九年級數(shù)學(xué)上冊第13課 用函數(shù)觀點看一元二次方程（學(xué)生版）

第13課用函數(shù)觀點看一元二次方程目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)（1）會用圖象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系；（2）會求拋物線與x軸交點的坐標(biāo)，掌握二次函數(shù)與不等式之間的聯(lián)系；（3）經(jīng)歷探索驗證二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程，學(xué)會用函數(shù)的觀點去看方程和用數(shù)形結(jié)合的思想去解決問題．知識精講知識精講知識點01二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系求二次函數(shù)(a≠0)的圖象與x軸的交點坐標(biāo)，就是令y＝0，求中x的值的問題．此時二次函數(shù)就轉(zhuǎn)化為一元二次方程，因此一元二次方程根的個數(shù)決定了拋物線與x軸的交點的個數(shù)，它們的關(guān)系如下表：判別式二次函數(shù)一元二次方程圖象與x軸的交點坐標(biāo)根的情況△＞0拋物線與x軸交于，兩點，且，此時稱拋物線與x軸相交一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根△＝0拋物線與x軸交切于這一點，此時稱拋物線與x軸相切一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根△＜0拋物線與x軸無交點，此時稱拋物線與x軸相離一元二次方程在實數(shù)范圍內(nèi)【注意】二次函數(shù)圖象與x軸的交點的個數(shù)由的值來確定的.(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸，，方程有兩個不相等的實根；

(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸，，方程有兩個相等的實根；

(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸，，方程沒有實根.知識點02拋物線與直線的交點問題拋物線與x軸的兩個交點的問題實質(zhì)就是拋物線與直線的交點問題．我們把它延伸到求拋物線(a≠0)與y軸交點和二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．拋物線(a≠0)與y軸的交點是(0，c)．拋物線(a≠0)與一次函數(shù)(k≠0)的交點個數(shù)由方程組的解的個數(shù)決定．當(dāng)方程組有兩組不同的解時兩函數(shù)圖象；當(dāng)方程組有兩組相同的解時兩函數(shù)圖象；當(dāng)方程組無解時兩函數(shù)圖象．總之，探究直線與拋物線的交點的問題，最終是討論方程(組)的解的問題．【注意】求兩函數(shù)圖象交點的問題主要運用轉(zhuǎn)化思想，即將函數(shù)的交點問題轉(zhuǎn)化為求方程組解的問題或者將求方程組的解的問題轉(zhuǎn)化為求拋物線與直線的交點問題．知識點03利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似解用圖象法解一元二次方程的步驟：

1.作二次函數(shù)的圖象，由圖象確定交點個數(shù)，即方程解的個數(shù)；

2.確定一元二次方程的根的取值范圍．即確定拋物線與的大致范圍；

3.在(2)確定的范圍內(nèi)，用計算器進(jìn)行探索.即在(2)確定的范圍內(nèi)，從大到小或從小到大依次取值，用表格的形式求出相應(yīng)的y值．

4.確定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所對應(yīng)的x值即是一元二次方的近似根．【注意】求一元二次方程的近似解的方法(圖象法)：

(1)直接作出函數(shù)的圖象，則圖象與就是方程的根；(2)先將方程變?yōu)樵僭谕蛔鴺?biāo)系中畫出拋物線和直線圖象交點的就是方程的根；

(3)將方程化為，移項后得，設(shè)和，在同一坐標(biāo)系中畫出拋物線和直線的圖象，圖象交點的即為方程的根.知識點04拋物線與x軸的兩個交點之間的距離公式當(dāng)△＞0時，設(shè)拋物線與x軸的兩個交點為A(，0)，B(，0)，則、是一元二次方程的兩個根．由根與系數(shù)的關(guān)系得，．∴即(△＞0)．

知識點05拋物線與不等式的關(guān)系二次函數(shù)(a≠0)與一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之間的關(guān)系如下：判別式拋物線與x軸的交點不等式的解集不等式的解集△＞0△＝0△＜0注：a＜0的情況請同學(xué)們自己完成．【注意】拋物線在x軸上方的部分點的縱坐標(biāo)都為正，所對應(yīng)的x的所有值就是不等式的解集；在x軸下方的部分點的縱坐標(biāo)都為負(fù)，所對應(yīng)的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果帶有等號，其解集也相應(yīng)帶有等號．能力拓展能力拓展考法01二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點【典例1】已知二次函數(shù)y＝x2+6x+c的圖象與x軸的一個交點為（﹣1，0），則它與x軸的另一個交點的坐標(biāo)是（

）A．（﹣3，0） B．（3，0） C．（﹣5，0） D．（5，0）【即學(xué)即練】二次函數(shù)的部分圖像如圖所示，對稱軸方程為，圖像與x軸相交于點（1，0），則方程的根為（

）A．， B．， C．， D．，【典例2】拋物線y＝x2－2x+3與y軸的交點坐標(biāo)是（）A．（0，2） B．（0，3） C．（2，0） D．（3，0）【即學(xué)即練】關(guān)于二次函數(shù)y＝2x2＋4x﹣1，下列說法正確的是（

）A．圖象與y軸的交點坐標(biāo)為（0，1） B．當(dāng)x＜1時，y的值隨x值的增大而減小C．圖象的頂點坐標(biāo)為（﹣1，﹣3） D．圖象的對稱軸在y軸的右側(cè)考法02利用圖象法求一元二次方程的解【典例3】如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸的右交點A（5，0），對稱軸是直線x＝2，當(dāng)ax2+bx+c＞16a時，x的取值范圍是(

)A．x＜﹣1或x＞5 B．﹣1＜x＜5 C．﹣3＜x＜7 D．x＜﹣3或x＞7【即學(xué)即練】如圖．拋物線y＝ax2+c與直線y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）兩點，則不等式ax2+mx+c＞n的解集為(

)A．x＞﹣1 B．x＜3 C．x＜﹣3或x＞1 D．x＞﹣1或x＜3【典例4】如圖，拋物線的對稱軸是，與x軸的一個交點為，則不等式的解集為___________．【即學(xué)即練】如圖是二次函數(shù)的部分圖象，由圖象可知不等式的解集是______．考法03二次函數(shù)與一元二次方程的綜合運用【典例5】已知二次函數(shù)（）的圖象如圖所示，有下列個結(jié)論：（

）①；②；③；④；⑤若方程有四個根，則這四個根的和為．其中正確的結(jié)論有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【即學(xué)即練】已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線，有以下結(jié)論：①；②若t為任意實數(shù)，則有；③當(dāng)圖象經(jīng)過點時，方程的兩根為，（），則，其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【典例6】已知拋物線y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常數(shù)），a＋b＋c＝0．下列四個結(jié)論：①拋物線與x軸一定有兩個不同的交點；②若拋物線經(jīng)過點（－1，0），則b＝0；③若b＝c，則方程ax2＋bx＋c＝0一定有根x＝－2；④點A（x1，y1），B（x1，y1）在拋物線上，若0＜a＜c，則當(dāng)x1＞x2＞1時，y1＞y2．其中正確的是____________（填寫序號）．【即學(xué)即練】如圖，拋物線的開口向下，對稱軸為，與x軸的一個交點在（－3，0）、（－2，0）之間，其部分圖像如圖所示，則下列結(jié)論：①；②；③若點（，）、（－，）、（，）是該拋物線上的點，則；④，其中正確結(jié)論為________．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為（

）A．(7，0) B．(－7，0) C．(0，7) D．(0，－7)2．已知拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的頂點為（2，4），有以下結(jié)論：①當(dāng)a>0時，b2－4ac>0；②當(dāng)a>0時，ax2＋bx＋c≥4；③若點（-2，m）,（3，n）在拋物線上，則m<n；④若關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一根為－1，則另一根為5．其中正確的是（

）A．①② B．①④ C．②③ D．②④3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點，對稱軸為直線．若，則x的取值范圍是（

）A． B．C． D．或4．二次函數(shù)y=x2+(a+2)x+a的圖象與x軸交點的情況是（

）A．沒有公共點 B．有一個公共點C．有兩個公共點 D．與a的值有關(guān)5．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖，則關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解為（）A．x1＝﹣4，x2＝2 B．x1＝﹣3，x2＝﹣1C．x1＝﹣4，x2＝﹣2 D．x1＝﹣2，x2＝26．已知拋物線y＝x2﹣2x﹣1與x軸的一個交點為(m，0)，則代數(shù)式m2﹣2m+2021的值為（）7．已知二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+m的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0的解為_____．8．二次函數(shù)（為常數(shù)）與軸的一個交點為（－1，0），則另一個交點為___________．9．拋物線與軸交于點(0，3)．（1）求的值及拋物線與軸的交點坐標(biāo)；（2）取什么值時，拋物線在軸下方？（3）取什么值時，的值隨著的增大而增大？10．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點和點，且有最小值為.（1）求這個函數(shù)的解析式、函數(shù)的開口方向、對稱軸；（2）當(dāng)時，x的取值范圍.題組B能力提升練1．已知函數(shù)的圖象如圖，那么關(guān)于x的方程的根的情況是（

）A．無實數(shù)根 B．有兩個相等實數(shù)根C．有兩個同號不等實數(shù)根 D．有兩個異號實數(shù)根2．如表中列出的是二次函數(shù)y＝a＋bx＋c中x與y的幾組對應(yīng)值：x…﹣2013…y…6﹣4﹣6﹣4…下列各選項中，正確的是（

）A．這個函數(shù)的圖象開口向下B．這個函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，且都在y軸同側(cè)C．當(dāng)x＞1時，y的值隨x值的增大而增大D．方程a＋（b＋2）x＋c＝﹣4的解為＝0，＝13．已知二次函數(shù)y＝kx2－7x－7的圖象和x軸有交點，則k的取值范圍是（

）A．k＞－且k≠0 B．k＞－C．k≥－且k≠0 D．k≥－4．若拋物線y=與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，則△ABC的面積為（

）A．24 B．36 C．48 D．965．如圖，若二次函數(shù)圖象的對稱軸為，與軸交于點，與軸交于點、點，則①二次函數(shù)的最大值為；②；③；④當(dāng)時，；其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．46．二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖像如圖，若一元二次方程ax2+bx+m＝0有實數(shù)根，則m的最大值為（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．37．已知拋物線與x軸的一個交點為，則代數(shù)式_____________．8．如圖，過點D（1，3）的拋物線y=-x2+k的頂點為A，與x軸交于B、C兩點，若點P是y軸上一點，則PC+PD的最小值為____．9．已知二次函數(shù)y＝－（m＋2）x＋2m－1(1)求證：不論m取何值，該函數(shù)圖象與x軸總有兩個公共點；(2)若該函數(shù)的圖象與y軸交于點（0，3），求當(dāng)0＜x＜5時，求y的取值范圍．10．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸的一個交點為，另一個交點為，且與軸交于點．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)求的面積；(3)該二次函數(shù)圖象上是否存在點，使與的面積相等？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．題組C培優(yōu)拔尖練1．若，是方程（c為常數(shù)）兩個不相等的實數(shù)根，且滿足，則c的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a為常數(shù)，且a≠0）的圖象過點(﹣1，0)，對稱軸為直線x＝1，且2＜c＜3，則下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)bc＞0 B．3a+c＞0C．a(chǎn)2m2+abm≤a2+ab（m為任意實數(shù)） D．﹣1＜a＜﹣3．在平面直角坐標(biāo)系中，已知函數(shù)，，，其中a＝2，b、c都是正實數(shù)，且滿足b2＝ac．設(shè)y1，y2，y3的圖象與x軸的交點個數(shù)分別為M1，M2，M3，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．若M1＝1，M2＝1，則M3＝2 B．若M1＝1，M2＝1，則M3＝1C．若M1＝1，M2＝0，則M3＝0或1或2 D．若M1＝1，M2＝2，則M3＝24．已知拋物線與軸的兩個交點之間的距離為6，對稱軸為，則拋物線的頂點關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．5．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，對稱軸是直線x=1．下列結(jié)論：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2-b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m為實數(shù)）．其中結(jié)論正確的為（

）A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④6．下表記錄了二次函數(shù)中兩個變量x與y的6組對應(yīng)值，其中．x…13…y…m020nm…根據(jù)表中信息，當(dāng)時，直線與該二次函數(shù)圖像有兩個公共點，則k的取值范圍為（

）．A． B．C． D．7．若函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個不同的交點，則m的值為____．8．已知二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于點和，如圖所示，則使不等式成立的的取值范圍是_____________．9．平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知