（參考答案）常州高級中學2023-2024學年高一上學期期中質(zhì)量檢測數(shù)學試題

第1頁/共1頁江蘇省常州高級中學2023~2024學年第一學期期中質(zhì)量檢查高一年級數(shù)學試卷命題人：周健審核人：蔣亞紅2023.11說明：1.請將答案填寫在答卷上.2.本卷總分為150分，考試時間為120分鐘.一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若，則是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件求出，再求即可得解.詳解】因，，則，而，所以.故選：A.2.下列函數(shù)中，值域為的偶函數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)奇偶性的判斷與值域的求法，逐一分析判斷各選項即可.【詳解】對于A，因為的定義域為，所以此函數(shù)不是偶函數(shù)，故A錯誤；對于B，因為，即的值域為，故B錯誤；對于C，當時，，顯然值域不為，故C錯誤；對于D，因為的定義域為，且，又，所以是值域為的偶函數(shù)，故D正確.故選：D.3.設，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先化簡“”和“”，再利用充分必要條件的定義分析判斷即可得解.【詳解】因為等價于或，等價于或，而或或，所以，故“”是“”的必要而不充分條件.故選：B.4.已知奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，若，則滿足的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用奇偶性可得，，再結(jié)合的單調(diào)性得到，從而得解．【詳解】因為函數(shù)為上的奇函數(shù)，，則，，所以可化，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得.故選：B．5.設，且，從到的兩個函數(shù)分別為，若對于中的任意一個，都有，則集合的個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.無窮多【答案】C【解析】【分析】令．解得或，進而可列舉出滿足條件的集合，從而得解．【詳解】因為，令，解得或，故由題意可知，且，則當，，時，滿足條件.故選：C.6.已知函數(shù)是上的堿函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】易知二次函數(shù)的對稱軸為，因為函數(shù)是R上的減函數(shù)，所以，解得.故選：D.7.若，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用作差比較法及不等式的性質(zhì)逐項判斷即可求解.【詳解】對于A，，因為，所以，所以，即，于是有故A錯誤；對于B，因為，因為，所以，但與的大小不確定，故不一定成立，故B錯誤；對于C，因為，因為，所以，所以，即，于是有，故C正確；對于D，因為，因為，所以，所以，即，于是有，故D錯誤.故選：C.8.已知函數(shù)，若非空集合，滿足，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】不妨設的解集為，從而得，進而得到且，又，為方程的兩個根，可得，由此得到關(guān)于的不等式組，解之即可得解.．【詳解】因為，不妨設的解集為，則由得，所以，又，，所以且，因為的解集為，所以是，即的兩個根，故，即，此時由，得，則，因為，顯然，且開口向上，對稱軸為，所以，則，又，解得，即.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵在于假設的解集為，進而得到且，從而得解.二?多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.關(guān)于的方程有兩個實數(shù)解的一個充分條件是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】利用二次方程的性質(zhì)，結(jié)合充分條件的性質(zhì)即可得解.【詳解】因為有兩個實數(shù)解，當時，，顯然不滿足題意；當時，，得；綜上，且，即有兩個實數(shù)解等價于且，即或，要使得選項中的范圍是題設條件的充分條件，則選項中的范圍對應的集合是或的子集，經(jīng)檢驗，AB滿足要求，CD不滿足要求.故選：AB.10.若正實數(shù)，滿足則下列說法正確的是（）A.有最大值 B.有最大值C.有最小值4 D.有最大值【答案】ABC【解析】【分析】由已知結(jié)合基本不等式一一判斷計算可得．【詳解】解：因為正實數(shù)，滿足，由基本不等式可得，當且僅當時取等號，故A正確；因為，當且僅當時取等號，所以的最大值為，故B正確；，當且僅當時取等號，即有最小值4，故正確；，由A可知，所以即有最小值，當且僅當時取等號，故D錯誤；故選：ABC．11.已知集合，非空集合，下列條件能夠使得的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用因式分解求三次方程的根化簡集合，再利用集合關(guān)系即可判斷.【詳解】對于A，方程，因式分解得，解得或，所以，滿足，故A正確；對于B，方程，因式分解得，解得，所以，滿足，故B正確；對于C，方程，因式分解得，解得或，所以，不滿足，故C錯誤；對于D，方程，因式分解得，解得，所以，滿足，故D正確；故選：ABD.12.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.在上單調(diào)遞增B.值域為C當時，恒有成立D.若，且，則【答案】ACD【解析】【分析】先判斷的奇偶性，再在上，令研究其單調(diào)性和值域，再判斷的區(qū)間單調(diào)性和值域判斷AB；利用解析式推出，根據(jù)已知得到，再應用基本不等式判斷C；特殊值法，將代入判斷D.【詳解】對于AB，因為，則由解析式知的定義域為，又，所以為奇函數(shù)，當時，由對勾函數(shù)性質(zhì)知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且值域為，而在上遞增，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，由奇函數(shù)的對稱性知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，所以值域為，故A正確，B錯誤；對于C，當時，恒成立，所以恒有成立，故C正確；對于D，由，因為，且，所以，故，當且僅當時等號成立，而時，，故等號不成立，所以，故D正確；故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點睛：對于D選項，根據(jù)解析式推導出，進而得到為關(guān)鍵.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.由命題“存在，使”是假命題，求得m的取值范圍是，則實數(shù)a的值是______.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)命題的否定為真，轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立，利用判別式求解.【詳解】因為命題“存在，使”是假命題，所以命題“，”是真命題，故，即，故.故答案為：114.已知函數(shù)，若的值域為，則實數(shù)的值是__________.【答案】##【解析】【分析】先由反比例函數(shù)的性質(zhì)分析得，再由二次函數(shù)的性質(zhì)確定的取值范圍，從而結(jié)合函數(shù)圖像即可得解.【詳解】因為，當時，當時，，不合題意；當時，當時，，不合題意；所以，當時，，即，當時，開口向下，對稱軸為，當時，，令，即，解得或（舍去），令，即，解得或，作出的大致圖象，如圖，因為的值域為，所以，解得，經(jīng)檢驗，滿足題意.故答案為：.15.某網(wǎng)店統(tǒng)計了連續(xù)三天售出商品的種類情況：第一天售出17種商品，第二天售出13種商品，第三天售出14種商品；前兩天都售出的商品有3種，后兩天都售出的商品有5種，則該網(wǎng)店這三天售出的商品最少有__________種.【答案】【解析】【分析】先分析得前兩天共售出的商品種類，再考慮第三天售出商品種類的情況，根據(jù)題意即可得解.【詳解】由題意，第一天售出17種商品，第二天售出13種商品，前兩天都售出的商品有3種，所以第一天售出但第二天未售出的商品有種，第二天售出但第一天未售出的商品有種，所以前兩天共售出的商品有種，第三天售出14種商品，后兩天都售出的商品有5種，所以第三天售出但第二天未售出的商品有種，因為，所以這種商品都是第一天售出但第二天未售出的商品時，該網(wǎng)店這三天售出的商品種類最少，其最小值為.故答案為：.16.已知一塊直角梯形狀鐵皮，其中，現(xiàn)欲截取一塊以為一底的梯形鐵皮，點分別在上，記梯形的面積為，剩余部分的面積為，則的最小值是__________.【答案】##【解析】【分析】利用直角梯形的幾何性質(zhì)，求出，從而可得的表達式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可得解.【詳解】依題意，作于G，則，則，由題意知，則，而，；故，設，則，故，作于H，則，故，則，故，令，則，因為，故，則，而在上單調(diào)遞減，故的最小值為，即的最小值為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是結(jié)合梯形的幾何性質(zhì)表示出相關(guān)線段長，求出梯形的面積表達式，即可求解答案.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知二次函數(shù)的最小值為.（1）若，求的值；（2）設關(guān)于的方程的兩個根分別為，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到，結(jié)合得到關(guān)于的方程組，解之即可得解；（2）利用韋達定理，結(jié)合（1）中結(jié)論與完全平方公式即可得解.【小問1詳解】因為二次函數(shù)的最小值為，所以，則開口向上，對稱軸為，所以，即，則，因為，即，則，將代入，得，解得或（舍去），所以.【小問2詳解】因為，即的兩個根分別為，所以，所以，由（1）可知，即，所以，故.18.已知全集，集合.（1）當時，求；（2）若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分別解出集合與集合，然后求得，進而求得的值；（2）由題意得是的真子集，由此列不等式組，解不等式組可求得的取值范圍.【小問1詳解】因為，當時,，則或，所以.【小問2詳解】因為，又，所以，由得，所以，因為是的必要不充分條件，所以,所以，解得或，所以實數(shù)的取值范圍為.19.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，.（1）求函數(shù)的解析式；（2）①用定義證明函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù)；②判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，請直接寫出結(jié)果；（3）根據(jù)你對該函數(shù)的理解，在坐標系中直接作出函數(shù)的圖象.【答案】（1）（2）①證明見解析；②在上單調(diào)遞增（3）圖像見解析【解析】【分析】（1）利用函數(shù)奇偶性，結(jié)合題設條件即可求得的解析式；（2）①利用函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合作差法即可得證；②在①的基本上繼續(xù)判斷即可；（3）利用（1）與（2）中的結(jié)論，結(jié)合的單調(diào)性與奇偶性即可作圖.【小問1詳解】因為當時，，所以當時，，則，又是定義在上的奇函數(shù)，所以，且，所以.【小問2詳解】①設，則，，所以，因為，所以，且，則，所以，即，故在上是單調(diào)遞減函數(shù)．②在上單調(diào)遞增，理由如下：當時，，，則，所以在上單調(diào)遞增.【小問3詳解】由（2）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，又是定義在上的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以的圖象如圖，.20.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應“綠水青山就是金山銀山”的號召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”，經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某珍稀水果樹的單株產(chǎn)量W（單位：千克）與施用肥料x（單位：千克）滿足如下關(guān)系；，肥料成本投入為元，其它成本投入（如培育管理?施肥等人工費）元.已知這種水果的市場售價為20元/千克，且銷售暢通供不應求，記該水果單株利潤為（單位：元）（1）求的解析式；（2）當施用肥料為多少千克時，該水果單株利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）（2）當施用肥料為千克時，該水果單株最大利潤，最大利潤為元【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用銷售額減去成本投入可得出利潤解析式；（2）利用分段函數(shù)的單調(diào)性及基本不等式計算最值即可得解.【小問1詳解】依題意，當時，；當時，；所以；【小問2詳解】當時，，此時由二次函數(shù)的性質(zhì)可知；當時，，當且僅當，即時，等號成立；綜上，當施用肥料為千克時，該水果單株最大利潤，最大利潤為元.21.已知函數(shù).（1）求函數(shù)定義域和值域：（2）若為非零實數(shù)，設函數(shù)的最大值為.①求；②確定滿足的實數(shù)，直接寫出所有的值組成的集合.【答案】（1）定義域為；值域為（2）①；②【解析】【分析】（1）根據(jù)根式的概念可得定義域，再計算，結(jié)合二次函數(shù)值域求解可得值域；（2）①令，設函數(shù)，，再根據(jù)二次函數(shù)對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系分類討論求解即可；②分類討論的取值范圍，結(jié)合的解析式即可得解.【小問1詳解】因為，所以，則，又，當時，，所以，又，所以；【小問2詳解】依題意，得，令，則，令，，當時，此時二次函數(shù)對稱軸，開口向上，則.當時，此時對稱軸，當，即時，開口向下，則；當，即，對稱軸，開口向下，則，當，即時，開口向下，；綜上，.②當時，，則，解得或（舍去）；當時，，則，解得（舍去）；當時，，則，解得（舍去）；當時，，則；當時，，則，解得（舍去）；當時，，則，解得（舍去）；綜上，或，即.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是熟練掌握分類討論的方法，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合軸動區(qū)間定即可得解.22.已知函數(shù).（1）求關(guān)于的不等式的解集，（2）若對任意的正實數(shù)，存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）依題意化簡不等式得，從而分類