浙江省杭州市拱墅區(qū)錦繡育才教育集團2023-2024學年九年級上學期期末數學試卷（含解析）

-2024學年浙江省杭州市拱墅區(qū)錦繡育才教育集團九年級（上）期末數學試卷一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）若△ABC與△DEF的相似比為1：3，則△ABC與△DEF的周長比為（）A．1：3 B．1：9 C．3：1 D．9：12．（3分）已知⊙O的半徑為3，圓心O到直線l的距離為2，則直線l與⊙O的位置關系是（）A．無法確定 B．相切 C．相交 D．相離3．（3分）二次函數y＝ax2（a≠0）的圖象經過點（2，﹣1），則a的值是（）A． B． C． D．24．（3分）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點A，B，C都在橫線上．若線段AB＝3，則線段BC的長是（）A． B．1 C． D．25．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，則tanA＝（）A． B． C． D．6．（3分）關于二次函數y＝（x﹣2）2﹣3的最大值或最小值，下列敘述正確的是（）A．當x＝2時，y有最大值﹣3 B．當x＝﹣2時，y有最大值﹣3 C．當x＝2時，y有最小值﹣3 D．當x＝﹣2時，y有最小值﹣37．（3分）如圖，已知四邊形ABCD內接于⊙O，若∠AOC＝140°，則∠ADC等于（）A．100° B．110° C．120° D．130°8．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，現以A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點D，E．再分別以D，E為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點F，射線AF交BC于點P，取AC的中點Q，連結PQ．若AC＝4，BC＝6，則△CPQ的面積為（）A． B． C．7.5 D．79．（3分）已知關于x的二次函數y＝ax2﹣4ax（a＞0）．若P（m，n）和Q（5，b）是拋物線上的兩點，且n＞b，則m的取值范圍為（）A．m＜﹣1 B．m＞5 C．m＜﹣1或m＞5 D．﹣1＜m＜510．（3分）如圖，正△ABC紙片，E為AC邊上的一點，連結BE．將△BAE沿BE翻折得到△BFE，過點C作AB的平行線交EF的延長線于點M，若∠EMC＝90°則的比為（）A． B． C． D．二、填空題（本題有6小題每小題4分，共24分）11．（4分）sin60°＝．12．（4分）已知扇形的圓心角為120°，半徑為2，則這個扇形的面積S＝．13．（4分）已知在直角坐標系中一點P（a，b），其中a，b取﹣2，1中任意一個值，則點P（a，b）恰好落在反比例函數的圖象上的概率為．14．（4分）已知y＝2x﹣1，且，令S＝xy，則函數S的取值范圍是．15．（4分）如圖，三個正六邊形如圖擺放，則sin∠ACB＝．16．（4分）數學家菲爾貝提出借助圖形代替演算的觀點，這類圖形稱為“諾模圖”．如圖是關于x，y，z三者關系的諾模圖，它是由點O出發(fā)的三條射線a，b，c組成，每條射線上都有相同的刻度，且射線端點刻度為0，其中a和c，b和c都相交成60°角．在射線a和b上分別取點A和B，對應的刻度值是x和y．用直尺連結AB交射線c于點C，點C的刻度值就是z的值．（1）若x＝20，y＝12，則z的值是；（2）若x＝2y，則＝．三、解答題（本題有8小題，第17～19題每題6分，第20、21題每題8分，第22、23題每題10分，第24題12分，共66分，各小題都必須寫出解答過程）17．（6分）已知3a＝2b，求下列各式的值．（1）；（2）．18．（6分）如圖，在△ABC中，AB＝AC．點D在BC上，點E在AC上，連結AD，DE，且∠B＝∠ADE．（1）求證：△ABD∽△DCE；（2）若AB＝6，BD＝2CE，求CD的長．19．（6分）某高速收費站有三個ETC通道（ETC通道是指電子不停車收費的專用車道）A，B，C和一個人工收費通道D．（1）求一輛辦理過ETC卡的汽車經過此收費站時，選擇A通道通過的概率；（2）現有都辦理過ETC卡的甲，乙兩輛汽車都選擇了ETC通道通行，求甲，乙兩輛車選擇不同ETC通道通過的概率．20．（8分）如圖，市交通部門要在寬為22米（即AB＝22m）的城北街兩邊安裝路燈（路燈主桿BC垂直于地面），路燈的燈臂CD長2米，路燈采用圓錐形燈罩，燈罩的中心軸線DO與燈臂CD垂直．（1）探索燈臂CD與燈柱BC的夾角∠BCD和燈罩中心軸線DO與地面AB所成的夾角∠DOB之間的數量關系；（2）當燈罩的軸線DO剛好通過街道的中心線（即O為AB的中點）時照明效果最佳，若∠BCD＝125°，試說明當燈柱BC＝12m時，照明效果是否達到最佳？（結果保留一位小數）（參考數據：sin55°≈0.8192，cos55°≈0.5736，tan55°≈1.428）21．（8分）浙教版九上數學課本第24頁例1：如圖1窗戶邊框的上部分是由4個全等扇形組成的半圓，下部分是矩形．如果制作一個窗戶邊框的材料總長度為6m，那么如何設計這個窗戶邊框的尺寸，使透光面積最大？這道例題的答案是：當窗戶半圓的半徑約為0.35m時，透光面積最大約為1.05m2．我們如果改變這個窗戶的形狀，上部改為一個等邊三角形（如圖2），材料總長度仍為6m，利用圖2，解答下列問題：（1）當AB＝1時，求此時窗戶的透光面積；（2）與課本中例1比較，改變窗戶形狀后，窗戶的透光面積的最大值是否變大？通過計算說明．取1.7）22．（10分）如圖．正方形ABCD頂點A，B在⊙O上．BC與⊙O交于點E，CD經過⊙O上一點P，且EP平分∠AEC．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若S正方形ABCD＝16，求CE的長．23．（10分）已知二次函數y＝ax2﹣2ax+1（a≠0），圖象經過點（﹣1，m），（1，n），（3，p）．（1）當m＝﹣2時．①求二次函數的表達式；②寫出一個符合條件的x的取值范圍，使得y隨x的增大而增大；（2）若在m，n，p這三個實數中，只有一個是正數，求證：．24．（12分）如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，點D是弧AB的中點，過點D作AB的平行線交CA的延長線于點E，連結BD，BE．（1）求證：∠EDC＝∠DBC；（2）當CD＝2時，求S△BCE的值；（3）設BC＝nAC．①求的值；（用含n的代數式表示）②若3CE＝8AC，DE＝6，求AB的長．2023-2024學年浙江省杭州市拱墅區(qū)錦繡育才教育集團九年級（上）期末數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）若△ABC與△DEF的相似比為1：3，則△ABC與△DEF的周長比為（）A．1：3 B．1：9 C．3：1 D．9：1【分析】根據相似三角形的周長比等于相似比即可求出答案．【解答】解：∵相似△ABC與△DEF的相似比為1：3，∴△ABC與△DEF的周長比為1：3，故選：A．【點評】本題考查相似三角形的性質，解題的關鍵是熟練運用相似三角形的性質，本題屬于基礎題型．2．（3分）已知⊙O的半徑為3，圓心O到直線l的距離為2，則直線l與⊙O的位置關系是（）A．無法確定 B．相切 C．相交 D．相離【分析】圓心到直線的距離大于圓心距，直線與圓相離；小于圓心距，直線與圓相交；等于圓心距，直線與圓相切．【解答】解：∵圓心到直線的距離2＜圓的半徑3，∴直線與圓的位置關系為相交．故選：C．【點評】此題考查的是圓與直線的位置關系．判斷直線和圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．①直線l和⊙O相交?d＜r，②直線l和⊙O相切?d＝r，③直線l和⊙O相離?d＞r．3．（3分）二次函數y＝ax2（a≠0）的圖象經過點（2，﹣1），則a的值是（）A． B． C． D．2【分析】將（2，﹣1）代入解析式求解．【解答】解：將（2，﹣1）代入y＝ax2（a≠0）得﹣1＝4a，∴a＝﹣，故選：A．【點評】本題考查二次函數圖象上點的坐標特征，圖象上點的坐標適合解析式是解題的關鍵．4．（3分）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點A，B，C都在橫線上．若線段AB＝3，則線段BC的長是（）A． B．1 C． D．2【分析】過點A作平行橫線的垂線，交點B所在的平行橫線于D，交點C所在的平行橫線于E，根據平行線分線段成比例定理列出比例式，計算即可．【解答】解：過點A作平行橫線的垂線，交點B所在的平行橫線于D，交點C所在的平行橫線于E，則＝，即＝2，解得：BC＝，故選：C．【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵．5．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，則tanA＝（）A． B． C． D．【分析】直接根據已知表示出三角形各邊進而得出答案．【解答】解：如圖所示：∵∠C＝90°，cosB＝，∴設BC＝3x，則AB＝5x，故AC＝4x，則tanA＝＝．故選：C．【點評】此題主要考查了互余兩角三角函數的關系，正確表示出各邊長是解題關鍵．6．（3分）關于二次函數y＝（x﹣2）2﹣3的最大值或最小值，下列敘述正確的是（）A．當x＝2時，y有最大值﹣3 B．當x＝﹣2時，y有最大值﹣3 C．當x＝2時，y有最小值﹣3 D．當x＝﹣2時，y有最小值﹣3【分析】y＝（x﹣2）2﹣3中a＝1＞0，拋物線開口向上，拋物線的頂點坐標為（2，﹣3）．【解答】解：∵二次函數y＝（x﹣2）2﹣3，a＝1＞0，∴拋物線開口向上，二次函數有最小值，∴當x＝2時，二次函數有最小值為﹣3．故選：C．【點評】此題考查的是二次函數的性質，掌握二次函數表達式的三種形式是解決此題的關鍵．7．（3分）如圖，已知四邊形ABCD內接于⊙O，若∠AOC＝140°，則∠ADC等于（）A．100° B．110° C．120° D．130°【分析】先根據圓周角定理得到∠B，然后根據圓內接四邊形的性質得到結論．【解答】解：∵∠AOC＝140°，∴∠B＝∠AOC＝70°，∴∠ADC＝180°﹣∠B＝110°，故選：B．【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了圓內接四邊形的性質．8．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，現以A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點D，E．再分別以D，E為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點F，射線AF交BC于點P，取AC的中點Q，連結PQ．若AC＝4，BC＝6，則△CPQ的面積為（）A． B． C．7.5 D．7【分析】求出△APC的面積，再利用三角形中線的性質求解．【解答】解：∵AB＝AC，AP平分∠BAC，∴AP⊥BC，CP＝PB＝BC＝3，∴AP＝＝＝，∴S△ACP＝?AP?CP＝××3＝，∵AQ＝CQ，∴S△APQ＝S△APC＝．故選：A．【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，角平分線的性質，等腰三角形的性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是掌握等腰三角形的性質．9．（3分）已知關于x的二次函數y＝ax2﹣4ax（a＞0）．若P（m，n）和Q（5，b）是拋物線上的兩點，且n＞b，則m的取值范圍為（）A．m＜﹣1 B．m＞5 C．m＜﹣1或m＞5 D．﹣1＜m＜5【分析】由拋物線的解析式可知開口方向和對稱軸為直線x＝2，根據函數的對稱性和增減性即可求解；【解答】解：∵二次函數y＝ax2﹣4ax（a＞0）．∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝﹣＝2，∵P（m，n）和Q（5，b）是拋物線上的兩點，當n＝b時，根據函數的對稱性，則m＝﹣1，∴n＞b時，m的取值范圍為m＜﹣1或m＞5；故選：C．【點評】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的性質，熟練掌握二次函數的對稱性和增減性是解題的關鍵．10．（3分）如圖，正△ABC紙片，E為AC邊上的一點，連結BE．將△BAE沿BE翻折得到△BFE，過點C作AB的平行線交EF的延長線于點M，若∠EMC＝90°則的比為（）A． B． C． D．【分析】延長ME交AB于點G，設BF交AC于點H，由△ABC是正三角形得∠A＝60°，由翻折得∠HFE＝∠A＝60°，FE＝AE，因為CM∥AB，所以∠AGE＝∠EMC＝90°，可證明△FEH≌△AEG，得∠FHE＝∠AGE＝90°，則BF⊥AC，∠HEF＝30°，則AH＝CH，FE＝AE＝2FH，所以EH＝＝FH，可求得EC＝（2+2）FH，即可求得＝，于是得到問題的答案．【解答】解：延長ME交AB于點G，設BF交AC于點H，∵△ABC是正三角形，∴∠A＝60°，由翻折得∠HFE＝∠A＝60°，FE＝AE，∵CM∥AB，∠EMC＝90°，∴∠AGE＝∠EMC＝90°，在△FEH和△AEG中，，∴△FEH≌△AEG（ASA），∴∠FHE＝∠AGE＝90°，∴BF⊥AC，∠HEF＝90°﹣∠HFE＝30°，∴AH＝CH，FE＝AE＝2FH，∴EH＝＝＝FH，∴AH＝CH＝AE+EH＝2FH+FH，∴EC＝CH+EH＝2FH+FH+FH＝（2+2）FH，∴＝＝，故選：D．【點評】此題重點考查等邊三角形的性質、軸對稱的性質、全等三角形的判定與性質、平行線的性質、直角三角形中30°解所對的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．二、填空題（本題有6小題每小題4分，共24分）11．（4分）sin60°＝．【分析】根據我們記憶的特殊角的三角函數值即可得出答案．【解答】解：sin60°＝．故答案為：．【點評】本題考查了特殊角的三角函數值，屬于基礎題，注意一些特殊角的三角函數值是需要我們熟練記憶的內容．12．（4分）已知扇形的圓心角為120°，半徑為2，則這個扇形的面積S＝．【分析】直接根據扇形的面積公式計算即可．【解答】解：∵n＝120°，R＝2，∴S＝＝．故答案為．【點評】本題考查了扇形的面積公式：S＝．13．（4分）已知在直角坐標系中一點P（a，b），其中a，b取﹣2，1中任意一個值，則點P（a，b）恰好落在反比例函數的圖象上的概率為．【分析】列表得出所有等可能的結果數，找出ab＝﹣2，即點P（a，b）恰好落在反比例函數的圖象上的情況數，即可求出所求的概率．【解答】解：所有可能的情況數有4種，其中點P（a，b）恰好落在反比例函數y＝的圖象上的情況有（﹣2，1）、（1，﹣2）2種，∴點P（a，b）恰好落在反比例函數的圖象上的概率為．【點評】此題考查了列表法與樹狀圖法，以及反比例函數圖象上點的坐標特征，用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．14．（4分）已知y＝2x﹣1，且，令S＝xy，則函數S的取值范圍是﹣≤S≤0．【分析】根據題意，可以寫出S關于x的函數解析式，再根據x的取值范圍和二次函數的性質，即可得到函數S的取值范圍．【解答】解：∵y＝2x﹣1，S＝xy，∴S＝x（2x﹣1）＝2（x﹣）2﹣，∴該函數開口向上，當x＝取得最小值﹣，∵，∴當x＝取得最小值﹣，當x＝取得最大值0，∴S的取值范圍為﹣≤S≤0，故答案為：﹣≤S≤0．【點評】本題考查二次函數的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質解答．15．（4分）如圖，三個正六邊形如圖擺放，則sin∠ACB＝．【分析】根據正六邊形的性質構造直角三角形ACD，再根據正六邊形的性質用正六邊形的邊長a，表示AD、CD，由勾股定理求出AC，再由銳角三角函數的定義進行計算即可．【解答】解：如圖，由正六邊形的性質可知，AD⊥CD，OB＝OC＝BD，設正六邊形的邊長為a，則AG＝a×＝a，∴AD＝4×a＝2a，在Rt△ADC中，AD＝2a，CD＝3OB＝3a，∴AC＝＝a，∴sin∠ACB＝＝＝．故答案為：．【點評】本題考查正多邊形和圓，銳角三角函數以及直角三角形的邊角關系，掌握正六邊形的性質、直角三角形的邊角關系是正確解答的關鍵．16．（4分）數學家菲爾貝提出借助圖形代替演算的觀點，這類圖形稱為“諾模圖”．如圖是關于x，y，z三者關系的諾模圖，它是由點O出發(fā)的三條射線a，b，c組成，每條射線上都有相同的刻度，且射線端點刻度為0，其中a和c，b和c都相交成60°角．在射線a和b上分別取點A和B，對應的刻度值是x和y．用直尺連結AB交射線c于點C，點C的刻度值就是z的值．（1）若x＝20，y＝12，則z的值是7.5；（2）若x＝2y，則＝．【分析】方法一（利用相似三角形）：過點C作CD∥OB交OA于點D，先證△OCD為等邊三角形得CD＝OD＝OC＝z，進而得AD＝x﹣z，再證△ACD和△ABO相似得AD：OA＝CD：OB，由此得（x﹣z）：x＝z：y，然后整理得xz+yz＝xy．（1）將x＝20，y＝12代入xz+yz＝xy之中即可求出z的值；（2）將x＝2y代入xz+yz＝xy之中即可求出的值．解法二（面積法）：過點C作CE⊥OA于E，OF⊥OB于F，過B作BH⊥AO交AO的延長線于H，利用三角函數分別求出CE＝，CF＝，BH＝，進而可得S△AOC＝，S△BOC＝，S△AOB＝，然后根據S△AOC+S△BOC＝S△AOB，得xz+yz＝xy．（1）將x＝20，y＝12代入xz+yz＝xy之中即可求出z的值；（2）將x＝2y代入xz+yz＝xy之中即可求出的值．【解答】解法一（利用相似三角形）：過點C作CD∥OB交OA于點D，如圖1所示：依題意得：∠BOC＝∠AOC＝60°，OA＝x，OB＝y，OC＝z，∵CD∥OB，∴∠OCD＝∠BOC＝60°，∴∠OCD＝∠AOC＝60°，∴△OCD為等邊三角形，∴CD＝OD＝OC＝z，∴AD＝OA﹣OD＝x﹣z，∵CD∥OB，∴△ACD∽△ABO，∴AD：OA＝CD：OB，∴（x﹣z）：x＝z：y，整理得：xz+yz＝xy，（1）當x＝20，y＝12時，20z+12z＝20×12，解得：z＝7.5；故答案為：7.5．（2）當x＝2y時，2yz+yz＝2y2，即3yz＝2y2，∵y≠0，∴3z＝2y，∴＝．故答案為：．解法二（面積法）：過點C作CE⊥OA于E，OF⊥OB于F，過B作BH⊥AO交AO的延長線于H，如圖2所示：依題意得：∠BOC＝∠AOC＝60°，OA＝x，OB＝y，OC＝z，在Rt△OCE中，sin∠AOC＝，∴CE＝OC?sin∠AOC＝z?sin60°＝，在Rt△OCF中，sin∠BOC＝，∴CF＝OC?sin∠BOC＝z?sin60°＝，∵∠BOC＝∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠BOH＝180°﹣∠AOB＝60°，在Rt△BOH中，sin∠BOH＝，∴BH＝OB?sin∠BOH＝y?sin60°＝，∴S△AOC＝OA?CE＝，，S△BOC＝OB?CF＝，S△AOB＝OA?BH＝，∵S△AOC+S△BOC＝S△AOB，∴+＝，∴xz+yz＝xy，（1）當x＝20，y＝12時，20z+12z＝20×12，z＝7.5；故答案為：7.5．（2）當x＝2y時，2yz+yz＝2y2，即3yz＝2y2，∵y≠0，∴3z＝2y，∴＝．故答案為：．【點評】此題主要考查了相似三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，三角形的面積等，解法一的關鍵是正確地作出輔助線，構造相似三角形，再利用相似三角形的性質求出z，y，z之間的關系；解法二的關鍵是通過作垂線，構造直角三角形，利用銳角三角函數及三角形的面積求出z，y，z之間的關系．三、解答題（本題有8小題，第17～19題每題6分，第20、21題每題8分，第22、23題每題10分，第24題12分，共66分，各小題都必須寫出解答過程）17．（6分）已知3a＝2b，求下列各式的值．（1）；（2）．【分析】（1）根據比例的性質進行計算，即可解答；（2）利用（1）的結論，以及設k法進行計算，即可解答．【解答】解：（1）∵3a＝2b，∴＝；（2）∵＝；∴設a＝2k，b＝3k，∴＝＝＝﹣．【點評】本題考查了比例的性質，熟練掌握比例的性質是解題的關鍵．18．（6分）如圖，在△ABC中，AB＝AC．點D在BC上，點E在AC上，連結AD，DE，且∠B＝∠ADE．（1）求證：△ABD∽△DCE；（2）若AB＝6，BD＝2CE，求CD的長．【分析】（1）先根據等腰三角形的性質得到∠B＝∠C，再根據三角形外角性質得到∠CDE＝∠BAD，然后根據相似三角形的判定方法可得到△ABD∽△DCE；（2）根據相似三角形的性質得到＝＝2，則CD＝AB．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，即∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，而∠B＝∠ADE，∴∠CDE＝∠BAD，∴△ABD∽△DCE；（2）解：∵△ABD∽△DCE，∴＝，∵BD＝2CE，∴＝2，∴CD＝AB＝×6＝3．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用；靈活運用相似三角形的性質計算相應線段的長或表示線段之間的關系是解決問題的關鍵．19．（6分）某高速收費站有三個ETC通道（ETC通道是指電子不停車收費的專用車道）A，B，C和一個人工收費通道D．（1）求一輛辦理過ETC卡的汽車經過此收費站時，選擇A通道通過的概率；（2）現有都辦理過ETC卡的甲，乙兩輛汽車都選擇了ETC通道通行，求甲，乙兩輛車選擇不同ETC通道通過的概率．【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．（2）畫樹狀圖得出所有等可能的結果數以及抽出兩支筆剛好是一紅一黑的結果數，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）由題意得，選擇A通道通過的概率為．（2）畫樹狀圖如下：共有16種等可能的結果，其中甲，乙兩輛車選擇不同ETC通道通過的結果有：AB，AC，BA，BC，CA，CB，共6種，∴甲，乙兩輛車選擇不同ETC通道通過的概率為＝．【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關鍵．20．（8分）如圖，市交通部門要在寬為22米（即AB＝22m）的城北街兩邊安裝路燈（路燈主桿BC垂直于地面），路燈的燈臂CD長2米，路燈采用圓錐形燈罩，燈罩的中心軸線DO與燈臂CD垂直．（1）探索燈臂CD與燈柱BC的夾角∠BCD和燈罩中心軸線DO與地面AB所成的夾角∠DOB之間的數量關系；（2）當燈罩的軸線DO剛好通過街道的中心線（即O為AB的中點）時照明效果最佳，若∠BCD＝125°，試說明當燈柱BC＝12m時，照明效果是否達到最佳？（結果保留一位小數）（參考數據：sin55°≈0.8192，cos55°≈0.5736，tan55°≈1.428）【分析】（1）根據四邊形內角和是360°計算；（2）過點D作DH⊥AB于點H，過點C作CE⊥DH于點E，根據正弦的定義求出CE，根據余弦的定義求出DE，再根據正切的定義求出DH，進而求出BC，比較大小得出結論．【解答】解：（1）在四邊形BCDO中，∠B＝∠ODC＝90°，∴∠BCD+∠DOB＝360°﹣90°﹣90°＝180°；（2）過點D作DH⊥AB于點H，過點C作CE⊥DH于點E，∴BC∥DH，∴∠CDH＝180°﹣125°＝55°，在Rt△CED中，CD＝2m，∠CDH＝55°，∴CE＝CD?sin∠CDE≈2×0.8192≈1.64（m），DE＝CD?cos∠CDE≈2×0.5736≈1.15（m），∴OH＝OB﹣BH＝11﹣1.64＝9.36（m），∵∠BCD＝125°，∴∠DOB＝180°﹣125°＝55°，在Rt△DOH中，DH＝OH?tan∠DOH≈9.36×1.428≈13.37（m），∴BC＝EH＝DH﹣DE＝13.37﹣1.15≈12.2（m），∵12.2＞12，∴BC＝12m時，照明效果不能達到最佳．【點評】本題考查的是解直角三角形應用﹣坡度坡角問題，熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．21．（8分）浙教版九上數學課本第24頁例1：如圖1窗戶邊框的上部分是由4個全等扇形組成的半圓，下部分是矩形．如果制作一個窗戶邊框的材料總長度為6m，那么如何設計這個窗戶邊框的尺寸，使透光面積最大？這道例題的答案是：當窗戶半圓的半徑約為0.35m時，透光面積最大約為1.05m2．我們如果改變這個窗戶的形狀，上部改為一個等邊三角形（如圖2），材料總長度仍為6m，利用圖2，解答下列問題：（1）當AB＝1時，求此時窗戶的透光面積；（2）與課本中例1比較，改變窗戶形狀后，窗戶的透光面積的最大值是否變大？通過計算說明．取1.7）【分析】（1）根據AB的長度以及制作窗框的材料總長為6m，可以求出AD的長度，結合長方形的面積計算公式可求出透光面積；（2）設AB的長度為x，可用含x的式子表示出AD的長度，進而可根據面積公式列出關于x的二次函數，結合x的取值范圍，根據二次函數最值的計算方法求出此時的最大值，此時的最大值與例題中的最大值相比，得出答案即可．【解答】解：（1）由已知可得：CD＝＝1m，則S＝+1×1＝（+1）m2；（2）在窗戶透光面積的最大值變大了，理由如下：設BC＝xm，則CD＝（6﹣4x）＝（3﹣2x）m，∵3﹣2x＞0，∴0＜x＜，設窗戶面積為S，由已知得：S＝S△ABC+S矩形BCDE＝+x（3﹣2x）＝x2﹣2x2+3x＝[（﹣2）x2+3x]m2，當x＝﹣≈0.95時，且x＝0.95在0＜x＜的范圍內，此時S最大值＝≈1.43（m2），∵1.43m2＞1.05m2，∴與所給的例題相比，現在窗戶透光面積的最大值變大了．【點評】本題主要考查二次函數的實際應用以及面積的計算，求出AD的長度是解答本題的關鍵．22．（10分）如圖．正方形ABCD頂點A，B在⊙O上．BC與⊙O交于點E，CD經過⊙O上一點P，且EP平分∠AEC．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若S正方形ABCD＝16，求CE的長．【分析】（1）連結OP，則∠OPE＝∠AEP，而∠CEP＝∠AEP，則∠OPE＝∠CEP，所以OP∥BC，則∠OPD＝∠C＝90°，即可證明CD是⊙O的切線；（2）連接AP，由∠B＝90°，證明AC是⊙O的直徑，則∠APE＝90°，由BC∥OP∥AD，得＝＝1，因為S正方形ABCD＝CD2＝16，所以AD＝CD＝4，則PC＝PD＝2，再證明∠CPE＝∠DAP，則＝tan∠CPE＝tan∠DAP＝＝，即可求得CE＝PC＝1．【解答】（1）證明：連結OP，則OP＝OE，∴∠OPE＝∠AEP，∵EP平分∠AEC，∴∠CEP＝∠AEP，∴∠OPE＝∠CEP，∴OP∥BC，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠OPD＝∠C＝90°，∵OP是⊙O的半徑，且CD⊥OP，∴CD是⊙O的切線．（2）解：連接AP，∵∠B＝90°，∴AC是⊙O的直徑，∴∠APE＝90°，OE＝OA，∵BC∥AD，OP∥BC，∴BC∥OP∥AD，∴＝＝1，∵S正方形ABCD＝CD2＝16，且CD＞O，∴AD＝CD＝4，∴PC＝PD＝CD＝2，∴∠C＝∠D＝90°，∠CPE＝∠DAP＝90°﹣∠APD，∴＝tan∠CPE＝tan∠DAP＝＝＝，∴CE＝PC＝1，∴CE的長為1．【點評】此題重點考查正方形的性質、等腰三角形的性質、切線的判定、平行線分線段成比例定理、銳角三角函數與解直角三角形等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．23．（10分）已知二次函數y＝ax2﹣2ax+1（a≠0），圖象經過點（﹣1，m），（1，n），（3，p）．（1）當m＝﹣2時．①求二次函數的表達式；②寫出一個符合條件的x的取值范圍，使得y隨x的增大而增大；（2）若在m，n，p這三個實數中，只有一