BAD=60°，G為BC的中點(diǎn)．（1）求證：FG∥平面BED；（2）求證：平面BED⊥平面AED；（3）求直線EF與平面BED所成角的正弦值．【分析】（1）利用中位線定理，和平行公理得到四邊形OGEF是平行四邊形，再根據(jù)線面平行的判定定理即可證明；（2）根據(jù)余弦定理求出BD=，繼而得到BD⊥AD，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明；（3）先判斷出直線EF與平面BED所成的角即為直線AB與平面BED所形成的角，再根據(jù)余弦定理和解直角三角形即可求出答案．【解答】證明：（1）BD的中點(diǎn)為O，連接OE，OG，在△BCD中，∵G是BC的中點(diǎn)，∴OG∥DC，且OG=DC=1，又∵EF∥AB，AB∥DC，∴EF∥OG，且EF=0G，即四邊形OGEF是平行四邊形，∴FG∥OE，∵FG?平面BED，OE?平面BED，∴FG∥平面BED；（2）證明：在△ABD中，AD=1，AB=2，∠BAD=60°，由余弦定理可得BD=，僅而∠ADB=90°，即BD⊥AD，又∵平面AED⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，∴BD⊥平面AED，∵BD?平面BED，∴平面BED⊥平面AED．（Ⅲ）∵EF∥AB，∴直線EF與平面BED所成的角即為直線AB與平面BED所形成的角，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥DE于點(diǎn)H，連接BH，又平面BED∩平面AED=ED，由（2）知AH⊥平面BED，∴直線AB與平面BED所成的角為∠ABH，在△ADE，AD=1，DE=3，AE=，由余弦定理得cos∠ADE=，∴sin∠ADE=，∴AH=AD?，在Rt△AHB中，sin∠ABH==，∴直線EF與平面BED所成角的正弦值【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與平面的平行和垂直，平面與平面的垂直，直線與平面所成的角，考查了空間想象能力，運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于中檔題．18．（13分）（2016?天津）已知{an}是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn（n∈N*），且﹣=，S6=63．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若對(duì)任意的n∈N*，bn是log2an和log2an+1的等差中項(xiàng)，求數(shù)列{（﹣1）nb}的前2n項(xiàng)和．【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程解出公比q，利用求和公式解出a1，得出通項(xiàng)公式；（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出bn，使用分項(xiàng)求和法和平方差公式計(jì)算．【解答】解：（1）設(shè){an}的公比為q，則﹣=，即1﹣=，解得q=2或q=﹣1．若q=﹣1，則S6=0，與S6=63矛盾，不符合題意．∴q=2，∴S6==63，∴a1=1．∴an=2n﹣1．（2）∵bn是log2an和log2an+1的等差中項(xiàng)，∴bn=（log2an+log2an+1）=（log22n﹣1+log22n）=n﹣．∴bn+1﹣bn=1．∴{bn}是以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列．設(shè){（﹣1）nbn2}的前n項(xiàng)和為Tn，則Tn=（﹣b12+b22）+（﹣b32+b42）+…+（﹣b2n﹣12+b2n2）=b1+b2+b3+b4…+b2n﹣1+b2n===2n2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的性質(zhì)，分項(xiàng)求和的應(yīng)用，屬于中檔題．19．（14分）（2016?天津）設(shè)橢圓+=1（a＞）的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，已知+=，其中O為原點(diǎn)，e為橢圓的離心率．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線l與橢圓交于B（B不在x軸上），垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)H，若BF⊥HF，且∠MOA=∠MAO，求直線l的斜率．【分析】（1）由題意畫出圖形，把|OF|、|OA|、|FA|代入+=，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的方程，解方程求得a值，則橢圓方程可求；（2）由已知設(shè)直線l的方程為y=k（x﹣2），（k≠0），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得B的坐標(biāo)，再寫出MH所在直線方程，求出H的坐標(biāo)，由BF⊥HF，得，整理得到M的坐標(biāo)與k的關(guān)系，由∠MOA=∠MAO，得到x0=1，轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的等式求得k的值．【解答】解：（1）由+=，得+=，即=，∴a[a2﹣（a2﹣3）]=3a（a2﹣3），解得a=2．∴橢圓方程為；（2）由已知設(shè)直線l的方程為y=k（x﹣2），（k≠0），設(shè)B（x1，y1），M（x0，k（x0﹣2）），∵∠MOA=∠MAO，∴x0=1，再設(shè)H（0，yH），聯(lián)立，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0．△=（﹣16k2）2﹣4（3+4k2）（16k2﹣12）=144＞0．由根與系數(shù)的關(guān)系得，∴，，MH所在直線方程為y﹣k（x0﹣2）=﹣（x﹣x0），令x=0，得yH=（k+）x0﹣2k，∵BF⊥HF，∴，即1﹣x1+y1yH=1﹣[（k+）x0﹣2k]=0，整理得：=1，即8k2=3．∴k=﹣或k=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了“整體運(yùn)算”思想方法和“設(shè)而不求”的解題思想方法，考查運(yùn)算能力，是難題．20．（14分）（2016?天津）設(shè)函數(shù)f（x）=x3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若f（x）存在極值點(diǎn)x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求證：x1+2x0=0；（3）設(shè)a＞0，函數(shù)g（x）=|f（x）|，求證：g（x）在區(qū)間[﹣1，1]上的最大值不小于．【分析】（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論a≤0時(shí)f′（x）≥0，f（x）在R上遞增；當(dāng)a＞0時(shí)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；（2）由條件判斷出a＞0，且x0≠0，由f′（x0）=0求出x0，分別代入解析式化簡(jiǎn)f（x0），f（﹣2x0），化簡(jiǎn)整理后可得證；（3）設(shè)g（x）在區(qū)間[﹣1，1]上的最大值M，根據(jù)極值點(diǎn)與區(qū)間的關(guān)系對(duì)a分三種情況討論，運(yùn)用f（x）單調(diào)性和前兩問(wèn)的結(jié)論，求出g（x）在區(qū)間上的取值范圍，利用a的范圍化簡(jiǎn)整理后求出