廣東省東莞市虎門中學(xué)等七校2024屆高三上學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)廣東省東莞市虎門中學(xué)等七校2024屆高三上學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（

）A．2 B．1 C． D．3．對(duì)于定義域是的任意奇函數(shù)，都有（

）A． B．C． D．4．假設(shè)你有一筆資金，現(xiàn)有三種投資方案，這三種方案的回報(bào)如下：方案一：每天回報(bào)40元；方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元；方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番．現(xiàn)打算投資10天，三種投資方案的總收益分別為，，，則A． B．C． D．5．函數(shù)在上單調(diào)遞減，則t的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．等邊邊長(zhǎng)為，，則（

）A． B． C． D．7．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．9 B．8 C．3 D．8．向量，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．二、多選題9．某學(xué)校一同學(xué)研究溫差x（℃）與本校當(dāng)天新增感冒人數(shù)y（人）的關(guān)系，該同學(xué)記錄了5天的數(shù)據(jù)：x568912y1720252835經(jīng)過(guò)擬合，發(fā)現(xiàn)基本符合經(jīng)驗(yàn)回歸方程，則（

）A．經(jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過(guò) B．C．時(shí)，殘差為 D．若去掉樣本點(diǎn)，則樣本的相關(guān)系數(shù)r增大10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A．的圖象可由曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到B．C．是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心D．在區(qū)間上單調(diào)遞增11．如圖，圓錐的底面圓的直徑，母線長(zhǎng)為，點(diǎn)是圓上異于，的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．與底面所成角為45°B．圓錐的表面積為C．的取值范圍是D．若點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，則二面角的平面角大小為45°12．已知大氣壓強(qiáng)隨高度的變化滿足關(guān)系式是海平面大氣壓強(qiáng)，.我國(guó)陸地地勢(shì)可劃分為三級(jí)階梯，其平均海拔如下表：平均海拔第一級(jí)階梯第二級(jí)階梯第三級(jí)階梯若用平均海拔的范圍直接代表各級(jí)階梯海拔的范圍，設(shè)在第一、二、三級(jí)階梯某處的壓強(qiáng)分別為，則（

）A． B．C． D．三、填空題13．已知，則的值為．14．已知，則的值為.15．某公司員工小明上班選擇自駕、坐公交車、騎共享單車的概率分別為，，，而他自駕，坐公交車，騎共享單車遲到的概率分別為，，，結(jié)果這一天他遲到了，在此條件下，他自駕去上班的概率是．16．已知是球的球面上兩點(diǎn)，，為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐體積的最大值為6，則球的表面積為.四、解答題17．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.（1）求B；（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng).五、證明題18．如圖，在長(zhǎng)方體中，和交于點(diǎn)為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)A到平面的距離.六、解答題19．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求；(2)若，記為的前項(xiàng)和，且滿足，求的最大值．七、應(yīng)用題20．某鄉(xiāng)鎮(zhèn)在實(shí)施鄉(xiāng)村振興的進(jìn)程中，大力推廣科學(xué)種田，引導(dǎo)廣大農(nóng)戶種植優(yōu)良品種，進(jìn)一步推動(dòng)當(dāng)?shù)剞r(nóng)業(yè)發(fā)展，不斷促進(jìn)農(nóng)業(yè)增產(chǎn)農(nóng)民增收.為了解某新品種水稻品種的產(chǎn)量情況，現(xiàn)從種植該新品種水稻的不同自然條件的田地中隨機(jī)抽取400畝，統(tǒng)計(jì)其畝產(chǎn)量（單位：噸）.并以此為樣本繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.附：.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828(1)求這400畝水稻平均畝產(chǎn)量的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表，精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）；(2)若這400畝水稻的灌溉水源有河水和井水，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了兩種水源灌溉的水稻的畝產(chǎn)量，并得到下表：畝產(chǎn)量超過(guò)畝產(chǎn)量不超過(guò)合計(jì)河水灌溉18090270井水灌溉7060130合計(jì)250150400試根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)分析，用井水灌溉是否比河水灌溉好？21．適量的運(yùn)動(dòng)有助于增強(qiáng)自身體質(zhì)，加快體內(nèi)新陳代謝，有利于抵御疾病．某社區(qū)組織社區(qū)居民參加有獎(jiǎng)投籃比賽，已知小李每次在罰球點(diǎn)投進(jìn)的概率都為．(1)若每次投籃相互獨(dú)立，小李在罰球點(diǎn)連續(xù)投籃6次，恰好投進(jìn)4次的概率為，求的最大值點(diǎn)；(2)現(xiàn)有兩種投籃比賽規(guī)則，規(guī)則一：在罰球點(diǎn)連續(xù)投籃6次，每投進(jìn)一次，獎(jiǎng)勵(lì)兩盒雞蛋，每次投籃相互獨(dú)立，每次在罰球點(diǎn)投進(jìn)的概率都以（1）中確定的作為p的值；規(guī)則二：連續(xù)投籃3次，每投進(jìn)一次，獎(jiǎng)勵(lì)四盒雞蛋．第一次在罰球點(diǎn)投籃，投進(jìn)的概率以（1）中確定的作為p的值，若前次投進(jìn)，則下一次投籃位置不變，投進(jìn)概率也不變，若前次未投進(jìn)，則下次投籃要后退1米，投進(jìn)概率變?yōu)樯洗瓮哆M(jìn)概率的一半．請(qǐng)分析小李應(yīng)選哪種比賽規(guī)則對(duì)自己更有利．八、證明題22．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，且，證明：，且．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)參考答案：1．C【分析】分析可得，由此可得出結(jié)論.【詳解】任取，則，其中，所以，，故，因此，.故選：C.2．B【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)的除法法則，結(jié)合復(fù)數(shù)的模公式即可求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以.所以，所以.故選：B.3．C【分析】根據(jù)為奇函數(shù)，可得，再對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可得正確答案.【詳解】∵為奇函數(shù)，∴，∴，又，∴，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了奇函數(shù)的定義和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.4．B【分析】設(shè)三種方案第天的回報(bào)分別為，，，由條件可知為常數(shù)列；是首項(xiàng)為10，公差為10的等差數(shù)列；是首項(xiàng)為0.4，公比為2的等比數(shù)列，然后求出投資10天三種投資方案的總收益為，，，即可判斷大小．【詳解】解：設(shè)三種方案第天的回報(bào)分別為，，，則，由條件可知為常數(shù)列；是首項(xiàng)為10，公差為10的等差數(shù)列；是首項(xiàng)為0.4，公比為2的等比數(shù)列．設(shè)投資10天三種投資方案的總收益為，，，則；；，所以．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵在于根據(jù)生活中的數(shù)據(jù)，轉(zhuǎn)化到數(shù)列中所需的基本量，公差，公比等，屬于中檔題.5．A【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得的單調(diào)性，從而可求得t的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，解得.故選：A6．D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】如圖所示，由是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，且，可得，所以.故選：D.7．C【分析】利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可【詳解】由條件知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選：C8．D【分析】直接由投影向量公式求解即可.【詳解】在上的投影向量為.故選：D.9．ABC【分析】計(jì)算樣本中心點(diǎn)可得驗(yàn)證選項(xiàng)A；由樣本中心點(diǎn)計(jì)算驗(yàn)證選項(xiàng)B；根據(jù)殘差的定義計(jì)算驗(yàn)證選項(xiàng)C；根據(jù)相關(guān)系數(shù)r的分析驗(yàn)證選項(xiàng)D．【詳解】，，所以樣本中心點(diǎn)為，則A正確；由，得，則B正確；由B知，，當(dāng)時(shí)，，則殘差為，則C正確；由相關(guān)系數(shù)公式可知，去掉樣本點(diǎn)后，相關(guān)系數(shù)r的公式中的分子、分母的大小都不變，故相關(guān)系數(shù)r的大小不變，故D不正確．故選：ABC．10．BC【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象確定函數(shù)的表達(dá)式為，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】由圖可知：，又經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以,故，由于故，對(duì)于A，的圖象可由曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，故B正確，對(duì)于C，，故是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故C正確，對(duì)于D，令，解得，故的其中兩個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為，，故在不單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤，故選:BC11．AC【分析】對(duì)于A，根據(jù)面，由判斷；對(duì)于B，由圓錐的側(cè)面積公式求解判斷；對(duì)于C，由求解判斷；對(duì)于D，取的中點(diǎn)，連接，，易得為二面角的平面角求解判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槊?，所以是與底面所成角，在中，圓錐的母線長(zhǎng)是，半徑，則，所以，則A正確；對(duì)于B，圓錐的側(cè)面積為，表面積為，則B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，為最小角，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，達(dá)到最大值，又因?yàn)榕c，不重合，則，又，可得，則C正確；對(duì)于D，如圖所示，

，取的中點(diǎn)，連接，，又為的中點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，又面，面，所以，又，面，故，所以為二面角的平面角，因?yàn)辄c(diǎn)為弧的中點(diǎn)，所以，，則，則D錯(cuò)誤.故選：AC.12．ACD【分析】根據(jù)題意，列出不等式，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解對(duì)數(shù)不等式即可求解.【詳解】設(shè)在第一級(jí)階梯某處的海拔為，則，即.因?yàn)椋?，解得A正確；由，得.當(dāng)時(shí)，，即，所以，B錯(cuò)誤；設(shè)在第二級(jí)階梯某處的海拔為，在第三級(jí)階梯某處的海拔為，則兩式相減可得.因?yàn)椋?，則，即，故均正確.故選:ACD.13．10【分析】根據(jù)給定條件，利用二項(xiàng)式定理直接列式計(jì)算作答.【詳解】依題意，.故答案為：1014．【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、二倍角的正余弦公式以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解.【詳解】.故答案為:.15．【分析】設(shè)小明遲到為事件A，小明自駕為事件B，由題可得，后由條件概率公式可得答案.【詳解】設(shè)小明遲到為事件A，小明自駕為事件B，則，.則在小明遲到的條件下，他自駕去上班的概率為.故答案為：16．【分析】當(dāng)平面時(shí)，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，列方程求解即可.【詳解】如圖所示，當(dāng)平面時(shí)，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時(shí)，故，則球的表面積為.故答案為：.17．（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)正弦定理以及兩角和的正弦公式即可求出，進(jìn)而求出；（2）根據(jù)余弦定理可得到，再根據(jù)三角形面積公式得到，即可求出，進(jìn)而求出的周長(zhǎng).【詳解】解：（1），由正弦定理得：，整理得：，∵在中，，∴，即，∴，即；（2）由余弦定理得：，∴，∵，∴，∴，∴，∴的周長(zhǎng)為.18．(1)證明見(jiàn)解析(2)1【分析】（1）利用空間中直線與平面平行的判定定理，結(jié)合三角形中位線即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面法向量，再根據(jù)及點(diǎn)到面的距離公式運(yùn)算求解．【詳解】（1）如圖，連接，，.因?yàn)殚L(zhǎng)方體中,且，所以四邊形為平行四邊形.所以為的中點(diǎn)，在中，因?yàn)?，分別為和的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)殚L(zhǎng)方體中,，則，，，，，，.所以，，.設(shè)平面的法向量為，則即，令，則，，可得.，所以點(diǎn)A到平面的距離為.19．(1)(2)12【分析】（1）利用與的關(guān)系計(jì)算即可；（2）利用等比數(shù)列、等差數(shù)列的求和公式及分組求和法求，再由函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，即，所以，所以，是首?xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由題意知：，所以，易知在上單調(diào)遞增，而，所以滿足的的最大值為12．20．(1)(2)用河水灌溉是比井水灌溉好.【分析】（1）先根據(jù)頻率之和為1求出的值，再根據(jù)公式求出平均值；（2）運(yùn)用卡方公式進(jìn)行求解.【詳解】（1）由題：，解得，所以這400畝水稻平均畝產(chǎn)量的估計(jì)值為：；（2），因?yàn)?，所以根?jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)分析，有95%的把握認(rèn)為畝產(chǎn)量與所用灌溉水源相關(guān),用河水灌溉是比井水灌溉好.21．(1)最大值點(diǎn)(2)小李應(yīng)選規(guī)則一參加比賽．【分析】（1）先求出連續(xù)投籃6次，恰好投進(jìn)4次的概率的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性及其最值即可；（2）若選規(guī)則一,利用二項(xiàng)分布的概念即可求出其數(shù)學(xué)期望；若選規(guī)則二，可分別求出離散型隨機(jī)變量的各種情況概率，從而可求得其分布列，進(jìn)而得出其數(shù)學(xué)期望，比較這兩種規(guī)則下求得的數(shù)學(xué)期望，進(jìn)而判斷即可.【詳解】（1）由題意得則，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以的最大值點(diǎn)．（2）若選規(guī)則一，記X為小李投進(jìn)的次數(shù)，則X的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，6．則，則，記Y為小李所得雞蛋的盒數(shù)，則，．若選規(guī)則二，記Z為小李投進(jìn)的次數(shù)，則Z的所有可能取值為0，1，2，3．記小李第k次投進(jìn)為事件，未投進(jìn)為事件，所以投進(jìn)0次對(duì)應(yīng)事件為，其概率為；投進(jìn)1次對(duì)應(yīng)事件為，其概率；投進(jìn)2次對(duì)應(yīng)事件為，其概率．投進(jìn)3次對(duì)應(yīng)事件為，其概率，所以Z的分布列為Z0123P所以；記L為小李所得雞蛋的盒數(shù)，則，，因?yàn)?，所以小李?yīng)選規(guī)則一參加比賽．22．(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，分和兩種情況，得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）變形為是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)，得到其單調(diào)性和極值最值情況，結(jié)合圖象得到，再構(gòu)造差函數(shù)，證明出.【詳解】（1）的定義域?yàn)?/p>