第八章 過渡過程的經(jīng)典解法 2014下半年

1第八章過渡過程的經(jīng)典解法28-1概述電路從一種穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)為另一種穩(wěn)定狀態(tài)的過程，稱為過渡過程。3在過渡過程的分析中，常將外界對(duì)電路的輸入稱為激勵(lì)，將電路在激勵(lì)作用下所產(chǎn)生的電流、電壓稱為響應(yīng)(或輸出)。一個(gè)電路若引入激勵(lì)歷時(shí)已久，那么這個(gè)電路在激勵(lì)作用足夠長(zhǎng)時(shí)間所建立的狀態(tài)稱為強(qiáng)制狀態(tài)或強(qiáng)迫狀態(tài)。當(dāng)一個(gè)穩(wěn)定電路的激勵(lì)是恒定或隨時(shí)間作周期性變化時(shí)，強(qiáng)制狀態(tài)就是穩(wěn)定狀態(tài)，簡(jiǎn)稱穩(wěn)態(tài)。僅由電阻和電源組成的網(wǎng)絡(luò)稱為電阻網(wǎng)絡(luò)，響應(yīng)是即時(shí)跟隨的，是無(wú)記憶的，故電阻網(wǎng)絡(luò)也稱即時(shí)網(wǎng)絡(luò)。含有電容、電感等動(dòng)態(tài)元件的電路，稱為動(dòng)態(tài)電路。在求解動(dòng)態(tài)電路過渡過程時(shí)，任一時(shí)刻的響應(yīng)不僅與當(dāng)前的激勵(lì)有關(guān)，而且與過去的電路狀態(tài)有關(guān)。4求解動(dòng)態(tài)電路過渡過程的四種方法(1)經(jīng)典法(電路時(shí)域分析法)：根據(jù)電路來列寫關(guān)于響應(yīng)x(t)的微分方程，在時(shí)域直接求解微分方程，求出其特解和通解，再由初始條件決定積分常數(shù)。

(2)運(yùn)算法(電路復(fù)頻域分析法)：應(yīng)用拉普拉斯變換(簡(jiǎn)稱拉氏變換)得到關(guān)于響應(yīng)的復(fù)頻域代數(shù)方程，求出響應(yīng)的象函數(shù)，再經(jīng)拉氏反變換，最后得到時(shí)域解。

(3)積分法：利用卷積積分和裘阿梅里積分，在時(shí)域中直接求解任意函數(shù)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)。

(4)狀態(tài)變量法：適當(dāng)選擇一組狀態(tài)變量，將一個(gè)n階微分方程變換為幾個(gè)一階微分方程組，即狀態(tài)方程，然后求解狀態(tài)方程最后得到響應(yīng)。58-2階躍函數(shù)和沖激函數(shù)在分析線性電路過渡過程時(shí)，常使用一些奇異函數(shù)來描述電路中的激勵(lì)或響應(yīng)。單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)1(t)定義為階躍函數(shù)K?1(t)，又稱為開關(guān)函數(shù)6延時(shí)單位階躍函數(shù)利用階躍函數(shù)和延時(shí)階躍函數(shù)表示矩形脈沖函數(shù)7單位沖激函數(shù)單位沖激函數(shù)定義為單位脈沖函數(shù)定義89沖激函數(shù)的篩分性質(zhì)108-3換路定則和初始條件電路的結(jié)構(gòu)、參數(shù)突然改變或激勵(lì)的突然變化，統(tǒng)稱為換路。在換路時(shí)，通常電路服從換路定則。換路定則1：當(dāng)電容電流ic為有限值時(shí)，電容上的電荷qc和電壓uc在換路瞬間保持連續(xù)。1112初始條件的確定利用換路定則、基爾霍夫定律、歐姆定律131415當(dāng)電路換路后，電路中存在由電壓源、電容組成的回路或純電容回路時(shí)，換路定則不再適用，各電容電壓可能會(huì)跳變，此時(shí)電容電流不再是有限值。16當(dāng)電路換路后，電路中存在由電流源和電感組成的割集或純電感割集時(shí)，換路定則亦不再適用，各電感電流可能要發(fā)生跳變，此時(shí)電感電壓不再是有限值。1718磁鏈為代數(shù)量，選擇回路方向，當(dāng)電感電流方向與回路方向一致時(shí)，取正，反之取負(fù)。19小結(jié)：(3)當(dāng)電容電壓、電感電流發(fā)生強(qiáng)迫跳變時(shí)，在節(jié)點(diǎn)上電荷守恒，即。值得注意的是，電荷為代數(shù)量，當(dāng)與節(jié)點(diǎn)相連為電容正極板時(shí)，電荷取正，反之，取負(fù)；在回路中磁鏈?zhǔn)睾?，即同樣，磁鏈也為代?shù)量，選擇回路方向，當(dāng)電感電流方向與回路方向一致時(shí)，取正，反之取負(fù)。(2)當(dāng)電路中存在電壓源與電容組成的回路或純電容回路時(shí)，存在電流源與電感組成的割集或純電感割集時(shí)，在換路前后瞬間電容電壓、電感電流將發(fā)生強(qiáng)迫突變，不再滿足換路定則。(1)換路定則：通常情況下，在換路前后瞬間電容電壓連續(xù)，即；電感電流連續(xù)，即。208-4一階電路的零輸入響應(yīng)當(dāng)電路中含有一個(gè)儲(chǔ)能元件L或C時(shí)，列寫的電路基爾霍夫電流或電壓定律方程通常是一階微分方程。僅含一個(gè)獨(dú)立儲(chǔ)能元件的電路稱為一階電路。當(dāng)電路中沒有激勵(lì)，僅由儲(chǔ)能元件的初始儲(chǔ)能引起的響應(yīng)，稱為零輸入響應(yīng)。RC電路RL電路21RC電路的零輸入響應(yīng)當(dāng)t>0，S切換至2后，由KVL得上式是一個(gè)一階線性常系數(shù)齊次微分方程，其特征方程為特征根為齊次方程的通解為22負(fù)號(hào)表示實(shí)際的電容放電電流方向與假設(shè)的參考方向相反。i還可以這樣求23τ具有時(shí)間的量綱，因而稱為電路的時(shí)間常數(shù)。時(shí)間常數(shù)τ的大小反映了過渡過程進(jìn)展的快慢。τ越大，過渡過程維持的時(shí)間越長(zhǎng)、過渡過程進(jìn)行得越慢；τ越小，過渡過程維持的時(shí)間越短，過渡過程進(jìn)行得越快。從理論上說，過渡過程需要經(jīng)過無(wú)窮長(zhǎng)的時(shí)間才能結(jié)束，當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)，但實(shí)際上去經(jīng)過3τ～5τ時(shí)間后，通常認(rèn)為過渡過程基本結(jié)束，因?yàn)轫憫?yīng)衰減至初始值的5%~0.67%244τ從衰減曲線上任一點(diǎn)P作切線25時(shí)間常數(shù)τ的大小取決于電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與激勵(lì)無(wú)關(guān)。RC串聯(lián)電路的時(shí)間常數(shù)τ=RC。R、C愈大，τ愈大。當(dāng)R一定時(shí)、C愈大，則電容C上儲(chǔ)存的初始能量越大，放電時(shí)間愈長(zhǎng)；當(dāng)C一定時(shí)、R愈大，則放電電流愈小，放電時(shí)間愈長(zhǎng)。上述的過渡過程實(shí)質(zhì)上是電容中原來儲(chǔ)存的電場(chǎng)能轉(zhuǎn)換為電阻消耗的熱能的過程。在整個(gè)過渡過程中，電阻消耗的總能量為26RL電路的零輸入響應(yīng)2728時(shí)間常數(shù)τ在RL電路中，時(shí)間常數(shù)τ與L成正比，與R成反比。當(dāng)R一定時(shí)，L愈大，電感中儲(chǔ)存的初始能量愈大，放電時(shí)間愈長(zhǎng)；當(dāng)L一定時(shí)，R越大，電阻R消耗的功率Ri2愈大，磁場(chǎng)能轉(zhuǎn)化為熱能的速率愈大，放電時(shí)間愈短，時(shí)間常數(shù)愈小。電阻上消耗的總能量為電阻上消耗的能量就等于電感L上的初始儲(chǔ)能。從RC和RL電路的零輸人響應(yīng)可以看出，零輸入響應(yīng)的大小與其對(duì)應(yīng)的初始值成正比關(guān)系。例如式(8-4-11)，當(dāng)電流i的初值增大K倍，則零輸入響應(yīng)i也隨之增大K倍。這一特性稱為零輸入線性。零輸入線性298-5一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)當(dāng)所有的儲(chǔ)能元件均沒有初始儲(chǔ)能，電路處于零初始狀態(tài)情況下，外加激勵(lì)在電路中產(chǎn)生的響應(yīng)稱為零狀態(tài)響應(yīng)。直流激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)RC串聯(lián)電路開關(guān)S原置于位置2，電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，，電容上無(wú)初始儲(chǔ)能。30當(dāng)t>0后，電壓源對(duì)電容C充電。電容C從初始電壓為零逐漸增大，最終充電至穩(wěn)態(tài)電壓Us，而電流i則從初始值逐漸減小，最終衰減至穩(wěn)態(tài)值零。31微分方程的特解所對(duì)應(yīng)的分量就是強(qiáng)制分量，齊次方程的通解對(duì)應(yīng)的分量就稱為自由分量。當(dāng)電路中激勵(lì)為恒定或隨時(shí)間作周期性變化時(shí)，強(qiáng)制分量就是穩(wěn)態(tài)分量，也稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)；自由分量就稱為暫態(tài)分量，也稱為暫態(tài)響應(yīng)。一般將單位階躍函數(shù)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為單位階躍響應(yīng)。在如圖所示電路中，若Us=1V，那么電容電壓uc(t)、電流i(t)以及電阻上的電壓uR(t)是單位階躍響應(yīng)。若Us=K時(shí)，那么電路的零狀態(tài)響應(yīng)是對(duì)應(yīng)的階躍響應(yīng)的K倍，這一特性稱為零狀態(tài)線性。32RL串聯(lián)電路特解對(duì)應(yīng)的分量就是強(qiáng)制分量，此處的激勵(lì)是直流電源，所以強(qiáng)制分量就是穩(wěn)態(tài)分量。因此換路后電路達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)電流就是特解33積分常數(shù)A由初始條件確定。在t=0時(shí)刻，根據(jù)換路定則34正弦交流激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)RC串聯(lián)電路仍以圖8-5-1所示電路為例，將直流電壓源改為正弦交流電壓源3536式(8-5-16)～式(8-5-18)說明電源的初相角對(duì)暫態(tài)分量的大小有影響，通常稱為接通角。當(dāng)，電容電壓的暫態(tài)分量最大。從式(8-5-16)不難看出，電容過渡電壓的最大值無(wú)論如何不會(huì)超過穩(wěn)態(tài)電壓幅值的兩倍，但是從式(8-5-17)可以看出，在某些情況下，過渡電流的最大值將大大超過穩(wěn)態(tài)電流的幅值。37工程上遇到接通電容電路，例如接通空載電纜或架空母線時(shí)，會(huì)形成極大的電流沖擊，應(yīng)注意采取相應(yīng)的安全措施。38RL串聯(lián)電路仍以如圖所示電路為例，將直流電壓源改為正弦交流電壓源非齊次微分方程的全解是特解ip(t)與通解ih(t)之和特解就是正弦交流激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)電流，可用相量求解394041回顧上述的RC、RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)，無(wú)論是在直流還是在正弦交流激勵(lì)下，零狀態(tài)響應(yīng)的大小均與激勵(lì)成正比關(guān)系。倘若激勵(lì)擴(kuò)大K倍，各零狀態(tài)響應(yīng)也隨之?dāng)U大K倍，這一特性稱為零狀態(tài)線性。428-6一階電路的全響應(yīng)和三要素法由外加激勵(lì)和非零初始狀態(tài)的儲(chǔ)能元件的初始儲(chǔ)能共同引起的響應(yīng)，稱為全響應(yīng)。全響應(yīng)就是微分方程的全解，是方程的特解與其齊次方程的通解之和。全響應(yīng)開關(guān)S閉合前，電容兩端已有初始電壓uc(0-)=U043全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)上述結(jié)論的另外一種引出方法這一方法也適用于高階線性常系數(shù)微分方程的情況，故高階電路也具備這一性質(zhì)。44用經(jīng)典法求解一階電路過渡過程，一階電路的全響應(yīng)等于對(duì)應(yīng)的一階線性常系數(shù)微分方程的全解，記為f(t)三要素法上式就是著名的三要素公式。45一階動(dòng)態(tài)電路的三個(gè)要素(1)fp(t)：是一階線性常系數(shù)微分方程的特解，是一階動(dòng)態(tài)電路在激勵(lì)作用下的強(qiáng)制分量。各種激勵(lì)函數(shù)作用下的特解形式詳見表8—6—1。當(dāng)激勵(lì)是直流或正弦交流電源時(shí)，強(qiáng)制分量即是穩(wěn)態(tài)分量，這時(shí)候，可按直流電路、正弦交流穩(wěn)態(tài)電路的求解方法求得fp(t),fp(t)=f(∞)。(2)f(0+)：是響應(yīng)在換路后瞬間的初始值，按本章第三節(jié)中介紹的方法求解。(3)τ：是時(shí)間常數(shù)，一個(gè)一階電路只有一個(gè)時(shí)間常數(shù)。是電路儲(chǔ)能元件兩端的端口等效電阻。46474849505152535455565758598-7一階電路的階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)階躍響應(yīng)在單位階躍函數(shù)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為單位階躍響應(yīng)。如圖所示RL電路，設(shè)電壓us(t)=1V是單位階躍函數(shù),即us(t)=1(t),相當(dāng)于在t=0時(shí)刻接通1V的直流電壓倘若將圖中的激勵(lì)改變?yōu)檠訒r(shí)的單位階躍函數(shù)，即相當(dāng)于在t=t0時(shí)刻接通1V的直流電壓，仍以t=0時(shí)刻作為時(shí)間的起點(diǎn)，利用三要素公式得60非時(shí)變電路比較式(8-7-1)與式(8-7-2)，發(fā)現(xiàn)只要將式(8-7-1)中的時(shí)間變量t用延時(shí)的時(shí)間變量(t-t0)替代，就得到式(8-7-2)。由此可見，該電路的激勵(lì)延時(shí)t0，則響應(yīng)也隨之延時(shí)t0，這種電路稱為非時(shí)變電路。若電路中的R、L、C、M均為常系數(shù)，這樣的電路都是非時(shí)變電路。616263如圖所示的周期性矩形脈沖電壓序列us(t)作用下RL串聯(lián)電路的零狀態(tài)響應(yīng)電流i(t)為64沖激響應(yīng)單位沖激響應(yīng)是指單位沖激函數(shù)δ(t)激勵(lì)下電路的零狀態(tài)響應(yīng)，常以h(t)表示。根據(jù)沖激函數(shù)的特點(diǎn)，沖激激勵(lì)δ(t)可看做在t=0時(shí)刻電路中有一個(gè)幅度為無(wú)限大而作用時(shí)間為無(wú)限小的電源。當(dāng)t<0時(shí)，顯然沒有激勵(lì)作用；當(dāng)t=0時(shí)，無(wú)限大激勵(lì)作用,使儲(chǔ)能元件的初始儲(chǔ)能從0-到0+無(wú)限短時(shí)間里發(fā)生跳變，建立起t=0+時(shí)刻的初始儲(chǔ)能;當(dāng)t>0后，顯然也沒有激勵(lì)，電路依靠t=0+時(shí)刻的初始儲(chǔ)能產(chǎn)生零輸入響應(yīng)。因此，求沖激響應(yīng)的關(guān)鍵是求換路后瞬間的初始值。65式(8-7-7)可知，i