第13章非正弦周期電流電路和信號的頻譜

第十三章非正弦周期電流電路和信號的頻譜講授的主要內(nèi)容1.非正弦周期信號及其分解—復(fù)習(xí)傅里葉級數(shù)；2.非正弦周期信號的頻譜、平均值、有效值、平均功率的概念和計算；3.非正弦周期信號穩(wěn)態(tài)電路的分析法—諧波分析法；4.*對稱三相電路的高次諧波。5.……2/17/20241基本要求了解周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)的方法和信號頻譜的概念。理解周期量的有效值、平均值的概念，掌握周期量有效值的計算方法。掌握非正弦周期電流電路的諧波分析法和平均功率的計算，了解濾波器的概念。重點非正弦周期電流電路的電流、電壓的有效值、平均值；非正弦周期電流電路的平均功率；非正弦周期電流電路的計算方法(疊加定理、戴維寧定理和諾頓定理)。

2/17/20242

難點

疊加定理在非正弦周期電流電路中的應(yīng)用；

非正弦周期電流電路功率的計算。本章與其它章節(jié)的聯(lián)系本章主要討論在非正弦周期電流、電壓信號的作用下，線性電路的穩(wěn)態(tài)分析和計算方法。非正弦周期信號可以分解為直流量和一系列不同頻率正弦量之和，每一信號單獨(dú)作用下的響應(yīng)，與直流電路及交流電路的求解方法相同，再應(yīng)用疊加定理求解，是前面內(nèi)容的綜合。2/17/20243§13-1非正弦周期信號實踐中會碰到許多非正弦信號，原因有1.激勵本身是非正弦信號；交流發(fā)電機(jī)的電壓嚴(yán)格地說是非正弦量，在電子信息、通信工程、自動控制、計算機(jī)等技術(shù)領(lǐng)域中經(jīng)常用到非正弦信號。2.電路中含有非線性元件

(如整流電路等)。非正弦信號有周期性和非周期性之分。周期信號滿足f(t)=f(t+kT)

當(dāng)f(t)不是單一頻率的正弦波時，它就是非正弦周期信號。2/17/20244實踐中常見的非正弦周期信號otuTotiT2T方波鋸齒波iotT尖頂脈沖otuT全波整流數(shù)字電路、計算機(jī)的CP等通過顯像管偏轉(zhuǎn)線圈的掃描電流晶閘管的觸發(fā)脈沖等橋式或全波整流電路的輸出波形2/17/20245實踐中常見的非正弦周期信號（續(xù)）iotT尖頂波正弦電壓在鐵心線圈中產(chǎn)生的電流波形uotT三角波PWM調(diào)制器的時間基準(zhǔn)信號波形uotT半波整流otuT階梯波由數(shù)字電路或計算機(jī)產(chǎn)生的正弦信號半波2/17/20246§13-2周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)1.非正弦周期函數(shù)的分解根據(jù)高等數(shù)學(xué)知識：若非正弦周期信號

f(t)滿足“狄里赫利條件”，就能展開成一個收斂的傅里葉級數(shù)。系數(shù)a0、

ak、

bk

分別為：f(t)=

a0+∑[akcos(kw1t)+bksin(kw1t)]k=1∞a0=T1∫0Tf(t)dtak=T2∫0Tf(t)cos(kw1t)dtbk=T2∫0Tf(t)sin(kw1t)dt2/17/20247根據(jù)給定f(t)的形式，積分區(qū)間也可以改為：積分區(qū)間也可以是[0～2p]或[-p～p]，例如：ak=p1∫f(t)cos(kw1t)d(w1t)-pp對a0、bk也作同樣的處理。a0=T1∫0Tf(t)dtak=T2∫0Tf(t)cos(kw1t)dtbk=T2∫0Tf(t)sin(kw1t)dt-2T～2T02pak=p1∫f(t)cos(kw1t)d(w1t)2/17/20248展開式同時存在正弦項和余弦項，在進(jìn)行不同信號的對比時不方便，而且數(shù)ak、bk的意義也不明確。將展開式合并成另一種形式—余弦級數(shù)：

令

ak=

Akmcosfk

bk=-Akmsinfk

則f(t)=

A0+∑k=1∞Akmcos(kw1t+fk)式中：Akm=ak2+

bk2fk

=arctgak

-bkf(t)=

a0+∑[akcos(kw1t)+bksin(kw1t)]k=1∞2/17/20249①

A0

是f(t)的恒定分量，或稱為直流分量。②k=1的項Amcos(w1t+f1)

具有與f(t)相同的頻率，稱基波分量?；ㄕ糵(t)的主要成分，基本代表了f(t)的特征。③

k≥2的各項，分別稱為二次，三次諧波等?；蚪y(tǒng)稱高次諧波。Akm=ak2+

bk2fk

=arctgak

-bkf(t)=

A0+∑k=1∞Akmcos(kw1t+fk)2/17/2024102.非正弦周期信號的頻譜

f(t)中各次諧波的幅值和初相不同，對不同的f(t)，正弦波的頻率成份也不一定相同。為形象地反映各次諧波的頻率成份，以及各次諧波幅值和初相與頻率的關(guān)系，引入振幅頻譜和相位頻譜的概念。振幅頻譜：

f(t)展開式中Akm與w(=kw1)的關(guān)系。反映了各頻率成份的振幅所占的“比重”。因k是正整數(shù)，故頻譜圖是離散的，也稱線頻譜。相位頻譜：指fk與w

的關(guān)系。f(t)=

A0+∑k=1∞Akmcos(kw1t+fk)2/17/202411鋸齒波的振幅頻譜圖

今后若無說明，均指振幅頻譜。iotI-IT/2-T/2TowIkm/2w12w13w14w15w1I/pI/2pI/3pI/4pi(t)=p2Icos(w1t-90o)+21cos(2w1t+90o)+31cos(3w1t-90o)+41cos(4w1t+90o)+

鋸齒波的傅里葉級數(shù)展開式為2/17/2024123.波形特征及其與級數(shù)分解的關(guān)系(1)若f(t)為“鏡”對稱

滿足

f(t)=

-

f(t±T/2)

則a2k=b2k=0

即展開式中①無直流分量；②不含偶次諧波。otf(t)T/2T移動半個周期，得另半個周期的鏡像知A0是f(t)在一個周期內(nèi)與橫軸圍成的面積。所以即使f(t)不是“鏡”對稱，只要它的正、負(fù)半周與橫軸圍成的面積相等，就有A0=0。另外，對某些f(t)，求A0時也可以不用積分。t1A由A0=T1∫0Tf(t)dt2/17/202413(2)若f(t)是偶函數(shù)即滿足

f(t)=f(-t)

則bk=0。(3)若f(t)是奇函數(shù)即滿足

f(-t)=-

f(t)outT/2-T/2iotTT2-T2則ak=0，只求bk即可：A0=T2∫0f(t)dtT2ak

=T4∫0f(t)cos(kw1t)dtT2bk

=T4∫0f(t)sin(kw1t)dtT22/17/202414(4)若f(t)為半波對稱即滿足f(t)=f(t±T/2)

則a2k+1

=b2k+1

=0

展開式中不含奇次諧波。對某些f(t)，適當(dāng)移動縱坐標(biāo)(另選一個計時起點)，就變?yōu)榕己瘮?shù)或奇函數(shù)。

Akm與計時起點無關(guān)，由于ak、bk與計時起點有關(guān)，所以fk與計時起點有關(guān)。但各次諧波的相對位置不變。也可以先移坐標(biāo)軸，待求得系數(shù)后，再找到原函數(shù)的系數(shù)。otuT/2-T/2TT是整流電源周期2/17/202415例1解：f(t)是奇函數(shù)，

ak=0所以只需求bk即可。結(jié)果見教材P320。otf(t)T/2-T/2Em-EmTw1t2pp-p求右圖方波的傅里葉級數(shù)展開式及頻譜。=0k

為偶數(shù)kp4Emk

為奇數(shù)若將坐標(biāo)右移T/4ot1f1(t1)Em-Emw1tT4-T4p-p則新舊函數(shù)的關(guān)系為：f(t)

=f1(t1)bk

=p2∫0Emsin(kw1t)d(w1t)p=2Emkp[1-cos(kp)]=f1t-4T2/17/202416由對稱性可知：A0=0，

bk=0。ot1f1(t1)Em-Emw1tT4-T4p-pk為偶數(shù)，ak=

0。k為奇數(shù)，f1(t1)=或者：ak

=p2∫0Emcos(kw1t1)d(w1t1)p=p2∫0Emcos(kw1t1)d(w1t1)p2∫p

(-Em)cos(kw1t1)d(w1t1)p2+=kp

4Em

sin2kp

ak

=kp

4Em

(-1)2k-1p

4Em

cos(w1t1)-31cos(3w1t1)+51cos(5w1t1)+

…f1(t1)=p

4Em

Sk=1∞(-1)k-12k

-11cos[(2k-1)w1t1]2/17/202417若需要寫f(t)的展開式，f(t)4Emp4Em3p4Em5p4Em7powAkmw13w15w17w19w1頻譜圖=f1t-4Tf(t)=p

4Em

cos(w1t

-4w1T)-31cos(3w1t

-43w1T)+

…因w1T=2p

所以w1T/4=p/2f(t)=p

4Em

sin(w1t)+31sin(3w1t)+51sin(5w1t)+…2/17/202418理論上，一個收斂的傅里葉級數(shù)要取無窮多項，才能準(zhǔn)確代表原函數(shù)。13次，≈1.05Em；35次，≈0.98Em。ow1tf(t)分析時還應(yīng)考慮頻率響應(yīng)。如：在某個(些)頻率下可能發(fā)生諧振等。取前3項的情況f(t)=p

4Em

sin(w1t)

+31sin(3w1t)

+51sin(5w1t)

+···實用中，根據(jù)展開式的收斂速度和誤差要求取前幾項，高次諧波可以忽略。方波的展開式收斂速度比較慢：在w1t=p/2時，取到11次諧波，f(p

/2)≈0.95Em

；2/17/202419§13-3有效值、平均值和平均功率1.有效值當(dāng)給出的電流(或電壓)是波形或不是展開式時，用定義式直接計算。為了找出有效值與各次諧波的關(guān)系，將展開式代入定義式積分。I=T1∫0Ti2(t)dt回憶三角函數(shù)的性質(zhì)：①sin、cos、sin2、cos2在一個周期內(nèi)的積分為0；②正交性質(zhì)(k≠q)T1∫02pcoskwt

sinqwt

d(wt)=0∫02pT1coskwt

cosqwt

d(wt)=0∫02pT1sinkwt

sinqwt

d(wt)=02/17/202420設(shè)非正弦周期電流可以分解為傅里葉級數(shù)：i

=I0+Sk=1∞Ikm

cos(kw1t+fk)i2

=I02+2I0Sk=1∞Ikm

cos(kw1t+fk)+[k=1S∞Ikm

cos(kw1t+fk)]2

Sk=1∞Ikmcos2(kw1t+fk)

+2Sk=1∞2Ikmcos(kw1t+fk)

Iqmcos(qw1t+fq)積分結(jié)果為零積分結(jié)果為零2cos2a=1+cos2a該項的積分結(jié)果為：Sk=1∞Ik

2第一項的積分結(jié)果為：T1∫0TI0

dt=I0

22該項可化為(k≠q)2/17/202421非正弦周期電流的有效值與各分量的關(guān)系為對非正弦周期電壓當(dāng)給出的電流或電壓是展開的級數(shù)形式時，可分別用以上兩式計算。I0

+2Sk=1∞Ik

2I=周期函數(shù)的有效值為直流分量及各次諧波分量有效值平方和的方根。此結(jié)論可以推廣用于其他非正弦周期量。I02+I12+I22+I32+…=U0

+2Sk=1∞Uk

2U=2/17/2024222.平均值

對同一非正弦量進(jìn)行測量時，不同類型的儀表有不同的結(jié)果：UavdefT1∫0T|i|dtUavot|i|T/2T直流儀表(磁電系儀表)表針的偏轉(zhuǎn)角所以測量結(jié)果T1∫0Tidta∝是恒定分量A0。交流儀表(電磁系儀表)表針的偏轉(zhuǎn)角所以測量結(jié)果T1∫0Ti2

dta∝是有效值。全波整流(磁電系)儀表表針的偏轉(zhuǎn)角所以測量結(jié)果T1∫0T|i|

dta∝是平均值。2/17/2024233.平均功率Uk

、Ik是第k次諧波的有效值。jk是第k次諧波電流與電壓的相位差。任意一端口+-uiP=T1∫0Tui

dtP=U0I0+∑k=1∞Uk

Ikcosjk設(shè)i

=I0+Sk=1∞Ikm

cos(kw1t+fik)u

=U0+Sk=1∞Ukm

cos(kw1t+fuk)因電流與電壓的參考方向關(guān)聯(lián)，故一端口吸收的瞬時功率為p=ui。所以平均功率為積分結(jié)果為2/17/202424§13-4非正弦電流電路的計算①分解；②計算；③疊加。把給定電源的非正弦周期電流或電壓作傅里葉級數(shù)分解。利用直流和正弦交流電路的計算方法，對直流和各次諧波激勵分別計算其響應(yīng)。將以上計算結(jié)果轉(zhuǎn)換為瞬時值迭加。注意交流各次諧波電路計算可應(yīng)用相量法，迭加時必須用瞬時值；L、C對直流分量、各次諧波分量的“態(tài)度”是不同的：XkL=kwLXkC=kwC12/17/202425例2uS

=[10+141.40cos(w1t)+47.13cos(3w1t)

+28.28cos(5w1t)+20.20cos(7w1t)

+15.71cos(9w1t)+

]V,試求i和P。

k=

0，因C有隔直作用所以I0=

0，P0=

0k=

1，基波作用

.Im(1)=3

-

j9.45141.40o解：分析步驟①分解；已是級數(shù)形式。②分別求各分量單獨(dú)作用的結(jié)果；注意感抗、容抗與頻率的關(guān)系！

=14.2672.39oAP(1)=

I(1)2R=21Im(1)2R=

305.02WRC+-uSi3W-j9.45W2/17/202426同理可求得：和P(5)、P(7)、P(9)。③用疊加原理，按時域形式疊加k=

3，XC(3)=31XC(1)=39.45=3.15W

.Im(3)

=3

-

j3.1547.130o

=10.8346.4oAP(3)=

I(3)2R=21Im(3)2R=

175.93W

.Im(5)

、

.Im(7)

、

.Im(9)i=14.26cos(w1t+72.39o)P=

P0+P(1)+P(3)+

+P(9)注意：同頻率的電壓電流構(gòu)成有功功率。RC+-uSi3W-j9.45W72.39oA,

.Im(1)

=14.26P(1)=305.02W+10.83cos(3w1t+46.4o)+

=669.8W2/17/202427例3：已知L=0.1H，C3=1mF，電容C1中只有基波電流，電容C3中只有三次諧波電流，求C1、C2和各支路電流。給定LC2C1C3iSi1i2i3200W100W解：C1中只有基波電流，說明L和C2對三次諧波發(fā)生并聯(lián)諧振。所以：C2=w2L1=910mFC3中只有三次諧波電流，說明L、C1、C2jwC11+j(wL-1/wC2)L/C2=0C1=980mFiS=5+20cos1000t+10cos3000tA對基波發(fā)生串聯(lián)諧振。所以：2/17/202428例3：求C1、C2和各支路電流。已知L=0.1H，C3=1mFLC2C1C3iSi1i2i3200W100WiS=5+20cos1000t+10cos3000tA直流作用時I1(0)=5A，I2(0)=I3(0)=0基波作用時串聯(lián)諧振i2(1)=20cos1000tAi1(1)=i3(1)=0三次諧波作用時C1C3i1(3)i2(3)i3(3)200W100W并聯(lián)諧振iS(3)=10cos3000t

.I3m(3)

=100+200-j103/3100×10=9-j1030=2.2348oA

.I1m(3)=

.IS(3)-

.I3m(3)=8.67-11oA2/17/202429例3：求C1、C2和各支路電流。已知L=0.1H，C3=1mFLC2C1C3iSi1i2i3200W100WiS=5+20cos1000t+10cos3000tA直流作用時I1(0)=5A，I2(0)=I3(0)=0基波作用時i2(1)=20cos1000tAi1(1)=i3(1)=0三次諧波作用時的瞬時值i3(3)=2.23cos(3000t+48o)A

i1(3)=8.67cos(3000t-11o)A

按時域形式疊加：i1=5+8.67cos(3000t-11o)Ai2=20cos1000tAi3=2.23cos(3000t+48o)A

.I3m(3)

三次諧波作用時=2.2348oA

.I1m(3)=8.67-11oA2/17/202430*§13-5對稱三相電路的高次諧波iowt三相發(fā)電機(jī)、變壓器、電動機(jī)等都帶有鐵心，所以由它們組成的對稱三相電路，其電壓、電流都可能含有高次諧波分量。根據(jù)對稱三相電源的概念，若A相電壓uA=u(wt)則

uB=u(wt-120o)，由于三相發(fā)電機(jī)每相電壓或電流總是奇函數(shù)，uC=u(wt+120o)uowt所以傅里葉級數(shù)展開式中不含偶次諧波。2/17/202431以電壓為例，若uA的展開式為：注意到三角函數(shù)的周期性，上述三相電壓的展開式可以整理為uA

=Um1cos(w1t+f1)+Um3cos(3w1t+f3)+Um5cos(5w1t+f5)+Um7cos(7w1t+f7)+

則uB、uC分別為：uB

=Um1cos(w1t-120o+f1)+Um3cos(3w1t-360o+f3)+Um5cos(5w1t-600o+f5)+Um7cos(7w1t-840o+f7)+

uC

=Um1cos(w1t+120o+f1)+Um3cos(3w1t+360o+f3)+Um5cos(5w1t+600o+f5)+Um7cos(7w1t+840o+f7)+

2/17/202432uA

=Um1cos(w1t+f1)+Um3cos(3w1t+f3)+Um5cos(5w1t+f5)+Um7cos(7w1t+f7)

+

uB

=Um1cos(w1t-120o+f1)+Um3cos(3w1t+f3)

+Um5cos(5w1t+120o+f5)+Um7cos(7w1t-120o+f7)

+

uC

=Um1cos(w1t+120o+f1)+Um3cos(3w1t+f3)

+Um