七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第09課 實(shí)數(shù)（教師版）-

第09課實(shí)數(shù)目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解無理數(shù)和實(shí)數(shù)的意義；2.了解有理數(shù)的概念、運(yùn)算法則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍適用.知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01有理數(shù)與無理數(shù)有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù).注意：（1）無理數(shù)的特征：無理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無限.無理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分?jǐn)?shù)的形式.（2）常見的無理數(shù)有三種形式：①含類.②看似循環(huán)而實(shí)質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：1.313113111…….③帶有根號(hào)的數(shù)，但根號(hào)下的數(shù)字開方開不盡，如.知識(shí)點(diǎn)02實(shí)數(shù)有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).1.實(shí)數(shù)的分類按定義分：實(shí)數(shù)按與0的大小關(guān)系分：實(shí)數(shù)2.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng).數(shù)軸上的任何一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)，反之任何一個(gè)實(shí)數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個(gè)點(diǎn)與之對(duì)應(yīng).知識(shí)點(diǎn)03實(shí)數(shù)大小的比較對(duì)于數(shù)軸上的任意兩個(gè)點(diǎn)，右邊的點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)總是比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大.正實(shí)數(shù)大于0，負(fù)實(shí)數(shù)小于0，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小.知識(shí)點(diǎn)04實(shí)數(shù)的運(yùn)算有理數(shù)關(guān)于相反數(shù)和絕對(duì)值的意義同樣適合于實(shí)數(shù).當(dāng)數(shù)從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)以后，實(shí)數(shù)之間不僅可以進(jìn)行加、減、乘、除（除數(shù)不為0）、乘方運(yùn)算，而且正數(shù)及0可以進(jìn)行開平方運(yùn)算，任意一個(gè)實(shí)數(shù)可以進(jìn)行開立方運(yùn)算.在進(jìn)行實(shí)數(shù)的運(yùn)算時(shí)，有理數(shù)的運(yùn)算法則及運(yùn)算性質(zhì)等同樣適用.能力拓展能力拓展考法01實(shí)數(shù)概念【典例1】把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合內(nèi)：，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相鄰兩個(gè)3之間7的個(gè)數(shù)逐次增加1）…有理數(shù)集合…無理數(shù)集合【答案】有理數(shù)有：，，，，0，無理數(shù)有：，，，，，，0.3737737773……【點(diǎn)睛】有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù).常見的無理數(shù)有三種形式：①含類.②看似循環(huán)而實(shí)質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：0.3737737773……③帶有根號(hào)的數(shù)，但根號(hào)下的數(shù)字開方開不盡，如，，，，.【即學(xué)即練】判斷正誤，在后面的括號(hào)里對(duì)的用“√”，錯(cuò)的記“×”表示，并說明理由.

(1)無理數(shù)都是開方開不盡的數(shù).()

(2)無理數(shù)都是無限小數(shù).()

(3)無限小數(shù)都是無理數(shù).()

(4)無理數(shù)包括正無理數(shù)、零、負(fù)無理數(shù).()

(5)不帶根號(hào)的數(shù)都是有理數(shù).()

(6)帶根號(hào)的數(shù)都是無理數(shù).()

(7)有理數(shù)都是有限小數(shù).()

(8)實(shí)數(shù)包括有限小數(shù)和無限小數(shù).()

【答案】(1)(×)無理數(shù)不只是開方開不盡的數(shù)，還有，1.020020002…這類的數(shù)也是無理數(shù).(2)(√)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，是屬于無限小數(shù)范圍內(nèi)的數(shù).(3)(×)無限小數(shù)包括無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)兩類數(shù)，其中無限不循環(huán)小數(shù)才是無理數(shù).(4)(×)0是有理數(shù).(5)(×)如，雖然不帶根號(hào)，但它是無限不循環(huán)小數(shù)，所以是無理數(shù).(6)(×)如，雖然帶根號(hào)，但＝9，這是有理數(shù).(7)(×)有理數(shù)還包括無限循環(huán)小數(shù).(8)(√)有理數(shù)可以用有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)表示，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，所以實(shí)數(shù)可以用有限小數(shù)和無限小數(shù)表示.考法02實(shí)數(shù)大小的比較【典例2】比較與的大?。痉治觥扛鶕?jù)，，則來比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小．【答案】解：因?yàn)?，．所以＜【點(diǎn)睛】實(shí)數(shù)的比較有多種方法，除了上述方法外，還有作差法、作商法、同分子法、倒數(shù)法等.【即學(xué)即練】若兩個(gè)連續(xù)整數(shù)x、y滿足x＜+1＜y，則x+y的值是．【答案】7．解：∵，∴，∵x＜+1＜y，∴x=3，y=4，∴x+y=3+4=7．考法03實(shí)數(shù)的運(yùn)算【典例3】求的值．【答案】解：（1）當(dāng)≥0時(shí)，，，所以．（2）當(dāng)＜0時(shí)，，，所以．即值為0或2．【點(diǎn)睛】本題是涉及平方根（算術(shù)平方根）和立方根的綜合運(yùn)算，但還應(yīng)注意本題需要分類討論．要注意對(duì)的討論，而開立方不需要討論符號(hào)．【即學(xué)即練】若的兩個(gè)平方根是方程的一組解．（1）求的值；（2）求的算術(shù)平方根．【答案】解：（1）∵的平方根是的一組解，則設(shè)的平方根為，，則根據(jù)題意得：解得∴為．（2）∵．∴的算術(shù)平方根為4．考法04實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)用【典例4】已知，且，求的值．【答案】解：∵，且，．∴，即，．解得＝3，＝5，得＝64．∴．【點(diǎn)睛】本題考查非負(fù)性與立方、立方根的綜合運(yùn)用，由，可求、，又，所以＝64，則可求．【即學(xué)即練】已知，求的值．【答案】解：知條件得，由②得，，∵，∴，則．把代入①得，＝1．∴．【典例5】如圖，半徑為1個(gè)單位的圓片上有一點(diǎn)Q與數(shù)軸上的原點(diǎn)重合（提示：圓的周長(zhǎng)C=2πr）（1）把圓片沿?cái)?shù)軸向左滾動(dòng)1周，點(diǎn)Q到達(dá)數(shù)軸上點(diǎn)A的位置，點(diǎn)A表示的數(shù)是；（2）圓片在數(shù)軸上向右滾動(dòng)的周數(shù)記為正數(shù)，圓片在數(shù)軸上向左滾動(dòng)的周數(shù)記為負(fù)數(shù)，依次運(yùn)動(dòng)情況記錄如下：+2，﹣1，﹣5，+4，+3，﹣2①第幾次滾動(dòng)后，Q點(diǎn)距離原點(diǎn)最近？第幾次滾動(dòng)后，Q點(diǎn)距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)？②當(dāng)圓片結(jié)束運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程共有多少？此時(shí)點(diǎn)Q所表示的數(shù)是多少？【分析】（1）利用圓的半徑以及滾動(dòng)周數(shù)即可得出滾動(dòng)距離；（2）①利用滾動(dòng)的方向以及滾動(dòng)的周數(shù)即可得出Q點(diǎn)移動(dòng)距離變化；②利用絕對(duì)值得性質(zhì)以及有理數(shù)的加減運(yùn)算得出移動(dòng)距離和Q表示的數(shù)即可．【答案】解：（1）把圓片沿?cái)?shù)軸向左滾動(dòng)1周，點(diǎn)Q到達(dá)數(shù)軸上點(diǎn)A的位置，點(diǎn)A表示的數(shù)是﹣2π；故答案為：﹣2π；（2）①第4次滾動(dòng)后Q點(diǎn)離原點(diǎn)最近，第3次滾動(dòng)后，Q點(diǎn)離原點(diǎn)最遠(yuǎn)；②|﹢2|+|﹣1|+|﹣5|+|+4|+|+3|+|﹣2|=17，Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程共有：17×2π×1=34π；（+2）+（﹣1）+（﹣5）+（+4）+（+3）+（﹣2）=1，1×2π=2π，此時(shí)點(diǎn)Q所表示的數(shù)是2π．【點(diǎn)睛】此題主要考查了數(shù)軸的應(yīng)用以及絕對(duì)值得性質(zhì)和圓的周長(zhǎng)公式應(yīng)用，利用數(shù)軸得出對(duì)應(yīng)數(shù)是解題關(guān)鍵．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．的相反數(shù)是【】A． B． C． D．【答案】C【解析】【詳解】相反數(shù)的定義是：如果兩個(gè)數(shù)只有符號(hào)不同，我們稱其中一個(gè)數(shù)為另一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，特別地，0的相反數(shù)還是0．因此的相反數(shù)是．故選C．考點(diǎn)：相反數(shù)．2．估計(jì)的值在()A．2和3之間 B．3和4之間C．4和5之間 D．5和6之間【答案】C【解析】【分析】由可知，再估計(jì)的范圍即可.【詳解】解：，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的估算，熟練的確定一個(gè)無理數(shù)介于哪兩個(gè)整數(shù)之間是解題的關(guān)鍵.3．下列實(shí)數(shù)中的無理數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【詳解】分析:分別根據(jù)無理數(shù)、有理數(shù)的定義即可判定選擇項(xiàng).詳解:=1.1，=-2，是有理數(shù)，是無理數(shù)，故選C.點(diǎn)睛：此題主要考查了無理數(shù)的定義，注意帶根號(hào)的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)．如π，，0.8080080008…（每?jī)蓚€(gè)8之間依次多1個(gè)0）等形式.4．實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，把﹣a，﹣b，0按照從小到大的順序排列，正確的是（）A．﹣a＜0＜﹣b B．0＜﹣a＜﹣b C．﹣b＜0＜﹣a D．0＜﹣b＜﹣a【答案】C【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)數(shù)軸得出a＜0＜b，求出﹣a＞﹣b，﹣b＜0，﹣a＞0，即可得出答案．∵從數(shù)軸可知：a＜0＜b，∴﹣a＞﹣b，﹣b＜0，﹣a＞0，∴﹣b＜0＜﹣a，考點(diǎn)：(1)、實(shí)數(shù)大小比較；(2)、實(shí)數(shù)與數(shù)軸5．如圖，在數(shù)軸上表示的點(diǎn)可能是（）A．點(diǎn)P B．點(diǎn)Q C．點(diǎn)M D．點(diǎn)N【答案】B【解析】【分析】利用無理數(shù)的估算得到3＜＜4，然后對(duì)各點(diǎn)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵9＜15＜16，∴3＜＜4，而3＜OQ＜4，∴表示的點(diǎn)可能是點(diǎn)Q．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．任意一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示；反之，數(shù)軸上的任意一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)．?dāng)?shù)軸上的任一點(diǎn)表示的數(shù)，不是有理數(shù)，就是無理數(shù)．6．有下列四個(gè)論斷：①﹣是有理數(shù)；②是分?jǐn)?shù)；③2.131131113…是無理數(shù)；④π是無理數(shù)，其中正確的是（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)無理數(shù)的概念即可判定選擇項(xiàng)．【詳解】解：①﹣是有理數(shù)，正確；②是無理數(shù)，故錯(cuò)誤；③2.131131113…是無理數(shù)，正確；④π是無理數(shù)，正確；正確的有3個(gè)．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：π，2π等；開方開不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．7．化簡(jiǎn)的結(jié)果正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】首先比較與3的大小，然后由絕對(duì)值的意義，化簡(jiǎn)即可得到答案．【詳解】解：∵<3∴-3<0即：；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的意義，解題的關(guān)鍵是掌握負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)．8．下列說法：①2的平方根是；②的立方根是±；③－81沒有立方根；④實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)．其中錯(cuò)誤的有（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】C【解析】【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)、平方根、立方根，數(shù)軸的定義和性質(zhì)分別進(jìn)行分析，即可得出答案．【詳解】①2的平方根是，正確，②的立方根是，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，③-81有立方根，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，④實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，正確．其中錯(cuò)誤的有②③；故選C．【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，用到的知識(shí)點(diǎn)是實(shí)數(shù)、平方根、立方根，數(shù)軸，熟知有關(guān)定義和性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．9．下列語句正確是（）A．無限小數(shù)是無理數(shù) B．無理數(shù)是無限小數(shù)C．實(shí)數(shù)分為正實(shí)數(shù)和負(fù)實(shí)數(shù) D．兩個(gè)無理數(shù)的和還是無理數(shù)【答案】B【解析】【詳解】解：A．無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，故A錯(cuò)誤；B．無理數(shù)是無限小數(shù)，正確；C．實(shí)數(shù)分為正實(shí)數(shù)、負(fù)實(shí)數(shù)和0，故C錯(cuò)誤；D．互為相反數(shù)的兩個(gè)無理數(shù)的和是0，不是無理數(shù)，故D錯(cuò)誤．故選B．題組B能力提升練10．－的相反數(shù)為______，|1－|＝_______，絕對(duì)值為的數(shù)為________．【答案】－－1±3【解析】【分析】直接利用相反數(shù)的定義得出答案;結(jié)合絕對(duì)值的定義得出答案;根據(jù)立方根的定義先求出的值,再根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)即可求出.【詳解】解：(1)－的相反數(shù)是：－，(2)|1－|＝－1;(3)=3,∴絕對(duì)值為3的數(shù)為±3.故答案為－;－1;±3.【點(diǎn)睛】本題主要考查相反數(shù)，絕對(duì)值的定義以及立方根,關(guān)鍵在于熟練掌握運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理，認(rèn)真的進(jìn)行計(jì)算．11．化簡(jiǎn):

=________【答案】1【解析】【分析】因?yàn)棣小?.142，所以π-4＜0，3-π＜0，然后根據(jù)絕對(duì)值定義即可化簡(jiǎn)|π-4|+|3-π|．【詳解】∵π≈3.142，∴π-4＜0，3-π＜0，∴|π-4|+|3-π|=4-π+π-3=1，故答案為1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，解題關(guān)鍵是掌握絕對(duì)值的規(guī)律，一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0．12．下列各數(shù)3.1415926，，1.212212221…，，2﹣π，﹣2020，中，無理數(shù)的個(gè)數(shù)有_____個(gè)．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)無理數(shù)的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，③含有π的絕大部分?jǐn)?shù)，找出無理數(shù)的個(gè)數(shù)．【詳解】解：在所列實(shí)數(shù)中，無理數(shù)有1.212212221…，2﹣π，這3個(gè)，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查無理數(shù)的定義，熟練掌握無理數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．13．已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是，點(diǎn)B表示的數(shù)是，那么數(shù)軸上到點(diǎn)B的距離與點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離相等的另一點(diǎn)C表示的數(shù)是______________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的對(duì)稱性，可知AB=|-1-（-）|=，因此可知C點(diǎn)的數(shù)值為-1+=.14．觀察下列各式：，，，……請(qǐng)利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算+++…+，其結(jié)果為_______．【答案】【解析】【分析】直接根據(jù)已知數(shù)據(jù)變化規(guī)律進(jìn)而將原式變形求出答案．【詳解】由題意可得：+++…+=+1++1++…+1+=9+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=9+=．故答案為．【點(diǎn)睛】：此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，正確將原式變形是解題關(guān)鍵．題組C培優(yōu)拔尖練15．把下列各數(shù)寫入相應(yīng)的集合內(nèi)：，，，0.26，，0.10，，，.（1）有理數(shù)集合：；（2）正實(shí)數(shù)集合：；（3）無理數(shù)集合：；（4）負(fù)實(shí)數(shù)集合：.【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)進(jìn)行分類即可．【詳解】解：（1）有理數(shù)集合；（2）正實(shí)數(shù)集合；（3）無理數(shù)集合；（4）負(fù)實(shí)數(shù)集合．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的分類和性質(zhì)，解答此題應(yīng)熟知以下概念：實(shí)數(shù)包括有理數(shù)和無理數(shù)；實(shí)數(shù)可分為正數(shù)、負(fù)數(shù)和0．16．【答案】－【解析】【分析】先將二次根式化簡(jiǎn)，再根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求得計(jì)算結(jié)果．【詳解】，===-.【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見的計(jì)算題型．解決此類題目的關(guān)鍵是二次根式、絕對(duì)值等考點(diǎn)的運(yùn)算．17．計(jì)算：.【答案】-2.【解析】【分析】根據(jù)二次根式、三次根式的化簡(jiǎn)方法計(jì)算，再合并同類項(xiàng)．【詳解】，=，=-2.【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力．解決此類題目的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式、三次根式的化簡(jiǎn)．18．已知a是最大的負(fù)整數(shù)，b是多項(xiàng)式2m2n﹣m3n2﹣m﹣2的次數(shù)，c是單項(xiàng)式﹣2xy2的系數(shù)，且a、b、c分別是點(diǎn)A、B、C在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)．（1）求a、b、c的值，并在數(shù)軸上標(biāo)出點(diǎn)A、B、C．（2）若M點(diǎn)在此數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)求出M點(diǎn)到AB兩點(diǎn)距離之和的最小值；（3）若動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B出發(fā)沿?cái)?shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度