大學(xué)文科數(shù)學(xué)課件：線性方程組

線性方程組9.1線性方程組的消元解法9.2線性方程組有解的判定定理9.3向量及其線性運(yùn)算9.4向量組的線性相關(guān)性*9.5極大無(wú)關(guān)組與向量組的秩*9.6線性方程組解的結(jié)構(gòu)*9.7線性方程組的應(yīng)用

9.1線性方程組的消元解法

9.1.1線性方程組的矩陣表示

形如(9.1.1)的方程組，稱為線性方程組.若令其中,A稱為系數(shù)矩陣，x稱為未知向量，b稱為常數(shù)向量，則方程組可用矩陣表示為

Ax=b

(9.1.2)矩陣稱為增廣矩陣.9.1.2線性方程組的消元解法——高斯消元法

例9.1.1

解線性方程組（每寫一個(gè)方程組，同時(shí)寫出對(duì)應(yīng)的增廣矩陣）對(duì)應(yīng)的增廣矩陣為解對(duì)線性方程組做消元法:式②+式①×(－2),式③+式①×(－3)后,線性方程組及其增廣矩陣變?yōu)?/p>

例9.1.2

解線性方程組解對(duì)增廣矩陣做初等行變換對(duì)應(yīng)的同解方程組為這就是原方程組的解.

9.2線性方程組有解的判定定理

9.2.1齊次方程組的解的判定

對(duì)于齊次線性方程組它的矩陣形式為

Ax=0

(9.2.2)(9.2.1)定理9.2.1

齊次線性方程組(9.2.2)有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣A的秩

R(A)<n.

本定理所述條件R(A)<n的必要性是克萊姆定理的推廣(克萊姆定理只適用于m=n的情形),其充分性則包含了克萊姆定理的逆定理.證先證必要性.設(shè)方程組(9.2.2)有非零解,要證R(A)<n.用反證法,設(shè)R(A)=n,則在A中應(yīng)有一個(gè)n階非零子式Dn,從而Dn所對(duì)應(yīng)的n個(gè)方程只有零解(根據(jù)克萊姆定理),這與原方程組有非零解矛盾,因此R(A)=n不成立,即R(A)<n.

例9.2.1

求解齊次線性方程組:

解對(duì)系數(shù)矩陣A做初等行變換,得因R(A)=2<4(方程組中未知數(shù)的個(gè)數(shù)),所以齊次線性方程組有無(wú)窮多個(gè)解.而它的同解線性方程組為選取x2、x4為自由未知量,令x2=k1,x4=7k2,得從而得

推論9.2.1

若齊次線性方程組(9.2.1)的方程個(gè)數(shù)小于未知數(shù)的個(gè)數(shù),即m<n,則它必有非零解.

證由矩陣的定義可知,m×n矩陣A的秩R(A)≤min{m,n}

=m<n.再由定理9.2.1知,齊次線性方程組有非零解.定理9.2.1及推論9.2.1實(shí)際上是克萊姆法則的推廣，因此，可以得到下面的推論：

推論9.2.2

含n個(gè)方程的n元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式|A|=0;方程組僅有零解的充分必要條件是系數(shù)行列式|A|≠0.

例9.2.2

當(dāng)λ為何值時(shí),齊次方程組有非零解并解之.解由于這是含三個(gè)方程的三元線性方程組，所以可通過(guò)系數(shù)行列式是否為零來(lái)確定該方程是否有非零解.

當(dāng)λ=－1時(shí)，9.2.2非齊次方程組的解的判定

對(duì)于線性方程組(9.2.3)它的矩陣記法為

Ax=b(9.2.4)定理9.2.2

n元非齊次線性方程組(9.2.3)有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣A的秩等于增廣矩陣B=(A:b)的秩.

證先證必要性.設(shè)方程組Ax=b有解，要證R(A)=R(B).用反證法，設(shè)R(A)<R(B)，則B的行階梯形矩陣中最后一個(gè)非零行對(duì)應(yīng)矛盾方程0=1，這與方程組有解相矛盾.因此R(A)=R(B).記B=(A:b)，則由定理9.2.1及定理9.2.2的結(jié)果，可簡(jiǎn)要總結(jié)如下:

例9.2.3

下面非齊次線性方程組是否有解？解對(duì)增廣矩陣B做初等行變換,得可見R(A)=2,R(B)=3,故方程組無(wú)解.

例9.2.4

解線性方程組:解對(duì)線性方程組的增廣矩陣B做初等行變換，得矩陣R對(duì)應(yīng)的線性方程組為將x3看成自由未知數(shù),取x3=2k,k為任意實(shí)數(shù),得可寫成下列的解向量形式:即得

例9.2.5

設(shè)有線性方程組:問(wèn)λ為何值時(shí),此方程組

(1)有唯一解;

(2)無(wú)解;

(3)有無(wú)窮多解？并在有無(wú)窮多解時(shí)求通解.解對(duì)增廣矩陣B=(A:b)做初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣,有

例9.2.6

證明方程組有解的充要條件是a1+a2+a3+a4+a5=0.在有解的情況下,求出它的全部解.證對(duì)增廣矩陣B做初等變換,得在有解的情況下，原方程組等價(jià)于方程組故所求全部解為(c為任意實(shí)數(shù))

9.3向量及其線性運(yùn)算

9.3.1n維向量

定義9.3.1

n個(gè)有序的數(shù)a1,a2,…,an所組成的數(shù)組稱為

n維向量,記為其中,第i個(gè)數(shù)ai稱為向量α的第i個(gè)分量(或坐標(biāo)).

n維向量可以寫成一列，也可以寫成一行，分別稱為列向量和行向量.按第8章中的規(guī)定，也就是行矩陣和列矩陣，并規(guī)定行向量與列向量按矩陣的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算.因此，n維列向量與n維行向量例9.3.1

任意一個(gè)m行n列矩陣A,它的每一行是一個(gè)n維行向量,稱為矩陣A的行向量,它的每一列是一個(gè)m維列向量,稱為矩陣A的列向量.矩陣A的各個(gè)行構(gòu)成了A的行向量組,A的各個(gè)列構(gòu)成了A的列向量組.反之,給定了有限個(gè)向量構(gòu)成的向量組,可以用這些向量作為行(列)構(gòu)成一個(gè)矩陣.9.3.2向量的線性運(yùn)算

n維向量可如同矩陣一樣進(jìn)行運(yùn)算.

定義9.3.2

設(shè)λ是實(shí)數(shù),α、β是n維向量則向量的線性運(yùn)算滿足以下運(yùn)算規(guī)則(設(shè)α、β、γ是n維向量,λ、μ是實(shí)數(shù)):

9.4向量組的線性相關(guān)性

9.4.1向量組的線性組合

例9.4.1

則它們之間滿足關(guān)系α3=α1+2α2.

例9.4.2

設(shè)向量組那么任意三維向量α=(a1,a2,a3)都滿α=a1α1+a2α2+a3α3.

定義9.4.1

給定向量組A:α1,α2,…,αm，向量k1α1+k2α2+…+kmαm稱為向量組A的一個(gè)線性組合，k1,

k2,…,km這組數(shù)稱為這個(gè)線性組合的系數(shù).

定義9.4.2

如果存在一組不全為零的實(shí)數(shù)k1,k2,…,km，使得

α=k1α1+k2α2+…+kmαm

即α可表示為向量組α1,α2,…,αm的一個(gè)線性組合，則稱

α可由向量組α1,α2,…,αm線性表示.9.4.2向量組的線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)

定義9.4.3

設(shè)向量組A：α1,α2,…,αm是n維向量組，如果存在一組不全為零的實(shí)數(shù)k1,k2,…,km，使得

k1a1+k2a2+…+kmam=0

則稱向量組A是線性相關(guān)的；如果上述等式只能在k1,k2,…,

km全為零時(shí)才成立，則稱向量組A是線性無(wú)關(guān)的.

定理9.4.1

向量組α1,α2,…,αm(m≥2)線性相關(guān)的充分必要條件是其中至少有一個(gè)向量可以由其余m－1個(gè)向量線性表示.

定理9.4.2

若向量組α1,α2,…,αn線性無(wú)關(guān)，而向量組α1,α2,…,αn,β線性相關(guān)，則β可以由α1,α2,…,αn線性表示，且表示式唯一.

定理9.4.3

設(shè)αi=(αi1,αi2,…,αin)(i=1,2,…,s)，則向量組線性相關(guān)的充分必要條件是方程組(9.4.1)有非零解，而方程組（9.4.1）有非零解當(dāng)且僅當(dāng)系數(shù)矩陣A的秩小于s,即R(A)<s；向量組線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是方程組（9.4.1）只有零解.特別地，當(dāng)s=n時(shí)，α1,α2,…,αn線性相關(guān)的充分必要條件是

α1,α2,…,αn線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是

推論9.4.1

兩個(gè)向量線性相關(guān)的充分必要條件是它們的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例；它們線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是坐標(biāo)不對(duì)應(yīng)成比例.

推論9.4.2

n階方陣A的n個(gè)行向量（列向量）線性相關(guān)的充分必要條件是|A|=0，n個(gè)行向量（列向量）線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是|A|≠0，即當(dāng)且僅當(dāng)A是可逆矩陣.

推論9.4.3

任何多于n個(gè)向量的n維向量必線性相關(guān).

特別地，n+1個(gè)n維向量一定線性相關(guān).

定理9.4.4

如果向量組A：α1,α2,…,αn中有部分向

量線性相關(guān)，則向量組A線性相關(guān).反言之，如果向量組A：α1,α2,…,αn線性無(wú)關(guān)，則A的任意部分組也線性無(wú)關(guān).

定理9.4.5

設(shè)即向量aj添上一個(gè)分量后得向量βj,如果向量組A:α1,α2,…,αm線性無(wú)關(guān),則向量組B:β1,β2,…,βm也線性無(wú)關(guān);反言之,若向量組B線性相關(guān),則向量組A也線性相關(guān).

例9.4.3

討論向量組的線性相關(guān)性.解因?yàn)棣?、α2的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)不成比例，所以α1、α2線性無(wú)關(guān).例9.4.4

討論向量組的線性相關(guān)性.解設(shè)有數(shù)k1、k2、k3,使得即由方程組的系數(shù)行列式

*9.5極大無(wú)關(guān)組與向量組的秩

9.5.1等價(jià)向量組

定義9.5.1

給定兩個(gè)向量組A：α1,α2,…,αr和向量組B：β1,β2,…,βs.若向量組A中的每一個(gè)向量αi(i=1,2,…,r)都能由向量組B線性表示，即存在矩陣K，使得A=BK，其中

A=(α1,α2,…,αr)

B=(β1,β2,…,βs)9.5.2向量組的秩

定義9.5.2

設(shè)A是n維向量組，如果滿足：

(1)在A中存在r個(gè)向量α1,α2,…,αr線性無(wú)關(guān)；

(2)在A中任意r+1個(gè)向量(如果存在的話)線性相關(guān),

則稱α1,α2,…,αr是向量組A的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，簡(jiǎn)稱極大無(wú)關(guān)組；數(shù)r稱為向量組A的秩.

例9.5.1

設(shè)有向量組試求向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.

解因?yàn)橄蛄喀?,α2對(duì)應(yīng)分量不成比例，所以向量組

α1,α2線性無(wú)關(guān).又因?yàn)棣?=α1+α2，即向量組α1,α2,α3線性相關(guān)，所以α1,α2是向量組α1,α2,α3的一個(gè)極大無(wú)

關(guān)組.

定理9.5.2

m×n矩陣A的秩等于矩陣A的列向量組的秩，也等于矩陣A的行向量組的秩.

由定理9.5.2可知，設(shè)m×n矩陣A中有一個(gè)r階子式D不等于零，則D所在的r個(gè)列(行)向量線性無(wú)關(guān)；A中所有r+1階子式全等于零，則A中任意r+1個(gè)列(行)向量線性相關(guān).從而，A中最高階非零子式所在的列(行)向量組是A的列(行)向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.

例9.5.2

求矩陣的列向量組的秩和它的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.解A的二階子式為A的三階子式共有4個(gè)，且都等于零，可見二階子式D是A的最高階非零子式，R(A)=2.由定理9.5.2知，A的列向量組的秩為2，它的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組是例9.5.3

求向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.解設(shè)α1,α2,α3,α4構(gòu)成的矩陣A=(α1,α2,α3,α4),對(duì)A做初等行變換,可得由此可知R(A)=3,所以向量組α1,α2,α3,α4的秩為3,

A1的三階子式9.5.3極大無(wú)關(guān)組和秩的求法

定理9.5.3

如果矩陣A經(jīng)有限次初等行(列)變換變到矩陣B，則A與B的行（列）向量組等價(jià)，且A的任意r個(gè)列(行)向量與B的對(duì)應(yīng)的r個(gè)列(行)向量有相同的線性相關(guān)性.

例9.5.4

求列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組和秩.解設(shè)α1,α2,α3,α4構(gòu)成的矩陣A=(α1,α2,α3,α4),對(duì)A做初等行變換,可得

*9.6線性方程組解的結(jié)構(gòu)

9.6.1齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)

設(shè)n元齊次線性方程組它的矩陣形式為

Ax=0

(9.6.2)(9.6.1)若x1=ξ11,x2=ξ21,…,xn=ξn1是齊次方程組(9.6.1)的解，那么稱為齊次線性方程組(9.6.1)的解向量，也是矩陣方程(9.6.2)的解.

性質(zhì)9.6.1

若ξ1、ξ2為矩陣方程(9.6.2)的解，則x=ξ1+ξ2也是矩陣方程(9.6.2)的解.

證只要驗(yàn)證x=ξ1+ξ2滿足矩陣方程（9.6.2)即可.

性質(zhì)9.6.2

若ξ1為矩陣方程(9.6.2)的解，k為實(shí)數(shù)，則x=kξ1也是矩陣方程(9.6.2)的解.

證性質(zhì)9.6.1和性質(zhì)9.6.2表明：如果ξ1,ξ2,…,ξt是齊次線性方程組(9.6.1)的解，則它們的線性組合

k1ξ1+k2ξ2+…+ktξt仍是齊次線性方程組(9.6.1)的解.其中k1,k2,…,kt∈R.

定理9.6.1

設(shè)n元齊次線性方程組(9.6.1)有非零解(即其系數(shù)矩陣的秩R(A)=r<n)，則它必有基礎(chǔ)解系，且基礎(chǔ)解系所含線性無(wú)關(guān)的解的個(gè)數(shù)等于n－r(這里n－r也是齊次線性方程組(9.6.1)的自由未知量的個(gè)數(shù)).證不妨設(shè)齊次線性方程組(9.6.1)系數(shù)矩陣A的前r個(gè)列線性無(wú)關(guān)，則A可以經(jīng)過(guò)有限次初等行變換化成行最簡(jiǎn)形矩陣，從而得齊次線性方程組(9.6.1)的同解線性方程組為(9.6.3)其中,xr+1,xr+2,…,xn是n－r個(gè)自由未知數(shù),取xr+1=k1,xr+2=k2,…,xn=kn－r,得若令得齊次線性方程組(9.6.1)的通解為(9.6.4)

例9.6.1

求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.解對(duì)系數(shù)矩陣A做初等行變換,得從而可知R(A)=2<4.原方程組的同解線性方程組為其中,x3、x4是自由未知數(shù),取x3=2k1,x4=k2,得原線性方程組的通解為所以,原線性方程組的基礎(chǔ)解系為其通解可由基礎(chǔ)解系表示為

例9.6.2

求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解.解對(duì)系數(shù)矩陣A做初等行變換,化為行最簡(jiǎn)矩陣:得到原方程組的同解方程組并由此得到通解9.6.2非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

設(shè)n元非齊次線性方程組為(9.6.5)它的矩陣記法為Ax=b(9.6.6)

性質(zhì)9.6.3

如果η1、η2都是非齊次線性方程組(9.6.5)的解，則x=η2－η1是其導(dǎo)出組（9.6.1）的解.

證因?yàn)?/p>

A(η1－η2)=Aη2－Aη1=b－b=0

所以，x=η2－η1是其導(dǎo)出組（9.6.1)的解.

性質(zhì)9.6.4

如果x=η*是非齊次線性方程組(9.6.5)的解，x=ξ是其導(dǎo)出組(9.6.1)的解，則x=ξ+η*仍是非齊次線性方程組(9.6.5)的解.

證因?yàn)?/p>

A(ξ+η*)=Aξ+Aη*=0+b=b

所以，x=ξ+η*仍是非齊次線性方程組(9.6.5)的解.

例9.6.3

求解線性方程組：解對(duì)增廣矩陣做初等行變換,得可見R(A)=R(A:b)=2,故方程組有無(wú)窮多解,原方程組的同解方程組為取x2、x4為自由未知數(shù),并令x2=0,x4=0,代入上面方程組,得方程組的一個(gè)特解:原方程組的導(dǎo)出組的同解方程組為令x2=k1,x4=k2,得導(dǎo)出組的通解為其中是其導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.所以原非齊次線性方程組的通解為

例9.6.4

設(shè)四元非齊次線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A的秩為3,已知它的三個(gè)解向量為η1、η2、η3,其中求該方程組的通解.解依題意,方程組Ax=b的導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系含4－3=1個(gè)向量,于是導(dǎo)出組的任何一個(gè)非零解都可作為其基礎(chǔ)解系.

顯然是導(dǎo)出組的非零解,可作為其基礎(chǔ)解系.故方程組Ax=b的通解為

*9.7線性方程組的應(yīng)用

9.7.1網(wǎng)絡(luò)流模型

圖9.7.1（a）、（b）分別說(shuō)明了流量從一個(gè)或兩個(gè)分支流入聯(lián)結(jié)點(diǎn).x1、x2和x3分別表示從其他分支流出的流量,x4和x5表示從其他分支流入的流量.因?yàn)榱髁吭诿總€(gè)聯(lián)結(jié)點(diǎn)守恒,所以有x1+x2=60和x4+x5=x3+80.圖9.7.1例9.7.1

圖9.7.2的網(wǎng)絡(luò)給出了在下午一兩點(diǎn)鐘,某市區(qū)部分單行道的交通流量(以每刻鐘通過(guò)的汽車數(shù)量來(lái)度量).試確定網(wǎng)絡(luò)的流量模式.圖9.7.2解根據(jù)網(wǎng)絡(luò)流模型的基本假設(shè),在節(jié)點(diǎn)(交叉口)A、B、C、D處,我們可以分別得到下列方程:此外,該網(wǎng)絡(luò)的總流入量(20+30+50)等于網(wǎng)絡(luò)的總流出量(30+x3+40+10),化簡(jiǎn)得x3=20.把這個(gè)方程與整理后的前四個(gè)方程聯(lián)立,得如下方程組:

取x5=c(c為任意常數(shù)),則網(wǎng)絡(luò)的流量模式表示為

x1=40+c,x2=30+c,x3=20,x4=40+c,x5=c9.7.2人口遷移模型

如果存在矩陣A,并給定初始向量x0,使得x1=Ax0,x2=

Ax1，…,即

xn+1=Axn(n=0,1,2,…)

(9.7.1)

則稱方程(9.7.1)為一個(gè)線性差分方程或者遞歸方程．假設(shè)每年大約有5％的城市人口遷移到農(nóng)村(95％仍然留在城市),有12％的農(nóng)村人口遷移到城市(88％仍然留在農(nóng)村),如圖9.7.3所示,忽略其他因素對(duì)人口規(guī)模的影響,則一年之后,城市與農(nóng)村人口的分布分別為因此,2003年全部人口的分布為即圖9.7.3如果人口遷移的