考研高數(shù)講解新高等數(shù)學(xué)上冊(cè)輔導(dǎo)講解-第三章上課資料

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

［羅爾定理

拉格朗日中值定理

中值定理證明，確定無(wú)窮小的歌，求極傳

柯西中值定理

泰勒中值定理

<

「洛必達(dá)法則求極限

單調(diào)性，極值，最值

應(yīng)用一＜

凹凸性，拐點(diǎn)＞求解函數(shù)的性態(tài)，充必要條件

漸近線

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

第一節(jié)微分中值定理

極值:設(shè)/（X）在打的某一鄰域U（Xo）內(nèi)有定義，若

對(duì)一切工￡口(X0)有/(x)N/(Xo)(/(x)</(/)),則

稱(chēng)/（X）在"0取得極?。ù螅┲?，稱(chēng)X。是/（X）的極

?。ù螅┲迭c(diǎn)，極小值和極大值統(tǒng)稱(chēng)為極值，極

小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn)O

2

費(fèi)馬引理：設(shè)/（X）在*=/取極值，又,（與）存在,

則/'（/）=0。

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

在取極值的必要條件：可導(dǎo)的極值點(diǎn)導(dǎo)數(shù)必

為零。

駐點(diǎn):若，3)=0,則稱(chēng)為/(%)的駐點(diǎn)。

可導(dǎo)的極值點(diǎn)一定為駐點(diǎn)，但是駐點(diǎn)不一定為極

值點(diǎn)。

4

定理1(羅爾定理)：

條件：幾何意義：設(shè)A3是

①/(X)在［a,W上連續(xù);(1)定義在&W上的光

②在(“,〃)可導(dǎo)；滑曲線y=/(%);

③“a)=f(b)(2)若除端點(diǎn)外處處有

結(jié)論：不垂直于”軸的切線;

一定存在J￡3,5)，(3)兩端點(diǎn)縱坐標(biāo)相等

使得，G)=o。則在A3上至少存在一

點(diǎn)C,其切線是水平的.

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

即兩端點(diǎn)同高的連續(xù)曲線內(nèi)至少有一點(diǎn)的切線是

6

【例1】(96二)設(shè)在區(qū)間［a,”上具有二階導(dǎo)

數(shù)，且/(〃)=/(，)=0,證明：存

在JG3,㈤和〃G3/)使/?)=0及/"(〃)=0.

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

定理2(拉格朗日中值定理):

條件：幾何意義：設(shè)4b是

①/(%)在［a的上連續(xù)；(1)定義在［a,加上的光

②在3㈤可導(dǎo)滑曲線

結(jié)論：一定存在j=/(x);

cw(a,b),使得(2)若除端點(diǎn)外處處有

樂(lè)小小)不垂直于”軸的切線;

b-a則在3m內(nèi)至少有一點(diǎn)

處的切線平行于弦4反

8

A

與羅爾定理的關(guān)系：羅爾定理是拉格朗日中值定

理的特殊情況。

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

【例2】(90-)設(shè)不恒為常數(shù)的函數(shù)八”)在閉區(qū)

間［a,“上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,〃)內(nèi)可導(dǎo)，且

f(a)=f(b)9證明在(a,〃)內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得

，0>0?

10

【例3】(95三)設(shè)/(x)在區(qū)間［a㈤上連續(xù)，在3,加

內(nèi)可導(dǎo)，證明：在3,加內(nèi)至少存在一點(diǎn)質(zhì)使

b-a

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

［例4］設(shè)“X)在/連續(xù)，在〃(勺)內(nèi)可導(dǎo)，且

limfr(x)=A,則/(%)在/可導(dǎo)，且/'(*o)=A

12

【例5】證明不等式戊<ln(l+*)c,對(duì)一切

x>0成立

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

推論1：若/(X)在區(qū)間/上導(dǎo)數(shù)恒為零，則/(%)在

區(qū)間/上為常數(shù).

推論2：若有r(x)=g'(x),則

/(x)=g(x)+Co

定理3(柯西中值定理):

條件：①/(%),g(x)在[。,切上連續(xù)；②在(。,〃)可

導(dǎo)；③g'(x)wO

結(jié)論：一定存在C￡(〃,〃)，使得/

g(b)-g(a)g(c)

(設(shè)曲線參數(shù)方程為尸貝麟=丁)

[y=f(t)g?

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

/(，)

f(b)

/3)

【例6］設(shè)/(%)在［a,加上連續(xù)，在(a,5)內(nèi)可導(dǎo),

16

b>a>0,證明：存在虞小ze(a,b),使得

+昌勺二器*步⑺

2g4〃b—u

注：三個(gè)中值定理的關(guān)系

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

費(fèi)馬定理

羅爾定理

拉格朗日中值定理

柯西中值定理

定理4（泰勒定理帶拉格朗日余項(xiàng)）

泰勒公式1

18

條件：/（元）在含有小的某開(kāi)區(qū)間3,辦）內(nèi)具有直到

〃+1階的導(dǎo)數(shù)

結(jié)論：對(duì)任意至少存在一點(diǎn)彳介于與與”

之間，使得，，

八X）=/（勺）+r（勺）（…°）+專(zhuān)叫…。y+…

「）（/）/(〃+)?)

(X-%0)"+(%_%0嚴(yán)

n\(〃+1)!

該式為了（%）在點(diǎn)%o處的泰勒展開(kāi)式,

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其中（（%）=仁學(xué)（"-勺嚴(yán)1稱(chēng)為拉格朗日余

項(xiàng)。

泰勒公式2

條件：①在含有X。的某鄰域UJo）內(nèi)具有直到

"-1階的導(dǎo)數(shù);②/（叫/）存在

20

結(jié)論：對(duì)任意%有

/(%)=/(%0)+/7x0)(X--％0)2+…

+(x-x)n+O((x-x)w),其中%￡。(％0)。

n\00

該式中余項(xiàng)。((X-/)稱(chēng)為皮亞諾余項(xiàng)。

泰勒公式中,當(dāng)％0=0時(shí)，稱(chēng)為麥克勞林公式,

即

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/(x)=/(0)+r(0)x+/+…弋°)X

+AQ)

2!m

f(n+1)(6r)

其中以(%)=xw+1(0<^<1)

5+1)!

或&(x)=o(x")

常用的麥克勞林展開(kāi)式：

X.X2X3Xn_

C=1+XH------1------1".......4------FR

2!3!n\

22

/、穌i（〃Z）/、iZ

d----\=xS03

X

z

⑺i4+^i(l^-YrZ)(L)X曰=

ITZ

/、沱

x1_〃(1-)+…….+—；-x=xms

iZ￡

i，0=7

(T)，+:工=

一〃

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n丫2k

=2(-LPG+&(X)

k=o(24)！

1.23

--------=1-X+X-X+…??+(-1)3+川)

1+X

kk

=Z{-l)x+Rn{x

左=0

123

--------=1+X+X+X+…??+xn+R"(x)

1-X

=￡/+&(")

左=0

24

丫2丫34n

ln（l+x）=*-?7+.……+（一1尸土+RQ）

234n

=￡（一1尸廣+&。）

k=ik

泰勒公式的應(yīng)用—求極限，確定無(wú)窮小的階數(shù)

1、求極限

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

［例7］（92-）求吧

【答案】1

求極限lim仕-/-'

【例8】（87二）

x―Xe—Xy

26

【答案】；

生,?x-sinx

【例9】(91-)求ImiF---------

Xf-1)

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

【答案】I

6

2、確定無(wú)窮小的階

【例10】（92二）當(dāng)xf0時(shí)，，-sinx是，的

28

（A）低階無(wú)窮小.（B）高階無(wú)窮小.

（C）等價(jià)無(wú)窮小.（D）同階但非等價(jià)無(wú)窮小.

【答案】（B）

【例11】（96二）設(shè)當(dāng)％->0時(shí),ex-（af+必+1）是

比/高階的無(wú)窮小，則

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1

(A)a=,b=1.(B)a—1,6=1.

2

1

(C)a=—,b=—1.(D)Q=—1，辦=1.

2

【答案】(A)

第皿一--phk洛必達(dá)法則

兩種基本未定式:

30

，

(1):Hm/(x)=0,limg(x)=0

x^Dg(x)0Xf口X―口

(2)°°:lim/(x)=oo,limg(x)=oo

00X―^匚X—^口

洛必達(dá)法則:

條件：

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(1)滿(mǎn)足基本未定式

(2)/(%)與g(x)在口的附近內(nèi)可導(dǎo)，且g'(x)wO;

(3)limg產(chǎn)存在(或?yàn)?),

1口g(X)

結(jié)論：lim=lim

%.口g(x)x->ng(x)

注1:

注2：在用洛必達(dá)法則時(shí)，只要滿(mǎn)足其條件，那么

32

可以連續(xù)使用;

注3：我們?cè)谑褂寐灞剡_(dá)法則時(shí)，可以與求解極限

的其它方法聯(lián)合使用；

注4：在洛必達(dá)法則中條件（2）和條件（3）,若

有一個(gè)不成立，都說(shuō)明此時(shí)不可以使用洛必達(dá)法

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

【例12］極限口111土理它存在么？能否用洛必

*-8x—smx

達(dá)法則求其極限？

【答案】1

1

ln(l+)

【例1】(87三)求極限lim——工(°0)

x->+ooarccotx0

【答案】1

34

ex-sinx-1

[例2](92—)求lim

x—>0

【答案】1

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sinx

【例3】（91二）求Hm-

XfoXx-l)

【答案】-

36

【例4】（92二）

ex-cosx

【答案】0

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

注5:其它類(lèi)型的未定式(0.8,00-00,00°,0°,

I00)的求解：

0?oo乘法化除法轉(zhuǎn)化＞9或凡利用洛必達(dá)法則求解

000

38

方知通分＞2或方利用洛必達(dá)法則求解

000

00—00^

方法2：提無(wú)窮大》0.00再化成9或4利用洛必達(dá)法則求解

0oo

00。,。。—＞。?8再化成:或御用洛必達(dá)法則求解

—＞0.00再化畤嗖利用洛必達(dá)法則求解

1?

------------(f(x)-l)?g(x)

小產(chǎn)旬+(小)-1)］小)7-------＞利用重要極限轉(zhuǎn)化為0?8再化成

《或方利用洛必達(dá)法則求解

000

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

【例5】(93-)limxlnx

xf0

【答案】0

40

【例6】（93二）求limx2+100+x).

X—>-00

【答案】-50

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

11

【例7】（99—）lim（—

Xf0Xxtanx

【答案*

42

【例8】(94三)求極限limx-x2ln(l+—).

【答案w

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

/11、

【例9】(94—)limcotx

xf0^sinxx)

【答案】I

6

44

(1xtanx

【例10](二)lim

xfo+

【答案】1

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

【例11】(89三)求極限lim(x+c)

X-^+oo

【答案】e

46

第三節(jié)函數(shù)的單調(diào)性和極值

一、函數(shù)單調(diào)性的判別法

設(shè)/(%)在⑷川連續(xù)，在3M上可導(dǎo)，

結(jié)論1:/(%)在［2川上嚴(yán)格單調(diào)上升二、=

(下降)

在3,3上/'(%)j：,且在3,〃)的任意小區(qū)間上

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

r（x）不恒等于零。

上升

結(jié)論2：/（%）在國(guó)川上單調(diào)在（°㈤上

（下降）

>0

(<0)

結(jié)論3：在3刀上r（%）＞?、="工）在,向上單調(diào)

（＜0）

上升

O

（下降）

48

【例1】（95二）設(shè)/（%）在（-00,+8）內(nèi)可導(dǎo)，且對(duì)任

忌巧當(dāng)巧,何時(shí),都有/（巧）,jf（X2）,則（）

(A)對(duì)任意%,/'(%)>0.

(B)對(duì)任意％,r(-“)<0.

(C)函數(shù)/（—%）單調(diào)增加.

(D)函數(shù)-/（T）單調(diào)增加.

【答案】（D）

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

【例2】（95—二）設(shè)函數(shù)/（%）在［0,1］上/"（%）＞0,

則r⑴、r（。）、/⑴一/（o）或/（0）-/⑴的大小順

序是

（A）r（i）＞r（o）＞/（i）-/（o）.

（B）r（i）＞/（i）-/（o）＞r（o）.

（o/（i）-/（o）＞r（i）＞r（o）.

（D）r（i）＞/（o）-/（i）＞r（o）.

【答案】（B）

50

【例3】(91三)試證明函數(shù)/(%)=(1+3”在區(qū)間

X

(0,+00)內(nèi)單調(diào)增加.

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

【例4】（94三）假設(shè)/（X）在［a,+8）上連續(xù)，

在（a,+oo）內(nèi)存在且大于零,記

(x>a).證明：方(%)在(a,+oo)內(nèi)

x—a

單調(diào)增加.

52

二、函數(shù)的極值

(復(fù)習(xí))極值定義：

設(shè)/(%)在/的某一鄰域。(%)內(nèi)有定義，若對(duì)一切

XGL7(XO)Wf(X)>/(X0)(/(X)</(Xo))則稱(chēng)/(X)

在與取得極小(大)值，稱(chēng)/是/(X)的極小(大)

值點(diǎn)，極小值和極大值統(tǒng)稱(chēng)為極值，極小值點(diǎn)和

極大值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn)。

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

（復(fù)習(xí)）極值點(diǎn)的必要條件（費(fèi)馬定理）：設(shè)X。是

/（X）的一個(gè)極值點(diǎn)，且/'（%）存在，則/（%）=0。

54

極值的第一充分條件：

設(shè)/(元)在X。的某鄰域(與-5/0+6)連續(xù)，在此鄰

域內(nèi)可導(dǎo)(可以除與外)，

,

若f(x)>0(<0)(xe(x0-3,x0)),

f(x)<0(>O)(xe(xo,xo+6)),

則/是/⑺的一個(gè)極大值(極小值)點(diǎn)。若/'(%)在

/兩側(cè)不變號(hào)，則/不是/(尤)的極值點(diǎn)。

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

求極值的方法:

（1）求函數(shù)/（X）的定義域和域（％）;

（2）找r（x）=O和/'（X）不存在的點(diǎn);

（3）判斷（2）中求出點(diǎn)兩側(cè)的r（x）的符號(hào)，得

結(jié)論。

56

【例5】(90--)已知/(x)在％=0的某個(gè)鄰域內(nèi)

連續(xù)，且/(0)=0,limj⑴=2,則在點(diǎn)x=0處

101一cosX

/(X)()

(A)不可導(dǎo).(B)可導(dǎo)，且r(o)，o.

(0)取得極大值.(D)取得極小值.

【答案】(D)

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

【例6】(87—)當(dāng)工=時(shí)，函數(shù)y=x2”取

得極小值.

【答案】-

In2

58

取極值的第二充分條件：設(shè)/（*）在/的某鄰域可

導(dǎo)，r（xo）=o,且/"（/）存在。

<0,則與是的極大值點(diǎn)，

若/"（%）<>0,則/是〃X）的極小值點(diǎn)，

=0,不能判斷

X.

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

求極值的方法:

（1）求函數(shù)/（X）的定義域和域（X）;

（2）找/'（“）=0和，（X）不存在的點(diǎn);

（3）用充分條件二判斷r（x）=O的點(diǎn),

用充分條件一判斷r（x）不存在的點(diǎn)，得結(jié)論。

60

【例7】設(shè)尸y(x)是由方程2)3-2y2+2xy-x2=1

確定的，求y=y(x)的駐點(diǎn)，并判定其駐點(diǎn)是否是

極值點(diǎn)？

【答案】駐點(diǎn)：x=l；極小值點(diǎn)

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

三、最大值與最小值

閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)存在最大值和最小值，最值的可

能點(diǎn)：駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)。

求最值的方法一一求函數(shù)y=/（%）在小句上的最

（1）求r（x）,求出/（X）在［a,句上的駐點(diǎn)和使r（x）

不存在的點(diǎn)；

⑵求出所求各點(diǎn)的函數(shù)值以及端點(diǎn)處的函數(shù)值

（極限值）。比較大小，最大者為最大值，最小者

為最小值。

62

【例8】求/(x)=61nx在(0,+oo)內(nèi)的最大值、最

小值。

【答案】無(wú)最大值

最小值點(diǎn):x=e~2；最小值：f(e~2)=-2e

特殊情況：可能的極值點(diǎn)唯一，根據(jù)該點(diǎn)左右兩

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

側(cè)的單調(diào)性來(lái)判斷最值。

【例9】（92二）函數(shù)y=x+2cosx在區(qū)間0,—上

2

的最大值為.

【答案】％百

6

特殊情況：從實(shí)際應(yīng)用中抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)模型,

64

若僅有一個(gè)駐點(diǎn)，則該點(diǎn)處的函數(shù)值就是所要求

的最值，而不必進(jìn)行判斷。特別地：若函數(shù)

/（X）在區(qū)間切連續(xù)且只有唯一的一個(gè)極值點(diǎn)

Xo,則當(dāng)/是極大（?。┲迭c(diǎn)時(shí)它也就是/（元）在

[〃,勾上最大（?。┲迭c(diǎn)。

【例10]在半徑為石的球內(nèi)作一內(nèi)接圓柱體,

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

要使柱體的體積最大，問(wèn)其高及底半徑應(yīng)是多

少？■

第四節(jié)曲線的凹凸性和拐點(diǎn)

一、曲線的凹凸性

66

定義:

凹凸性的判別法：

1、/（X）在區(qū)間3,〃）內(nèi)是凹（凸）的0/（均在區(qū)

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

間（。m）嚴(yán)格單調(diào)上升（下降）

2、設(shè)/（X）在區(qū)間（外方）內(nèi)二階可導(dǎo)，r（x）＞0（＜0）

且在31）內(nèi)的任何子區(qū)間上/”（x）不恒等于零，則

/（X）在區(qū)間（。,〃）內(nèi)是凹（凸）的。

常用的充分判別法：

函數(shù)/（%）在區(qū)間向上連續(xù)，在區(qū)間（。,5）內(nèi)二階

68

可導(dǎo),且/“（X）＞O（v0）（工￡（〃,〃））=/（%）

在［a,W上為凹（凸）的

【例1】（91-）曲線y=e*的上凸區(qū)間

是.

【答案】41Vj

二、拐點(diǎn)

定義：連接曲線的凹弧與凸弧的分界點(diǎn)叫做曲線

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

的拐點(diǎn)。

拐點(diǎn)的必要條件：

若(%"(%))是曲線產(chǎn)/(X)的拐點(diǎn)且/"(%)存在,

則/"(%)=0。

拐點(diǎn)的充分條件:

充分條件一：若/(X)在/處連續(xù)，在/兩側(cè)/"(X)

70

反號(hào)，貝Ij（%"（x。））是曲線y=/（x）的拐點(diǎn)。

充分條件二：若/（X）在/處三階可導(dǎo)，且

r（xo）=o,而尸（與）。0,貝I］（/,〃/））是曲線

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

y=/（柒）的拐點(diǎn)。

推廣：若/（X）在/處〃階可導(dǎo)，且/'（4）=/"（z）=

=/g）（/）=0,而廣）（工。）工0,則當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),

72

/是曲線y=f(%)的極值點(diǎn)；當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí),

(%0，/(/))是曲線)=/(%)的拐點(diǎn)。

求拐點(diǎn)的方法：

(1)求函數(shù)/(%)的定義域和/"(%);

(2)找/"(%)=0和/"(%)不存在的點(diǎn);

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

（3）用充分條件二判斷/'（%）=0的點(diǎn)，

用充分條件一判斷r’（x）不存在的點(diǎn)，得結(jié)論。

1

【例2】（9。二）求曲線”G（X>0）的拐點(diǎn).

74

3、

【答案】V

［例3］設(shè)函數(shù)/（%）在（—,+?））上有定義，則下

述命題中正確的是（）

（A）若/（X）在（-00,+8）上可導(dǎo)且單調(diào)增加，則對(duì)一

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

切工￡(-00,+00),都有/'(工)>0

(B)若/(%)在點(diǎn)X。處取得極值，則/(%)=0

(C)若/"(%)=0,則(與/(%))是曲線y=/(%)的拐

點(diǎn)坐標(biāo)

rrw

(D)若r(4)=0,/(xo)=O,/(xo)^O,則%一

定不是的極值點(diǎn)?！敬鸢浮?D)

［例4］設(shè)函數(shù)/(X)在(-co,+QO)上可導(dǎo)，x0^0,

(%o"(x()))是丁=/(X)的拐點(diǎn)，貝4()

76

（A）%必是r（%）的駐點(diǎn)

（B）（一一/（%））必是）=一/（一"）的拐點(diǎn)

（C）一/（一%））必是y=-/（%）的拐點(diǎn)

（D）對(duì)與％V/,y=/（x）的凹凸性相反

【答案】（B）

【例5】設(shè)外切具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，且，⑴=0,

lim上空」，則（）

3（%―1產(chǎn)2

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

(A)/⑴是“X)的極大值

(B)/⑴是/(%)的極小值

(C)(1"⑴)是曲線產(chǎn)/(X)的拐點(diǎn)坐標(biāo)

(D)/⑴不是/(%)的極值，(1,/(1))也不是曲線

y=/(X)的拐點(diǎn)坐標(biāo)

【答案】(B)

［例6］設(shè)函數(shù)/(X)在點(diǎn)*=0的某鄰域內(nèi)具有連

續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且/"(0)=7(0)=0則()

(A)點(diǎn)x=0為/(X)的零點(diǎn)

78

⑻點(diǎn)％=0為的極值點(diǎn)

（C）當(dāng)=1時(shí)，（0"（。））為拐點(diǎn)

2。|XI

⑻當(dāng)1皿匯區(qū)=1時(shí)，（0"（0））為拐點(diǎn)

a。sinx

【答案】（D）

第五節(jié)漸近線

曲線的漸近線有三種：垂直漸近線、水平漸近線、

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

斜漸近線。

垂直漸近線若

x=x0:lim+/(x)=oo

x—>x0

或1皿/(x)=8或lim/(x)=oo

X-%~^工0

平行漸近線y=A：若lim/(x)=A

Xf+00

或lim/(x)=A或lim/(x)=A

x—>-00X-?00

斜漸近線y=ax+b:若lim"%)=a

■X->00X

80

\im[f(x)-ax]=b

x-?oo

【例1】（89—二）當(dāng)％>0時(shí)，曲線y=%sin，

x

（A）有且僅有水平漸近線.

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

(B)有且僅有鉛直漸近線.

(O既有水平漸近線，也有鉛直漸近線.

(D)既無(wú)水平漸近線，又無(wú)鉛直漸近線.

【答案】(A)

【例2】(91-)曲線"山2

1—e

82

(A)沒(méi)有漸近線.

(B)僅有水平漸近線.

(C)僅有鉛直漸近線.

(D)既有水平漸近線又有鉛直漸近線?

【答案】(D)

X+1

【例3】(89二)對(duì)函數(shù)y=求解：?jiǎn)握{(diào)增減區(qū)

X2

間；極值和極值點(diǎn)；凹凸區(qū)間；拐點(diǎn)；漸近線。

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

【例4】（94二）設(shè)）求

X

（I）函數(shù)的增減區(qū)間及極值;

84

(II)函數(shù)圖像的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn);

(III)漸近線。

本章強(qiáng)化練習(xí)

一、洛必達(dá)法則求解極限

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

arctanxx

1V(00-)lim

x—^0ln(l+2

答案：d

6

86

ln(1+ax3)

—---------L,x<d,

x-arcsinx

2、（03二）設(shè)函數(shù)/"）=6,x=0,問(wèn)

Cax+.X2—ux-1

--------------------x>0,

?%y

xsm—

4

。為何值時(shí)，/（X）在工=0處連續(xù)；。為何值時(shí)，x=0

是/（%）的可去間斷點(diǎn)？

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

sinx

3、(08H)求極限limIn

xf02x

答案」

6

88

4、(03H)設(shè)/(%)=—+1------

7VXSin^X7T{\—X)

XG于1.試補(bǔ)充定義/⑴使得/(%)在尸上連

乙2)乙

續(xù).

1

答案：定義八1)二人

兀

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1cos2X

5、(04H)求lim()?

xfosin22

答案：|

90

6、（06一二）設(shè)數(shù)列｛/｝滿(mǎn)足

0V巧〈肛/+i=sinx“（〃=l,2,）

（I）證明lim與存在，并求該極限；（II）計(jì)算

00

1

lim\

nfe\XxnJ

答案：「

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

f\et2-l+t2)2dt

7、求lim5------------——

—。xarctanx

答案：:

92

、設(shè)/(x)在［0,+8)連續(xù)，且滿(mǎn)足lim駕=1,

L'+00X

e3卜/(力山

求lim-

x—>+00/(x)

答案，

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

9、(1)設(shè)/(尤)，g(%)連續(xù)，且lim/里=1,又

3g(%)

lim^(x)=0,

x—>a

求證：無(wú)窮小J：⑺山?J：*辿(％->〃)；

3

ln(l+2sin，)山

求

(2)limn3

xf0

\n(l+2s\nt)dt

94

(1丫〃

10、求數(shù)列極限limn，其中％=〃e1+-T

n—>oonj

答案：-

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

窮小，則鹿為()

(A)1(B)2(C)3(D)4

答案：(C)

96

二、泰勒公式的應(yīng)用

1、（02二）設(shè)函數(shù)/（*）在工=0的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)具有

二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且/（o）+o,r（o）+o,r（o）*o.證

明：存在唯一的一組實(shí)數(shù)4,4,4,使得當(dāng)入f0時(shí),

4/（九）+4/（2力）+4/（3力）一/（0）是比川高階的

無(wú)窮小.

答案:4=3,4=-3,%=1

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

2、（06二）試確定4,反。的值，使得e”（l+Rr

+CX2)=1+AX+O(X3),其中o(d)是當(dāng)xf0時(shí)比

一高階的無(wú)窮小.

121

答案A=-,B=一一,C

336

98

3、用泰勒公式求下列極限:

/I、x2^2x+ln(l—x2)

(I)lim----------------------

xcosx-sinx

答案：-6

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

(II)limn—n1ln(l+—)

答案u

2

100

三、函數(shù)性質(zhì)的討論

（-）單調(diào)性與極值

1x（98-）設(shè)函數(shù)/（%）在％。的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù),

且于（a）為其極大值，則存在b>0,當(dāng)

X￡（〃一品"+5）時(shí)，必有

(A)(x-a)[/(x)-/(a)]>0.

(B)(x-a)[/(x)-/(?)]<0.

(C)lim---------z—>0(xa).

-a(￡7)2

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

(D)理"

答案：(O

102

2、(03—Z1)設(shè)函數(shù)/(%)在(-oo,+oo)內(nèi)連續(xù)，其

導(dǎo)函數(shù)的圖形如右圖所示，則有

(A)一個(gè)極小值點(diǎn)和兩

個(gè)極大值點(diǎn).

(B)兩個(gè)極小值點(diǎn)和一

個(gè)極大值點(diǎn).

(C)兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩

個(gè)極大值點(diǎn).

(D)三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn).

答案：(C)

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

3、(00二)設(shè)函數(shù)/(x),g(“)是大于零的可導(dǎo)函

數(shù),且r(x)g(。-/(%)，(工)<0,則當(dāng)

時(shí)，有()

(A)f(x)g(b)>f(b)g(x).

(B)/(x)g(a)>/(a)g(x).

(C)f(x)g(x)>f(b)g(b).

(D)/(x)g(x)>/(a)g(?).

答案：(A)

104

4、設(shè)函數(shù)/(x)在％=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且滿(mǎn)足

lim=-1,貝l]x=O[]

iox(l-cosx)

(A)是/(%)的駐點(diǎn)，且為極大值點(diǎn)

(B)是/(X)的駐點(diǎn),且為極小值點(diǎn)

(C)是/(%)的駐點(diǎn),但不是極值點(diǎn)

(D)不是/(%)的駐點(diǎn)

答案：(C)

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

5、設(shè)/(%)在［0,a］上連續(xù)，在(0,。)內(nèi)可導(dǎo)，且

/(0)=0,在(0皿)內(nèi)7(%)單調(diào)增加，F(xiàn)(x)=^,

X

試證：F(x)在(0皿)內(nèi)也單調(diào)增加

106

(")凹凸性與拐點(diǎn)

1、(00-)設(shè)函數(shù)/(尤)滿(mǎn)足關(guān)系式

〃⑴+[r(%)了=與且r(o)=o,則

(A)/(0)是/(尤)的極大值.

(B)/(0)是〃X)的極小值.

(O點(diǎn)(0"(0))是曲線y=/(x)的拐點(diǎn).

(D)〃0)不是/(%)的極值，點(diǎn)(0"(0))也不是曲

線y=/(x)的拐點(diǎn).

答案：(C)

2.(01-)曲線片(元-1)2(無(wú)的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.

答案：(C)

3、(04二三)設(shè)則

108

(A)x=0是/(X)的極值點(diǎn),但(0,0)不是曲線

y=/(x)的拐點(diǎn).

(B)工=0不是/(2)的極值點(diǎn)，但(0,0)是曲線

y=/(x)的拐點(diǎn).

(C)*=0是/(”)的極值點(diǎn),且(o,o)是曲線

y=/(x)的拐點(diǎn).

(D)%=0不是/(”)的極值點(diǎn)，(0,0)也不是曲線

，=/(")的拐點(diǎn).

答案：(C)

4、設(shè)了(X)分別滿(mǎn)足如下兩個(gè)條件中的任何一個(gè):

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

(I)/(%)在％=0處三階可導(dǎo)，且limR^=l

x->0x

(A)f(0)不是/(%)的極值,(0J(0))不是曲線

y=/(%)的拐點(diǎn)

(B)/(0)是的極小值

(O(0"(0))是曲線y=/(X)的拐點(diǎn)

(D)/(0)是/(X)的極大值

答案：(C)

(II)/(%)在x=0鄰域二階可導(dǎo)，/(0)=0,且

110

(Vl+x-l)fff(x)-xf(x)=ex-l,[]

則下列說(shuō)法正確的是：

(A)/(0)不是/(x)的極值，(OJ(O))不是曲線

y=/(%)的拐點(diǎn)

(B)/(O)是/(%)的極小值

(O(0"(0))是曲線y=/(X)的拐點(diǎn)

(D)/(O)是“X)的極大值

答案：(B)

5、(07三)設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程

ylny-x+y=0確定，試判斷曲線y=y(x)在

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

點(diǎn)（1,1）附近的凹凸性.

（三）最值的求解

I12

X2v2

1、在橢■=1的第一象限部分上求一點(diǎn)P,

使該點(diǎn)處的切線，橢圓及兩坐標(biāo)軸所圍圖形的面

積最小。

答案：P--——b

22)

（四）漸近線

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

3

1、(99-)已知函數(shù)y=求

(%-1)

(I)函數(shù)的增減區(qū)間及極值;

(II)函數(shù)圖形的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn);

(III)函數(shù)圖形的漸近線.

2、(00三)求函數(shù)y=(x-l)ei的單調(diào)區(qū)間和極