數(shù)學-專題9.1 旋轉(zhuǎn)與中心對稱【十大題型】（舉一反三）（蘇科版）（帶答案）

專題9.1旋轉(zhuǎn)與中心對稱【十大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1關(guān)于原點對稱的點的坐標】 1【題型2利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求角度】 3【題型3利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求線段長度】 6【題型4旋轉(zhuǎn)中的坐標與圖形變換】 10【題型5作圖-旋轉(zhuǎn)變換】 14【題型6中心對稱圖形及旋轉(zhuǎn)對稱圖形】 18【題型7旋轉(zhuǎn)中的周期性問題】 20【題型8旋轉(zhuǎn)中的多結(jié)論問題】 24【題型9旋轉(zhuǎn)中的最值問題】 30【題型10旋轉(zhuǎn)的綜合】 34【知識點1關(guān)于原點對稱的點的坐標】在平面直角坐標系中，如果兩個點關(guān)于原點對稱，它們的坐標符號相反，即點p（x,y）關(guān)于原點對稱點為（-x,-y）?！绢}型1關(guān)于原點對稱的點的坐標】【例1】（2022春?平陰縣期末）點A（﹣2，3）與點B（a，b）關(guān)于坐標原點對稱，則a+b的值為﹣1．【分析】根據(jù)兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標符號相反可直接得到答案．【解答】解：∵點A（﹣2，3）與點B（a，b）關(guān)于坐標原點對稱，∴a＝2，b＝﹣3，∴a+b＝﹣1，故答案為：﹣1．【變式1-1】（2022秋?雨花區(qū)期末）若點A（m，5）與點B（2，n）關(guān)于原點對稱，則3m+2n的值為﹣16．【分析】平面直角坐標系中任意一點P（x，y），關(guān)于原點的對稱點是（﹣x，﹣y），記憶方法是結(jié)合平面直角坐標系的圖形記憶．

【解答】解：∵點A（m，5）與點B（2，n）關(guān)于原點對稱，∴m＝﹣2，n＝﹣5，∴3m+2n＝﹣6﹣10＝﹣16．故答案為：﹣16．【變式1-2】（2022秋?常熟市期末）已知點P（2m﹣1，﹣m+3）關(guān)于原點的對稱點在第三象限，則m的取值范圍是12＜m【分析】根據(jù)關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)可得P在第一象限，進而可得2m?1＞0?m+3＞0【解答】解：∵點P（2m﹣1，﹣m+3）關(guān)于原點的對稱點在第三象限，∴點P（2m﹣1，﹣m+3）在第一象限，∴2m?1＞0?m+3＞0解得：12＜故答案為：12＜【變式1-3】（2022春?永新縣期末）已知點P（3+2a，2a+1）與點P′關(guān)于原點成中心對稱，若點P′在第二象限，且a為整數(shù)，則關(guān)于x的分式方程2x?ax+1=3的解是x【分析】根據(jù)P關(guān)于原點對稱點在第一象限，得到P橫縱坐標都小于0，求出a的范圍，確定出a的值，代入方程計算即可求出解．【解答】解：∵P（3+2a，2a+1）與點P′關(guān)于原點成中心對稱，若點P′在第二象限，且a為整數(shù)，∴3+2a＞02a+1＜0解得：?32＜a＜?當a＝﹣1時，所求方程化為2x+1x+1解得：x＝﹣2，經(jīng)檢驗x＝﹣2是分式方程的解，則方程的解為﹣2．故答案為x＝﹣2【知識點2旋轉(zhuǎn)的定義】

在平面內(nèi)，把一個平面圖形繞著平面內(nèi)某一點O轉(zhuǎn)動一個角度，就叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，點O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角。我們把旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向稱為旋轉(zhuǎn)的三要素?！局R點3旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)】旋轉(zhuǎn)的特征：（1）對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；（3）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。理解以下幾點：（1）圖形中的每一個點都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度。（2）對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應線段相等，對應角相等。（3）圖形的大小與形狀都沒有發(fā)生改變，只改變了圖形的位置?！绢}型2利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求角度】【例2】（2022春?梅州校級期末）如圖，點O是等邊△ABC內(nèi)一點，∠AOB＝110°，將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，連接OD，若OD＝AD，則∠BOC的度數(shù)為140°．【分析】設∠BOC＝α，根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后圖形不發(fā)生變化，易證△COD是等邊△OCD，從而利用α分別表示出∠AOD與∠ADO，再根據(jù)等腰△AOD的性質(zhì)求出α．【解答】解：設∠BOC＝α，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，△BOC≌△ADC，則OC＝DC，∠BOC＝∠ADC＝α．又∵△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ADC，∴∠OCD＝60°，∴△OCD是等邊三角形，∴∠COD＝∠CDO＝60°，∵OD＝AD，∴∠AOD＝∠DAO．

∵∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，∴2×（190°﹣α）+α﹣60°＝180°，解得α＝140°．故答案是：140°．【變式2-1】（2022?南充）如圖，將直角三角板ABC繞頂點A順時針旋轉(zhuǎn)到△AB′C′，點B′恰好落在CA的延長線上，∠B＝30°，∠C＝90°，則∠BAC′為（）A．90° B．60° C．45° D．30°【分析】利用旋轉(zhuǎn)不變性，三角形內(nèi)角和定理和平角的意義解答即可．【解答】解：∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，∵將直角三角板ABC繞頂點A順時針旋轉(zhuǎn)到△AB′C′，∴∠C′AB′＝∠CAB＝60°．∵點B′恰好落在CA的延長線上，∴∠BAC′＝180°﹣∠CAB﹣∠C′AB′＝60°．故選：B．【變式2-2】（2022?天津一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，點D在邊AB上，將△ADC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)40°，得到△AD'B，且D'，D，C三點在同一條直線上，則∠ACD的大小為（）

A．20° B．30° C．40° D．45°【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BAC＝∠BAD'＝40°，AD＝AD'，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠AD'D＝70°，∠D'AC＝80°，即可求∠ACD的度數(shù)．【解答】解：∵將△ADC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)40°得到△AD′B，∴∠BAC＝∠BAD'＝40°，AD＝AD'∴∠AD'D=12×（180°﹣40°）＝70°，∠D'AC＝∠BAC∴∠ACD＝180°﹣∠AD'D﹣∠D'AC＝30°；故選：B．【變式2-3】（2022?城步縣模擬）如圖，P為等邊三角形ABC內(nèi)一點，∠APB：∠APC：∠CPB＝5：6：7，則以PA，PB，PC為三邊構(gòu)成的三角形的三個內(nèi)角從小到大的度數(shù)之比為（）A．1：2：3 B．2：3：4 C．3：4：5 D．5：6：7【分析】將△APB繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，顯然有△ADC≌△APB，連PD，則AD＝AP，∠DAP＝60°，得到△ADP是等邊三角形，PD＝AP，所以△DCP的三邊長分別為PA，PB，PC；再由∠APB+∠BPC+∠CPA＝360°，∠APB：∠APC：∠CPB＝5：6：7，得到∠APB＝100°，∠BPC＝140°，∠CPA＝120°，這樣可分別求出∠PDC＝∠ADC﹣∠ADP＝∠APB﹣∠ADP＝100°﹣60°＝40°，∠DPC＝∠APC﹣∠APD＝120°﹣60°＝60°，∠PCD＝180°﹣（40°+60°）＝80°，即可得到答案．【解答】解：如圖，將△APB繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，顯然有△ADC≌△APB，連PD，

∵AD＝AP，∠DAP＝60°，∴△ADP是等邊三角形，∴PD＝AP，∵DC＝PB，∴△DCP的三邊長分別為PA，PB，PC，∵∠APB+∠BPC+∠CPA＝360°，∠APB：∠APC：∠CPB＝5：6：7，∴∠APB＝100°，∠BPC＝140°，∠CPA＝120°，∴∠PDC＝∠ADC﹣∠ADP＝∠APB﹣∠ADP＝100°﹣60°＝40°，∠DPC＝∠APC﹣∠APD＝120°﹣60°＝60°，∠PCD＝180°﹣（40°+60°）＝80°，∴以PA，PB，PC為三邊構(gòu)成的三角形的三個內(nèi)角從小到大的度數(shù)之比為2：3：4．故選：B．【題型3利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求線段長度】【例3】（2022春?儀征市期末）如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到正方形AEFG，連接CF，則CF的長是（）A．1 B．2 C．3 D．3【分析】連接AC、AF，證明△ACF為等邊三角形，求得AC便可得出結(jié)果．【解答】解：連接AC、AF，

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，AC＝AF，∠CAF＝60°，∴△ACF為等邊三角形，∴AC＝CF，∵AC=2∴CF=2故選：B．【變式3-1】（2022春?如皋市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，使點C′落在AB邊上，連接BB′，則B′B的長為（）A．23 B．5 C．25【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)并利用勾股定理進行求解即可．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴根據(jù)勾股定理得：AB=A由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AC＝AC'＝3，BC＝B'C'＝4，∴BC'＝AB﹣AC'＝5﹣3＝2，∴BB'=B′C2故選：C．

【變式3-2】（2022?東莞市校級一模）如圖，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)到△A′OB′處，此時線段A′B′與BO的交點E為BO的中點，則線段B′E的長度為（）A．35 B．1255 C．95【分析】由勾股定理求出AB，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AO＝A′O，A′B′＝AB，再求出OE，從而得到OE＝A′O，過點O作OF⊥A′B′于F，由三角形的面積求出OF，由勾股定理列式求出EF，再由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得A′E＝2EF，然后由B′E＝A′B′﹣A′E代入數(shù)據(jù)計算即可得解．【解答】解：∵∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，∴AB=A∵△AOB繞頂點O逆時針旋轉(zhuǎn)到△A′OB′處，∴AO＝A′O＝4，A′B′＝AB＝45，∵點E為BO的中點，∴OE=12BO∴OE＝A′O＝4，過點O作OF⊥A′B′于F，如圖，S△A′OB′=12×45?解得：OF=8在Rt△EOF中，EF=O

∵OE＝A′O，OF⊥A′B′，∴A′E＝2EF＝2×4∴B′E＝A′B′﹣A′E=45故選：B．【變式3-3】（2022春?和平區(qū)期末）如圖，△ABC與△CDE都是等邊三角形，連接AD，BE，CD＝4，BC＝2，若將△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，當點A、C、E在同一條直線上時，線段BE的長為（）A．23 B．27 C．3或7 D．23或27【分析】分兩種情況：①當E在CA延長線上時，過A作AM⊥BE于M，根據(jù)△ABC與△CDE都是等邊三角形，CD＝4，BC＝2，可得AE＝AB，∠AEB＝∠ABE＝30°，在Rt△ABM中，可得BM=3，從而BE＝2BM＝23；②當E在AC的延長線上時，過B作BN⊥AC于N，在Rt△BCN中，CN=12BC＝1，BN=3CN=3，在Rt△BNE中，【解答】解：①當E在CA延長線上時，過A作AM⊥BE于M，如圖：∵△ABC與△CDE都是等邊三角形，CD＝4，BC＝2，∴AE＝CE﹣AC＝4﹣2＝2，∠BAC＝60°，∴AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABE＝30°，在Rt△ABM中，AM=12AB＝1，BM=3

∴BE＝2BM＝23；②當E在AC的延長線上時，過B作BN⊥AC于N，如圖：在Rt△BCN中，CN=12BC＝1，BN=3∴NE＝CE+CN＝4+1＝5，在Rt△BNE中，BE=BN2綜上所述，線段BE的長為23或27，故選：D．【題型4旋轉(zhuǎn)中的坐標與圖形變換】【例4】（2022秋?黃石期末）如圖，線段AB與線段CD關(guān)于點P對稱，若點A（a，b）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），則點C的坐標為（）A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a+2，﹣b） C．（﹣a﹣1，﹣b+1） D．（﹣a+1，﹣b﹣1）【分析】運用中點坐標公式求答案．【解答】解：設C（m，n），∵線段AB與線段CD關(guān)于點P對稱，

點P為線段AC、BD的中點．∴a+m2=5?3∴m＝2﹣a，n＝﹣b，∴C（2﹣a，﹣b），故選：B．【變式4-1】（2022秋?本溪期末）如圖，在△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝27，將△AOB繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后點A的對應點A′的坐標是（）A．（﹣4，2） B．（﹣23，4） C．（﹣23，2） D．（﹣2，23）【分析】如圖，過點A作AH⊥OB于H，設OH＝m，則BH＝6﹣m，利用勾股定理構(gòu)建方程求出m，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，過點A作AH⊥OB于H，設OH＝m，則BH＝6﹣m，∵AH2＝OA2﹣OH2＝AB2﹣BH2，∴42﹣m2＝（27）2﹣（6﹣m）2，∴m＝2，∴AH=42?∴A（2，23），∴將△AOB繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后點A的對應點A′（﹣23，2），【變式4-2】（2022秋?西湖區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系中，△MNP繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△M1N1P1，若M（1，﹣2），則點M1的坐標為（）

A．（﹣2，﹣1） B．（1，2） C．（2，1） D．（﹣1，﹣2）【分析】如圖，連接OM，OM1，過點M作MH⊥y軸于點H，過點M1作M1T⊥x軸于點T．利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．【解答】解：如圖，連接OM，OM1，過點M作MH⊥y軸于點H，過點M1作M1T⊥x軸于點T．∵M（1，﹣2），∴MH＝1，OH＝2，∵∠MOM1＝∠POT，∴∠MOH＝∠M1OT，∵∠MHO＝∠M1TO＝90°，OM＝OM1，∴△MHO≌△M1TO（AAS），∴MH＝M1T＝1，OH＝OT＝2，∴M1（2，1），故選：C．【變式4-3】（2022?新?lián)釁^(qū)模擬）如圖，Rt△AOB的斜邊AO在y軸上，OB=3，∠AOB＝30°，直角頂點B在第二象限，將Rt△AOB繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)120°后得到△A′OB'，則A點的對應點A

A．（3，﹣1） B．（1，?3） C．（2，0） D．（3【分析】如圖，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到BC＝1，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到OB′＝OB=3，B′A′＝BA＝1，∠A′B′O＝∠ABO＝90°，然后利用第四象限點的坐標特征寫出點A【解答】解：如圖，在Rt△OAB中，∵∠BOA＝30°，∴AB=33OB∵Rt△OCB繞原點順時針旋轉(zhuǎn)120°后得到△OA′B'，∴OB′＝OB=3，B′A′＝BA＝1，∠A′B′O＝∠ABO∴點A′的坐標為（3，﹣1）．故選：A．【知識點4利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作圖】

旋轉(zhuǎn)有兩條重要性質(zhì)：任意一對對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，它就是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖的關(guān)鍵。步驟可分為：①連：即連接圖形中每一個關(guān)鍵點與旋轉(zhuǎn)中心；②轉(zhuǎn)：即把直線按要求繞旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)過一定角度（作旋轉(zhuǎn)角）③截：即在角的另一邊上截取關(guān)鍵點到旋轉(zhuǎn)中心的距離，的到各點的對應點；④接：即連接到所連接的各點。【知識點5中心對稱圖形的定義】把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就就是它的對稱中心?！局R點6中心對稱的性質(zhì)】有以下幾點：（1）關(guān)于中心對稱的兩個圖形上的對應點的連線都經(jīng)過對稱中心，并且都被對稱中心平分；（2）關(guān)于中心對稱的兩個圖形能夠互相重合，就是全等形；（3）關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或共線）且相等?！局R點7作一個圖形關(guān)于某點對稱的圖形】要作出一個圖形關(guān)于某一點的成中心對稱的圖形，關(guān)鍵就是作出該圖形上關(guān)鍵點關(guān)于對稱中心的對稱點。最后將對稱點按照原圖形的形狀連接起來，即可的出成中心對稱圖形。【題型5作圖-旋轉(zhuǎn)變換】【例5】（2022春?化州市校級期中）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點分別是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．（1）把△ABC向左平移4個單位后得到對應的△A1B1C1，請畫出平移后的△A1B1C1；（2）把△ABC繞原點O旋轉(zhuǎn)180°后得到對應的△A2B2C2，請畫出旋轉(zhuǎn)后的△A2B2C2．

【分析】（1）利用平移變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應點A1，B1，C1即可；（2）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應點A2，B2，C2即可．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；（2）如圖，△A2B2C2即為所求．【變式5-1】（2022春?洪雅縣期末）如圖，在所給網(wǎng)格圖（每小格均為邊長是1的正方形）中完成下列各題：（1）將△ABC向下平移5個單位得△A1B1C1，畫出平移后的△A1B1C1．（2）畫出△ABC關(guān)于點B成中心對稱的圖形．（3）在直線l上找一點P，使△ABP的周長最?。痉治觥浚?）直接利用平移的性質(zhì)得出對應點位置進而得出答案；

（2）直接利用中心對稱圖形的性質(zhì)得出對應點位置；（3）利用軸對稱求最短路線的方法得出答案．【解答】解：（1）如圖所示：△A1B1C1，即為所求；（2）如圖所示：△DEF，即為所求；（3）如圖所示：P點位置，使△ABP的周長最?。咀兪?-2】（2022春?蒲城縣期末）在如圖所示的平面直角坐標系中，每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，△ABC的頂點坐標分別為A（1，1），B（3，0），C（2，3）．（1）將△ABC向左平移4個單位長度得到△A1B1C1，點A、B、C的對應點分別為A1、B1、C1，請畫出△A1B1C1，并寫出點C1的坐標；（2）以原點O為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A2B2C2，點A、B、C的對應點分別為A2、B2、C2，請畫出△A2B2C2．【分析】（1）利用平移變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應點A1，B1，C1即可；

（2）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應點A2，B2，C2即可．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求，點C1的坐標（﹣2，3）；（2）如圖，△A2B2C2即為所求．【變式5-3】（2022秋?利通區(qū)期末）方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，在建立平面直角坐標系后，△ABC的頂點均在格點上．（1）畫出△ABC繞B點順時針旋轉(zhuǎn)90°后的△A1B1C1；并寫出A1、B1、C1的坐標；（2）畫出△ABC關(guān)于原點O對稱的△A2B2C2；并寫出A2、B2、C2的坐標．【分析】（1）根據(jù)題意所述的旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度找到各點的對應點，順次連接即可得出△A1B1C1，結(jié)合直角坐標系可得出各點的坐標．（2）找到各點關(guān)于原點對稱的點，順次連接可得到△A2B2C2，結(jié)合直角坐標系可得出各點的坐標．【解答】解：（1）所畫圖形如下：

結(jié)合圖形可得A1坐標為（3，﹣1）；B1坐標為（1，0）；C1坐標為（2，﹣2）；（2）所畫圖形如下所示：結(jié)合圖形可得A2坐標為（﹣2，﹣2）；B2坐標為（﹣1，0）；C2坐標為（﹣3，﹣1）．【題型6中心對稱圖形及旋轉(zhuǎn)對稱圖形】【例6】（2022秋?單縣校級月考）如圖所示的圖案中，是軸對稱圖形而不是中心對稱圖形的個數(shù)是1．【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【解答】解：第一個圖形是軸對稱圖形而不是中心對稱圖形，共1個．故答案為：1．【變式6-1】（2022秋?普陀區(qū)期末）在下列圖形中：等腰三角形、等邊三角形、正方形、正五邊形、平行四邊形，等腰梯形，其中有4個旋轉(zhuǎn)對稱圖形．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)對稱圖形的定義：把一個圖形繞著一個定點旋轉(zhuǎn)一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角．解答即可．

【解答】解：在等腰三角形、等邊三角形、正方形、正五邊形、平行四邊形，等腰梯形只有等邊三角形、正方形、正五邊形、平行四邊形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形．故答案為4；【變式6-2】（2022秋?孝義市期中）2022年2月4日﹣2月20日，北京冬奧會將隆重開幕，北京將成為世界上第一個既舉辦過夏季奧運會，又舉辦過冬季奧運會的城市．下面圖片是在北京冬奧會會徽征集過程中，征集到的一幅圖片，整個圖片由“京字組成的雪花圖案”、“beijing2022”、“奧運五環(huán)”三部分組成．對于圖片中的“雪花圖案”，至少旋轉(zhuǎn)60°能與原雪花圖案重合．【分析】“雪花圖案”可以看成正六邊形，根據(jù)正六邊形的中心角為60°，即可解決問題．【解答】解：“雪花圖案”可以看成正六邊形，∵正六邊形的中心角為60°，∴這個圖案至少旋轉(zhuǎn)60°能與原雪花圖案重合．故答案為：60．【變式6-3】（2022春?景德鎮(zhèn)期中）如圖，由4個全等的正方形組成的L形圖案，請按下列要求畫圖：（1）在圖案①中添加1個正方形，使它成軸對稱圖形（不能是中心對稱圖形）；（2）在圖案②中添加1個正方形，使它成中心對稱圖形（不能是軸對稱圖形）；（3）在圖案③中改變1個正方形的位置，從而得到一個新圖形，使它既成中心對稱圖形，又成軸對稱圖形．【分析】（1）根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)，先找出對稱軸，再思考如何畫圖；（2）如一，也是先找一個中心，再根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，思考如何畫圖；（3）根據(jù)中心對稱和軸對稱的性質(zhì)畫一個圖形．注意此題有多種畫法，答案不唯一．【解答】解：如圖所示．

（1）如圖（1），圖（2），圖（3）所示；（2）如圖（4）所示；（3）如圖（5），圖（6）所示．【題型7旋轉(zhuǎn)中的周期性問題】【例7】（2022春?高新區(qū)校級月考）如圖，在平面直角坐標系中，已知點P0的坐標為（1，0），將點P0繞著原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°得到點P1，延長OP1到P2，使得OP2＝2OP1；再將點P2繞著原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°得到P3，延長OP3到P4，使得OP4＝2OP3……如此繼續(xù)下去，點P2023坐標為（）A．（﹣21010，3?21010） B．（0，21011） C．（21010，3?21010） D．（3?21010，21010）【分析】根據(jù)每次旋轉(zhuǎn)后線段的長度是原來的2倍求出OP2023，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角為30°求出每12次旋轉(zhuǎn)，24個點為一個循環(huán)組依次循環(huán)，然后用2023除以24，再根據(jù)商和余數(shù)的情況確定出點P2023

在第二象限與y軸正半軸夾角為30°，然后解答即可．【解答】解：∵點P0的坐標為（1，0），∴OP0＝1，∴OP2＝2OP1＝2，OP3＝OP2＝2，OP4＝2OP3＝2×2＝22，…，OP2022＝21011，∵2022÷24＝84余6，∴點P2023是第85循環(huán)組的第7個點，在第二象限，與y軸正半軸夾角為30°，∴點P2023的坐標為（?210112，210112?3故選：A．【變式7-1】（2022秋?中原區(qū)校級期末）將△OBA按如圖方式放在平面直角坐標系中，其中∠OBA＝90°，∠A＝30°，頂點A的坐標為（1，3），將△OBA繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點A對應點的坐標為（）A．(?1，3) B．(?3，1) C．【分析】6次一個循環(huán)，分別求出第一次到第六次的點A的坐標，利用規(guī)律解決問題即可．【解答】解：∵A（1，3），∠ABO＝90°，∴OB＝1，AB=3∵∠A＝30°，∴OA＝2OB＝2，∴第一次旋轉(zhuǎn)后的坐標為（﹣1，3），第二次旋轉(zhuǎn)后的坐標為（﹣2，0），第三次旋轉(zhuǎn)后的坐標為（﹣1，?3第四次旋轉(zhuǎn)后的坐標為（1，?3第五次旋轉(zhuǎn)后的坐標為（2，0），

第六次旋轉(zhuǎn)后的坐標為（1，3），???，6次一個循環(huán)，∵2023÷6＝337???1，∴第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點A對應點的坐標為（﹣1，3），故選：A．【變式7-2】（2022?開封一模）如圖，在平面直角坐標系中，將正方形OABC繞O點順時針選擇45°后，得到正方形OA1B1C1，以此方式，繞O點連續(xù)旋轉(zhuǎn)2022次得到正方形OA2022B2022C2022，如果點C的坐標為（0，1），那么點B2022的坐標為（）A．(0，?2) B．(?2，0)【分析】根據(jù)圖形可知：點B在以O為圓心，以OB為半徑的圓上運動，再由旋轉(zhuǎn)可知：將正方形OABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OA1B1C1，相當于將線段OB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)45°，可得對應點B的坐標，然后發(fā)現(xiàn)規(guī)律是8次一循環(huán)，進而得出答案．【解答】解：∵點C的坐標為（0，1），∴OC＝1，∵四邊形OABC是正方形，∴∠OAB＝90°，AB＝OC＝OA＝1，∴B（1，1），連接OB，如圖：由勾股定理得：OB=1由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：OB＝OB1＝OB2＝OB3=?=2∵將正方形OABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OA1B1C1，相當于將線段OB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，∴B1（2，0），B2（1，﹣1），B3（0，?2），B4（﹣1，﹣1），B5（?2，0），

（﹣1，1），…，發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán)，則2022÷8＝252…6，∴點B2022的坐標為（﹣1，1），故選：C．【變式7-3】（2022春?高州市期中）如圖，矩形ABCD的頂點A，B分別在x軸、y軸上，OA＝OB＝2，AD＝42，將矩形ABCD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點C的坐標為（）A．（6，4） B．（﹣6，4） C．（4，﹣6） D．（﹣4，6）【分析】過點C作CE⊥y軸于點E，連接OC，根據(jù)已知條件求出點C的坐標，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出前4次旋轉(zhuǎn)后點C的坐標，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進而求出第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點C的坐標．【解答】解：如圖，過點C作CE⊥y軸于點E，連接OC，∵OA＝OB＝2，∴∠ABO＝∠BAO＝45°，∵∠ABC＝90°，∴∠CBE＝45°，∵BC＝AD＝42，

∴CE＝BE＝4，∴OE＝OB+BE＝6，∴C（﹣4，6），∵矩形ABCD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第1次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點C的坐標為（6，4）；則第2次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點C的坐標為（4，﹣6）；則第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點C的坐標為（﹣6，﹣4）；則第4次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點C的坐標為（﹣4，6）；…發(fā)現(xiàn)規(guī)律：旋轉(zhuǎn)4次一個循環(huán)，∴2022÷4＝505???2，則第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點C的坐標為（4，﹣6）．故選：C．【題型8旋轉(zhuǎn)中的多結(jié)論問題】【例8】（2022?益陽）如圖，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，將△ABC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)50°得到△AB′C′，以下結(jié)論：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正確的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，BC＝B′C′∠C′AB′＝∠CAB＝20°，∠AB′C′＝∠ABC＝30°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為50°，通過推理證明對①②③④四個結(jié)論進行判斷即可．【解答】解：①∵△ABC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)50°得到△AB′C′，∴BC＝B′C′．故①正確；②∵△ABC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)50°，∴∠BAB′＝50°．∵∠CAB＝20°，

∴∠B′AC＝∠BAB′﹣∠CAB＝30°．∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°，∴∠AB′C′＝∠B′AC．∴AC∥C′B′．故②正確；③在△BAB′中，AB＝AB′，∠BAB′＝50°，∴∠AB′B＝∠ABB′=1∴∠BB′C′＝∠AB′B+∠AB′C′＝65°+30°＝95°．∴C′B′與BB′不垂直．故③不正確；④在△ACC′中，AC＝AC′，∠CAC′＝50°，∴∠ACC′=1∴∠ABB′＝∠ACC′．故④正確．∴①②④這三個結(jié)論正確．故選：B．【變式8-1】（2022春?邗江區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，AB＝8，若點E在對角線AC上運動，將線段DE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接EF、CF．點P在CD上，且CP＝3PD．給出以下幾個結(jié)論①EF=2DE，②EF2＝AE2+CE2，③線段PF的最小值是42，④△CFEA．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④【分析】①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得△DEF為等腰直角三角形，進而得到EF與DE的數(shù)量關(guān)系，便可判定①的正誤；②證明△ADE≌△CDF，得AE＝CF，∠DAE＝∠DCF＝45°，再在直角△CEF中由勾股定理得EF2＝CF2+CE2，進而得EF2＝AE2+CE2，便可判斷②的正誤；

③由∠DCF＝45°恒成立，所以當PF⊥CF時，PF取最小值，求出此時的PF便可判斷③的正誤；④先求得AE+CE＝AC=2AD=82，再根據(jù)（（AE﹣CE）2≥0求得AE?CE≤32，求得AE?CE【解答】解：①∵由旋轉(zhuǎn)知，DE＝DF，∠EDF＝90°，∴EF=2DE故①正確；②∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，∠DAC＝∠ACD＝45°，∴∠ADC＝∠EDF，∴∠ADE＝∠CDF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF＝45°，∴∠ECF＝90°，∴EF2＝CF2+CE2，∴EF2＝AE2+CE2，故②正確；③∵CP＝3PD．∴PC=34當PF⊥CF時，PF取最小值，如圖，∵∠DCF＝45°，∴PF＝CF=22CP＝3故③錯誤；④∵∠ECF＝90°，∴S△CEF

∵AE+CE＝AC=2∴（AE﹣CE）2＝（AE+CE）2﹣4AE?CE＝128﹣4AE?CE≥0，∴AE?CE≤32，∴AE?CE的最大值為32，∴△CFE的面積最大是12故④正確；故選：A．【變式8-2】（2022春?雙牌縣期末）一副三角板如圖擺放，點F是45°角三角板ABC的斜邊的中點，AC＝4．當30°角三角板DEF的直角頂點繞著點F旋轉(zhuǎn)時，直角邊DF，EF分別與AC，BC相交于點M，N．在旋轉(zhuǎn)過程中有以下結(jié)論：①MF＝NF；②四邊形CMFN有可能是正方形：③MN長度的最小值為2；④四邊形CMFN的面積保持不變．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用兩直角三角形的特殊角、性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分別判斷每一個結(jié)論，找到正確的即可．【解答】解：①連接CF，∵F為AB中點，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴AF＝BF＝CF，CF⊥AB，∴∠AFM+∠CFM＝90°．∵∠DFE＝90°，∠CFM+∠CFN＝90°，∴∠AFM＝∠CFN．同理，∵∠A+∠MCF＝90°，∠MCF+∠FCN＝90°，∴∠A＝∠FCN，在△AMF與△CNF中，∠AFM=∠CFNAF=CF∴△AMF≌△CNF（ASA），

∴MF＝NF．故①正確；②當MF⊥AC時，四邊形MFNC是矩形，此時MA＝MF＝MC，根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形可知②正確；③連接MN，當M為AC的中點時，CM＝CN，根據(jù)邊長為4知CM＝CN＝2，此時MN最小，最小值為22，故③錯誤；④當M、N分別為AC、BC中點時，四邊形CDFE是正方形．∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF＝S△AMF∴S四邊形CDFE＝S△AFC．故④正確；故選：C．【變式8-3】（2022春?德州期中）如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，點O又是正方形A1B1C1O的一個頂點，而且這兩個正方形的邊長相等．給出如下四個結(jié)論：①∠OEF＝45°；②正方形A1B1C1O繞點O旋轉(zhuǎn)時，四邊形OEBF的面積隨EF的長度變化而變化；③△BEF周長的最小值為(1+2)OA；④AE2+CF2＝2OBA．①③ B．②③ C．①④ D．③④【分析】①由四邊形ABCD和A1B1C1O是正方形可知，易證得△BOE≌△COF（ASA），則可得Rt△OEF為等腰直角三角形；②由（1）易證得S四邊形OEBF＝S△BOC=14S正方形

③BE+BF＝BF+CF＝BC=2OA，而EF的最小值為12AC＝④由AE＝BF和EF2＝BE2+BF2，即可得結(jié)論．【解答】解：①∵四邊形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°，∴∠BOF+∠COF＝90°，∵∠EOF＝90°，∴∠BOF+∠COE＝90°，∴∠BOE＝∠COF，在△BOE和△COF中，∠BOE=∠COFOB=OC∴△BOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，BE＝CF，∴∠OEF＝45°，EF=2OE②由①得△BOE≌△COF∴S四邊形OEBF＝S△BOF+S△BOE＝S△BOF+S△COF＝S△BOC=14S正方形故②錯誤；③由①可知BE+BF＝BF+CF＝BC=2OA，EF=2△BEF周長＝BE+BF+EF=2OA+2∵OA為定值，則OE最小時△BEF周長的周長最小，∴當OE⊥AB時OE最小，△BEF周長的周長最小，此時OE=22∴△BEF周長的周長最小值=2OA+2OE=2OA+2×2故③正確，④∵在△BEF中，EF2＝BE2+BF2，∴EF2＝AE2+CF2，又∵2OB2＝AB2＝（AE+CF）2．∴AE2+CF2≠2OB2，故④錯誤．

故選：A．【題型9旋轉(zhuǎn)中的最值問題】【例9】（2022?黃石）如圖，等邊△ABC中，AB＝10，點E為高AD上的一動點，以BE為邊作等邊△BEF，連接DF，CF，則∠BCF＝30°，F(xiàn)B+FD的最小值為53．【分析】首先證明△BAE≌△BCF（SAS），推出∠BAE＝∠BCF＝30°，作點D關(guān)于CF的對稱點G，連接CG，DG，BG，BG交CF于點F′，連接DF′，此時BF′+DF′的值最小，最小值＝線段BG的長．【解答】解：如圖，∵△ABC是等邊三角形，AD⊥CB，∴∠BAE=12∠∵△BEF是等邊三角形，∴∠EBF＝∠ABC＝60°，BE＝BF，∴∠ABE＝∠CBF，在△BAE和△BCF中，BA=BC∠ABE=∠CBF∴△BAE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠BCF＝30°，作點D關(guān)于CF的對稱點G，連接CG，DG，BG，BG交CF于點F′，連接DF′，此時BF′+DF

′的值最小，最小值＝線段BG的長．∵∠DCF＝∠FCG＝30°，∴∠DCG＝60°，∵CD＝CG＝5，∴△CDG是等邊三角形，∴DB＝DC＝DG，∴∠CGB＝90°，∴BG=BC2∴BF+DF的最小值為53，故答案為：30°，53．【變式9-1】（2022春?大埔縣期中）如圖，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AC＝AD＝3，AB＝AE＝5．連接BD，CE，將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中當∠DBA最大時，S△ACE＝（）A．6 B．62 C．9 D．92【分析】作DG⊥AB于G，CH⊥AE，交EA的延長線于H，可知點D在以A為圓心，AD為半徑的圓上運動，當AD⊥BD時，∠ABD最大，利用AAS證明△ADG≌△AHC，得CH＝DG，可說明△ACE的面積＝△ABD的面積，從而得出答案．【解答】解：作DG⊥AB于G，CH⊥AE，交EA的延長線于H，∵AD＝3，∴點D在以A為圓心，AD為半徑的圓上運動，∴當AD⊥BD時，∠ABD最大，由勾股定理得BD＝4，

∵∠DAH＝∠CAB＝90°，∴∠CAH＝∠DAB，∵∠AGD＝∠H，AC＝CD，∴△ADG≌△AHC（AAS），∴CH＝DG，∴△ACE的面積=12×AE×CH=12×AB×DG＝△ABD的面積【變式9-2】（2022春?龍崗區(qū)期末）如圖，點E是等邊三角形△ABC邊AC的中點，點D是直線BC上一動點，連接ED，并繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段EF，連接DF．若運動過程中AF的最小值為3+1，則ABA．2 B．43 C．23【分析】由“SAS”可證△BDE≌△NFE，可得∠N＝∠CBE＝30°，則點N在與AN成30°的直線上運動，當AF'⊥F'N時，AF'有最小值，即可求解．【解答】解：如圖，連接BE，延長AC至N，使EN＝BE，連接FN，∵△ABC是等邊三角形，E是AC的中點，∴AE＝EC，∠ABE＝∠CBE＝30°，BE⊥AC，∴∠BEN＝∠DEF＝90°，BE=3AE∴∠BED＝∠CEF，在△BDE和△NFE中，

BE=EN∠BED=∠NEF∴△BDE≌△NFE（SAS），∴∠N＝∠CBE＝30°，∴點N在與AN成30°的直線上運動，∴當AF'⊥F'N時，AF'有最小值，∴AF'=12∴3+1=12（AE∴AE＝2，∴AC＝4，故選：D．【變式9-3】（2022春?南京期末）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，E為AB邊上一點，點F在BC邊上，且BF＝1，將點E繞著點F順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點G，連接DG，則DG的長的最小值為（）A．2 B．22 C．3 D．10【分析】過點G作GH⊥BC，垂足為H，可得∠GHF＝90°，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB＝CD＝4，∠B＝90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得EF＝FG，∠EFG＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠BEF＝∠GFH，從而可證△EBF≌△FHG，進而可得BF＝GH＝1，最后可得點G在與BC平行且與BC的距離為1的直線上，從而可得當點G在CD邊上時，DG的值最小，進行計算即可解答．【解答】解：過點G作GH⊥BC，垂足為H，∴∠GHF＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝4，∠B＝90°，∴∠B＝∠GHF＝90°，

由旋轉(zhuǎn)得：EF＝FG，∠EFG＝90°，∴∠EFB+∠GFH＝90°，∵∠BEF+∠BFE＝90°，∴∠BEF＝∠GFH，∴△EBF≌△FHG（AAS），∴BF＝GH＝1，∴點G在與BC平行且與BC的距離為1的直線上，∴當點G在CD邊上時，DG最小且DG＝4﹣1＝3，∴DG的最小值為3，故選：C．【題型10旋轉(zhuǎn)的綜合】【例10】（2022春?長沙期末）如圖，有一副直角三角板如圖1放置（其中∠D＝45°，∠C＝30°），PA，PB與直線MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)．（1）在圖1中，∠DPC＝75°；（2）①如圖2，若三角板PBD保持不動，三角板PAC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為10°/秒，轉(zhuǎn)動一周三角板PAC就停止轉(zhuǎn)動，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當旋轉(zhuǎn)時間為多少時，有PC∥DB成立；②如圖3，在圖1基礎上，若三角板PAC的邊PA從PN處開始繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為3°/秒，同時三角板PBD的邊PB從PM處開始繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為2°/秒，當PC轉(zhuǎn)到與PA重合時，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動，在旋轉(zhuǎn)過程中，當∠CPD＝∠BPM時，求旋轉(zhuǎn)的時間是多少？

【分析】（1）根據(jù)平角的定義即可得到結(jié)論；（2）①如圖1，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CPN＝∠DBP＝90°，求得∠APN＝30°，于是得到結(jié)論；如圖2，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CPB＝∠DBP＝90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠CPA＝60°，求得∠APM＝30°，于是得到結(jié)論；②設旋轉(zhuǎn)的時間為t秒，由題知，∠APN＝3t°，∠BPM＝2t°，根據(jù)周角的定義得到∠CPD＝360°﹣∠BPD﹣∠BPN﹣∠APN﹣∠APC＝360°﹣45°﹣（180°﹣2t°）﹣（3t°）﹣60°＝75°﹣t°，列方程即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠BPD＝∠D＝45°，∠APC＝60°，∴∠DPC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，故答案為：75°；（2）①如圖1，此時，BD∥PC成立，∵PC∥BD，∠DBP＝90°，∴∠CPN＝∠DBP＝90°，∵∠C＝30°，∴∠CPA＝60°，∴∠APN＝30°，∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，∴旋轉(zhuǎn)時間為3秒；如圖2，PC∥BD，∵PC∥BD，∠PBD＝90°，∴∠CPB＝∠DBP＝90°，∵∠C＝30°，∴∠CPA＝60°，∴∠APM＝30°，∵三角板PAC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)D的角度為180°+30°＝210°，∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，∴旋轉(zhuǎn)時間為21秒，綜上所述，當旋轉(zhuǎn)時間為3或21秒時，PC∥DB成立；②設旋轉(zhuǎn)的時間為t秒，由題知，∠APN＝3t°，∠BPM＝2t°，

∴∠BPN＝180°﹣∠BPM＝180°﹣2t°，∴∠CPD＝360°﹣∠BPD﹣∠BPN﹣∠APN﹣∠APC＝360°﹣45°﹣（180°﹣2t°）﹣（3t°）﹣60°＝75°﹣t°，當∠CPD＝∠BPM，即2t°＝75°﹣t°，解得：t＝25，∴當∠CPD＝∠BPM，求旋轉(zhuǎn)的時間是25秒．【變式10-1】（2022春?南川區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD是正方形，點E在AB的延長線上，連接EC，EC繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，連接CF、AF，CF與對角線BD交于點G．（1）若BE＝2，求AF的長度；（2）求證：AF+2BG=2AD【分析】（1）由正方形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的額性質(zhì)求得∠ABC＝∠EBC＝∠FEC＝90°，AB＝BC，EF＝EC，再利用勾股定理可得AC2＝2BC2，CE2＝BE2+BC2，CF2＝2BE2+2BC2，再證明∠FAC

＝90°，結(jié)合勾股定理可得AF2＝2BE2，進而可求解AF的長；（2）通過證明四邊形ADBH是平行四邊形，可得AD＝BH＝BC＝AB，可求AH=2AB=2CD，由相似三角形的性質(zhì)可得HF＝2【解答】（1）解：連接AC，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠EBC＝90°，AC2＝AB2