湖北省荊州重點中學2019-2020學年高二下學期7月周考-數(shù)學試題

試卷第=page22頁，總=sectionpages33頁試題（數(shù)學）一、單選題1．已知為虛數(shù)單位，，則復(fù)數(shù)的虛部為()A． B．1 C． D．2．從6名男生和2名女生中選出3名志愿者，其中至少有1名女生的選法共有()A．36種B．30種C．42種D．60種3．已知學生賈天才考試中每一道簡單題做對的概率為，每一道中等題做對的概率為，每一道難題有三個選項，其中正確答案有且只有一項，賈天才面對難題時，他極有自知之明，答案完全憑感覺隨機蒙一個。在賈天才參加的某次考試中，簡單題有8道題，做對一題得5分，做錯或不做得0分；中等題有有6道題，做對一題得10分，做錯或不做得0分；難題有3道題，做對一題得15分，做錯或不做得0分.則賈天才在本次考試中所得分數(shù)的數(shù)學期望為（）A．70分 B．145分 C．95分 D．85分4．已知圓上存在不同兩點關(guān)于直線對稱，則實數(shù)()A． B． C． D．5.已知橢圓與拋物線有一個公共焦點，橢圓的離心率是0和1的等差中項，則橢圓的長軸長為()A． B． C． D．6．為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表：收入（萬元）8.28.610.011.311.9支出（萬元）6.27.5m8.59.3根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得回歸直線方程，據(jù)此估計，該社區(qū)一戶年收入為20萬元家庭的年支出約為15萬元，則m的值為()A．8.0 B．8.5 C．9.6 D．8.87．已知拋物線上一點到該拋物線焦點距離為，為已知拋物線上任意一點，則的取值范圍為()A． B． C． D．8．若焦點在軸上的雙曲線的離心率為，則該雙曲線的一個焦點到其中一條漸近線的距離為()A． B． C． D．9．已知是單位向量，點的坐標為,則點的坐標為()A．或 B．或C．或 D．選項A、B、C都不對10．如圖的莖葉圖是甲、乙兩人在4次模擬測試中的成績，其中一個數(shù)字被污損，事件A：甲的平均成績超過乙的平均成績；事件B：乙在4次考試中成績的中位數(shù)不高于90分，則的值為()A． B． C． D．11．已知是函數(shù)的一個極值點，直線與函數(shù)的圖象恰有兩個不同交點，則實數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．12．已知方程表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為，則實數(shù)n的取值范圍是()A．(－1,3)B．(－1，eq\r(3))C． D．二、填空題13.已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象在點處的切線方程為_______.14．的展開式中二項式系數(shù)最大的項為第五項和第六項，則該展開式的常數(shù)項是__________．（用數(shù)字作答）15．已知某批零件的長度誤差（單位）服從正態(tài)分布，若，，現(xiàn)從中隨機取一件，其長度誤差落在區(qū)間內(nèi)的概率_____________．16．在三棱錐中，若，則該三棱錐外接球的體積為_________．三、解答題17.(本小題滿分10分)已知數(shù)列的前項和滿足（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和。18．(本小題滿分12分)2022年北京冬奧會的申辦成功與“3億人上冰雪”口號的提出，將冰雪這個冷項目迅速炒“熱”．北京某綜合大學計劃在一年級開設(shè)冰球課程，為了解學生對冰球運動的興趣，隨機從該校一年級學生中抽取了100人進行調(diào)查，其中女生中對冰球運動有興趣的占eq\f(2,3)，而男生有10人表示對冰球運動沒有興趣．(1)完成2×2列聯(lián)表，并回答能否有90%的把握認為“對冰球是否有興趣與性別有關(guān)”？有興趣沒興趣合計男55女合計(2)現(xiàn)從該校一年級全體學生中，隨機抽取了12名學生，發(fā)現(xiàn)12名學生中對冰球有興趣的學生頻率恰好等于之前抽取的100名學生中對冰球有興趣的學生頻率，再從被抽取的12名學生中隨機抽取3名學生，求抽取的3名學生中至少含有一名對冰球沒興趣的學生的概率。附表：P(K2≥k0)0.1500.1000.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635，19．(本小題滿分12分)如圖，在多面體中，四邊形為菱形，∥，⊥，且平面⊥平面(1)求證：⊥；(2)若求二面角的余弦值．20．(本小題滿分12分)已知函數(shù)(1)當時，判斷在定義域上的單調(diào)性；(2)若在上的最小值為，求實數(shù)的值.21．(本小題滿分12分)已知曲線與x軸交于兩點，且點在點左側(cè)，點P為x軸上方的一個動點，是線段的中點，直線(為坐標原點)的斜率與直線的斜率之積為－4.(1)求動點的軌跡的方程；(2)過點的直線與分別交于點(均異于點)，在三角形中，為銳角，求直線的斜率的取值范圍．22．(本小題滿分12分)已知函數(shù)(1)當時，若函數(shù)恰有一個零點，求的取值范圍；(2)當時，恒成立，求的取值范圍．

試題（數(shù)學）參考答案一、單選題題號010203040506070809101112答案BADCDBCAADCD二、填空題13、14、15、16、三、解答題17.解：首項未考慮的學生，扣除2分，全對得5分，只有首項正確，給1分第二問只要錯位相減法基本過程到位，結(jié)果不正確這一問給3分，完全正確（包括化簡非最簡形式）這一問給5分18解(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：有興趣沒興趣合計男451055女301545合計7525100根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到K2＝eq\f(100×45×15－10×302,55×45×75×25)＝eq\f(100,33)≈3.030.K2≈3.030>2.706，所以有90%的把握認為“對冰球是否有興趣與性別有關(guān)”.5分(2)由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)可知，對冰球有興趣的學生頻率是eq\f(3,4)7分故抽取的12名學生中對冰球有興趣的學生人數(shù)為，沒有興趣的人數(shù)3人所以概率為算式正確，結(jié)果不對扣2分19解(1)證明：連接AC，由四邊形ABCD為菱形可知AC⊥BD，1分∵平面BED⊥平面ABCD，且交線為BD，∴AC⊥平面BED，∴AC⊥ED，又AF∥DE，∴AF⊥AC，3分∵AF⊥AD，AC∩AD＝A，∴AF⊥平面ABCD，∵CD?平面ABCD，∴AF⊥CD.4分(2)設(shè)AC∩BD＝O，過點O作DE的平行線OG，由(1)可知OA，OB，OG兩兩互相垂直，則可建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz，6分設(shè)AF＝AD＝eq\f(1,2)ED＝2a(a>0)，則A(eq\r(3)a,0,0)，B(0，a,0)，F(xiàn)(eq\r(3)a,0,2a)，E(0，－a,4a)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)a，a,0)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(0,0,2a)，eq\o(BE,\s\up6(→))＝(0，－2a，4a)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝(eq\r(3)a，－a,2a)，8分設(shè)平面ABF的法向量為m＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(AB,\s\up6(→))＝0，,m·\o(AF,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\r(3)x＋y＝0，,2z＝0.))取y＝eq\r(3)，則m＝(1，eq\r(3)，0)為平面ABF的一個法向量，同理可得n＝(0,2,1)為平面FBE的一個法向量.10分則cos〈m，n〉＝eq\f(2\r(3),2×\r(5))＝eq\f(\r(15),5)，又二面角A－FB－E的平面角為鈍角，則其余弦值為－eq\f(\r(15),5).12分20.解：(1)由題得f(x)的定義域為(0,＋∞)，且f′(x)＝＋＝.∵a>0，∴f′(x)>0，故f(x)在(0,＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù).(2)由(1)可知：f′(x)＝，①若a≥－1，則x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1,e]上恒成立，此時f(x)在[1,e]上為增函數(shù)，∴f(x)min＝f(1)＝－a＝，∴a＝－(舍去). ②若a≤－e，則x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1,e]上恒成立，此時f(x)在[1,e]上為減函數(shù)，∴f(x)min＝f(e)＝1－＝，∴a＝－(舍去).③若－e<a<－1，令f′(x)＝0，得x＝－a.當1<x<－a時，f′(x)<0，∴f(x)在(1,－a)上為減函數(shù)；當－a<x<e時，f′(x)>0，∴f(x)在(－a,e)上為增函數(shù)，∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝?a＝－.綜上可知：a＝－.21解：(1)易知A(－1,0)，B(1,0)，設(shè)P(x，y)(y>0)，因為DO∥PA，所以kDOkPB＝kPAkPB，則kAPkBP＝eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－1)＝－4，整理，得eq\f(y2,4)＋x2＝1(y>0)，所以動點P的軌跡C2的方程為eq\f(y2,4)＋x2＝1(y>0).5分(沒有y的范圍扣1分)(2)由(1)知，上半橢圓C2的方程為eq\f(y2,4)＋x2＝1(y>0)．易知，直線l與x軸不重合也不垂直，設(shè)其方程為y＝k(x－1)(k≠0)，代入C2的方程整理得(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.(*)設(shè)點M的坐標為(xM，yM)，∵直線l過點B，∴x＝1是方程(*)的一個根，由求根公式得xM＝eq\f(k2－4,k2＋4)，從而yM＝eq\f(－8k,k2＋4)，∴點M的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k2－4,k2＋4)，\f(－8k,k2＋4)))，7分同理，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，k≠0，,y＝－x2＋1，y≤0))得點Q的坐標為(－k－1，－k2－2k)，8分eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2k2,k2＋4)，\f(－8k,k2＋4)))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(－k，－k2－2k)．由題意可知eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AQ,\s\up6(→))>0，即eq\f(－2k2,k2＋4)[k－4(k＋2)]>0，∴k－4(k＋2)<0，解得k>－eq\f(8,3)，10分因為y′＝(－2x)|x＝1＝－2，即直線l與拋物線在B處相切時，切線的斜率為－2.而直線l與兩曲線有交點，必須k<－2.所以直線l的斜率的取值范圍為－eq\f(8,3)<k<－2.12分22解：(1)函數(shù)g(x)的定義域為(0，＋∞)，當m＝－eq\f(1,2)時，g(x)＝alnx＋x2，所以g′(x)＝eq\f(a,x)＋2x＝eq\f(2x2＋a,x)，1分①當a＝0時，g(x)＝x2，x>0時無零點，2分②當a>0時，g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，因為g(1)＝1，所以g(x0)·g(1)<0，此時函數(shù)g(x)恰有一個零點，4分③當a<0時，令g′(x)＝0，解得x＝eq\r(－\f(a,2))，當0<x<eq\r(－\f(a,2))時，g′(x)<0，所以g(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(－\f(a,2))))上單調(diào)遞減；當x>eq\r(－\f(a,2))時，g′(x)>0，所以g(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(－\f(a,2))，＋∞))上單調(diào)遞增．要使函數(shù)g(x)恰有一個零點，則geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(－\f(a,2))))＝alneq\r(－\f(a,2))－eq\f(a,2)＝0即a＝－2e，綜上所述，若函數(shù)g(x)恰有一個零點，則a＝－2e或a>0.6分(2)令h(x)＝f(x)－(1－m)x2＝mx2－(2m＋1)x＋lnx，根據(jù)題意，當x∈(1，＋∞)時，h(x)<0恒成立，又h′(x)＝2mx－(2m＋1)＋eq\f(1,x)＝eq\f(x－12mx－1,