初中升高中數(shù)學(xué)銜接：教材26講配答案

數(shù)學(xué)

目錄

閱讀材料：1〕高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)的聯(lián)系

2〕如何學(xué)好高中數(shù)學(xué)

3〕熟知高中數(shù)學(xué)特點是高一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)關(guān)鍵

4〕高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法和特點

5〕怎樣培養(yǎng)好對學(xué)習(xí)的良好的習(xí)慣

第一課：絕對值

第二課：乘法公式

第三課：二次根式〔1〕

第四課：二次根式〔2〕

第五課：分式

第六課：分解因式〔1〕

第七課：分解因式〔2〕

第八課：根的判別式

第九課:根與系數(shù)的關(guān)系〔韋達(dá)定理〕〔1〕

第十課:根與系數(shù)的關(guān)系〔韋達(dá)定理〕〔2〕

第十一課：二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖像和性質(zhì)

第十二課：二次函數(shù)的三種表示方式

第十三課：二次函數(shù)的簡單應(yīng)用

第十四課：分段函數(shù)

第十五課：二元二次方程組解法

第十六課：一元二次不等式解法〔1〕

第十七課：一元二次不等式解法〔2〕

第十八課：國際數(shù)學(xué)大師陳省身

第十九課：中華民族是一個具有燦爛文化和悠久歷史的民族

第二十課：方差在實際生活中的應(yīng)用

第二十一課：平行線分線段成比例定理

第二十二課：相似形

第二十三課：三角形的四心

第二十四課：幾種特殊的三角形

第二十五課：圓

第二十六課：點的軌跡

L高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)的聯(lián)系

同學(xué)們，首先祝賀你們進入高中數(shù)學(xué)殿堂繼續(xù)學(xué)習(xí)。在經(jīng)歷了三年的初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)后，大家對數(shù)學(xué)有了

一定的了解，對數(shù)學(xué)思維有了一定的雛形，在對問題的分析方法和解決能力上得到了一定的訓(xùn)練。這也是我

們繼續(xù)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根底。良好的開端是成功的一半，高中數(shù)學(xué)課即將開始與初中知識有聯(lián)系，但比初中

數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)。高一數(shù)學(xué)中我們將學(xué)習(xí)函數(shù)，函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點，它在高中數(shù)學(xué)中是起著提綱的作用，

它融匯在整個高中數(shù)學(xué)知識中，其中有數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想方法；如：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、

分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化思想等，它也是高考的重點，近年來，高考壓軸題都以函數(shù)題為考察方法的。高考

題中與函數(shù)思想方法有關(guān)的習(xí)題占整個試題的60%以上。

1、有良好的學(xué)習(xí)興趣

兩千多年前孔子說過：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者。"意思說，干一件事，知道它，了解

它不如愛好它，愛好它不如樂在其中?！?和‘'樂"就是愿意學(xué)，喜歡學(xué)，這就是興趣。興趣是最好的老師,

有興趣才能產(chǎn)生愛好，愛好它就要去實踐它，到達(dá)樂在其中，有興趣才會形成學(xué)習(xí)的主動性和積極性。在數(shù)

學(xué)學(xué)習(xí)中，我們把這種從自發(fā)的感性的樂趣出發(fā)上升為自覺的理性的“認(rèn)識”過程，這自然會變?yōu)榱⒅緦W(xué)好

數(shù)學(xué)，成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功者。那么如何才能建立好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣呢

(1)課前預(yù)習(xí)，對所學(xué)知識產(chǎn)生疑問，產(chǎn)生好奇心。

(2)聽課中要配合老師講課，滿足感官的興奮性。聽課中重點解決預(yù)習(xí)中疑問，把老師課堂的提問、

停頓、教具和模型的演示都視為欣賞音樂，及時答復(fù)老師課堂提問，培養(yǎng)思考與老師同步性，提高精神，把

老師對你的提問的評價，變?yōu)楸薏邔W(xué)習(xí)的動力。

(3)思考問題注意歸納，挖掘你學(xué)習(xí)的潛力。

(4)聽課中注意老師講解時的數(shù)學(xué)思想，多問為什么要這樣思考，這樣的方法怎樣是產(chǎn)生的

(5)把概念回歸自然。所有學(xué)科都是從實際問題中產(chǎn)生歸納的，數(shù)學(xué)概念也回歸于現(xiàn)實生活，如角

的概念、直角坐標(biāo)系的產(chǎn)生都是從實際生活中抽象出來的。只有回歸現(xiàn)實才能使對概念的理解切實可靠，在

應(yīng)用概念判斷、推理時會準(zhǔn)確。

2、建立良好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)習(xí)慣。

習(xí)慣是經(jīng)過重復(fù)練習(xí)而穩(wěn)固下來的穩(wěn)重持久的條件反射和自然需要。建立良好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)習(xí)慣，會使自

己學(xué)習(xí)感到有序而輕松。高中數(shù)學(xué)的良好習(xí)慣應(yīng)是：多質(zhì)疑、勤思考、好動手、重歸納、注意應(yīng)用。學(xué)生在

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，要把教師所傳授的知識翻譯成為自己的特殊語言，并永久記憶在自己的腦海中。另外還

要保證每天有一定的自學(xué)時間，以便加寬知識面和培養(yǎng)自己再學(xué)習(xí)能力。

3、有意識培養(yǎng)自己的各方面能力

數(shù)學(xué)能力包括：邏輯推理能力、抽象思維能力、計算能力、空間想象能力和分析解決問題能力共五大能

力。這些能力是在不同的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境中得到培養(yǎng)的。在平時學(xué)習(xí)中要注意開發(fā)不同的學(xué)習(xí)場所，參與一切

有益的學(xué)習(xí)實踐活動，如數(shù)學(xué)第二課堂、數(shù)學(xué)競賽、智力競賽等活動。平時注意觀察，比方，空間想象能力

是通過實例凈化思維，把空間中的實體高度抽象在大腦中，并在大腦中進行分析推理。其它能力的培養(yǎng)都必

須學(xué)習(xí)、理解、訓(xùn)練、應(yīng)用中得到開展。特別是，教師為了培養(yǎng)這些能力，會精心設(shè)計“智力課”和“智力

問題"比方對習(xí)題的解答時的一題多解、舉一反三的訓(xùn)練歸類，應(yīng)用模型、電腦等多媒體教學(xué)等，都是為數(shù)

學(xué)能力的培養(yǎng)開設(shè)的好課型，在這些課型中，學(xué)生務(wù)必要用全身心投入、全方位智力參與，最終到達(dá)自己各

方面能力的全面開展。

2.如何學(xué)好高中數(shù)學(xué)

有許多初中階段數(shù)學(xué)成績很好的學(xué)生，升入高中后，感覺數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難，他們在做習(xí)題或課外練習(xí)時，

常常感到茫然，不知從何下手，因而，一個階段后，數(shù)學(xué)成績出現(xiàn)了嚴(yán)重的滑坡現(xiàn)象。出現(xiàn)這種現(xiàn)象的主要

原因是什么呢根據(jù)我多年的教學(xué)實踐，主要是以下幾個方面的原因：

教材的原因：初中數(shù)學(xué)教材，多數(shù)知識點與學(xué)生日常生活實際貼近，且初中教材遵循從感性認(rèn)識上升到

理性認(rèn)識的規(guī)律，表達(dá)方法比擬簡單，語言通俗易懂，直觀性、趣味性強，結(jié)論容易記憶，應(yīng)試效果也比擬

理想。因而，學(xué)生一般容易接受、理解和掌握。相對而言，高中數(shù)學(xué)概念抽象，邏輯性強，教材表達(dá)比擬嚴(yán)

謹(jǐn)、標(biāo)準(zhǔn)，知識難度加大，抽象思維和空間想象能力明顯提高，且習(xí)題類型多，解題技巧靈活多變，計算相

對復(fù)雜，表達(dá)了“起點高、難度大、容量多”的特點。這一變化，不可防止地造成了局部學(xué)生不適應(yīng)高中數(shù)

學(xué)學(xué)習(xí)，進而影響成績的提高。

教法的原因：初中數(shù)學(xué)內(nèi)容少，知識難度不大，教學(xué)要求較低，因而教學(xué)進度較慢，對于某些重點、難

點，教師可以有充裕的時間反復(fù)講解、屢次演練，來彌補缺乏。但是進入高中后，數(shù)學(xué)教材內(nèi)涵豐富，教學(xué)

要求不斷提高，教學(xué)進度相應(yīng)加快，知識的重點和難點也不可能象初中那樣通過反復(fù)強調(diào)來排難釋疑，且高

中教學(xué)往往通過設(shè)導(dǎo)、設(shè)問、設(shè)陷、設(shè)變，啟發(fā)引導(dǎo)，開拓思路，然后由學(xué)生自己思考、去解答，比擬注意

知識的發(fā)生過程，傾重對學(xué)生思想方法的滲透和思維品質(zhì)的培養(yǎng)。這使得剛?cè)敫咧械木植繉W(xué)生不適應(yīng)教學(xué)方

法，聽課時存在思維障礙，跟不上教師的思維，從而產(chǎn)生學(xué)習(xí)障礙，影響數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。

學(xué)法的原因：在初中，局部學(xué)生習(xí)慣于圍著教師轉(zhuǎn)，獨立思考和對規(guī)律進行歸納總結(jié)的能力較差，滿足

于知識的接受，缺乏學(xué)習(xí)的主動性。而到了高中，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要求學(xué)生勤于思考，善于歸納總結(jié)規(guī)律，掌握數(shù)

學(xué)思維方法，做到舉一反三，觸類旁通。但是，剛?cè)雽W(xué)的高一新生，往往沿用初中時的學(xué)法，致使學(xué)習(xí)出現(xiàn)

困難，甚至完成當(dāng)天作業(yè)都有困難，更談不上復(fù)習(xí)、總結(jié)等自我消化、自我調(diào)整了。

其它原因：學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感、興趣、性格、意志品質(zhì)的優(yōu)劣、學(xué)習(xí)目的和學(xué)習(xí)態(tài)度如何，在某種意

義上也能影響高一學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

針對以上影響數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的原因，同學(xué)們應(yīng)當(dāng)怎樣彌補這些缺乏呢下面從高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的幾個常規(guī)步

驟方面談一談：

透徹領(lǐng)悟所學(xué)知識：高中數(shù)學(xué)的理論性、抽象性強，這就需要學(xué)生在知識的理解上下大功夫，不僅要弄

清數(shù)學(xué)概念的實質(zhì)，還要弄清概念的背景及其與其它概念的聯(lián)系。例如初三學(xué)生都會解一元二次方程，我曾

在高一新生中做過這種調(diào)查：為什么一元二次方程在△》()時有根答對率不到15%,說明了什么學(xué)生對一元

二次方程這個概念理解不透徹，相關(guān)知識缺乏聯(lián)系。

科學(xué)地對待預(yù)習(xí)：對于一局部數(shù)學(xué)根底不太理想的同學(xué)，我主張課前預(yù)習(xí)。正確的方法是先不翻開書，

設(shè)想這節(jié)課的內(nèi)容、結(jié)構(gòu)，然后翻開書；看到要對某個概念進行定義，馬上蓋上書，自己試著定義一下；看

到一個定理的第一句表達(dá)，再蓋上書自己猜測他的結(jié)論；看到一個公式時，也是這樣。看到例題時，先不要

看解法，自己先在紙上把它做一遍，再與書上的解法進行比擬、思考……這樣的預(yù)習(xí)，無論對知識的掌握，

還是對思維的訓(xùn)練，都是有益的。

對于數(shù)學(xué)根底較好，思維反響敏銳的同學(xué)，我不主張課前預(yù)習(xí)。因為通過預(yù)習(xí)已經(jīng)知道了課上要講的內(nèi)

容、結(jié)論、推導(dǎo)過程、例題解法等，那么，課堂上還談何“超前思維、真正做課堂的主人、在思維運動中訓(xùn)

練思維呢”這白白浪費了課堂上開展自己智力素質(zhì)的時機。

提高聽課效率：高中學(xué)習(xí)期間，學(xué)生在課堂的時間占了一大局部。因此聽課效率如何，決定著學(xué)習(xí)的效

果。我認(rèn)為，提高聽課效率應(yīng)注意以下幾個方面：

首先應(yīng)做好課前的物質(zhì)準(zhǔn)備和精神準(zhǔn)備，上課時不至于出現(xiàn)書、本等物丟三落四的現(xiàn)象；上課前也不應(yīng)

做過于劇烈的體育運動，以免上課后還氣喘噓噓，不能平靜下來。

其次就是聽課。聽課，重要的不是“聽”，而是"想"。聽是前提，隨之是積極地思維。要全身心地投

入課堂學(xué)習(xí)，做到耳到、眼到、心到、口到、手到。

耳到：就是專心聽講，聽老師如何講課，如何分析，如何歸納總結(jié)，另外，還要聽同學(xué)們的答問，看是

否對自己有所啟發(fā)。

眼到：就是在聽講的同時看課本和板書，看老師講課的表情，手勢和演示實驗的動作，生動而深刻的接

受老師所要表達(dá)的思想。

心到：就是用心思考，跟上老師的教學(xué)思路，分析老師是如何抓住重點，解決疑難的。

口到：就是在老師的指導(dǎo)下，主動答復(fù)以下問題或參加討論。

手到：就是在聽、看、想、說的根底上劃出教材的重點，記下講課的要點以及自己的感受或有創(chuàng)新思維

的見解。將聽課中的要點、思維方法等作出簡單扼要的記錄，以便復(fù)習(xí)，消化，思考。

總之，“自己動手”的課堂聽講，是最科學(xué)的。

重視復(fù)習(xí)和總結(jié)：

1、及時做好復(fù)習(xí).聽完課的當(dāng)天，必須做好當(dāng)天的復(fù)習(xí)。

復(fù)習(xí)的有效方法不是一遍遍地看書或筆記，而是采取回憶式的復(fù)習(xí)：先把書、筆記合起來，回憶上課時

老師講的內(nèi)容，分析問題的思路、方法等（也可邊想邊在草稿本上寫一寫），盡量想得完整些。然后翻開筆記

與書本，對照一下還有哪些沒記清的，把它補起來，就能使當(dāng)天上課內(nèi)容穩(wěn)固下來，同時也檢查了當(dāng)天課堂

聽課的效果如何，也為改良聽課方法及提高聽課效果提出必要的改良措施。

2、做好單元復(fù)習(xí)。學(xué)習(xí)一個單元后應(yīng)進行階段復(fù)習(xí)，復(fù)習(xí)方法同及時復(fù)習(xí)一樣，采取回憶式復(fù)習(xí)，

而后與書、筆記相對照，使其內(nèi)容完善，而后應(yīng)做好單元小節(jié)。

3、做好單元小結(jié)。單元小結(jié)內(nèi)容應(yīng)包括以下局部：

（1）本單元（章）的知識網(wǎng)絡(luò)；

（2）本章的根本思想與方法（應(yīng)以典型例題形式將其表達(dá)出來）；

（3）自我體會：對本章內(nèi)，自己做錯的典型問題應(yīng)有記載，分析其原因及正確答案，應(yīng)記錄下來本章

你覺得最有價值的思想方法或例題，以及你還存在的未解決的問題，以便今后將其補上。

做適量的練習(xí)題：有不少同學(xué)把提高數(shù)學(xué)成績的希望寄托在大量做題上，這是不妥當(dāng)?shù)?。事實上，要?/p>

高數(shù)學(xué)成績，重要的不在做題多，而在于做題的效益要高。做題的目的在于檢查你學(xué)的知識，方法是否掌握

得很好。如果你掌握得不準(zhǔn)，甚至有偏差，那么多做題的結(jié)果，反而加深了你的缺欠，因此，在準(zhǔn)確地把握

住根本知識和方法的根底上，做一定量的練習(xí)是必要的。而對于中檔題，尢其要講究做題的效益，即做題后

有多大收獲，這就需要在做題后進行一定的“反思"，思考一下此題所用的根底知識，數(shù)學(xué)思想方法是什么，

為什么要這樣想，是否還有別的想法和解法，此題的分析方法與解法，在解其它問題時,是否也用到過，把

它們聯(lián)系起來，你就會得到更多的經(jīng)驗和教訓(xùn)，更重要的是養(yǎng)成善于思考的好習(xí)慣，這將大大有利于你今后

的學(xué)習(xí)。當(dāng)然沒有一定量（老師布置的作業(yè)量）的練習(xí)是不能形成技能的。

另外，無論是作業(yè)還是測驗，都應(yīng)把準(zhǔn)確性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或

技巧，這也是學(xué)好數(shù)學(xué)的重要方面。

課外要自學(xué)、研究：課外自學(xué)與研究的目的是擴大知識面，開闊眼界，進一步提高應(yīng)用所學(xué)知識解決問

題的能力。課外自學(xué)的范圍不宜過大，應(yīng)該圍繞所學(xué)的教材進度看一些課外參考書及數(shù)學(xué)雜志，作一些較新

鮮或難度較大的習(xí)題。課外自學(xué)應(yīng)該是有方案地有節(jié)制地進行，不要因小失大，更不要影響其它學(xué)科的學(xué)習(xí)。

在課外自學(xué)的過程中，發(fā)現(xiàn)一些新穎而有價值的習(xí)題、一些好的思維方法與解題方法，應(yīng)該記下來，以便進

一步學(xué)習(xí)掌握。根底較好，分析能力較強的學(xué)生，可以選一、二個專題，深入進行探討和研究，把研究結(jié)果

寫成論文，用以培養(yǎng)和鍛煉自己的思維能力。根底不太好、分析能力一般的學(xué)生，應(yīng)該經(jīng)常和根底好、分析

能力強的同學(xué)在一起研究、探討一些數(shù)學(xué)問題，從中學(xué)習(xí)他們好的數(shù)學(xué)思維方法。

方法是學(xué)好數(shù)學(xué)的必要條件。另外，還要記住兩句話；“對一切來說，只有熱愛才是最好的老師"、"書

山有路勤為徑，學(xué)海無涯苦做舟"。有了興趣，有了方法，再有勤奮的精神，我相信，每一個有志同學(xué)一定

能學(xué)好高中數(shù)學(xué)。

3.熟知高中數(shù)學(xué)特點是高一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)關(guān)鍵

一、高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)特點的變化。

1、數(shù)學(xué)語言在抽象程度上突變。

不少學(xué)生反映，集合、映射等概念難以理解，覺得離生活很遠(yuǎn)，似乎很“玄"。確實，初、高中的數(shù)學(xué)

語言有著顯著的區(qū)別。初中的數(shù)學(xué)主要是以形象、通俗的語言方式進行表達(dá)。而高一數(shù)學(xué)一下子就觸及抽象

的集合語言、邏輯運算語言以及以后要學(xué)習(xí)到的函數(shù)語言、空間立體幾何等。

2、思維方法向理性層次躍遷。

高一學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)障礙的另一個原因是高中數(shù)學(xué)思維方法與初中階段大不相同。初中階段，很多老

師為學(xué)生將各種題建立了統(tǒng)一的思維模式，如解分式方程分幾步，因式分解先看什么，再看什么，即使是思

維非常靈活的平面幾何問題，也對線段相等、角相等……分別確定了各自的思維套路。因此，初中學(xué)習(xí)中習(xí)

慣于這種機械的，便于操作的定勢方式，而高中數(shù)學(xué)在思維形式上產(chǎn)生了很大的變化，正如上節(jié)所述，數(shù)學(xué)

語言的抽象化對思維能力提出了高要求。當(dāng)然，能力的開展是漸進的，不是一朝一夕的事，這種能力要求的

突變使很多高一新生感到不適應(yīng)，故而導(dǎo)致成績下降。高一新生一定要能從經(jīng)驗型抽象思維向理論型抽象思

維過渡，最后還需初步形成辯證形思維。

3、知識內(nèi)容劇增

初中數(shù)學(xué)知識少、淺、難度容易、知識面窄。高中數(shù)學(xué)知識廣泛，將對初中的數(shù)學(xué)知識推廣和引伸，也

是對初中數(shù)學(xué)知識的完善。如：初中學(xué)習(xí)的角的概念只是“0—180°"范圍內(nèi)的，但實際當(dāng)中也有720。和“一

360°等角，為此，高中將把角的概念推廣到任意角，可表示包括正、負(fù)在內(nèi)的所有大小角。又如：高中要學(xué)

習(xí)?立體幾何?，將在三維空間中求一些幾何實體的體積和外表積；還將學(xué)習(xí)“排列組合”知識，以便解決排

隊方法種數(shù)等問題。如：①三個人排成一行，有幾種排隊方法，（答：=6和，）；②四人進行乒乓球雙打比賽，

有幾種比賽場次（答：=3種）高中將學(xué)習(xí)統(tǒng)計這些排列的數(shù)學(xué)方法。初中中對一個負(fù)數(shù)開平方無意義，但在

高中規(guī)定了i=-l,就使-I的平方根為土i.即可把數(shù)的概念進行推廣，使數(shù)的概念擴大到復(fù)數(shù)范圍等。這些知識

同學(xué)們在以后的學(xué)習(xí)中將逐漸學(xué)習(xí)到。

二、不良的學(xué)習(xí)狀態(tài)。

1、學(xué)習(xí)習(xí)慣因依賴心理而滯后。

初中生在學(xué)習(xí)上的依賴心理是很明顯的。第一，為提高分?jǐn)?shù)，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中教師將各種題型都一一羅

列，學(xué)生依賴于教師為其提供套用的“模子”；第二，家長望子成龍心切，回家后輔導(dǎo)也是常事。升入高中

后，教師的教學(xué)方法變了，套用的“模子”沒有了，家長輔導(dǎo)的能力也跟不上了，由“參與學(xué)習(xí)"轉(zhuǎn)入"催

促學(xué)習(xí)"。許多同學(xué)進入高中后，還象初中那樣，有很強的依賴心理，跟隨老師慣性運轉(zhuǎn)，沒有掌握學(xué)習(xí)的

主動權(quán)。表現(xiàn)在不定方案，坐等上課，課前沒有預(yù)習(xí)，對老師要上課的內(nèi)容不了解，上課忙于記筆記，沒聽

到“門道"，不會穩(wěn)固所學(xué)的知識。

2、學(xué)不得法。老師上課一般都要講清知識的來龍去脈，剖析概念的內(nèi)涵，分析重點難點，突出思想方

法。而一局部同學(xué)上課沒能專心聽課，對要點沒聽到或聽不全，筆記記了一大本，問題也有一大堆，課后又

不能及時穩(wěn)固、總結(jié)、尋找知識間的聯(lián)系，只是趕做作業(yè)，亂套題型，對概念、法那么、公式、定理一知半

解，機械模仿，死記硬背，還有些同學(xué)晚上加班加點，白天無精打采，或是上課根本不聽，自己另搞一套，

結(jié)果是事倍功半，收效甚微。

3、進一步學(xué)習(xí)條件不具備。高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)相比，知識的深度、廣度，能力要求都是一次飛躍。

這就要求必須掌握根底知識與技能為進一步學(xué)習(xí)作好準(zhǔn)備。高中數(shù)學(xué)很多地方難度大、方法新、分析能力要

求高。如二次函數(shù)值的求法，實根分布與參變量的討論，三角公式的變形與靈活運用，空間概念的形成，排

列組合應(yīng)用題及實際應(yīng)用問題等。有的內(nèi)容還是初中教材都不講的脫節(jié)內(nèi)容，如不采取補救措施，查缺補漏，

就必然會跟不上高中學(xué)習(xí)的要求。

三、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的幾種方法

1、記數(shù)學(xué)筆記，特別是對概念理解的不同側(cè)面和數(shù)學(xué)規(guī)律，教師為備戰(zhàn)高考而加的課外知識。

2、建立數(shù)學(xué)糾錯本。把平時容易出現(xiàn)錯誤的知識或推理記載下來，以防再犯。爭取做到：找錯、析錯、

改錯、防錯。到達(dá)：能從反面入手深入理解正確東西；能由果朔因把錯誤原因弄個水落石出、以便對癥下藥；

解答問題完整、推理嚴(yán)密。

3、記憶數(shù)學(xué)規(guī)律和數(shù)學(xué)小結(jié)論。

4、與同學(xué)建立好關(guān)系，爭做“小老師”，形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“互助組”。

5、爭做數(shù)學(xué)課外題，加大自學(xué)力度。

6、反復(fù)穩(wěn)固，消滅前學(xué)后忘。

7、學(xué)會總結(jié)歸類?？桑?/p>

①從數(shù)學(xué)思想分類②從解題方法歸類③從知識應(yīng)用上分類

4.高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法和特點

回憶初中階段所學(xué)的全部平面幾何的內(nèi)容及代數(shù)中的有理數(shù)、多項式、二次根式、方程、不等式和函數(shù)

等，不僅在知識上而且在數(shù)學(xué)能力上已經(jīng)作好了高中繼續(xù)學(xué)習(xí)的準(zhǔn)備。只要認(rèn)清高中數(shù)學(xué)的特點，并促使自

己適應(yīng)這些特點，那么學(xué)好高中數(shù)學(xué)是完全可能的。高中數(shù)學(xué)的特點概括地說，有以下三點。

1、知識的抽象性大

在初中學(xué)習(xí)的“函數(shù)"的根底上，高一又要學(xué)習(xí)"集合”、“對應(yīng)”、"映射"等更為抽象的知識。高一的立體幾

何也削弱了直觀性而突出了抽象性和空間的想象能力。這就是說思維要從直觀，經(jīng)驗型向抽象，理論型過渡。

2、知識的密度增大

由于年齡的增長，接受能力、理解能力也在提高。同時高中數(shù)學(xué)教材的內(nèi)容多而雜，這就決定了高中數(shù)學(xué)每節(jié)課

的內(nèi)容較初中時要多，即密度加大了。教師在教法上也隨之有所變化。初中時教師常常把知識掰開揉碎地細(xì)講，同時還

選相當(dāng)數(shù)量的習(xí)題去穩(wěn)固這一知識；而在高中卻常常是在新知識的開始階段，例題即有一定的坡度。尤其強調(diào)知識的“以

舊帶新”和“橫向，縱向的溝通、聯(lián)系"。一節(jié)課下來，似乎是聽懂了，但一遇到作業(yè)常常感到知識的運用不熟練，思

路不通暢。似乎總感到新知識沒有完全掌握，更新的知識又接踵而來。

3、知識的獨立性大

初中知識的系統(tǒng)性是較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，平面幾何尤其如此，這個系統(tǒng)給我們學(xué)習(xí)帶來了很大的方便。因為它便

于記憶，又適合于知識的提取和使用。因此，平面幾何的知識使人長久不忘，記得清，用得上。但高中的數(shù)

學(xué)卻不同了，除了立體幾何、解析幾何有個相對明確的系統(tǒng)（與平面幾何相比也不成體統(tǒng)），代數(shù)、三角的內(nèi)

容具有相對的獨立性。因此，注意它們內(nèi)部的小系統(tǒng)和各系統(tǒng)之間的聯(lián)系成了學(xué)習(xí)時必須花力氣的著力點，

否那么，綜合運用知識的能力必然會欠缺。

高一數(shù)學(xué)成績下降的原因分析及對策

初中畢業(yè)生以較高的數(shù)學(xué)成績升入高中后，不適應(yīng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)，相當(dāng)多的高一學(xué)生數(shù)學(xué)不及格，出現(xiàn)

了嚴(yán)重的兩極分化，少數(shù)學(xué)生甚至對學(xué)習(xí)失去了信心。前幾年，不少學(xué)校受高考指揮棒的影響，只注重升學(xué)

率而無視了合格率?，F(xiàn)在高中搞會考制，上述問題引起了各校足夠的重視。本文對高一數(shù)學(xué)成績大面積下降

談?wù)勗斐傻脑蚣皯?yīng)采取的對策。

一、高一數(shù)學(xué)成績大面積下降的原因

1.初、高中教材間梯度過大。

初中教材偏重于實數(shù)集內(nèi)的運算，缺少對概念的嚴(yán)格定義或?qū)Ω拍畹亩x不全，如函數(shù)的定義，三角函

數(shù)的定義就是如此；對不少數(shù)學(xué)定理沒有嚴(yán)格論證，或用公理形式給出而回避了證明，比方不等式的許多性

質(zhì)就是這樣處理的；教材坡度較緩，直觀性強，對每一個概念都配備了足夠的例題和習(xí)題。而高一教材第一

章就是集合、映射等近世代數(shù)知識，緊接著就是家函數(shù)的分類問題（在鎏函數(shù)中，由于指數(shù)不同，具有不同

的性質(zhì)和圖象）。函數(shù)單調(diào)性的證明又是一個難點，立體幾何對空間想象能力的要求又很高。教材概念多、符

號多、定義嚴(yán)格，論證要求又高，高一新生學(xué)起來相當(dāng)困難。此外，內(nèi)容也多，每節(jié)課容量遠(yuǎn)大于初中數(shù)學(xué)。

這些都是高一數(shù)學(xué)成績大面積下降的客觀原因。

2.高一新生普遍不適應(yīng)高中數(shù)學(xué)教師的教學(xué)方法。

高一學(xué)生普遍反映數(shù)學(xué)課能聽懂但作業(yè)不會做。不少學(xué)生說，平時自認(rèn)為學(xué)得不錯，考試成績就是上不

去，追究其原因是初中教師重視直觀、形象教學(xué)，老師每講完一道例題后，都要布置相應(yīng)的練習(xí)，學(xué)生到黑

板表演的時機相當(dāng)多。為了提高合格率，不少初中教師把題型分類，讓學(xué)生死記解題方法和步驟。在初三，

重點題口反復(fù)做過屢次。而高中教師在授課時強調(diào)數(shù)學(xué)思想和方法，注重舉一反三，在嚴(yán)格的論證和推理上

下功夫。又由于高中搞小循環(huán)，接高一課程的教師剛帶完高三，他們往往用高三復(fù)習(xí)時應(yīng)到達(dá)的難度來對待

高一教學(xué)。因此造成初、高中教師教學(xué)方法上的巨大差距，中間乂缺乏過渡過程，至使高中新生普遍適應(yīng)不

了高中教師的教學(xué)方法。

3.高一學(xué)生的學(xué)習(xí)方法不適應(yīng)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

高一學(xué)生在初中三年已形成了固定的學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)習(xí)慣。他們上課注意聽講，盡力完成老師布置的作

業(yè)。但課堂上滿足于聽，沒有做筆記的習(xí)慣，缺乏積極思維；遇到難題不是動腦子思考，而是希望老師講解

整個解題過程；不會科學(xué)地安排時間，缺乏自學(xué)、看書的能力，還有些學(xué)生考上了高中后，認(rèn)為可以松口氣

了，放松了對自己的要求。上述的學(xué)習(xí)方法，不適應(yīng)高中階段的正常學(xué)習(xí)。

二、搞好高一數(shù)學(xué)教學(xué)的對策及方法

針對上述問題，筆者認(rèn)為要想大面積提高高一數(shù)學(xué)成績，應(yīng)采取如下措施。

1.高一教師要鉆研初中大綱和教材。

高中教師應(yīng)聽初中數(shù)學(xué)課，了解初中教師的授課特點。開學(xué)初，要通過摸底測驗和開學(xué)生座談會，了解

學(xué)生掌握知識的程度和學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣。在摸清三個底（初中知識體系，初中教師授課特點，學(xué)生狀況）的

前提下，根據(jù)高一教材和大綱，制訂出相當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方案，確定應(yīng)采取的教學(xué)方法，做到有的放矢。

2.新高一要放慢進度，降低難度，注意教學(xué)內(nèi)容和方法的銜接。

根據(jù)實踐，新高一第一章課時數(shù)要增加。要加強根本概念、根底知識的教學(xué)。教學(xué)時注意形象、直觀。

如講映射時可舉“某班50名學(xué)生安排到50張單人桌上的分配方法"等直觀例子，為引人映射概念創(chuàng)造階

梯。由于新高-學(xué)生缺乏嚴(yán)格的論證能力，所以證明函數(shù)單調(diào)性時可進行系列訓(xùn)練，開始時可搞模仿性的證

明。要增加學(xué)生到黑板上演練的次數(shù)，從而及時發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，章節(jié)考試難度不能大。通過上述方法,

降低教材難度，提高學(xué)生的可接受性，增強學(xué)生學(xué)習(xí)信心，讓學(xué)生逐步適應(yīng)高中數(shù)學(xué)的正常教學(xué)。

3.嚴(yán)格要求，打好根底。

開學(xué)第一節(jié)課，教師就應(yīng)對學(xué)習(xí)的五大環(huán)節(jié)提出具體、可行要求。如：作業(yè)的標(biāo)準(zhǔn)化，獨立完成，訂正

錯題等等。對學(xué)生在學(xué)習(xí)上存在的弊病，應(yīng)限期改正。嚴(yán)格耍求貴在持之以恒，貫穿在學(xué)生學(xué)習(xí)的全過程，

成為學(xué)生的習(xí)慣?？荚嚨拿芏纫黾?，如第一章可分為三塊進行教學(xué)，每講完一塊都要復(fù)習(xí)、測驗及格率不

到70%應(yīng)重新復(fù)習(xí)、測驗，課前5分鐘小題測驗，應(yīng)經(jīng)常化，用以催促、檢查、穩(wěn)固所學(xué)知識。實踐說明，

教好課與嚴(yán)要求，是提高教學(xué)質(zhì)量的主要環(huán)節(jié)。

4.指導(dǎo)學(xué)生改良學(xué)習(xí)方法。

良好的學(xué)習(xí)方法和習(xí)慣，不但是高中階段學(xué)習(xí)上的需要，還會使學(xué)生受益終生。但好的學(xué)習(xí)方法和習(xí)慣，

一方面需教師的指導(dǎo)，另一方面也靠老師的強求。教師應(yīng)向?qū)W生介紹高中數(shù)學(xué)特點，進行學(xué)習(xí)方法的專題講

座，幫助學(xué)生制訂學(xué)習(xí)方案。這里，重點是會聽課和合理安排時間。聽課時要動腦、動筆、動口，參與知識

的形成過程，而不是只記結(jié)論。教師應(yīng)有針對性地向?qū)W生推薦課外輔導(dǎo)書，以擴大知識面。提倡學(xué)生進行章

節(jié)總結(jié)，把知識串成線，做到書由厚讀薄，又由薄變厚。期中、期末都要召開學(xué)習(xí)方法交流會，讓好的學(xué)習(xí)

方法成為全體學(xué)生的共同財富。

5.怎樣培養(yǎng)好對學(xué)習(xí)的良好習(xí)慣

不要再被動的因為要學(xué)習(xí)而學(xué)習(xí)，而是要主動的需求學(xué)習(xí)的方法，怎么培養(yǎng)對學(xué)習(xí)的興趣以下幾點可供

參考：

（一）培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣

現(xiàn)代教育倡導(dǎo)自主性學(xué)習(xí)和研究性學(xué)習(xí)，堅信能力是練出來的，因此我們在課程安排和教學(xué)常規(guī)中，

設(shè)置有課前三分鐘準(zhǔn)備、晚修分段學(xué)習(xí)、教學(xué)三清（即堂堂清、周周清、月月清）等，這樣設(shè)置的目的，就

是為了培養(yǎng)同學(xué)們良好的修習(xí)養(yǎng)身習(xí)慣。我希望同學(xué)們領(lǐng)會意圖，配合學(xué)校的安排。在課前三分鐘，提前回

到自己的座位，把課本和學(xué)習(xí)用品準(zhǔn)備好，把自己的思想從課間活動拉回來，在科任老師和科代表的指導(dǎo)下，

或朗讀課文、定理、定律，或背誦名句、單詞、公式，或做小測練……課堂上，聚精會神聽老師講課，深入

思考和積極答復(fù)以下問題，善于做筆記，做到眼睛看、耳朵聽、嘴巴說、腦筋想、手頭記，充分調(diào)動和發(fā)揮

各器官功能……晚修分時段學(xué)習(xí)，合理安排各科學(xué)習(xí)時間，做到復(fù)習(xí)、作業(yè)、預(yù)習(xí)三不誤，照顧到當(dāng)天學(xué)習(xí)

及第二天學(xué)習(xí)的全部學(xué)科，做到均衡開展，要主動到走廊上請教下班輔導(dǎo)的老師，維護課室里面安靜的晚修

秩序，提高晚修的效率。

（二）抓好預(yù)習(xí)環(huán)節(jié)

預(yù)習(xí)，即課前的自學(xué)。指在教師講課之前，自己先獨立地閱讀新課內(nèi)容。初步理解內(nèi)容，是上課做好

接受新知識的準(zhǔn)備過程。有些學(xué)生由于沒有預(yù)習(xí)習(xí)慣，對老師一堂課要講的內(nèi)容一無所知，坐等教師講課，

老師講什么就聽什么，老師叫干什么就干什么，學(xué)習(xí)就很辛苦。有些學(xué)生雖能預(yù)習(xí)，但看起書來似走馬觀花,

不動膿1、不分析，這種預(yù)習(xí)一點也達(dá)不到效果。老師建議：預(yù)習(xí)時要讀、思"問、記同步進行，對課本內(nèi)容

能看懂多少就算多少，不必求全理解，疑難也不必鉆深，只需順手用筆作出不同符號的標(biāo)記，把沒有讀懂的

問題記下來，作為聽課的重點.但對牽涉到已學(xué)過的知識以及估計老師講不到的小問題，自己一定要搞懂，

以消滅"攔路虎"。預(yù)習(xí)應(yīng)在當(dāng)天作業(yè)做完之后再進行。時間多，就多預(yù)習(xí)幾門，鉆得深一點；反之，就少

預(yù)習(xí)幾門，鉆得淺一點。切不可以每天學(xué)習(xí)任務(wù)還未完成就忙著預(yù)習(xí)，打亂了正常的學(xué)習(xí)秩序。假設(shè)你以前

沒有預(yù)習(xí)的習(xí)慣，現(xiàn)在可以先選一兩門自己學(xué)起來感到吃力的學(xué)科進行預(yù)習(xí)嘗試，等嘗到甜頭，取得經(jīng)驗后，

再逐漸增加學(xué)科，直到全面鋪開。

（三）注重聽課環(huán)節(jié)

學(xué)生的大局部時間是在課堂中度過的。因此，聽課是學(xué)生接受教師指導(dǎo)，掌握知識，開展智力的中心

環(huán)節(jié)，是獲取知識的重要途徑，是保證高效率學(xué)習(xí)的關(guān)鍵。聽課時，有的學(xué)生全神貫注，專心聽講；有的分

心走神，萎靡不振，打瞌睡；有的像錄音機，全聽全錄；有的邊聽邊記，根本上能把教師講的內(nèi)容都記下來;

有的以聽為主，邊聽邊思考，有了問題記下來；有的干脆不記，只顧聽講；有的邊聽邊劃邊思考。思考時，

有的思考當(dāng)堂內(nèi)容，有的思考與本課相關(guān)的知識體系，有的思考教師的思路，有的拿自己的思路與教師的思

路比擬。那么，怎樣才能到達(dá)聽好課的目的呢總的要求是：要抓住各學(xué)科的不同特點，帶著問題聽，聽清內(nèi)

容，記住要點，抓住關(guān)鍵，著重聽老師的講課方法與思路，釋疑的過程與結(jié)論。

（四）緊抓復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)

復(fù)習(xí)是對前面已學(xué)過的知識進行系統(tǒng)再加工，并根據(jù)學(xué)習(xí)情況對學(xué)習(xí)進行適當(dāng)調(diào)整，為下一階段的學(xué)

習(xí)做好準(zhǔn)備。因此，每上完一節(jié)課，每學(xué)完一篇課文，一個單元，一冊書都要及時復(fù)習(xí)。假設(shè)復(fù)習(xí)適時恰當(dāng)，

知識遺忘就少。早在1885年,德國的心理學(xué)家艾濱浩斯,通過實驗發(fā)現(xiàn)剛記住的材料，一小時后只能保持44%；

一天后能記住33%：兩天后留下的只有28%；六天后為25%。所有的人，學(xué)習(xí)的知識都會發(fā)生先快后慢的遺

忘過程。一些記性好的學(xué)生是因為能經(jīng)常從不同的角度、不同的層次上進行復(fù)習(xí)，做到“每天有復(fù)習(xí)，每周

有小結(jié)，每章有總結(jié)"，從而形成了驚人的記憶力。很多學(xué)生對所學(xué)知識記不住，并不是腦子笨，而是不善

于復(fù)習(xí)，或復(fù)習(xí)功夫不深。最好的做法是：(I)當(dāng)天學(xué)的知識，要當(dāng)天復(fù)習(xí)清,。否那么，內(nèi)容生疏了，知識

結(jié)構(gòu)散了，重新學(xué)習(xí)花費的時間就會更多。(2)要緊緊圍繞概念、公式、法那么、定理、定律復(fù)習(xí)。通過追

根溯源，思考它們是怎么形成與推導(dǎo)出來的能應(yīng)用到哪些方面(3)要反復(fù)復(fù)習(xí)。學(xué)完一課復(fù)習(xí)一次，學(xué)完一

章或一個單元，又復(fù)習(xí)一次，學(xué)習(xí)一階段再系統(tǒng)總結(jié)一遍，期末還要專門復(fù)習(xí)。通過這種步步為營的復(fù)習(xí)，

形成的知識聯(lián)系就不會消退。學(xué)校為此采取了教學(xué)“三清”措施，希望老師和同學(xué)們認(rèn)真做好教學(xué)三清工作。

(五)獨立完成作業(yè)環(huán)節(jié)

獨立完成作業(yè)是深化知識，穩(wěn)固知識，檢查學(xué)習(xí)效果的重要手段，也是復(fù)習(xí)與應(yīng)用相結(jié)合的主要形式。然而，有

些學(xué)生沒有真正利用好這個環(huán)節(jié)。他們一下課就搶著做作業(yè)，作業(yè)一完，萬事大吉。更有些學(xué)生課上根本沒聽懂，下課

后也不問，作業(yè)抄襲后向老師交差完事。其實，做好作業(yè)有以下意義：1.可以檢查自己的學(xué)習(xí)效果。2、做作業(yè)可以發(fā)現(xiàn)

問題，增強解決問題的能力。3、做作業(yè)可以加深對知識的理解，把易混淆的概念搞清楚，把公式的變換搞熟練，有利

于把書本上的知識轉(zhuǎn)化成自己的知識。希望同學(xué)們能按時、獨、工完成作業(yè)。

(六)認(rèn)真記好課堂筆記

記筆記是為了學(xué)，為了懂，為了用。記筆記的原那么是以聽為主，以記為輔。簡練明白，提綱挈領(lǐng)，

詳略得當(dāng)，書上有的不必多記。難點不放過，疑點有標(biāo)記。不亂，不混，條理明。對聯(lián)想、發(fā)現(xiàn)的問題，要

及時記。筆記要留有空白處，便于復(fù)習(xí)時補缺。

(一)絕對值

絕對值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù),

零的絕對值仍是零.即

tz>0,

|Q|=<0,4=0,

-a.。<0.

絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值，是數(shù)軸上表示它的點到原點的距離.

兩個數(shù)的差的絕對值的幾何意義：表示在數(shù)軸上，數(shù)a和數(shù)。之間的距離.

例1、解不等式：

例2、解不等式：|x-l|<2

你自己能總結(jié)出一般性的結(jié)論嗎

例3、解不等式：k一1|+k一3|>4.

解法一：由x—1=0,得x=l；由x—3=0,得無=3；

①假設(shè)x<l，不等式可變?yōu)?(x-l)-(x-3)>4,

即—2x+4>4,解得xVO,

又xVl,

.,.x<0；

②假設(shè)lWx<2,不等式可變?yōu)?x—1)—(x—3)>4,

即1>4,

，不存在滿足條件的X；

③假設(shè)xN3,不等式可變?yōu)?x—l)+(x—3)>4,

即2x—4>4,解得x>4.

又定3,

：.x>4.

綜上所述，原不等式的解為

x<0,或x>4.

解法二：如圖1.1-1,卜-1|表示光軸上坐標(biāo)為x的點P到坐標(biāo)為1的點A

之間的距離|雨|,即|以|=卜一1|；以一3|表示x軸上點P到坐標(biāo)為2的點3之間的距

離IPB[,即|P陰=|x-3|._

所以，不等式打一1|+|尤—3]>4的幾何意,以引、

義即為ff{ff

\PA\+\PB\>4.U―o―i47

由|AB|=2,可知'---v'

點P在點C(坐標(biāo)為0)的左側(cè)、或點P卜一“

在點。(坐標(biāo)為4)的右側(cè).圖1.1—1

x<0,或x>4.

練習(xí)

1.填空題：

(1)假設(shè)國=5,那么A；假設(shè)m=卜4|,那么戶.

(2)如果時+設(shè)=5,且a=—1,那么h=；假設(shè)|1—4=2,那么c=

2.選擇題：

以下表達(dá)正確的選項是()

(A)假設(shè)同=例，那么a=b(B)假設(shè)時>網(wǎng)，那么以>U

(C)假設(shè)a<b,那么同<例(D)假設(shè)同=網(wǎng)，那么a=±b

3.化簡：\x~5\-\2x_13|(x>5].

4.解以下不等式：

[1)|x+3|+|2x-3|>3

〔2〕|x+l|-|x-3|>-4

(二)乘法公式

我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過了以下一些乘法公式：

〔1〕平方差公式(a+b)("b)=〃2；

〔2〕完全平方公式(a±b)2=a2+2ab+b2.

我們還可以通過證明得到以下一些乘法公式:

〔1〕立方和公式(。+。)(。2-ab+b2)="+b3；

〔2〕立方差公式(a-h)(a2+ab+h2)-a3-b3；

〔3〕三數(shù)和平方公式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)；

〔4〕兩數(shù)和立方公式(a+bp—a，+2>u~h+3cib~+b'；

〔5〕兩數(shù)差立方公式(a-bf=a3-3a2b+3ab2-b3.

對上面列出的五個公式,有興趣的同學(xué)可以自己去證明.

例1計算：(X+1)(%-l)(x2-x+l)(x2+X+1).

解法一：原式=(》2一1)[(%2+1)2_%2]

=(X?—1)(%4++1)

=x6-1.

解法二：原式=(彳+1)(丁-x+l)(x-l)(x2+X+1)

=(x3+l)(x3-l)

=JV6-1.

例2a+b+c=4,ab+bc+ac=4,求/+從+^的值.

解：a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)=8.

練習(xí)：

1.填空題：

(1)—ci~—b~=(—bt—a)()；

9423

(2)(4m+)2=16m2+4m+()；

(3)(a+2b—c)~ci~+Ab~+c~+().

2.選擇題：

(1)假設(shè)/+2〃田+%是一個完全平方式，那么人等于1)

2

(A)m2(B)—m2(C)—m2(D)—m2

4316

(2)不管a,b為何實數(shù)，。2+/一2。-4b+8的值()

(A)總是正數(shù)(B)總是負(fù)數(shù)

(C)可以是零(D)可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)

〔三〕二次根式〔1〕

一般地，形如&(a20)的代數(shù)式叫做二次根式.根號下含有字母、且不能夠

開得盡方的式子稱為無理式.例如3a+>]a2+b+2b,等是無理式,而

丘x1+與x+1,x2+-Jlxy+y2,V?等是有理式.

1.分母〔子〕有理化

把分母(子)中的根號化去，叫做分母(子)有理化.為了進行分母(子)

有理化，需要引入有理化因式的概念.兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它

們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式，

例如血與夜，3&與日,后+癡與6-癡,26-3夜與26+3&，

等等.一般地，aG與F,ay/x+by[ya\/x—by/y,aG+b與aG-b互為

有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根

號的過程；而分子有理化那么是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子

中的根號的過程

在二次根式的化簡與運算過程中，二次根式的乘法可參照多項式乘法進行，

運算中要運用公式五“=而(。20力20)；而對于二次根式的除法，通常先寫成

分式的形式，然后通過分母有理化進行運算；二次根式的加減法與多項式的加減

法類似，應(yīng)在化簡的根底上去括號與合并同類二次根式.

2.二次根式日的意義

而=|“卜

11[-a,a<0.

例1將以下式子化為最簡二次根式：

(1)網(wǎng);(2)7^(?>0)；(3)7^(x<°).

解：⑴阿=2回;

(2)\Ja2b-\a\y/b-a\[b{a>0)；

(3)=2K14=_2尢3下(x<0).

例2計算：V3-(3-V3).

解法一：V3-J-(3—V3)=—~~j=

3-6

_73-(3+73)

(3-73)(3+73)

_3肉3

9-3

3(百+1)

-6

V3+1

2

解法二：百十(3-百

3-6

,8

V3(x/3-l)

V3-1

V3+1

(V3-1)(73+1)

V3+1

例3試比擬以下各組數(shù)的大小：

(1)也一而和布一廂；(2)-3—和20-n.

V6+4

a-VH(厄-而)(厄+而)_1

解：⑴?.?厄-

vn1-x/12+vn-疵+而

VTT-加(而-河)(布+河)_1

VTT-Vio

1-VTT+Vu)-Vn+Vio

xvi2+vn>vrT+vio,

/.7i2-Vn<VTT-Vio.

g片/72V2-V6(2V2-V6X2V2+V6)2

12J.2v2_76=--------=-------7=—7=------=—7=—7=

12V2+V62V2+V6

又4>2卷

.,.冊+4>冊+2吸，

<272-76.

練習(xí)：

1.將以下式子化為最簡二次根式:

(1)V18^⑵,27“2比

2.計算:

3.比擬下大?。阂?不和拒-歷

〔四〕二次根式〔2〕

例4化簡：(百+四)2。叫(6-夜)2叫

解：(百+夜)2叫(百-夜嚴(yán)。5

=(V3+V2)2004-(73-V2)2004-(V3-V2)

=[(G+?(6-血/4.(G_"

=12004-(A/3-5/2)

=\/3—\/2.

例5化簡：⑴，9-46；⑵Jf+二一2(0<%<1).

解：(1)原式=、5+46+4

=J(石[+2X2X石+2?

=7(2-V5)2

=|2-^|=V5-2.

(2)原式=J(x」)2-X--,

?:0<%<1,

**?—>1>X,

X

所以,原式=—x.

X

V3—5/26+0

例6x求3》2-5xy+3y之的值.

百萬y=Er

?.?》+產(chǎn)%^+制￡=(6-揚2+(6+揚2=10,

解:

V3+V2V3-V2

V3-V2V3+V21

所京質(zhì)京庭

：.3/—5孫+3丁=3(x+y)2—11孫=3xl()2_]i=289.

練習(xí)

1.填空題:

1-V3_

⑴E=----------：

⑵假設(shè)J(5-x)(x-3)2=(x—3)件7,那么x的取值范圍是

⑶4724-6754+3y/96-2^/^50=；

曲V5w,Jx+l—x/x-1y/x+\+dx—l

⑷假設(shè)X=丁，那么一I-------；~j^=+-==~===____

2?\/x+l+'\/x—1—Vx—1

⑹比擬大小：2f______小一也（填“>",或

2.假設(shè)〃:士三+51-/,求a+h的值.

a+1

〔五〕分式

1.分式的意義

AAA

形如々的式子，假設(shè)B中含有字母，且B/0,那么稱乙為分式.當(dāng)時，分式C■具

BBB

有以下性質(zhì)：

A_AxM_

~B~BxM；

AA^M

萬一B+M?

上述性質(zhì)被稱為分式的根本性質(zhì).

2.繁分式

像“，誓士￡這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.

c+d2加

〃+p

例1.假設(shè)Ml土=4+_￡_,求常數(shù)A,B的值.

x(x+2)xx+2

缶衛(wèi)??Aj_B_A(x+2)+8x_(A+8)x+2A_5x+4

xx+2x(x+2)x(x+2)x(x+2)

.[A+B=5,

??*

2A=4,

解得A=2,B=3.

例2.(1)試證：一1—=--——（其中〃是正整數(shù)）；

〃(〃+1)nn+\

，八、一111

12JIT舁：——+——+???+-----；

1x22x39x10

（3）證明：對任意大于1的正整數(shù)〃，有一匚+―匚+…+—1—<-.

2x33x4n{n+1）2

〔1〕證明：V-一一匚=（"+1）-"=1,

n〃+1〃（鹿+1）〃（〃+1）

1

----（其中〃是正整數(shù)）成立.

〃(〃+1)n〃+1

〔2〕解：由(1)可知

11i

-----------1-------------F???H--------------

1x22x39x10

=1----

1010

111

〔3〕證明：?；-----1------------------

2x33x4/?(/?+1)

1111

=(-----)+(-----)+???+

2334廠新）

11

2n+1

又論2,且〃是正整數(shù),

.I

一定為正數(shù),

??〃+1

.111

-----1-----!-???+-----<--2--

2x33x4n(n+l)

例3設(shè)e=￡,且e>l,2c2—5ac+2a2=0,求e的值.

a

解：在2/—5雨+2/=0兩邊同除以次，得

2e2—5e+2=0,

(2e—l)(e—2)=0,

/.e=2<1，舍去；或e=2.

：.e=2.

練習(xí)

1.對任意的正整數(shù)〃，一!—=______(--——)；

〃(〃+2)n〃+2

2.假設(shè)生二』=：,那么土=__________

x+y3y

3.正數(shù)滿足F