必修章末測試參考答案

第一章集合與常用邏輯用語章末測試一、單選題（每題只有一個(gè)選擇為正確答案，每題5分，共40分）1．（2020·浙江高一單元測試）2x2-5x-3<0A．-12<x<3C．-12<x<0【答案】B【解析】求解不等式2x2-5x-3<0結(jié)合所給的選項(xiàng)可知2x2-5x-3<0本題選擇B選項(xiàng).2．（2020·浙江高一單元測試）設(shè)集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，則圖中陰影部分表示的集合的真子集有（）個(gè)A．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【解析】∵集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，∴A∩B={3，5}，圖中陰影部分表示的集合為：CU（A∩B）={1，2，4}，∴圖中陰影部分表示的集合的真子集有：23–1=8–1=7．故選C．3．（2020·天津南開中學(xué)高三月考）設(shè)集合，，，則（）A．{2} B．{2，3} C．{-1，2，3} D．{1，2，3，4}【答案】D【解析】因?yàn)?，所?故選D。4．（2020·全國高一）設(shè)集合，．若，則()A． B． C． D．【答案】C【解析】∵集合，，∴是方程的解，即∴∴，故選C5．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)甲是乙的必要條件；丙是乙的充分但不必要條件，那么（）A．丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件B．丙是甲的必要條件，但不是甲的充分條件C．丙是甲的充要條件D．丙不是甲的充分條件，也不是甲的必要條件【答案】A【解析】甲是乙的必要條件，所以乙是甲的充分條件，即乙甲；丙是乙的充分但不必要條件，則丙乙，乙丙，顯然丙甲，甲丙，即丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件，故選A6．（2020·四川閬中中學(xué)高一月考）設(shè)集合，（）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意.7．（2020·海南楓葉國際學(xué)校高一期末）已知集合A=，B=，則A．AB= B．ABC．AB D．AB=R【答案】A【解析】由得，所以，選A．8．（2020·湖南天心。長郡中學(xué)高三其他（文））已知，，則()A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，所?故選：A.二、多選題（每題至少有一個(gè)選項(xiàng)為正確答案，少選且正確得3分，每題5分，共20分）9．（2020·全國高一開學(xué)考試）下面命題正確的是（）A．“”是“”的充分不必要條件B．命題“若,則”的否定是“存在,則”.C．設(shè),則“且”是“”的必要而不充分條件D．設(shè),則“”是“”的必要不充分條件【答案】ABD【解析】選項(xiàng)A:根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可知：由,能推出,但是由,不能推出,例如當(dāng)時(shí),符合,但是不符合,所以本選項(xiàng)是正確的；選項(xiàng)B:根據(jù)命題的否定的定義可知：命題“若,則”的否定是“存在,則”.所以本選項(xiàng)是正確的；選項(xiàng)C:根據(jù)不等式的性質(zhì)可知：由且能推出,本選項(xiàng)是不正確的；選項(xiàng)D:因?yàn)榭梢缘扔诹?所以由不能推出,再判斷由能不能推出,最后判斷本選項(xiàng)是否正確.故選：ABD10．（2019·山東濟(jì)寧。高一月考）若集合，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．【答案】ABCD【解析】由于，即是的子集，故，，從而，.故選ABCD.11．（2020·遷西縣第一中學(xué)高二期中）下列命題的否定中，是全稱命題且是真命題的是（）A． B．所有正方形都是矩形C． D．至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使【答案】AC【解析】由題意可知：原命題為特稱命題且為假命題.選項(xiàng)A.原命題為特稱命題,,所以原命題為假命題，所以選項(xiàng)A滿足條件.選項(xiàng)B.原命題是全稱命題，所以選項(xiàng)B不滿足條件.選項(xiàng)C.原命題為特稱命題,在方程中，所以方程無實(shí)數(shù)根，所以原命題為假命題，所以選項(xiàng)C滿足條件.選項(xiàng)D.當(dāng)時(shí)，命題成立.所以原命題為真命題，所以選項(xiàng)D不滿足條件.故選：AC12．（2020·山東新泰.泰安一中高二期中）下列說法正確的有（）A．不等式的解集是B．“，”是“”成立的充分條件C．命題，，則，D．“”是“”的必要條件【答案】ABD【解析】由得，，，A正確；時(shí)一定有，但時(shí)不一定有成立，如，滿足，但，因此“，”是“”成立的充分條件，B正確；命題，，則，，C錯誤；不能推出，但時(shí)一定有成立，“”是“”的必要條件，D正確．故選：ABD．三、填空題(每題5分，共20分13．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）對于任意實(shí)數(shù)，①“”是“”的充分條件；②“是無理數(shù)”是“是無理數(shù)”的必要條件；③“”是“的充分條件；④“”是“”的必要條件，其中正確結(jié)論的序號為_________.【答案】①③④【解析】，①正確；“是無理數(shù)”與是不是無理數(shù)沒有關(guān)系，②錯誤；，③正確；，④正確，所以答案為“①③④”.14．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）若“”是“”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的最大值為_______．【答案】【解析】由得，“”是“”的必要不充分條件，，．故答案為．15．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）已知“是的充分不必要條件”、“是的必要不充分條件”、“是的充要條件”，則①是的充分不必要條件；②是的充分不必要條件；③是的必要不充分條件；④是的必要不充分條件其中正確結(jié)論的序號為________.【答案】①②【解析】畫出推出關(guān)系圖，如圖，可以看出①②正確.16．（2020·浙江高一單元測試）已知命題或，命題或，若是的充分非必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________【答案】【解析】因?yàn)槭堑某浞址潜匾獥l件，所以是的真子集，故解得：，又因?yàn)?，所以，綜上可知，故填.第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式章末測試一、單選題（每題只有一個(gè)選項(xiàng)是正確答案，每題5分，共40分）1．（2020·浙江高一單元測試）若，，則的值可能是（）．A． B． C．2 D．4【答案】C【解析】，，．故選：C.2．（2020·浙江高一單元測試）不等式(x＋3)2＜1的解集是()A．{x|x＞－2} B．{x|x＜－4}C．{x|－4＜x＜－2} D．{x|－4≤x≤－2}【答案】C【解析】原不等式可化為x2＋6x＋8＜0，解得－4＜x＜－2.選C.3．（2020·浙江高一單元測試）若，則下列結(jié)論中不恒成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以所以，即，故A，B正確.因?yàn)?，所以，所以故C正確.當(dāng)時(shí)，，故D錯誤.故選：D4．（2020·浙江高一單元測試）已知不等式的解集是，則的值為（）．A．1 B． C．0 D．【答案】C【解析】由已知得，解得，故，故選：C．5．（2020·浙江高一課時(shí)練習(xí)）已知、、滿足且，則下列選項(xiàng)中不一定能成立的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】且，，且的符號不確定.對于A選項(xiàng)，，，由不等式的基本性質(zhì)可得，A選項(xiàng)中的不等式一定能成立；對于B選項(xiàng)，，則，又，，B選項(xiàng)中的不等式一定能成立；對于C選項(xiàng)，取，則，，；取，，，則，C選項(xiàng)中的不等式不一定成立；對于D選項(xiàng)，，，則，，，D選項(xiàng)中的不式一定能成立.故選：C.6．（2020·駐馬店市基礎(chǔ)教學(xué)研究室高二期末（理））已知正實(shí)數(shù)x，y滿足.則的最小值為（）A．4 B． C． D．【答案】D【解析】由，得，因?yàn)閤，y為正實(shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以的最小值為，故選：D7．（2020·安徽省舒城中學(xué)高二期末（文））如圖在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國人民熱情好客．我們教材中利用該圖作為一個(gè)說法的一個(gè)幾何解釋，這個(gè)說法正確的是（）如果,那么 B．如果,那么C．對任意正實(shí)數(shù)和，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立D．對任意正實(shí)數(shù)和，有,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立【答案】C【解析】通過觀察,可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)圖中的四個(gè)直角三角形是全等的,設(shè)直角三角形的長直角邊為,短直角邊為,如圖,整個(gè)大正方形的面積大于等于4個(gè)小三角形的面積和,即,即.當(dāng)時(shí),中間空白的正方形消失,即整個(gè)大正形與4個(gè)小三角形重合.其他選項(xiàng)通過該圖無法證明,故選C8．（2020·全國高一）已知實(shí)數(shù)，滿足，，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，，,則又，因此，故本題選B.二、多選題（每題至少有一個(gè)選項(xiàng)為正確答案，少選且正確得3分，每題5分，共20分）9．（2020·浙江高一單元測試）已知函數(shù)，則該函數(shù)的（）．A．最小值為3 B．最大值為3C．沒有最小值 D．最大值為【答案】CD【解析】，函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，該函數(shù)有最大值．無最小值．故選：CD．10．（2020·江蘇省天一中學(xué)高一期中）對于實(shí)數(shù)，下列說法正確的是()A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ABC【解析】A.在三邊同時(shí)除以得，故A正確；B.由及得，故B正確；C.由知且，則，故C正確；D.若，則，，，故D錯誤.故選：ABC.11．（2020·湖南高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)園區(qū)。衡陽市一中高二期末）（多選）若，則下列不等式中一定不成立的是（）A． B． C． D．【答案】AD【解析】，則，一定不成立；，當(dāng)時(shí)，，故可能成立；，故恒成立；，故一定不成立.故選AD.12．（2020·浙江高一單元測試）已知且，那么下列不等式中，恒成立的有（）．A． B． C． D．【答案】ABC【解析】，(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號)．所以選項(xiàng)A正確由選項(xiàng)A有，設(shè)，則在上單調(diào)遞減.所以，所以選項(xiàng)B正確(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號)，．所以選項(xiàng)C正確.（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立），所以選項(xiàng)D不正確．故A，B，C正確故選：ABC三、填空題（每題5分，共20分）13．（2020·浙江高一單元測試）已知，則的最小值為______．【答案】．【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，又因?yàn)?，所以時(shí)等號成立．故答案為：．14．（2020·四川省開江中學(xué)高一月考）設(shè)，，若，則的最小值為__________．【答案】16【解析】，且且∴當(dāng)且僅當(dāng)取等號，又，即，時(shí)取等號，故所求最小值為16．故答案為：1615．（2020·南昌市新建一中高一期中）關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為______【答案】【解析】不等式的解集為，故且，故可化為即，它的解為，填.16．（2020·浙江高一單元測試）若關(guān)于x的不等式的解集為或，則_____，_____．【答案】【解析】由不等式的解集為或，可知不等式對應(yīng)二次函數(shù)圖像開口向下即，且1，是方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得解得或，，故答案為：-3，-3四、解答題（18題10分，其余每題12分，共70分）17．（2020·寧夏興慶銀川一中高一期末）設(shè)函數(shù)．（1）若不等式的解集，求的值；（2）若，①，求的最小值；②若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）①9，②【解析】由已知可知，的兩根是所以，解得.（2）①，當(dāng)時(shí)等號成立，因?yàn)?，解得時(shí)等號成立，此時(shí)的最小值是9.②在上恒成立，，又因?yàn)榇肷鲜娇傻媒獾茫?18．（2020·廣東番禺.仲元中學(xué)高一期中）已知關(guān)于x的不等式．（1）若不等式的解集是，求的值；（2）若，，求此不等式的解集．【答案】（1）；（2）分類討論，答案見解析．【解析】（1）由題意知，且1和5是方程的兩根，∴，且，解得，，∴．（2）若，，原不等式為，∴，∴．∴時(shí)，，原不等式解集為，時(shí)，，原不等式解集為，時(shí)，，原不等式解集為，綜上所述：當(dāng)時(shí)，原不等式解集為，當(dāng)時(shí)，原不等式解集為．當(dāng)時(shí)，原不等式解集為．19．（2019·安徽省泗縣第一中學(xué)高二開學(xué)考試（理））設(shè)函數(shù)（1）若對一切實(shí)數(shù)x，恒成立，求m的取值范圍；（2）若對于，恒成立，求m的取值范圍：【答案】（1）.（2）【解析】（1）對恒成立，若，顯然成立，若，則，解得.所以，.（2）對于，恒成立，即對恒成立對恒成立∴對恒成立，即求在的最小值，的對稱軸為，，，，可得即.20．（2019·湖北武漢.高一月考）已知函數(shù)為二次函數(shù)，不等式的解集是，且在區(qū)間上的最大值為12．（1）求的解析式；（2）設(shè)函數(shù)在上的最小值為，求的表達(dá)式及的最小值．【答案】（1）．（2）.最小值【解析】（1）是二次函數(shù)，且的解集是，∴可設(shè)，可得在區(qū)間在區(qū)間上函數(shù)是減函數(shù)，區(qū)間上函數(shù)是增函數(shù)．∵，，，∴在區(qū)間上的最大值是，得．因此，函數(shù)的表達(dá)式為．（2）由（1）得，函數(shù)圖象的開口向上，對稱軸為，①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)的最小值；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)的最小值；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)在對稱軸處取得最小值，此時(shí)，，綜上所述，得的表達(dá)式為，當(dāng)，取最小值21．（2020·上海高一課時(shí)練習(xí)）某自來水廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200m2的二級凈水處理池（如圖）.池的深度一定，池的外圍周壁建造單價(jià)為400元/m，中間的一條隔壁建造單價(jià)為100元/m，池底建造單價(jià)為60元/m2，池壁厚度忽略不計(jì).問凈水池的長為多少時(shí)，可使總造價(jià)最低？【答案】15m【解析】設(shè)水池的長為x米，則寬為米.總造價(jià)：y=400（2x+）+100+200×60=800（x+）+12000≥800+12000=36000，當(dāng)且僅當(dāng)x=，即x=15時(shí)，取得最小值36000.所以當(dāng)凈水池的長為15m時(shí)，可使總造價(jià)最低.22．（2019·儋州市八一中學(xué)高一期中）已知關(guān)于的函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值【答案】（1）或（2）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，∴原不等式為對于方程∴對于方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴原不等式的解集為或（2）要使對任意的恒成立即對任意的恒成立令由基本不等式可得：當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立.的最小值為的最大值為第三章函數(shù)概念與性質(zhì)章末測試一、單選題(每題只有一個(gè)正確答案，5分/題，共40分）1．（2020·浙江高一單元測試）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的值為A． B． C． D．【答案】A【解析】∵冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，，，，，故選A．2．（2020·浙江高一單元測試）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的對稱軸為，又函數(shù)在上為減函數(shù)，，即．故選：B.3．（2020·全國高一）函數(shù)的定義域?yàn)?)A． B．C． D．【答案】B【解析】函數(shù)，令，得，解得，所以的定義域?yàn)?故選：B4．（2020·上海高一開學(xué)考試）函數(shù)在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若，則滿足的的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由函數(shù)為奇函數(shù)，得，不等式即為，又在單調(diào)遞減，所以得，即，故選：D．5.（2020·寧夏興慶.銀川一中）若偶函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則()A． B．C． D．【答案】D【解析】函數(shù)為偶函數(shù),則.又函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).則，即故選：D.6．（2020·開封市立洋外國語學(xué)校）設(shè)函數(shù),則（）A．是奇函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞增 D．是偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋潢P(guān)于原點(diǎn)對稱，而，所以函數(shù)為奇函數(shù)．又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增．故選：A．7．（2020·浙江高一單元測試）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)且,函數(shù)的圖象如圖:由圖可知:當(dāng),即時(shí),,即,所以,當(dāng)即時(shí),即,所以,綜上所述:實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:C.8．（2020·福建省南平市高級中學(xué)高二期中）若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則該函數(shù)的最大值為（）A．5 B．4C．3 D．2【答案】A【解析】偶函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，函數(shù)開口向上.由于函數(shù)為偶函數(shù)，故，所以，最大值為.二、多選題(每題至少一個(gè)為正確答案，5分/題，共20分）9．（2020·湖南雁峰.衡陽市八中高二期中）給出下列命題，其中是錯誤命題的是（）A．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋籅．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是；C．若定義在R上的函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，在區(qū)間上也是單調(diào)增函數(shù)，則在R上是單調(diào)增函數(shù)；D．，是定義域內(nèi)的任意的兩個(gè)值，且，若，則是減函數(shù).【答案】ABC【解析】對于A，若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)?，故A錯誤；對于B，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是和，故B錯誤；對于C，若定義在上的函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，在區(qū)間上也是單調(diào)增函數(shù)，則在上不一定為單調(diào)增函數(shù)，故C錯誤；對于D，為單調(diào)性的定義，正確.故答案為：ABC.10．（2020·浙江高一單元測試）函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，下列說法正確的是（）A．B．若在上有最小值，則在上有最大值1C．若在上為增函數(shù)，則在上為減函數(shù)D．若時(shí)，，則時(shí)，【答案】ABD【解析】由得，A正確；當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，，，最大值為1，B正確；若在上為增函數(shù)，則在上為增函數(shù)，C錯；若時(shí)，，則時(shí)，，，D正確．故選：ABD．11．（2019·全國高一單元測試）下列各組函數(shù)表示的是同一個(gè)函數(shù)的是（）A．與B．與C．與D．與E.與【答案】BD【解析】對于A:與的對應(yīng)關(guān)系不同,故與表的不是同一個(gè)函數(shù)；對于B:與的定義域和對應(yīng)關(guān)系均相同，故與表示的是同一個(gè)函數(shù)；對于C:的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)?故與表示的不是同一個(gè)函數(shù)；對于D:與的對應(yīng)關(guān)系和定義域均相同,故與表示的是同一個(gè)函數(shù)；對于E:的定義域是,的定義域是,故與表示的不是同一個(gè)函數(shù).故選BD.12．（2020·新泰市第二中學(xué)高二月考）已知函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)(4,2)，則下列命題正確的有（）A．函數(shù)為增函數(shù) B．函數(shù)為偶函數(shù)C．若，則 D．若，則.【答案】ACD【解析】將點(diǎn)(4,2)代入函數(shù)得：，則.所以，顯然在定義域上為增函數(shù)，所以A正確.的定義域?yàn)?，所以不具有奇偶性，所以B不正確.當(dāng)時(shí)，，即，所以C正確.當(dāng)若時(shí)，=.=.==.即成立，所以D正確.故選：ACD.三、填空題(5分/題,共20分）13．（2020·浙江高一單元測試）已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)________.【答案】2【解析】∵冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴，解得m＝2或-1（舍）．故答案為2．14．（2020·遷西縣第一中學(xué)高二期中）已知，函數(shù)若對任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，則a的取值范圍是__________．【答案】【解析】分類討論：①當(dāng)時(shí)，即：，整理可得：，由恒成立的條件可知：，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)時(shí)，，則；②當(dāng)時(shí)，即：，整理可得：，由恒成立的條件可知：，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)或時(shí)，，則；綜合①②可得的取值范圍是，故答案為.15．（2020·四川雙流）設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且f(1)＝0，則不等式<0的解集為________.【答案】(－1，0)∪(0，1)【解析】因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)，f(1)＝0，所以f(－1)＝－f(1)＝0，且在(－∞，0)上也是增函數(shù).因?yàn)椋?·<0，即或解得x∈(－1，0)∪(0，1).故答案為：(－1，0)∪(0，1).16．（2019·湖北武漢。高一月考）已知函數(shù)滿足對任意，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】由可知為單調(diào)遞增函數(shù),故中有與均為增函數(shù),且在處的值小于.可得故答案為：解答題（17題10分，其余每題12分，共70分）1．（2019·渦陽縣第九中學(xué)高二期末）已知函數(shù)，且（1）判斷的奇偶性，并證明；（2）判斷在上的單調(diào)性，并證明；【答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析；（2）單調(diào)遞增，證明見解析.【解析】∵，且∴，解得（1）為奇函數(shù)，證明：∵，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱又所以為奇函數(shù)（2）在上的單調(diào)遞增證明：設(shè)，則.∵∴，故，即，在上的單調(diào)遞增18．（2020·浙江高一單元測試）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且.（1）求實(shí)數(shù)和的值；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并加以證明．【答案】（1），；（2）上為增函數(shù)，證明見解析【解析】（1）∵是奇函數(shù)，∴．即，比較得，.又，∴，解得，即實(shí)數(shù)和的值分別是2和0.（2）函數(shù)在上為增函數(shù)．證明如下：由（1）知，設(shè)，則，，，，∴，∴，即函數(shù)在上為增函數(shù)．19．（2020·浙江高一單元測試）某商場以每件42元的價(jià)格購進(jìn)一種服裝，根據(jù)試營銷量得知，這種服裝每天的銷售量（件）與每件的銷售價(jià)（元）之間可看成一次函數(shù)關(guān)系：．（1）寫出商場每天賣這種服裝的銷售利潤y（元）與每件的銷售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式（每天的銷售利潤是指所賣出服裝的總銷售額與購進(jìn)這些服裝所花費(fèi)金額的差）．（2）商場要想每天獲得最大的銷售利潤，每件的銷售價(jià)定為多少最為合適？最大銷售利潤為多少？【答案】（1）；（2）每件的銷售價(jià)定為55元時(shí)，最大銷售利潤為507元【解析】（1）由題意得，每天的銷售利潤y（元）與每件的銷售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為．（2）由（1）得，則當(dāng)時(shí)，．即當(dāng)每件的銷售價(jià)定為55元時(shí)，每天可獲得最大的銷售利潤，最大銷售利潤為507元．20．（2020·天水市第一中學(xué)高二月考（理））已知二次函數(shù)的最小值為1，且．（1）求函數(shù)的解析式；（2）求在上的最大值；（3）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由題意，設(shè)，因?yàn)?，即，解得，所以函?shù)的解析式為.（2）由（1）可得，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為.（3）由（1）可得函數(shù)的對稱軸的方程為，要使函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（2020·上海楊浦.復(fù)旦附中高三期末）已知函數(shù)（，常數(shù)）.（1）討論函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，此時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則，，此時(shí)，函數(shù)為非奇非偶函數(shù).綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；（2）任取，則，，則.①若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，則，得，由已知條件得，所以，，則；②若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，則，得，由已知條件得，所以，，此時(shí)不存在.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.22．（2020·浙江高一課時(shí)練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足：①對任意，，；②當(dāng)時(shí)，，且．（1）試判斷函數(shù)的奇偶性．（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性．（3）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．（4）求不等式的解集．【答案】（1）偶函數(shù)；（2）增函數(shù)；（3）2；（4）或.【解析】（1）令，則，得；再令，則，得．對于條件，令，則，∴．又函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴函數(shù)為偶函數(shù)．（2）任取，，且，則有．又∵當(dāng)時(shí)，，∴．而，即，∴函數(shù)在上是增函數(shù)．（3）∵，且，∴．又由（1）（2）知函數(shù)在區(qū)間上是偶函數(shù)且在上是增函數(shù)，∴函數(shù)在區(qū)間上的最大值為．（4）∵，，∴原不等式等價(jià)于，又函數(shù)為偶函數(shù)，且函數(shù)在上是增函數(shù)，∴原不等式又等價(jià)于，即或，得或，得或，∴不等式的解集為或．第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)章末測試一、單選題（每題只有一個(gè)選項(xiàng)為正確答案，每題5分，共40分）1．（2020·浙江高一單元測試）方程的解所在的區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則由指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)與的上都是遞增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，故函數(shù)最多有一個(gè)零點(diǎn)，而，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，有一個(gè)零點(diǎn)，且該零點(diǎn)處在區(qū)間內(nèi)，故選答案C.2．（2019·全國高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的定義域是()A．[0，) B．[0，] C．[1，) D．[1，]【答案】C【解析】要使函數(shù)有意義，需滿足,解得,則函數(shù)的定義域?yàn)?，故選C.3．（2020·浙江高一單元測試）函數(shù)的零點(diǎn)為1，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．﹣2 B．－ C． D．2【答案】B【解析】函數(shù)的零點(diǎn)為1，所以.解得.故選B.4．（2019·安徽省阜陽第一中學(xué)高二課時(shí)練習(xí)（文））函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是A． B．C． D．【答案】D【解析】由>0得：x∈(?∞,?2)∪(4,+∞)，令t=，則y=lnt，∵x∈(?∞,?2)時(shí),t=為減函數(shù)；x∈(4,+∞)時(shí),t=為增函數(shù)；y=lnt為增函數(shù)，故函數(shù)f(x)=ln()的單調(diào)遞增區(qū)間是(4,+∞)，故選D.5．（2019·全國高一單元測試）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得，分別作出函數(shù)與，的圖象如圖：由圖象可知兩個(gè)函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)，故選：D.6．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a【答案】C【解析】∵0＜a=0.50.4＜0.50=1，b=log0.40.3＞log0.40.4=1，c=log80.4＜log81=0，∴a，b，c的大小關(guān)系是c＜a＜b．故選：C．7．（2020·肥東縣綜合高中）函數(shù)，圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在一次函數(shù)的圖象上，其中，則的最小值是A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【解析】對于函數(shù)，令，求得，，可得函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)A在一次函數(shù)的圖象上，其中，則有，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號，故的最小值是8，故選C．8．（2020·全國高一專題練習(xí)）若，則()A． B．1 C． D．【答案】C【解析】依題意，.故選C.二、多選題（每題至少有一個(gè)選項(xiàng)為正確答案，每題5分，共20分）9．（2019·全國高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)的圖像在上連續(xù)不斷，且滿足，，，則下列說法錯誤的是（）A．在區(qū)間上一定有零點(diǎn)，在區(qū)間上一定沒有零點(diǎn)B．在區(qū)間上一定沒有零點(diǎn)，在區(qū)間上一定有零點(diǎn)C．在區(qū)間上一定有零點(diǎn)，在區(qū)間上可能有零點(diǎn)D．在區(qū)間上可能有零點(diǎn)，在區(qū)間上一定有零點(diǎn)【答案】ABD【解析】由題知，所以根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得在區(qū)間上一定有零點(diǎn)，又，因此無法判斷在區(qū)間上是否有零點(diǎn).故選.10．（2019·福建三明·高一期中）下列說法正確的是（）A．函數(shù)在定義域上是減函數(shù)B．函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)C．函數(shù)的最小值是1D．在同一坐標(biāo)系中函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對稱【答案】CD【解析】對于A，在定義域上不具有單調(diào)性，故命題錯誤；對于B，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)負(fù)值，兩個(gè)正值，故命題錯誤；對于C，∵|x|≥0，∴2|x|≥20＝1，∴函數(shù)y＝2|x|的最小值是1，故命題正確；對于D，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝2x與y＝2﹣x的圖象關(guān)于y軸對稱，命題正確.故選CD11．（2019·全國高一課時(shí)練習(xí)）(多選)若函數(shù)(,且)的圖像經(jīng)過第一、三、四象限，則下列選項(xiàng)中正確的有（）A． B． C． D．【答案】AD【解析】因?yàn)楹瘮?shù)(,且)的圖像經(jīng)過第一、三、四象限，所以其大致圖像如圖所示:由圖像可知函數(shù)為增函數(shù)，所以.當(dāng)時(shí)，，故選AD.12．已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，且，則的值可以為（）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】BC【解析】由得到，則，即，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，則.故選：BC.三、填空題（每題5分，共20分）13．（2020·浙江高一單元測試）若函數(shù)f(x)=(且)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】令，則，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，為增函數(shù)，至多只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意.當(dāng)時(shí)，的圖像顯然有兩個(gè)交點(diǎn)，故.14．（2020·廣東順德一中高一期中）函數(shù)的零點(diǎn)均是正數(shù)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是______.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)均是正數(shù)，故方程的根都是正根，故當(dāng)時(shí)，需滿足解得.當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)方程為，方程的根滿足題意.綜上所述：.故答案為：.15．（2020·沭陽縣修遠(yuǎn)中學(xué)高二期末）已知，，，則三個(gè)數(shù)按照從小到大的順序是______.【答案】【解析】，，，故.故答案為：.16．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)為________.【答案】或【解析】由題知：，得，∴或，∴或.故答案為：或解答題（17題10分，其余每題12分，共70分）17．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）lg(＋).【答案】（1）；（2）－1；（3）1；（4）.【解析】（1）原式＝；（2）原式＝；（3）原式＝.（4）原式＝＋＝＝＝.18．（2020·山西應(yīng)縣一中高二期中（文））設(shè)，且.(1)求的值；(2)求在區(qū)間上的最大值.【答案】（1）；（2）2【解析】(1)∵，∴，∴；(2)由得，∴函數(shù)的定義域?yàn)?，，∴?dāng)時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，∴函數(shù)在上的最大值是．19．（2020·江蘇鹽城·高一期末）設(shè)函數(shù)（1）若函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）若函數(shù)在的最大值為－2，求實(shí)數(shù)a的值.【答案】（1）；（2）.【解析】的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，，，即，（注：若用賦值法求解，沒有檢驗(yàn)，扣1分）令，則，，又，所以函數(shù)的零點(diǎn)為.（2），令，，對稱軸，①當(dāng)，即時(shí)，，；②當(dāng)，即時(shí)，，（舍）；綜上：實(shí)數(shù)a的值為.20．（2019·浙江高一期中）已知函數(shù)．（Ⅰ）若，求函數(shù)的定義域和值域；（Ⅱ）若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的值．【答案】（Ⅰ）定義域?yàn)?，值域?yàn)?；（Ⅱ?【解析】（Ⅰ）若，則，由，得到，得到，故定義域?yàn)椋睿瑒t當(dāng)時(shí)，符合．當(dāng)時(shí)，上述方程要有解，則，得到或，又，所以，所以，則值域?yàn)椋á颍┯捎诤瘮?shù)的定義域?yàn)?，則恒成立，則，即，令，由于的值域?yàn)椋瑒t，而，則由解得，故和是方程即的兩個(gè)根，則，得到，符合題意．所以．21．（2020·六盤水市第二中學(xué)高一期中（理））函數(shù)對任意的實(shí)數(shù)m，n，有，當(dāng)時(shí)，有．（1）求證：．（2）求證：在上為增函數(shù)．（3）若，解不等式．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）【解析】（1）證明：令，則，∴.（2）證明：令，則，∴，∴，∴對任意的，都有，即是奇函數(shù)．在上任取，，且，則，∴，即，∴函數(shù)在上為增函數(shù).（3）原不等式可化為，由（2）知在上為增函數(shù)，可得，即，∵，∴，解得，故原不等式的解集為.22．（2019·全國高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)f（x）=+4log2x+m，x∈[，4]，m為常數(shù)．（1）設(shè)函數(shù)f（x）存在大于1的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)f（x）有兩個(gè)互異的零點(diǎn)α，β，求m的取值范圍，并求α·β的值．【答案】(1)[–12，0);（2）.【解析】（1）令log2x=t，x∈[，4]，則g（t）=t2+4t+m（t∈[–3，2]）．由于函數(shù)f（x）存在大于1的零點(diǎn)，所以方程t2+4t+m=0在t∈（0，2]上存在實(shí)數(shù)根，由t2+4t+m=0，得m=–t2–4t，t∈（0，2]，所以m∈[–12，0）．故m的取值范圍為[–12，0）．（2）函數(shù)f（x）有兩個(gè)互異的零點(diǎn)α，β，則函數(shù)g（t）=t2+4t+m在[–3，2]上有兩個(gè)互異的零點(diǎn)t1，t2，其中t1=log2α，t2=log2β，所以，解得3≤m<4，所以m的取值范圍為[3，4）．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知t1+t2=–4，即log2α+log2β=–4，所以log2（α·β）=–4，α·β=2–4=．第五章三角函數(shù)章末測試一、單選題(每題只有一個(gè)選項(xiàng)為正確答案，每題5分，共40分）1．（2020·渦陽縣第九中學(xué)高一月考）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，由，可得，所以.所以.故選D.2．（2020·浙江高三專題練習(xí)）已知，則A． B． C． D．【答案】D【解析】由得，故選D．.3．（2020·浙江高一單元測試）如果函數(shù)y＝3cos（2x+φ）的圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）中心對稱，那么|φ|的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵函數(shù)y＝3cos（2x+φ）的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱.∴∴當(dāng)時(shí)，有.故選：A.4．（2020·河南高一月考（理））已知函數(shù)，則在下列區(qū)間使函數(shù)單調(diào)遞減的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意，函數(shù)，令，解得，所以函數(shù)在上先增后減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上先增后減.故選C.5．（2020·全國高一專題練習(xí)）若為銳角，，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由角的關(guān)系可知根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式，可得所以選A6．（2020·欽州市第三中學(xué)）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法中錯誤的是（）A．的最小正周期是 B．在上單調(diào)遞增C．在上單調(diào)遞增 D．直線是曲線的一條對稱軸【答案】C【解析】由圖可知，，該三角函數(shù)的最小正周期，故A項(xiàng)正確；所以，則.因?yàn)椋栽摵瘮?shù)的一條對稱軸為，將代入，則，解得，故.令，得，令，則故函數(shù)在上單調(diào)遞增.故B項(xiàng)正確；令，得，令，故函數(shù)在上單調(diào)遞減.故C項(xiàng)錯誤；令，得，令，故直線是的一條對稱軸.故D項(xiàng)正確.故選C.7．（2019·全國高一課時(shí)練習(xí)）已知，則=（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，所以，所以．故選B．8．（2019·全國高一課時(shí)練習(xí)）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，若，的圖象都經(jīng)過點(diǎn)，則的值可以是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】易得.因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過點(diǎn),,所以代入函數(shù)解析式得.所以.根據(jù)題意,得,又因?yàn)榈膱D象也經(jīng)過點(diǎn),所以代入得,將、、或代入,只有成立.故選B.二、多選題（每題有多個(gè)選項(xiàng)為正確答案，每題5分，共20分）9．（2020·浙江高一單元測試）設(shè)函數(shù)，給出下列命題，不正確的是（）．A．的圖象關(guān)于直線對稱B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C．把的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象D．的最小正周期為，且在上為增函數(shù)【答案】ABD【解析】因?yàn)?，所以A不正確；因?yàn)?，所以B不正確；因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，但，所以D不正確；把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，函數(shù)為偶函數(shù)，所以C正確．故選：ABD.10．（2020·瓊山·海南中學(xué)高一期中）設(shè)函數(shù)，則()A．是偶函數(shù) B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．最大值為2 D．其圖象關(guān)于點(diǎn)對稱【答案】AD【解析】.選項(xiàng)A：，它是偶函數(shù)，正確；選項(xiàng)B：，所以，因此是單調(diào)遞減，錯誤；選項(xiàng)C：的最大值為，錯誤；選項(xiàng)D：函數(shù)的對稱中心為，，當(dāng)，圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，錯誤.故選：AD11．（2020·浙江高一單元測試）如圖是函數(shù)在區(qū)間上的圖象．為了得到這個(gè)函數(shù)的圖象，只要將的圖象上所有的點(diǎn)（）．A．向左平移個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變B．向左平移個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)仲長到原來的，縱坐標(biāo)不變C．把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個(gè)單位長度D．向左平移個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變【答案】AC【解析】由圖象知，A=1,T=π，所以=2，y=sin（2x+），將（，0）代入得：sin()=0，所以=kπ，，取=，得y=sin（2x+），向左平移，得．然后各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，得．故A正確．各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，得．然后向左平移個(gè)單位，得．故C正確．故選：AC12．（2020·山東高三其他）函數(shù)的部分圖像如圖所示，將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度后得到的圖像，則下列說法正確的是（）A．函數(shù)為奇函數(shù)B．函數(shù)的最小正周期為C．函數(shù)的圖像的對稱軸為直線D．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】BD【解析】由圖象可知，，∴，則.將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，整理得，∴，即.，∴，∴.∵將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的圖象，∴.∴既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故A錯誤；∴的最小正周期，故B正確.令，解得.則函數(shù)圖像的對稱軸為直線.故C錯誤；由，可得，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故D正確.故選：BD.三、填空題（每題5分，共20分）13．（2020·輝縣市第二高級中學(xué)高一月考）已知點(diǎn)P(tanα，cosα)在第三象限，則角α的終邊在第________象限．【答案】二【解析】因?yàn)辄c(diǎn)P（tanα，cosα）在第三象限，所以tanα＜0，cosα＜0，則角α的終邊在第二象限，故答案為二．14．（2020·綏德中學(xué)高一月考（理））函數(shù)=的最小值為_________．【答案】【解析】由函數(shù)，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值.15．（2019·深州長江中學(xué)高二期中）已知，則______．【答案】【解析】因?yàn)?，則．16．（2020·榆林市第二中學(xué)高三月考（理））已知函數(shù)的相鄰兩個(gè)對稱中心距離為，且，將其上所有點(diǎn)的再向右平移個(gè)單位，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得的圖像，則的表達(dá)式為_______【答案】.【解析】由題意，函數(shù)的相鄰兩個(gè)對稱中心距離為，解得，且，即，因?yàn)?，解得，所以，將圖象上的點(diǎn)向右平移個(gè)單位，可得，再把所得圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，可得的圖象，即函數(shù)的解析式為.故答案為：.四、解答題（17題10分，其余每題12分，共70分）17．（2018·福建高一期中）已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】解：（Ⅰ），解得；（Ⅱ）=．18．（2020·玉龍納西族自治縣田家炳民族中學(xué)高二期中（文））已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn)P（）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β滿足sin（α+β）=，求cosβ的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.【解析】Ⅰ）由角的終邊過點(diǎn)得，所以.（Ⅱ）由角的終邊過點(diǎn)得，由得.由得，所以或.19．（2020·陜西高三三模（文））已知函數(shù).（1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)在上的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題意，函數(shù)，所以函數(shù)的最小正周期為。（2）因?yàn)?，則，可得，所以，故在上的值域?yàn)椤?0．（2020·湖北武漢·高一期末）一半徑為米的水輪如圖所示，水輪圓心距離水面米；已知水輪按逆時(shí)針做勻速轉(zhuǎn)動，每秒轉(zhuǎn)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)）開始計(jì)算時(shí)間.（1）以水輪所在平面與水面的交線為軸，以過點(diǎn)且與水面垂直的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，試將點(diǎn)距離水面的高度（單位：米）表示為時(shí)間（單位：秒）的函數(shù)；（2）在水輪轉(zhuǎn)動的任意一圈內(nèi)，有多長時(shí)間點(diǎn)距水面的高度超過米？【答案】（1）；（2）有時(shí)間點(diǎn)距水面的高度超過米.【解析】（1）設(shè)水輪上圓心正右側(cè)點(diǎn)為，軸與水面交點(diǎn)為，如圖所示：設(shè)，由，，可得，所以.，，，由題意可知，函數(shù)的最小正周期為，，所以點(diǎn)距離水面的高度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)為；（2）由，得，令，則，由，解得，又，所以在水輪轉(zhuǎn)動的任意一圈內(nèi)，有時(shí)間點(diǎn)距水面的高度超過米.21．（2019·大名縣第一中學(xué)高一月考）已知函數(shù)的圖象在軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)和第一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和.若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)的周期為，當(dāng)時(shí)，方程恰有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意可知函數(shù)的周期，且，所以，故.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，即.又，所以，故.（2）由（1）得函數(shù)，其周期為，又，所以.令，因?yàn)?，所以，若在上有兩個(gè)不同的解，則，所以當(dāng)時(shí)，方程在上恰有兩個(gè)不同的解，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.22．（2020·山東濰坊·高一期末）已知函數(shù)的圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到曲線，把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的曲線對應(yīng)的函數(shù)記作.（i）求函數(shù)的最大值；（ii）若函數(shù)在內(nèi)恰有2015個(gè)零點(diǎn)，求、的值.【答案】（1），；（2）（i）；（ii），.【解析】（1）由圖象可得，最小正周期，則，由，所以，，又，則易求得，所以，由，，得，，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）（i）由題意得，，所以的最大值為；（ii）令，可得，令，得，易知，方程必有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根、，由，則、異號，①當(dāng)且或者且時(shí)，則方程和在區(qū)間均有偶數(shù)個(gè)根，不合題意，舍去；②當(dāng)且0時(shí)，則方程和在區(qū)間均有偶數(shù)個(gè)根，不合題意，舍去；③當(dāng)且，當(dāng)時(shí)，，只有一根，有兩根，所以，關(guān)于的方程在上有三個(gè)根，由于，則方程在上有2013個(gè)根，由于方程在區(qū)間上只有一個(gè)根，方程在區(qū)間上兩個(gè)根，因此，不合題意，舍去；④當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，只有一根，有兩根，所以，關(guān)于的方程在上有三個(gè)根，由于，則方程在上有2013個(gè)根，由于方程在區(qū)間上有兩個(gè)根，方程在區(qū)間上有一個(gè)根，此時(shí)，滿足題意；因此，，，得，綜上，，.第六章平面向量及其應(yīng)用章末測試一、單選題（每題只有一個(gè)選項(xiàng)有正確答案，每題分，8題共40分）1．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）在矩形中，，，點(diǎn)在對角線上，點(diǎn)在邊上，且，，則（）A． B．4 C． D．【答案】C【解析】，所以.故選：C.2．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）下列各組平面向量中，可以作為基底的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)锳，C，D選項(xiàng)中的兩個(gè)向量均存在實(shí)數(shù)使得，所以兩向量均共線，故不可作為基底．因?yàn)锽選項(xiàng)中的兩個(gè)向量不存在實(shí)數(shù)使得，所以兩向量不共線，所以可以作為一組基底．故B正確．3．（2020·天津河?xùn)|區(qū)·高一期中）已知，，，則（）A．，，三點(diǎn)共線 B．，，三點(diǎn)共線C．，，三點(diǎn)共線 D．，，三點(diǎn)共線【答案】A【解析】，，，，與共線，、、三點(diǎn)共線．故選：．4．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）海倫公式是利用三角形的三條邊的邊長直接求三角形面積S的公式，表達(dá)式為：；它的特點(diǎn)是形式漂亮，便于記憶.中國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶在1247年獨(dú)立提出了“三斜求積術(shù)”，雖然它與海倫公式形式上有所不同，但它與海倫公式完全等價(jià)，因此海倫公式又譯作海倫－秦九韶公式.現(xiàn)在有周長為的滿足，則用以上給出的公式求得的面積為（）A． B．C． D．12【答案】C【解析】在中，因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?，設(shè)，，，且，∴，解得，即，，，且，∴.故選：C.5．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）如果向量，，那么()A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【解析】由已知，所以，故選：B．6．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)，是兩個(gè)不共線的平面向量，已知，，若，則（）A．2 B．-2 C．6 D．-6【答案】D【解析】因?yàn)?，故，故，因?yàn)?，是兩個(gè)不共線的平面向量，故，解得.故選：D7．（2020·四川省敘永縣第一中學(xué)校高一期中）在中，下列各式正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于選項(xiàng)A：由正弦定理有，故，故選項(xiàng)A錯誤；對于選項(xiàng)B：因?yàn)椋?，故選項(xiàng)B錯誤；對于選項(xiàng)C：，由余弦定理得；故選項(xiàng)C錯誤；對于選項(xiàng)D：由正弦定理可得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式可得：，即，故選項(xiàng)D正確；故選：D8．（2019·陜西省黃陵縣中學(xué)高一期末）已知為的一個(gè)內(nèi)角，向量.若，則角()A． B． C． D．【答案】C【解析】即,選C.二、多選題（每題不止一個(gè)選項(xiàng)為正確答案，每題5分共4題20分）9．（2020·江蘇鎮(zhèn)江市·高一期末）在中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，已知，，且，則（）A． B． C． D．【答案】AD【解析】∵，整理可得：，可得，∵A為三角形內(nèi)角，，∴，故A正確，B錯誤，∵，∴，∵，且，∴，解得，由余弦定理得，解得，故C錯誤，D正確.故選：AD.10．（2020·全國高一單元測試）已知兩點(diǎn)，與平行，且方向相反的向量可能是（）A． B．C． D．【答案】AD【解析】，A選項(xiàng)，，故滿足題意D選項(xiàng)，，故滿足題意B、C選項(xiàng)中的不與平行故選：AD11．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）已知向量(2，1)，(1，﹣1)，(m﹣2，﹣n)，其中m，n均為正數(shù)，且()∥，下列說法正確的是（）A．a(chǎn)與b的夾角為鈍角B．向量a在b方向上的投影為C．2m+n=4D．mn的最大值為2【答案】CD【解析】對于A，向量(2，1)，(1，﹣1)，則，則的夾角為銳角，錯誤；對于B，向量(2，1)，(1，﹣1)，則向量在方向上的投影為，錯誤；對于C，向量(2，1)，(1，﹣1)，則(1，2)，若()∥，則(﹣n)=2(m﹣2)，變形可得2m+n=4，正確；對于D，由C的結(jié)論，2m+n=4，而m，n均為正數(shù)，則有mn(2m?n)()2=2，即mn的最大值為2，正確；故選：CD.12．（2020·全國高一）對于三角形ABC，有如下判斷，其中正確的判斷是（）A．若sin2A＋sin2B＜sin2C，則三角形ABC是鈍角三角形B．若A＞B，則sinA＞sinBC．若a＝8，c＝10，B＝60°，則符合條件的三角形ABC有兩個(gè)D．若三角形ABC為斜三角形，則【答案】ABD【解析】對于A，因?yàn)閟in2A＋sin2B＜sin2C，所以由正弦定理得，所以，所以為鈍角，所以三角形ABC是鈍角三角形，所以A正確；對于B，因?yàn)锳＞B，所以，所以由正弦定理得sinA＞sinB，所以B正確；對于C，由余弦定理得，，所以，所以符合條件的三角形ABC有一個(gè)，所以C錯誤；對于D，因?yàn)?，所以因?yàn)椋?，所以，所以D正確，故選：ABD三、填空題（每題5分，4題共20分）13．（2020·浙江杭州市·高一期末）在中，，點(diǎn)M為三邊上的動點(diǎn)，PQ是外接圓的直徑，則的取值范圍是_______________________【答案】【解析】設(shè)外接圓的圓心為，半徑為，可得，M為三邊上的動點(diǎn)，可知的最大值為到三角形頂點(diǎn)的距離，即為半徑，且的最小值為到邊的距離，過作，垂足為，則，的最大值為，最小值為，故的取值范圍是.故答案為：.14．（2020·安徽安慶市·桐城市第八中學(xué)高一期中）已知向量.若與共線，則在方向上的投影為________.【答案】【解析】∵∴.又∵與共線，∴，∴，∴，∴在方向上的投影為.15．（2020·北京朝陽區(qū)·人大附中朝陽學(xué)校高一期末）已知平面向量，的夾角為，且，則的最小值為________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，而，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以故答案為：.16．（2020·四川省成都市鹽道街中學(xué)高一期中）在山頂鐵塔上處測得地面上一點(diǎn)的俯角，在塔底處測得點(diǎn)的俯角，已知鐵塔部分高米，山高_(dá)______．【答案】米【解析】由，易得，，設(shè)，則，，，．四、解答題（17題10分，其余每題12分，共70分）17．（2020·深圳市）已知向量（cosx，cosx），（cosx，sinx）．（1）若∥，，求x的值；（2）若f（x）?，，求f（x）的最大值及相應(yīng)x的值．【答案】（1）或（2）的最大值為，此時(shí)【解析】（1）∵，，，∴，∴，∴cosx＝0或，即cosx＝0或tanx，∵，∴或；（2）∵，∴，∴，∴，故f（x）的最大值為，此時(shí)．18．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求角A；（2）從三個(gè)條件：①；②；③的面積為中任選一個(gè)作為已知條件，求周長的取值范圍.【答案】（1）；（2）答案不唯一，具體見解析.【解析】（1）因?yàn)?，所以，得，所以，因?yàn)?，所?（2）分三種情況求解：選擇①，因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，即的周長，因?yàn)?，所以，即周長的取值范圍是.選擇②,因?yàn)?，由正弦定理得即的周長，因?yàn)?，所以，所以，即周長的取值范圍是.選擇③.因?yàn)?，得，由余弦定理得，即的周長，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以.即周長的取值范圍是.19．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）在中，角、、的對邊分別為、、，已知.（1）若的面積為，求的值；（2）設(shè)，，且，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），，則，的面積為，.因此，；（2），，且，所以，，即，.，.，，因此，.20．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）在中，內(nèi)角的對邊分別為，設(shè)平面向量，且（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求中邊上的高.【答案】(1);(2).【解析】（1）因?yàn)?，所以，即，即，根?jù)正弦定理得，所以，所以；（2）由余弦定理，又，所以，根據(jù)△的面積，即，解得，所以中邊上的高．21．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，，，，.（1）求的長；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1），，，，，，.；（2），，，.22．（2020·全國高一單元測試）已知是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，=，且A，E，C三點(diǎn)共線．（1）求實(shí)數(shù)λ的值；（2）若，求的坐標(biāo)；（3）已知，在（2）的條件下，若四點(diǎn)按逆時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）(－7，－2)；（3）(10，7)．【解析】（1）.因?yàn)锳，E，C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)k，使得=k，即，得.因?yàn)槭瞧矫鎯?nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，所以解得.（2）．（3）因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)按逆時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，所以.設(shè)A(x，y)，則，因?yàn)?，所以解得即點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10，7)．第七章復(fù)數(shù)答案一、單選題（每題只有一個(gè)選項(xiàng)為正確答案，每題5分，8題共40分）1．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量為（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），與實(shí)軸正方向的夾角為，且復(fù)數(shù)z的模為2，則復(fù)數(shù)z為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)題意可畫圖形如圖所示，，且與x軸正方向的夾角為，，，即點(diǎn)Z的坐標(biāo)為或.或.故選：D2．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的虛部是（）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】由復(fù)數(shù)的概念知，復(fù)數(shù)的虛部是，故選：C.3．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）.已知，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題可知，故對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則，故選：D.4．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）已知為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知，解得，故，其虛部為，故選：D.5．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)是虛數(shù)單位，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè),可得：，則，，可得：，可得：，故選：B.6．（2020·全國專題））若z=1+i，則|z2–2z|=（）A．0 B．1 C． D．2【答案】D【解析】由題意可得：，則.故.故選：D.7．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)數(shù)(其中，為虛數(shù)單位)，若復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部為，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】由題意得，∴，又復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部為，∴，解得.∴，∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.故選A.8．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算1+i+i2+i3+…+i89的值為（）A．1 B．i C．﹣i D．1+i【答案】D【解析】由等比數(shù)列的求和公式可得：1+i+i2+i3+…+i89，而i90＝i88?i2＝i2＝﹣1，故1+i+i2+i3+…+i891+i，故選：D.二、多選題（每題不止一個(gè)選項(xiàng)為正確答案，每題5分，共4題20分）9．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）若復(fù)數(shù)滿足（其中是虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則（）A． B．的實(shí)部是C．的虛部是 D．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限【答案】ABD【解析】，，，故選項(xiàng)正確，的實(shí)部是，故選項(xiàng)正確，的虛部是，故選項(xiàng)錯誤，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限，故選項(xiàng)正確.故選：.10．（2020·全國高三專題練習(xí)）設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是（）A．若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為2B．若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是C．實(shí)數(shù)是（為的共軛復(fù)數(shù)）的充要條件D．若，則實(shí)數(shù)a的值為2【答案】ACD【解析】∴選項(xiàng)A：為純虛數(shù)，有可得，故正確選項(xiàng)B：在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，有解得，故錯誤選項(xiàng)C：時(shí)，；時(shí)，即，它們互為充要條件，故正確選項(xiàng)D：時(shí)，有，即，故正確故選：ACD11．（2020·山東棗莊市·滕州市第一中學(xué)新校高二開學(xué)考試）下面關(guān)于復(fù)數(shù)的四個(gè)命題中，結(jié)論正確的是（）A．若復(fù)數(shù)，則 B．若復(fù)數(shù)滿足，則C．若復(fù)數(shù)滿足，則 D．若復(fù)數(shù)，滿足，則【答案】AC【解析】A選項(xiàng)，設(shè)復(fù)數(shù)，則，因?yàn)?，所以，因此，即A正確；B選項(xiàng)，設(shè)復(fù)數(shù)，則，因?yàn)?，所，若，則；故B錯；C選項(xiàng)，設(shè)復(fù)數(shù)，則，因?yàn)?，所以，即，所以；故C正確；D選項(xiàng)，設(shè)復(fù)數(shù)，，則，因?yàn)?，所以，若，能滿足，但，故D錯誤.故選：AC.12．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）下列關(guān)于復(fù)數(shù)的說法，其中正確的是（）A．復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的充要條件是B．復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的充要條件是C．若，互為共軛復(fù)數(shù)，則是實(shí)數(shù)D．若，互為共軛復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)它們所對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于軸對稱【答案】AC【解析】對于：復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的充要條件是，顯然成立，故正確；對于：若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)則且，故錯誤；對于：若，互為共軛復(fù)數(shù)，設(shè)，則，所以是實(shí)數(shù)，故正確；對于：若，互為共軛復(fù)數(shù)，設(shè)，則，所對應(yīng)的坐標(biāo)分別為，，這兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，故錯誤；故選：AC三、填空題（每題5分，4題共20分）13．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，那么_____________.【答案】【解析】，，故.故答案為：.14．（2020·上海浦東新區(qū)）已知、，為虛數(shù)單位，且，則____________．【答案】2【解析】故答案為：215．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則z的共軛復(fù)數(shù)為_____________.【答案】i【解析】由，得，則.故答案為：i.16．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）如果向量對應(yīng)復(fù)數(shù)，繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后再把模變?yōu)樵瓉淼谋兜玫较蛄?，那么與對應(yīng)的復(fù)數(shù)是_____________（用代數(shù)形式表示）.【答案】【解析】.所求復(fù)數(shù)為.故答案為：.第八章立體幾何初步一、單選題（每題5分，8題共40分）1．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，觀察四個(gè)幾何體，其中判斷正確的是（）A．①是棱臺 B．②是圓臺 C．③是四面體 D．④不是棱柱【答案】C【解析】圖①不是由棱錐截來的，所以①不是棱臺；圖②上、下兩個(gè)面不平行，所以②不是圓臺；圖③是四面體.圖④前、后兩個(gè)面平行，其他面是平行四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊平行，所以④是棱柱.故選：C.2．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）已知兩個(gè)平面相互垂直，下列命題①一個(gè)平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線②一個(gè)平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線③一個(gè)平面內(nèi)任意一條直線必垂直于另一個(gè)平面④過一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個(gè)平面其中正確命題個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】由題意，對于①，當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，一個(gè)平面內(nèi)的不垂直于交線的直線不垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線，故①錯誤；對于②，設(shè)平面α∩平面β=m，n?α，l?β，∵平面α⊥平面β，∴當(dāng)l⊥m時(shí)，必有l(wèi)⊥α，而n?α，∴l(xiāng)⊥n，而在平面β內(nèi)與l平行的直線有無數(shù)條，這些直線均與n垂直，故一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線，即②正確；對于③，當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線不不一定垂直于另一個(gè)平面，故③錯誤；對于④，當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，過一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，若該直線不在第一個(gè)平面內(nèi)，則此直線不一定垂直于另一個(gè)平面，故④錯誤；故選A．3．（2021·全國高一）已知三條不同的直線和兩個(gè)不同的平面，下列四個(gè)命題中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【解析】若,可以有或相交，故A錯；若，可以有或異面，故B錯；若，可以有、與斜交、，故C錯；過作平面，則，又，得，，所以，故D正確.故選:D

4．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）已知正三棱柱，為的外心，則異面直線與所成角的大小為（）A．30° B．60° C．45° D．90°【答案】D【解析】如圖，是等邊三角形，且為的外心，是的垂心，，且平面，平面，，平面，且平面，，異面直線與所成角的大小為．故選：D．5．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）已知三棱錐，面面，，，，則三棱錐外接球的表面積（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如下圖所示，取的中點(diǎn)，連接、，，為的中點(diǎn)，，平面平面，交線為，平面，平面，,為外接圓圓心，則球心在直線上，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則，，則，，在中，由勾股定理得，即，解得，因此，三棱錐的外接球的表面積為.故選：C.6．（2020·青銅峽市高級中學(xué)）如圖所示，AB是⊙O的直徑，VA垂直于⊙O所在的平面，點(diǎn)C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)，M，N分別為VA，VC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．MNAB B．MN與BC所成的角為45°C．OC平面VAC D．平面VAC平面VBC【答案】D【解析】M，N分別為VA，VC的中點(diǎn)，在△中有，在面中，MN不與AB平行；，知：MN與BC所成的角為；因?yàn)槊妫c平面內(nèi)交線都不垂直，OC不與平面VAC垂直；由面，面即，而知，有面，又面，所以面面；故選：D7．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）已知正四面體的表面積為，其四個(gè)面的中心分別為，設(shè)四面體的表面積為，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖所示，正四面體四個(gè)面的中心分別為、、、，四面體也是正四面體．連接并延長與交于點(diǎn)，連接并延長與交于點(diǎn)．、分別為面的中心，．．又，．面積比是相似比的平方，兩四面體的面積比為；．故選：．8．（2020·四川省資中縣第二中學(xué)）古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德是世界上公認(rèn)的三位最偉大的數(shù)學(xué)家之一，其墓碑上刻著他認(rèn)為最滿意的一個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，如圖，一個(gè)“圓柱容球”的幾何圖形，即圓柱容器里放了一個(gè)球，該球頂天立地，四周碰邊，在該圖中，球的體積是圓柱體積的，并且球的表面積也是圓柱表面積的，若圓柱的表面積是6π現(xiàn)在向圓柱和球的縫隙里注水，則最多可以注入的水的體積為（）A． B． C．π D．【答案】B【解析】設(shè)球的半徑為r，則由題意可得球的表面積為，所以r＝1，所以圓柱的底面半徑為1，高為2，所以最多可以注入的水的體積為.故選：B.二、多選題（每題不止一個(gè)選擇為正確答案，每題5分，4題共20分）9．（2020·廣東汕頭市·金山中學(xué)）已知直三棱柱中，，，是的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).點(diǎn)是上的動點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到中點(diǎn)時(shí)，直線與平面所成的角的正切值為B．無論點(diǎn)在上怎么運(yùn)動，都有C．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到中點(diǎn)時(shí)，才有與相交于一點(diǎn)，記為，且D．無論點(diǎn)在上怎么運(yùn)動，直線與所成角都不可能是30°【答案】ABD【解析】直三棱柱中，，選項(xiàng)A中，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到中點(diǎn)時(shí)，有E為的中點(diǎn)，連接、，如下圖示即有面∴直線與平面所成的角的正切值：∵，∴，故A正確選項(xiàng)B中，連接，與交于E，并連接，如下圖示由題意知，為正方形，即有而且為直三棱柱，有面，面∴，又∴面，面，故同理可證：，又∴面，又面，即有，故B正確選項(xiàng)C中，點(diǎn)運(yùn)動到中點(diǎn)時(shí)，即在△中、均為中位線∴Q為中位線的交點(diǎn)∴根據(jù)中位線的性質(zhì)有：，故C錯誤選項(xiàng)D中，由于，直線與所成角即為與所成角：結(jié)合下圖分析知：點(diǎn)在上運(yùn)動時(shí)當(dāng)在或上時(shí)，最大為45°當(dāng)在中點(diǎn)上時(shí)，最小為∴不可能是30°，故D正確故選：ABD10．（2020·全國）下列四個(gè)正方體圖形中，A、B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB∥平面MNP的圖形是（）A． B．C． D．【答案】AD【解析】在A中，連接AC，則AC∥MN，由正方體性質(zhì)得到平面MNP∥平面ABC，∴AB∥平面MNP，故A成立；對于B，若下底面中心為O，則NO∥AB，NO∩面MNP＝N，∴AB與面MNP不平行，故B不成立；對于C，過M作ME∥AB，則E是中點(diǎn)，則ME與平面PMN相交，則AB與平面MNP相交，∴AB與面MNP不平行，故C不成立；對于D，連接CE，則AB∥CE，NP∥CD，則AB∥PN，∴AB∥平面MNP，故D成立.故選：AD.11．（2020·平潭縣新世紀(jì)學(xué)校）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，E是DD1的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A．AC⊥B1EB．B1C∥平面A1BDC．三棱錐C1﹣B1CE的體積為D．異面直線B1C與BD所成的角為45°【答案】AB【解析】如圖，∵AC⊥BD，AC⊥BB1，∴AC⊥平面BB1D1D，又B1E?平面BB1D1D，∴AC⊥B1E，故A正確；∵B1C∥A1D，A1D?平面A1BD，B1C平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD，故B正確；三棱錐C1﹣B1CE的體積為，故C錯誤；∵BD∥B1D1，∴∠CB1D1是異面直線B1C與BD所成的角，又△CB1D1是等邊三角形，∴異面直線B1C與BD所成的角為60°，故D錯誤.故選：AB.12．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn).現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為H，下列說法正確的是（）A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFH C．HF⊥平面AEH D．HG⊥平面AEF【答案】BC【解析】由題意可得：AH⊥HE，AH⊥HF.∴AH⊥平面EFH，而AG與平面EFH不垂直.∴B正確，A不正確.又HF⊥HE，∴HF⊥平面AHE，C正確.HG與AG不垂直，因此HG⊥平面AEF不正確.D不正確.故選：BC.三、填空題（每題5分，4題共20分）13．（2021·山東高三專題練習(xí)）如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm，高為2cm，內(nèi)孔半徑為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是____cm.【答案】【解析】正六棱柱體積為圓柱體積為所求幾何體體積為故答案為：14．（2021·浙江高一期末）如圖，點(diǎn)E是正方體的棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，則下列結(jié)論正確的有__________．①直線與直線始終是異面直線②存在點(diǎn)，使得③四面體的體積為定值④當(dāng)時(shí)，平面平面【答案】②③④.【解析】對于①：連接交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)直線與直線相交，故①不正確，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長為，則，，，，，，，對于②：，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，，，所以，解得，所以當(dāng)時(shí)，故②正確；對于③：連接、交于點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)E是棱的中點(diǎn)，此時(shí)，故線段到平面的距離為定值，所以四面體的體積為定值，故③正確；對于④：當(dāng)時(shí)，，，，設(shè)平面的法向量為，由令，可得，，可得，設(shè)平面的法向量為，，由解得:，令可得，所以，因?yàn)椋云矫嫫矫?，故④正確；故答案為：②③④.3．（2021·浙江紹興市·高二期末）如圖，已知直四棱柱的所有棱長均相等，，E是棱的中點(diǎn)，設(shè)平面經(jīng)過直線，且平面平面，若平面，則異面直線與所成的角的余弦值為_______．【答案】【解析】由直四棱柱的所有棱長均相等，，所以是菱形，連接，，且，，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，且，所以平面，取的中點(diǎn)，連接，連接交與，所以，且是的中點(diǎn)，所以平面，所以平面平面，又平面，所以平面即平面，分別取的中點(diǎn)，連接交與點(diǎn)，即為的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，又因?yàn)?，平面，平面，所以平面，又，所以平面平面，且平面平面，平面平面，所以，，所以異面直線與所成的角即與所成的角，設(shè)，則直四棱柱的所有棱長均為2，由，所以，，且，由余弦定理得.故答案為：.16．（2021·黑龍江哈爾濱市·哈爾濱三中）已知四棱錐的底面是矩形，其中，側(cè)棱底面，且直線與所成角的余弦值為，則四棱錐的外接球表面積為___________.【答案】【解析】如圖，因?yàn)?，故或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角，因?yàn)槠矫?，平面，故，故為銳角，故，故，故.將該四棱錐補(bǔ)成如圖所示的長方體：則該長方體的外接球即為四棱錐的外接球，其直徑為，故表面積為.故答案為：.四、解答題（第17題10分，其余每題12分，共70分）17．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD為菱形，PB＝PD，E，F(xiàn)分別為AB和PD的中點(diǎn).（1）求證：EF∥平面PBC；（2）求證：平面PBD⊥平面PAC．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】證明：（1）取PC的中點(diǎn)G，連接FG，BG，如圖所示：∵F是PD的中點(diǎn)，∴FG∥CD，且，又∵底面ABCD是菱形，E是AB中點(diǎn)，∴BE∥CD，且，∴BE∥FG，且BE＝FG，∴四邊形BEFG是平行四邊形，∴EF∥BG，又EF?平面PBC，BG?平面PBC，∴EF∥平面PBC；（2）設(shè)AC∩BD＝O，則O是BD中點(diǎn)，連接PO，∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，又∵PB＝PD，O是BD中點(diǎn)，∴BD⊥PO，又AC∩PO＝O，AC?平面PAC，PO?平面PAC，∴BD⊥平面PAC，∵BD?平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.18．（2020·山東菏澤市·菏澤一中高一月考）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)面PAD是正三角形，側(cè)面底面ABCD，M是PD的中點(diǎn).（1）求證：平面PCD；（2）求側(cè)面PBC與底面ABCD所成二面角的余弦值.【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）在正方形ABCD中，，又側(cè)面底面ABCD，側(cè)面底面，所以平面P