北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項講練 專題6.4 反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)（知識講解）

專題6.4反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能根據(jù)解析式畫出反比例函數(shù)的圖象，初步掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)．2.會用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式，進(jìn)一步理解反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)．3.會解決一次函數(shù)和反比例函數(shù)有關(guān)的問題．【要點梳理】【知識點一】反比例函數(shù)的圖象特征：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，永遠(yuǎn)不會與軸、軸相交，只是無限靠近兩坐標(biāo)軸.特別說明：若點()在反比例函數(shù)的圖象上，則點()也在此圖象上，所以反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；在反比例函數(shù)(為常數(shù)，)中，由于，所以兩個分支都無限接近但永遠(yuǎn)不能達(dá)到軸和軸．【知識點二】畫反比例函數(shù)的圖象的基本步驟：（1）列表：自變量的取值應(yīng)以0為中心，在0的兩側(cè)取三對（或三對以上）互為相反數(shù)的值，填寫值時，只需計算右側(cè)的函數(shù)值，相應(yīng)左側(cè)的函數(shù)值是與之對應(yīng)的相反數(shù)；（2）描點：描出一側(cè)的點后，另一側(cè)可根據(jù)中心對稱去描點；（3）連線：按照從左到右的順序連接各點并延伸，連線時要用平滑的曲線按照自變量從小到大的順序連接，切忌畫成折線.注意雙曲線的兩個分支是斷開的，延伸部分有逐漸靠近坐標(biāo)軸的趨勢，但永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交；【知識點三】反比例函數(shù)的圖象的位置反比例函數(shù)圖象的分布是由的符號決定的：當(dāng)時，兩支曲線分別位于第一、三象限內(nèi)，當(dāng)時，兩支曲線分別位于第二、四象限內(nèi)．【知識點四】反比例函數(shù)圖象的增減性（1）如圖1，當(dāng)時，雙曲線的兩個分支分別位于第一、三象限，在每個象限內(nèi)，值隨值的增大而減?。唬?）如圖2，當(dāng)時，雙曲線的兩個分支分別位于第二、四象限，在每個象限內(nèi)，值隨值的增大而增大；特別說明：反比例函數(shù)的增減性不是連續(xù)的，它的增減性都是在各自的象限內(nèi)的增減情況，反比例函數(shù)的增減性都是由反比例系數(shù)的符號決定的；反過來，由雙曲線所在的位置和函數(shù)的增減性，也可以推斷出的符號.【典型例題】類型一、描點法畫反比例函數(shù)的圖象1．在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出反比例函數(shù)與的圖象.【答案】見分析.【分析】用描點法畫反比例函數(shù)的圖象，步驟：列表---描點---連線．解：列表如下：x-4-3-2-11234-2-4-8842248-8-4-2描點、連線，如圖所示.【點撥】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象，列表取值時，x≠0，因為x=0函數(shù)無意義，為了使描出的點具有代表性，可以以“0”為中心，向兩邊對稱式取值，即正、負(fù)數(shù)各一半，且互為相反數(shù)，這樣也便于求y值．舉一反三：【變式】畫出反比例函數(shù)與的圖象．【答案】見分析【分析】先列表、描點，再畫圖象．解：列表表示幾組x與y的對應(yīng)值（填空）：x…1234612……62……12431…描點連線：以表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)，描出各點，并用平滑的曲線順次連接這些點，就得到函數(shù)與的圖象．【點撥】此題考查畫反比例函數(shù)的圖象，掌握畫函數(shù)圖象的步驟：列表、描點、連線是解題的關(guān)鍵．類型二、已知反比例函數(shù)圖象求解析式2．把下列函數(shù)的解析式與其圖象對應(yīng)起來．（1）；（2）；（3）；（4）．A．

B．

C．

D．【答案】（1）B；（2）A；（3）C；（4）D【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的選擇即可得到結(jié)論．解：（1）的圖象在一，三象限，對應(yīng)著圖象B；（2）的圖象關(guān)于y軸對稱，且函數(shù)值為正，在x軸上方，對應(yīng)著圖象A；（3）的圖象在二，四象限，對應(yīng)著圖象C；（4）的圖象關(guān)于y軸對稱，且函數(shù)值為負(fù)，在x軸方下方，對應(yīng)著圖象D．【點撥】本題考查了反比例函數(shù)的選擇，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將坐標(biāo)原點O沿x軸向左平移2個單位長度得到點A，過點A作y軸的平行線交反比例函數(shù)y＝的圖象于點B，AB＝.求反比例函數(shù)的解析式．【答案】反比例函數(shù)的解析式為y＝－.【分析】根據(jù)平移及AB的長度求出點B坐標(biāo)即可得答案.解：∵將坐標(biāo)原點O沿x軸向左平移2個單位長度得到點A，∴OA=2，∵AB//y軸，AB=，∴B點坐標(biāo)為：（-2，），把B（-2，），代入y＝中，得到k＝－3，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝－.【點撥】本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，根據(jù)平移及AB的長度求出B點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.類型三、由雙曲線對稱性求點的坐標(biāo)3．如圖，與的直徑為2，反比例函數(shù)的圖像與兩圓分別交于點A，B，C，D，求圖中陰影部分的面積．【答案】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖像是中心對稱圖形，那么陰影部分的面積可看作半徑為1的半圓的面積．解：由題意得：圖中陰影部分的面積為．【點撥】本題考查了反比例函數(shù)的對稱性，解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的圖形的對稱性得到陰影部分的面積為一個半圓的面積．舉一反三：【變式】已知，在平面直角坐標(biāo)系中，有反比例函數(shù)y=的函數(shù)圖像：如圖1，點A是該函數(shù)圖像第一象限上的點，且橫坐標(biāo)為a（a＞0），延長AO使得AO=A'O，判斷點A'是否為該函數(shù)圖像第三象限上的點，并說明理由；如圖2，點B、C均為該函數(shù)圖像第一象限中的點，連接BC，點D為線段BC的中點，請僅用一把無刻度的直尺作出點D關(guān)于點O的對稱點D'．（不寫作圖過程，保留作圖痕跡）【答案】(1)點A'是該函數(shù)圖像第三象限上的點，理由見分析(2)見分析【分析】（1）過點A作AM⊥x軸于點M，過點作軸于點N，先求出點A的坐標(biāo)，再證明，得出，即可得出結(jié)論；（2）連接BO、CO并延長，交反比例函數(shù)第三象限的圖像于點、點，連接，連接DO并延長，交于點，即可得到點點．解：（1）點A'是該函數(shù)圖像第三象限上的點，理由如下：過點A作AM⊥x軸于點M，過點作軸于點N，點A是反比例函數(shù)y=的圖像第一象限上的點，且橫坐標(biāo)為a（a＞0），，即，，，，，，，點A'是該函數(shù)圖像第三象限上的點；（2）連接BO并延長，交反比例函數(shù)第三象限的圖像于點，連接CO并延長，交反比例函數(shù)第三象限的圖像于點，連接，連接DO并延長，交于點，此時，點即為所求．【點撥】本題考查了反比例函數(shù)的圖像上的點的坐標(biāo)特征，關(guān)于原點對稱點的特點即作圖，掌握知識點是解題的關(guān)鍵．類型四、由雙曲線位置求參數(shù)取值范圍4．已知反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，正比例函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三象限，求k的整數(shù)值．【答案】1【分析】根據(jù)反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的性質(zhì)可得，解出即可求解．解：根據(jù)題意，得，解這個不等式組，得，∴k的整數(shù)值為1．【點撥】本題主要考查了反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖是反比例函數(shù)y＝的圖象的一支．根據(jù)圖象解決下列問題：求m的取值范圍；若點A（m-3，b1）和點B（m-4，b2）是該反比例函數(shù)圖象上的兩點，請你判斷b1與b2的大小關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)，理由見分析【分析】（1）由圖象可知，，計算求解即可；（2）判斷，的大小，根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)：當(dāng)時，隨著的增大而減小，進(jìn)行大小比較即可．（1）解：由圖象可知，，解得，∴的取值范圍為．（2）解：．理由如下：∵，∴，由反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，當(dāng)時，隨著的增大而減小，∴．【點撥】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)．類型五、判斷反比例函數(shù)的增減性5．已知點都在反比例函數(shù)的圖象上，且，比較與的大?。敬鸢浮慨?dāng)；當(dāng)時，；當(dāng)時，．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征得到y(tǒng)1=，y2=，然后分類討論：當(dāng)x1＞x2＞0或x1<x2<0，易得y1＜y2；當(dāng)x2<0<x1，可判斷y1＞y2．解：∵點（x1，y1），（x2，y2）都在反比例函數(shù)的圖象上，∴y1=，y2=，當(dāng)x1＞x2＞0或x1<x2<0，則y1＜y2；當(dāng)x2<0<x1，則y1＞y2．【點撥】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y=（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k．舉一反三：【變式】已知點都在反比例函數(shù)的圖象上，比較與的大小．【答案】【分析】把四個點的坐標(biāo)代入分別求出y1，y2，y3與y4的值，然后比較大小即可．解：∵點（2，y1），（1，y2），（-1，y3），（-2，y4）都在反比例函數(shù)的圖象上，∴y1=，y2=1，y3=-1，y4=-，∴y3＜y4＜y1＜y2．【點撥】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y=（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k．類型六、由反比例函數(shù)判定其位置6．我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過反比例函數(shù)y=的圖像和性質(zhì)，請你回顧研究它的過程，運用所學(xué)知識對函數(shù)的圖像和性質(zhì)進(jìn)行探索，并解決下列問題：（1）該函數(shù)的圖像大致是()A．B．C．D．（2）寫出該函數(shù)兩條不同類型的性質(zhì)：①；②．（3）寫出不等式－＋4＞0的解集．【答案】（1）C；（2）答案不唯一，寫出兩條即可，如：在第三象限內(nèi)，y隨x的增大而增小；在第四象限內(nèi)，y隨x的增大而減大；函數(shù)圖像關(guān)于y軸成軸對稱圖形；（3）x＜－或x＞．【分析】（1）對于函數(shù)的圖象，無論x取非零實數(shù)時，y的值總小于零，可得圖象；（2）可以從函數(shù)的增減性方面進(jìn)行說明，也可以從函數(shù)圖象位于的象限說明；函數(shù)圖象關(guān)于y軸成軸對稱圖形；（3）先求出y=-4時x的值，再根據(jù)圖形確定不等式的解集．解：（1）∵函數(shù)，∴函數(shù)的圖象是：C故答案為：C．（2）答案不唯一，寫出兩條即可，如：在第三象限內(nèi)，y隨x的增大而增小，在第四象限內(nèi)，y隨x的增大而減大，函數(shù)圖像關(guān)于y軸成軸對稱圖形；（3）當(dāng)y=-4時，，解得：，根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)得，不等式的解集是：或．【點撥】本題考查函數(shù)的意義以及反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，特別注意利用圖象得出性質(zhì)，再利用性質(zhì)解決問題．舉一反三：【變式】已知，反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點

（1）求這個反比例函數(shù)的解析式；（2）這個函數(shù)的圖象位于哪些象限？（3）隨的增大如何變化？（4）點是否在這個函數(shù)圖象上？【答案】（1）（2）一、三象限（3）在每個象限內(nèi)隨的增大而減?。?）點在這個函數(shù)圖象上【分析】(1)設(shè)出解析式,把點的坐標(biāo)代入即可;(2)根據(jù)比例系數(shù)的符號進(jìn)行判斷;(3)根據(jù)比例系數(shù),應(yīng)說出在每個象限內(nèi)的情況;(4)看此點的橫縱坐標(biāo)的積是否等于反比例函數(shù)的比例系數(shù),進(jìn)行判斷.解：（1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為．∵點在函數(shù)的圖象上，∴，解得．∴反比例函數(shù)的解析式為．（2）∵，∴這個函數(shù)的圖象位于一、三象限．∵，∴在每個象限內(nèi)隨的增大而減?。撸嘣擖c在這個函數(shù)圖象上．【點撥】本題考查了運用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式,以及反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì).類型七、由反比例函數(shù)增減性求參數(shù)7．已知反比例函數(shù)，當(dāng)時，隨的增大而減小，求正整數(shù)的值．【答案】m=1【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)解答即可．解：∵對于反比例函數(shù)，當(dāng)時，隨的增大而減小，∴，解得：，∵m為正整數(shù)，∴m=1．【點撥】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】已知，反比例函數(shù)的圖象在每個分支中隨的增大而減小，試求的取值范圍．【答案】＜3【分析】根據(jù)反比函數(shù)圖像在每個象限內(nèi)y的值隨x的值增大而減小，可知范圍，進(jìn)行求解即可．解：由題意得：，解得，∴，則＜3．【點撥】本題主要考查了反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)，熟記并能靈活運用反比例函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．類型八、由反比例函數(shù)求函數(shù)值或自變量取值范圍8．如圖是反比例函數(shù)的圖像的一支，根據(jù)圖像回答下列問題：圖像的另一支位于哪個象限？常數(shù)m的取值范圍是什么？在這個函數(shù)圖像的任取點A（x1,y1）和點B（x2,y2），若x1>x2，則y1和y2的大小關(guān)系如何？【答案】(1)另一支位于第三象限，(2)當(dāng)x1＞x2>0或0>x1＞x2時，y1＜y2；當(dāng)x1＞0>x2，y1>y2【分析】（1）根據(jù)圖像的對稱性即可得；（2）根據(jù)圖像的性質(zhì)，分情況討論：①當(dāng)x1＞x2>0或0>x1＞x2，②當(dāng)x1＞0>x2，即可得．解：(1)由圖像在第一象限，根據(jù)對稱性可知另一支位于第三象限，∵圖像在第一、三象限，∴m﹣5＞0，解得m＞5；（2）①當(dāng)x1＞x2>0或0>x1＞x2時，y1＜y2，②當(dāng)x1＞0>x2，y1>y2，綜上，當(dāng)x1＞x2>0或0>x1＞x2時，y1＜y2，當(dāng)x1＞0>x2，y1>y2．【點撥】本題考查了函數(shù)的圖像，解題的關(guān)鍵是掌握函數(shù)的圖像．舉一反三：【變式】已知