同步學(xué)案(人教A版必修1)：第1章集合與函數(shù)概念§13函數(shù)的基本

同步精品學(xué)案(人教A版必修1)：第1章集合與函數(shù)概念

§13函數(shù)的基本.新課標(biāo)人教A版

1.3.1單調(diào)性與最大(小)值

一?—要點(diǎn)精析—一?

1.函數(shù)單調(diào)性的概念

一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮：

如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值xl,x2,當(dāng)xl<x2時(shí)，都有

f(xl)<f(x2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù);

如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值xl,x2,當(dāng)xl〈x2時(shí)，都有

f(xl)>f(x2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù).

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具

有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

函數(shù)單調(diào)性的概念從以下四個(gè)方面理解：

(1)定義中的xl,x2具有三個(gè)特征：

①任意性，即“任意取xl,x2"，“任意”二字決不能丟掉，證明單調(diào)性時(shí)更不能隨意

用兩個(gè)特殊值替換；

②有大小，通常規(guī)定xl<x2；

③同屬于一個(gè)單調(diào)區(qū)間.三者缺一不可.

(2)函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，這個(gè)區(qū)間MWA.(A為函數(shù)的定義域)

(3)函數(shù)的單調(diào)性是指函數(shù)值在定義域內(nèi)或定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)的變化趨勢(shì)，是增加或

減少的一種定性描述，它是函數(shù)的局部性質(zhì).

(4)單調(diào)區(qū)間端點(diǎn)的寫法，對(duì)于單獨(dú)的一點(diǎn)，由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，沒有

增減變化，所以不存在單調(diào)性問題，因此在寫單調(diào)區(qū)間時(shí)、可以包括端點(diǎn)，也可以不包括

端點(diǎn)，但對(duì)于某些無意義的點(diǎn)，單調(diào)區(qū)間不包括這些點(diǎn).

2.函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

(1)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法有三種：一是依據(jù)單調(diào)性的定義；二是依據(jù)函數(shù)的圖象；三

是依據(jù)已知函數(shù)的單調(diào)性判斷.如J學(xué)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)性情

況.

(2)函數(shù)單調(diào)性的證明方法：，依據(jù)定義進(jìn)行證明.其步驟如下：

①取值：即設(shè)xl,x2是該區(qū)間上的任意兩個(gè)值，且xl〈x2；

②作差變形：即作差f(xl)—f(x2),并通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利于

判斷差的符號(hào)的方向變形；

③定號(hào)：確定差f(xl)—f(x2)的符號(hào)，當(dāng)符號(hào)不確定時(shí)，可以分情況討論；

④判定：依據(jù)定義得出結(jié)論.

2.函數(shù)的最大(小)值

設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足：

①對(duì)于任意的xwl,都有f(x)WM(或f(x)2M)；

②②存在xOCI,使得f(xO)=M.,那么，我們就稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值(或最小

值).，注

意以下三個(gè)問題：

(1)首先M是一個(gè)函數(shù)值，它是值域的一個(gè)元素.如f(x)=—x2(xdR)的最大值為0,

有f(0)=0,注意對(duì)②中“存在”一詞的理解.

(2)對(duì)于定義域內(nèi)全部元素，都有f(x)WM(或f(x)2M)成立.“任意”是說對(duì)每一個(gè)值

都必須滿足不等式.

(3)這兩個(gè)條件缺一不可，若只有①，M不是最大(小)值，如f(x)=-x2(xGR),對(duì)任

意xER,

都有f(x)Wl成立，但1不是最大值，否則大于0的任意實(shí)數(shù)都是最大值了.最大(小)

值的核心就是不等式f(x)WM(或f(x)2M)，故也不能只有②.

題型一函數(shù)單調(diào)性的判斷及證明

◎MT

F列函數(shù)在指定區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)的是()

2,x￡(―0°,0)U(0,+°°),x

2B.y=,x￡(1,+°°),x1A.y=

C.y=x2,xGR,

D.y=|x|,xGR

分析選擇題的解題方法可以考慮圖象法或特殊值法.

解析選項(xiàng)A中，由反比例函數(shù)圖象知：y=\f⑵x)在(-8,0)和(0,+8)上均是單

調(diào)遞減的，但在(-8,0)U(0,+8)上不是單調(diào)函數(shù)；選項(xiàng)C中，由二次函數(shù)y=x2,

xCR的圖象知，它不是單調(diào)函數(shù)；選項(xiàng)D中，取xl=-l,x2=l,xl〈x2,但f(xl)=

f(x2)=l,它在實(shí)數(shù)集R上不是單調(diào)函數(shù).答案B,點(diǎn)評(píng)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法有三種：

定義法、圖象法、根據(jù)已知函數(shù)的單調(diào)性判斷.作為選擇題、填空題，常用圖象法或已知

函數(shù)的單調(diào)性判斷；說明不具備單調(diào)性的函數(shù)，可以取特殊值.

⑥例②

求證函數(shù)f(x)=x+a(a.,〉0)在(0,a］上是減函數(shù)，在［a,+8)上是增函數(shù).x

分析利用定義證明，證明函數(shù)單調(diào)性的關(guān)鍵在于作差變形.

證明(1)設(shè)(Kxl<設(shè)Wa,

則f(xl)—f(x2)=xl+aa—x2—xlx2

a=(xl—x2)1.xxl2

因?yàn)?<xkx2Wa,所以xl-x2<0,

0<xlx2<a.,所以\aa>l,所以1<0,xlx2xlx2

所以f(xl)—f(x2)>0,所以f(xl)>f(x2).

所以f(x)在(0,\r(a.，)］上為減函數(shù).

(2)設(shè)aWxl〈x2,

則f(xl)—f(x2)=(xl—x2)1

axlx2.

因?yàn)閤l—x2〈0,xlx2>a.,,所以\a〈l,xlx2

所以1a>0,所以f(xl)—f(x2)<0.xlx2

所以f(xl)〈f(x2).所以f(x)在[a,+8)上為增函數(shù).

點(diǎn)評(píng)定義法證明單調(diào)性把握四個(gè)步驟：①取值；②作差；③定符號(hào)；④下結(jié)論.對(duì)于

本題的結(jié)論非常重要，要記住.

題型二求函數(shù)的最大(小)值

⑤例至

x22xa已知函數(shù)f(x)=,xG[1,+°°).x

(1)當(dāng)a.,=l時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值；2

1+2,其在[1,+8)上單調(diào)遞增，所以f(x)的最小2x(2)若對(duì)任意+8),

f(x)>0恒成立，試求實(shí)數(shù)a.,的取值范圍.分析對(duì)?于(1),將f(x)變形為f(x)=x+

值為f⑴；

x22xa對(duì)于(2)運(yùn)用好等價(jià)轉(zhuǎn)化，>0(x6[l,+8))恒成立等價(jià)于x2+2x+a.,>0

恒成立，x

進(jìn)而解出a.,的范圍.

解(1)當(dāng)a.=11時(shí)，f(x)=x++222x

2,由定義法可證得f(x)在上為增函數(shù)，2

/.[I,+8)為f(x)的增區(qū)間，

在[1,+8)上的最小值為f(l)=

(3)在區(qū)間[1,+8)上，7.2

x22xaf(x)=>0恒成立Ox2+2x+a.,〉0恒成立.x

令y=x2+2x+a.,,xG[1,+°°),

則易知y=(x+l)2+a.,—1在［1,+8)上遞增,

???當(dāng)x=I時(shí),ymin=3+a.,

于是，當(dāng)且僅當(dāng)ymin=3+a>0時(shí)，

函數(shù)f(x)>0恒成立,故a>—3.

點(diǎn)評(píng)單調(diào)函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值和最小值.如果f(x)在區(qū)間D上有定義，f(x)20

或f(x)W0恒成立,則當(dāng)且僅當(dāng)f(x)min^O或f(x)ma.,xWO成立.

易錯(cuò)辨析

我努力，我進(jìn)步!

⑥例4

若一次函數(shù)y=f(x)在區(qū)間上的最小值為1,最大值為3,則f(x)的解析式為

(-l)+b=lk?錯(cuò)解設(shè)f(x)=kx+b(kWO),則可得，k?3+b=3

解得3b=21k213.故f(x)=x+.22

錯(cuò)因分析出錯(cuò)的主要原因是對(duì)一次函數(shù)f(x)=kx+b(kr0)的單調(diào)性沒有掌握好.事

實(shí)上，當(dāng)k>0時(shí)，f(x)在R上為增函數(shù)；當(dāng)k<0時(shí)、為減函數(shù).而在本題的解答中，只考

慮遞增，卻忽視了遞減的情況.

正解設(shè)f(x)=kx+b(k#0).

Ik2(-l)+b=lk?當(dāng)k〉0時(shí)，，解得.3k?3+b=3b2

(-l)+b=3k?當(dāng)k〈0時(shí)，，解得k?3+b=l5b21k2.

1315.,.f(x)=x+f(x)=—x2222

1315正確答案f(x)=x+f(x)=-x2222

考題賞析

我應(yīng)用，我提高!

函數(shù)的單調(diào)性一直是高考考查的重點(diǎn)之一，在選擇題、填空題中，主要考查單調(diào)性和最

值的概念，題目特點(diǎn)是小、巧、活.解答題常涉及單調(diào)性和最值問題的代數(shù)推理題，綜

合性強(qiáng)、難度大.熟練掌握次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，以及形如丫=乂+

些常見性質(zhì)，歸納提煉其應(yīng)用規(guī)律是很有必要的.

11.(福建高考)已知f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足fx>f(D的實(shí)數(shù)X的取值

范圍是()

A.(—00,1)B.(1,+°°)

C.(一8,o)U(0,1)D.(一8,0)U(1,+8)

1l-xl解析；f(x)是R上的減函數(shù)，不等式f>f(l)等價(jià)于移項(xiàng)通分得：，

XXX

X—1即X

則不等式解集為{XH〈O或X>1}.

答案D

2x,|x21,2.(浙江高考)設(shè)f(x)=g(x)是二次函數(shù).若f[g(x)]的值域是

[0,+8),則x,x|<l,

g(x)的值域是()

A.(—8,—1]U[1,+8)

B.(—8,—1]U[0,+°°)

C.[0,+°°)

D.[1,+8)a的函數(shù)的一X

解析

作出函數(shù)y=f(x)的圖象，如圖所示，又???g(x)是二次函數(shù)且f[g(x)]的值域是[0,

+8),

設(shè)g(x)的值域?yàn)闉閯t(-1,0)中的任何元素x孰且[0,l)UA,.?.排除除D.又g(x)作為

二次函數(shù)，且值域不可能是B(-8,-l]u[0,+8),排除B.

答案

主訓(xùn)練

c

1.函數(shù)f(x)=2x—mx+3,當(dāng)x￡(—8,-2］時(shí)是減函數(shù)，x￡［—2,+8)時(shí)是增函

數(shù)，

貝Uf⑴等于()

A.13B.13

C.7D.由m而定的常數(shù)

答案B

mm解析,?,對(duì)稱軸為x=,2,；.m=-8,44

，f(x)=2x2+8x+3.；.f⑴=13.2

2.若區(qū)間［1,+8)是函數(shù)y=(a—I)x2+1與y=

A.a>0B.a>l

C.OWaWlD.0<a<l

答案Da的遞減區(qū)間，則a的取值范圍為()x

解析由題設(shè)知a—I/O,aHO.y=(a—Dx2+1為二次函數(shù)，y=

這兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)知，a滿足a為反比例函數(shù)，由xa10,得0<a<l.

a0

3.函數(shù)y=ax+l(a<0)在區(qū)間［0,2］上的最大值與最小值分別為()

A.1；2a+lB.2a+l；1

C.1+a；1D.1；1+a.

答案A

解析a〈0,所以一次函數(shù)在區(qū)間[0,2]上是減函數(shù)，當(dāng)x=O時(shí)，函數(shù)取得最大值為1；

當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取得最小值為2a+l.

4.函數(shù)f(x)=1x|和g(x)=x(2—x)的遞增區(qū)間分別是()

A.(—8,0]；(—8,1]B.(—8,o]；[1,+8)

C.[0,+°°)；(—8,1]D.[0,+°°)；[1,+°°)

答案C

解析首先作出函數(shù)y=|x|與y=x(2—x)=-x2+2x=—(x—1)2+1的圖象(如圖

①②).利用圖象分別確定其單調(diào)區(qū)間.f(x)=|x|的單調(diào)遞增區(qū)間為[0,+8),g(x)=

x(2—x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,1].

2x6,x1,05.函數(shù)f(x)=32的最大值為()x4,x0,12

A.11B.6C.4D.不能確定，

答案B

解析求分段函數(shù)的最大值，應(yīng)當(dāng)先分段求出最大值，然后求出各段最大值中的最大

值，就是整個(gè)函數(shù)在定義域上的最大值，也可以通過畫函數(shù)圖象的方法分析、判斷、解

決.，函數(shù)f(x)=2x+6在區(qū)間[—1,0]上是增函數(shù)，所以它的最大值為f(0)=6；,函數(shù)

f(x)=

區(qū)間(0,1]上也是增函數(shù)，，所以它的最大值為f(l)=322x+4在23nli+4=,，因?yàn)?/p>

6>,故所求函數(shù)的222

最大值為6.

6.函數(shù)=(3k+l)x+b在R上是減函數(shù)，k的取值范圍是.

答案k<-l3

1.3解析3k+l<0=>k<-

7.函數(shù)y=|x2-2x-3|的單調(diào)遞增區(qū)間是.

答案[-1,1],[3,+oo)

解析由y=|x2—2x—3的圖象，直接得出遞增區(qū)間.如圖所示.

18.已知函數(shù)f(x)為區(qū)間[—1,1]上的增函數(shù)，則滿足f(x)<f2的實(shí)數(shù)x的取

值范圍為.

1答案一lWx〈2

一IWxWl1解析由題設(shè)得1,即一lWx<.2x<2

ax9.討論函數(shù)f(x)=2(—aWO)的單調(diào)性.x1

axlax2解設(shè)一則f(xl)—f(x2)=xl12—x212=

ax2xlxlx21x2

11x212,因?yàn)橐?/p>

l<xl<x2<l,

2所以x2-xl>0,xlx2+l>0,(x21-l)(x2-l)>0.

所以當(dāng)a>0時(shí),f(xl)—f(x2)>0,即f(xl)>f(x2).

當(dāng)a〈0時(shí)，f(xl)-f(x2)<0,即f(xl)<f(x2).

所以當(dāng)a>0時(shí),f(x)在(-1,1)上是減函數(shù).

當(dāng)a〈0時(shí)，f(x)在(-1,1)上是增函數(shù).

10.設(shè)函數(shù)設(shè)函=x2—2x+2(其中xe[t,t+1],teR)的最小值為g(t),求g(t)的

表達(dá)式.解

①

f(x)=x2-2x+2=(xT)2+l,

(1)當(dāng)t+lWl,即two時(shí),截取減區(qū)間上的一段,g(t)=f(t+l)=t2+l,如圖①所示.

⑵當(dāng)"t+lW2,即0<tWl時(shí)，恰將頂點(diǎn)截取在內(nèi)，g(t)=f(l)=l,如圖②所示.

(3)當(dāng)t+l>2,即t>l時(shí)，截取增區(qū)間上的一段，g(t)=f(t)=t2-2t+2,如圖③所示.

t+1(two),綜上可知，g(t)=1(0<tWl),

t2—2t+2(t>l).

講練學(xué)案部

2

1.3.1單調(diào)性與最大(小)值(一

主學(xué)案一^

)

□

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解單調(diào)性的定義.

2.運(yùn)用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性.

□

預(yù)習(xí)自測(cè)

1.一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮：

(1)如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值xl,x2,當(dāng)xl〈x2時(shí)，都

有f(xl)<f(x2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D

(2)如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值xl,x2,當(dāng)xl〈x2時(shí)，都

有f(xl)>f(x2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù).

(3)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間Dy=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=

f(x)的單調(diào)區(qū)間.

2.a.

>0時(shí)，二次函數(shù)y=a.

x2的單調(diào)增區(qū)間為［0,+8).

3.k〉0時(shí)，y=kx+b在R

14.函數(shù)y=的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,0)和(0,4-0°)x

一、利用圖象求單調(diào)區(qū)間

例1求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

⑴f(x)=3,x【；

(2)f(x)=-x2+2|x|+3.

分析由函數(shù)的圖象來確定函數(shù)的單調(diào)性是一種直觀、簡(jiǎn)單的方法，若圖象從左向右連

續(xù)上升(下降)，則稱函數(shù)在該區(qū)間上是單調(diào)遞增(減)的.

解

(1)Vf(x)=3|x|

3x,x20,=—3x,x<0.

圖象如圖(D所示.

f(x)在(-8,0］上是減函數(shù),

在［0,+8)上是增函數(shù).

圖⑵

其圖象如圖(2)所示.

由此可知：y=f(x)在(一8,-1］,［0,1］上是增函數(shù).

y=f(x)在[―1,0],[1,+8)上是減函數(shù).

點(diǎn)評(píng)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以是開的，也可以是閉的，也可以是半開半閉的，對(duì)于閉區(qū)間

上的連續(xù)函數(shù)來說，只要在開區(qū)間上單調(diào)，它在閉區(qū)間上也單調(diào).因此，只要單調(diào)區(qū)間端

點(diǎn)使f(x)有意義，都可以使單調(diào)區(qū)間包括端點(diǎn).但要注意，不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間必須分開

寫，不能用“U”符號(hào)連接它們.

變式遷移1寫出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

(1)f(x)=ax2+bx+c(a#0)；

x2

(2)f(x)=l.|x|

解(l)a>0時(shí),遞增區(qū)間為

遞減區(qū)間為，b,,2ab；2a

a<0時(shí)，遞增區(qū)間為

遞減區(qū)間為b2ab

o

2a

x1,x0(2)f(x)=，如圖所示:x1,x0

.?.單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),

遞減區(qū)間為(-8,0).

二、利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性

1例2證明函數(shù)f(x)=x+(0,1)上是減函數(shù).x

分析證明的關(guān)鍵是對(duì)f(xl)-f(x2)進(jìn)行變形,盡量變形成幾個(gè)最簡(jiǎn)單的因式的乘積形

式.證明設(shè)0<xl〈x2<l,

11x1+x2f(xl)—f(x2)=xlx2

Il=(xl—x2)+xlx2

x—x(x—x)(xx—1)=(xl—x2)+xlx2xlx2

V0<xl<x2<l,.\xl-x2<0,xlx2-l<0,xlx2>0.

f(xl)—f(x2)>0,HPf(xl)>f(x2).

1；.f(x)=x+在(0,1)上是減函數(shù).x

點(diǎn)評(píng)證明函數(shù)的單調(diào)性的常用方法是利用函數(shù)單調(diào)性的定義.其步驟為(1)取值(注意

xl、x2的任意性)；(2)作差變形(目的是便于判斷符號(hào))；(3)判斷差的符號(hào)；(4)寫出結(jié)

論.

變式遷移2(1)例1中若區(qū)間改為(1,+8),單調(diào)性如何改變？

x+2(2)利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)丫=在(-1,+8)上是減函數(shù).x+1

(1)解單調(diào)遞增

(2)證明設(shè)xl>x2〉一1,

xl+2x2+2x2-xl則yl-y2xl+1x2+1(xl+1)(x2+l)

Vxl>x2>-1,.\x2-xl<0,xl+l>0,x2+l>0,

x2—xl.,.即yl—y2<0,yl<y2,(xl+1)(x2+l)

x+2；.y在(-1,+8)上是減函數(shù).x+1三、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

例3已知函數(shù)f(x)=x2+2(a—l)x+2在區(qū)間(-8,4]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值

范圍.

分析解答本題可先將函數(shù)解析式配方，然后找出圖象的對(duì)稱軸，再考慮對(duì)稱軸與所給

區(qū)間的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合求解.

解f(x)=x2+2(a-l)x+2

=[x+(a—1)12—(a—1)2+2,

...此二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=l-a.

的單調(diào)減區(qū)間為(-8,1-a].

?.,f（x）在（-8,4]上是減函數(shù),

二對(duì)稱軸x=l-a.

必須在直線x=4的右側(cè)或與其重合.

1—a24,解得aW—3.

點(diǎn)評(píng)已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，要注意數(shù)形結(jié)合思想，采用逆向思維.變

式遷移3本例中，若將函數(shù)”在區(qū)間（一8,4]上是減函數(shù)”改為“函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間

為（-8,4]”,則a為何值？

解由題意知，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-8,1—a],

??1-a=:4,??a--

?課堂小結(jié)

1.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必須是定義域的子集.因此討論函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，必須先確定函數(shù)

的定義域.

12.研究函數(shù)的單調(diào)性，必須注意無意義的特殊點(diǎn)，如函數(shù)￡儀）=在（一8,0）和（0,

+x

18）上都是減函數(shù)，但不能說函數(shù)￡儀）=在定義域上是減函數(shù).x

3.求單調(diào)區(qū)間的方法：（1）圖象法；（2）定義法；（3）利用已知函數(shù)的單調(diào)性.

4.用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性分四個(gè)主要步驟：

即“取值——作差變形——定號(hào)——判斷”這四個(gè)步驟.

若f（x）＞0,則判斷f（x）的單調(diào)性可以通過作比的方法去解決，即“取值——作比變形

——與1比較——判斷”.

一?—課時(shí)作業(yè)—

?、選擇題

1.下列說法中正確的有()

①若xl,x26I,當(dāng)xl<x2時(shí)，f(xl)<f(x2),則y=f(x)在I上是增函數(shù)；

②函數(shù)y=x2在R上是增函數(shù)；

1③函數(shù)y=-x

1④y(—8,o)U(0,+°°).x

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

答案A

解析函數(shù)的單調(diào)性的定義是指定義在區(qū)間I上任意兩個(gè)值xl,x2,強(qiáng)調(diào)的是任意，從

而①不對(duì)；②y=x2在x20時(shí)是增函數(shù)，x<0時(shí)是減函數(shù)，從而y=x2在整個(gè)定義域上不

具

11有單調(diào)性；③y3<5而f(-3)>f(5)；④y=的xx

單調(diào)遞減區(qū)間不是(-8,0)U(0,+8),而是(一8,0)和(0,+8),注意寫

法.2.設(shè)(a,b),(c,d)都是函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間，且xl?(a,b),x2G(c,d),

xl<x2,則f(xl)與f(x2)的大小關(guān)系是()

A.f(xl)<f(x2)B.f(xl)>f(x2)

C.f(xl)=f(x2)D.不能確定

答案D

解析根據(jù)單調(diào)性定義，所取兩個(gè)自變量是同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)變量，才能由該

區(qū)間上的函數(shù)單調(diào)性來比較出函數(shù)值的大小.

3.下列函數(shù)在區(qū)間(2,+8)上為減函數(shù)的為()

1A.y=2x-7B.y=-x

2C.y=—x+4x+lD.y=x2—4x—3

答案C

4.若函數(shù)f(x)=x2+2(a-2)x+2在區(qū)間［4,+8)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是

()

A.aW—2B.a2—2

C.a2一6D.a<—6

答案B

解析對(duì)稱軸x=2—aW4,得a2—2.

5.設(shè)函數(shù)f(x)是(-8,+8)上的減函數(shù)，則()

A.f(a)>f(2a)B.f(a2)<f(a)

C.f(a2+a)<f(a)D.f(a2+l)<f(a)

答案D

解析由a2+l—a.

2b=(a-l).32+,得a2+l>a.=142

即f(a2+l)<f(a).

二、填空題

f(xl)—f(x2)6.設(shè)xl,x2G［a,b］,如果>0,則f(x)在［a,b］上是單調(diào)函

數(shù)，如果xl—x2

f(xl)—f(x2),則f(x)在［a,b］上是單調(diào)________函數(shù).xl—x2

答案增減

解析單調(diào)性定義的應(yīng)用

7.函數(shù)f(x)=2x2—3|x的單調(diào)遞減區(qū)間是

33—8,一和0,答案44

b8.若函數(shù)y=ax與y=—(0,+8)上都是減函數(shù)，則函數(shù)y=ax2+bx在(0,+°°)x

上是單調(diào)函數(shù).

答案減

解析由已知得a<0,b<0,y=ax2+bx對(duì)稱軸為x=一錯(cuò)誤!<0,開口向下，，在(0,+

°°)上是單調(diào)減函數(shù).

三、解答題

9.已知函數(shù)f(x)=4x2—mx+5在區(qū)間［-2,+8)上是增函數(shù)，求f(l)的取值范圍.

nun00,由已知可知：W—2,.?.mW一解f(x)=4x2—mx+5的單調(diào)遞增區(qū)間為

88

16.

從而f(1)=9—m225.

1(1,+8)上為單調(diào)減函數(shù).X—1

證明任取xl,x2E(1,+8),且xl<x2,貝ij

x2-xlllf(xl)-f(x2)=xl-lx2-l(xl-l)(x2-l)

因?yàn)閘<xl<x2,

所以(xl—1)(x2—1)>0?x2—xl>0,

故f(xl)-f(x2)>0,即f(xl)>f(x2).

1所以函數(shù)y=(l,+8)上為單調(diào)減函數(shù).x—110.求證：函數(shù)y=

1.3.1單調(diào)性與最大(小)值(二

主學(xué)案一^

)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.通過對(duì)一些熟悉函數(shù)圖象的觀察、分析，理解函數(shù)最大值、最小值的定義.

2.會(huì)利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值.

□

自學(xué)導(dǎo)引

1.最大值的概念

一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足：

(1)對(duì)于任意的xei,都有Z

(2)存在xOel,使得那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值.

2.最小值的概念

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足：

(1)對(duì)于任意的XWI,都有；

(2)存在X0GI,使得那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值.

3.函數(shù)f(x)=x2+2)有最小值，無最大值.若xG[0,l],則f(x)最大值為4,最小值

為1.14.函數(shù)f(x)

對(duì)點(diǎn)講練—

=(填“有”或“無”)x

一、圖象法求函數(shù)的最值

例1已知函數(shù)f(x)=3x2—12x+5,當(dāng)自變量x在下列范圍內(nèi)取值時(shí)，求函數(shù)的最大值

和最小值；

⑴XGR；(2)[0,3]；(3)[-1,1].

分析求函數(shù)的最大值、最小值問題，首先考慮定義域，由于是二次函數(shù)，可以采用配

方法和圖象法求解.解

f(x)=3x2-12x+5

=3(x-2)2-7.

(1)當(dāng)x￡R時(shí)，

f(x)=3(x-2)2-72-7,

當(dāng)x=2時(shí)，等號(hào)成立.

即函數(shù)f(x)的最小值為-7,無最大值.

(2)函數(shù)f(x)=3(x-2)2-7的圖象如圖所示，由圖可知，函數(shù)f(x)在［0,2)上遞減，在

⑵3］上遞增，并且f(0)=5,f(2)=-7,f⑶=-4,所以在［0,3］上，函數(shù)f(x)=3(x-2)2-7

在x=0時(shí)取得最大值，最大值為5,在x=2時(shí)，取得最小值，最小值為-7.

(3)由圖象可知,在［-1,1］上單調(diào)遞減,

f(x)max=f(T)=20,f(x)min=f(l)=-4.

點(diǎn)評(píng)探求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，一般要先作出y=f(x)的草圖，然后根據(jù)

圖象的增減性進(jìn)行研究.特別要注意二次函數(shù)的對(duì)稱軸與所給區(qū)間的位置關(guān)系，它是求解

二次函數(shù)在已知區(qū)間上最值問題的主要依據(jù)，并且最大(小)值不一定在頂點(diǎn)處取得.

變式遷移1求f(x)=x2-2ax-l在區(qū)間［0,2］上的最大值和最小值.

解f(x)=(x-a)2-l-a.2,對(duì)稱軸為x=a.

①當(dāng)a〈0時(shí)，由圖①可知，

f(x)min=f(0)=T,f(x)max=f(2)=3-4a.

②當(dāng)0Wa〈l時(shí)，由圖②可知，

f(x)min=f(a)=T-a2,f(x)max=f(2)=3-4a.

③當(dāng)lWaW2時(shí)，由圖③可知，

f(x)min=f(a)=T-a2,f(x)max=f(0)=-l.

④當(dāng)a>2時(shí)，由圖④可知，

f(x)min=f(2)=3-4a,f(x)max=f(0)=-l.

二、利用單調(diào)性求函數(shù)最值

x2+2x+3例2已知函數(shù)f(x)(xe［2,+~)),求f(x)的最小值.x

分析求最值問題往往依賴于函數(shù)的單調(diào)性，由于這個(gè)函數(shù)并不是我們所熟悉的函數(shù)，

可考慮先判斷一下單調(diào)性，再求最值.解任取xl,x2e［2,+8),

3且xl<x2,f(x)=x+2x

31-則f(xl)-f(x2)=(xl-x2)xlx2

Vxl<x2,.,.xl-x2<0

3又?.,xl22,x2>2,.\xlx2>4)l->0xlx2

.*.f(xl)-f(x2)<0,即f(xl)〈f(x2).

故f(x)在［2,+8)上是增函數(shù).

11；.當(dāng)*=2時(shí)，f(x)有最小值，即f(2)=2

點(diǎn)評(píng)運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性求最值是求函數(shù)最值的重要方法，特別是當(dāng)函數(shù)圖象不好作或作

不出來時(shí)，單調(diào)性幾乎成為首選方法.

x變式遷移2求函數(shù)f(x)在區(qū)間［2,5］上的最大值與最小值.x-1

解任取2Wxl〈x2W5,

xx則f(xl)=f(x2)=,xl—1x2—1

xl—x2xxf(x2)—f(xl)-x2—1x1—1(x2—1)(xl—1)

：2Wxl<x2W5,.*.xl-x2<0,x2-l>0,xl-l>0.

二f(x2)-f(xl)<0.Af(x2)<f(xl).

x；.f(x)=在區(qū)間⑵5］上是單調(diào)減函數(shù).x—1

2二f(x)max=f(2)=2.2—1

55f(x)min=f(5)=5-14

三、實(shí)際問題中的最值

例3綠緣商店每月按出廠價(jià)每瓶3元購(gòu)進(jìn)一種飲料，根據(jù)以前的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，若零售價(jià)定

為每瓶4元，每月可銷售400瓶；若零售價(jià)每降低0.05元，則可多銷售40瓶.在每月的

進(jìn)貨當(dāng)月銷售完的前提下，請(qǐng)你給該商店設(shè)計(jì)一個(gè)方案：銷售價(jià)應(yīng)定為多少元和從工廠購(gòu)

進(jìn)多少瓶，才可獲得最大利潤(rùn)？

解設(shè)銷售價(jià)為X元/瓶，則根據(jù)題意(銷售量等于進(jìn)貨量)，正好當(dāng)月銷售完的進(jìn)貨量為

4一*40+400=400(9—2*)(瓶).0.05

此時(shí)所得的利潤(rùn)為

f(x)=400(9-2x)(x-3)=400(-2x2+15x-27)(元).

15根據(jù)函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)x3.75(元)時(shí)，f(x)取得最大值450(元).4

159—2X=600(瓶)，獲得最大利潤(rùn)450元.這時(shí)進(jìn)貨量為400(9—2x)=4004

點(diǎn)評(píng)解應(yīng)用題要從實(shí)際問題出發(fā)，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立函數(shù)關(guān)系式.然后再利用數(shù)學(xué)

知識(shí)使問題得以解決.這個(gè)過程實(shí)際上就是建立數(shù)學(xué)模型的種簡(jiǎn)單情形.

一般步驟：(1)閱讀理解材料(先看應(yīng)用背景，再找尋相關(guān)量的關(guān)系)；(2)建立函數(shù)關(guān)

系；

(3)討論變量性質(zhì)；(4)得出問題結(jié)論.

變式遷移3將進(jìn)貨單價(jià)為40元的商品按50元一個(gè)出售時(shí)，能賣出500個(gè)，已知這種

?課堂小結(jié)

商品每漲價(jià)1元，其銷售量就減少10個(gè)，為得到最大利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)為多少元？最大利

潤(rùn)是多少？

解設(shè)售價(jià)為x元，利潤(rùn)為y元，單個(gè)漲價(jià)(x—50)元，

銷售減少10(x-50)個(gè)，

.,.y=(x-40)(1000-10x)=-10(x-70)2+9000

.,.當(dāng)x=70時(shí),y最大，ymax=9000.

二售價(jià)70元時(shí)，利潤(rùn)最大為9000元.

1.求函數(shù)的最值，若能作出函數(shù)的圖象，由最值的幾何意義不難得出.

2.運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性求最值是求最值的重要方法，特別是函數(shù)圖象作不出來時(shí)，單調(diào)

性幾乎成為首選方法.

3.在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)根據(jù)問題的實(shí)際背景，考慮到定義域的特殊情形去?求函數(shù)的最

值.

,、選擇題

1.函數(shù)y=x2-2x+2在[-2,2]上最大值、最小值為()

A.10,2B.10,1

C.2,1D.以上都不對(duì)

答案B

2.函數(shù)y=ax+l(a<0)在區(qū)間[0,2]上的最大值與最小值分別為()

A.1；2a+lB.2a+l；1

C.1+a；1D.1；1+a.

答案A

解析a<0,所以一次函數(shù)在區(qū)間[0,2]上是減函數(shù)，當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取得最大值為1；

當(dāng)x=2時(shí);函數(shù)取得最小值為2a+L

3.當(dāng)xG(0,5]時(shí),函數(shù)f(x)=3x2—4x+c的值域?yàn)?)

2A.[f(0),f(5)]B.f(0),f3

2,f(5)D.[c,f(5)]C.f3

答案C

解析畫圖象可知.

2x+6,xG[l,2],4.函數(shù)f(x)=則f(x)的最大值、最小值為()x+7,

x￡[-l,1]

A.10,6B.10,8C.8,6D.以上都不對(duì)

答案A

解析間圖象可知.

15.函數(shù)f(x)=()l-x(l-x)

4534A.B.5443

答案D

14解析f(x)W.X12+33

24二、填空題

16.函數(shù)yxe［—3,—1］的最大值與最小值的差是.x

2答案3

7.函數(shù)y=-x2+6x+9在區(qū)間［a,b］(a.

<b<3)有最大值9,最小值一7,貝ija=,b=.

答案一2,0

解析y=-(x-3)2+18,Va<b<3,

.,.在區(qū)間［a,b］上單調(diào)遞增,即一b2+6b+9=9,得b=0,

—a2+6a+9=—7,得a=-2.

8.己知f(x)=x2+2(a-l)x+2在區(qū)間xG［1,5］上的最小值為f(5),則a的取值范圍

答案aW—4

解析由對(duì)稱軸方程為x=l-a.

?.,區(qū)間x6［1,5］上的最小值為f(5),

1—a25,得aW—4.

三、解答題

x2

9.求函數(shù)y［l,2］上的最大值和最小值.x-3

解任取xl,x2,且lWxkx2W2,則

x2x2f(xl)—f(x2)=xl—3x2—3

222xx—3x2—xx+3x=(xl—3)(x2—3)

(x2—xl)[3(xl+x2)—xlx2]=(xl—3)(x2—3)

因?yàn)閘Wxl〈x2W2,所以2<xl+x2<4,

即6<3(xl+x2)<12,又l<xlx2<4,x2-xl>0,

故f(xl)—f(x2)>0,即yl>y2.

x2

所以函數(shù)y=[l,2]上為減函數(shù)，x—3

lymax=f(l)=—,ymin=f(2)=—4.2

10.已知函數(shù)f(x)=x2+2ax+2,x￡[—5,5].

(1)當(dāng)a=-l時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值；

(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y=f(x)在區(qū)間[-5,5]上是單調(diào)函數(shù).

解(1)當(dāng)a=-l時(shí),f(x)=x2-2x+2=(x-l)2+l,

Vxe[-5,5],故當(dāng)x=l時(shí),f(x)的最小值為1.

當(dāng)x=-5時(shí)，f(x)的最大值為37.

(2)函數(shù)f(x)=(x+a)2+2—a2圖象的對(duì)稱軸為x=-a.

?.丫&)在[-5,5]上是單調(diào)的，故一aW-5,或一a25.

即實(shí)數(shù)a的取值范圍是aW—5,或a25.

1.3.2奇偶性

----—要點(diǎn)精析

1.函數(shù)奇偶性的定義

一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域D內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(—x)=f(x),那么函數(shù)

f(x)就叫做偶函數(shù).

一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域D內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(—x)=—f(x),那么函數(shù)

f(x)就叫做奇函數(shù).

理解函數(shù)的奇偶性要注意以下四點(diǎn)：

(1)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的差異.奇偶性是函數(shù)在定義域上的對(duì)稱性，單調(diào)性是反映

函數(shù)在某一區(qū)間上函數(shù)值的變化趨勢(shì).奇偶性是相對(duì)于函數(shù)的整個(gè)定義域來說的，這一點(diǎn)

與函數(shù)的單調(diào)性不同，從這個(gè)意義上來講，函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的“局部”性質(zhì)，而奇偶

性是函數(shù)的“整體”性質(zhì)，只有對(duì)定義域中的每一個(gè)x,都有f(一x)=-f(x)［或f(一X)

=f(x)］,才能說f(x)是奇(偶)函數(shù).

(2)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件.由函數(shù)奇偶性的定義知，若x

是定義域中的一個(gè)數(shù)值，則一x必然在定義域中，因此，函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)

的一個(gè)必不可少的條件是定義域在數(shù)軸上所示的區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.換言之，若所給函數(shù)

的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)一定不具有奇偶性.如函數(shù)y=2x在(-8,+8)上是

奇函數(shù)，但在［—2,3］上則無奇偶性可言.

(3)既奇又偶函數(shù)的表達(dá)式是f(x)=O,xGA,定義域A是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的非空數(shù)集.

(4)若奇函數(shù)在原點(diǎn)處有定義，則有f(0)=0.

2.用定義判斷函數(shù)奇偶性的一般步驟及方法

函數(shù)根據(jù)奇偶性分為：奇函數(shù)、偶函數(shù)、既奇又偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù).

(1)要判斷一個(gè)函數(shù)是否具有奇偶性，應(yīng)按照函數(shù)奇偶性的定義，先判斷這個(gè)函數(shù)的定

義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(因?yàn)橐粋€(gè)函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)既不是奇

函數(shù)也不是偶函數(shù)，即函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是這個(gè)函數(shù)具有奇偶性的前提條件)，

然后再確定f(一x)與f(x)的關(guān)系：①若f(-x)=-f(x),則此函數(shù)為奇函數(shù)；②若f(一

x)=f(X),則此函數(shù)為偶函數(shù);③若f(-X)=—f(X),同時(shí)f(—x)=f(X),則此函數(shù)為

既奇又偶函數(shù).

(2)在判斷斷一x)與與x)的關(guān)系時(shí),可以從f(一x)開始化簡(jiǎn)，也可以去考慮f(一x)+

f(X)或

f(—X)f(—X)—f(x)是否為0,當(dāng)f(x)不等于0與1或一1的關(guān)系.f(x)

3.奇、偶函數(shù)的圖象特征

(1)如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖

形.反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，則這個(gè)函數(shù)是

奇函數(shù).

(2)如果一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱圖形.反之，如果一

個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱圖形，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).

(3)由于奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，因而研究這類函數(shù)

的性質(zhì)時(shí)，只需通過研究函數(shù)在[0,+8)(或(-8,o])上的情形，便可推斷出函數(shù)在整

個(gè)定義域上的性質(zhì)(或圖象).

(4)從奇、偶函數(shù)圖象可以看出：奇函數(shù)在對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性是一致的；偶函

數(shù)在稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性是相反的.

題型一函數(shù)奇偶性的判定

⑤例工

判斷下列函數(shù)的奇偶性：

(l)f(x)=x3+2x；⑵f(x)=2x4+3x2；

⑶f(x)=x2+2x+5;(4)f(x)=x2,xW(0,+?>)；

x3—x2

(5)f(x)=x-l

分析本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷，根據(jù)定義，應(yīng)注意兩個(gè)方面：

(1)函數(shù)中有奇函數(shù)，也有偶函數(shù)，但是還有些函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，只有

f(x)=0(xGR或x《(-a,a),a>0)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

(2)從函數(shù)奇偶性的定義可以看出，具有奇偶性的函數(shù)，首先其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

其次f(-X)=f(X)或f(-X)=-f(x)必有■—成立.

解(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽,關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)x,有f(—x)=

(―333x)+2(—x)=—(x+2x)=—f(x),所以函數(shù)f(x)=x+2x是奇函數(shù).

(2)函數(shù)的定義域?yàn)镽,關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)x,有f(一x)=2(一

4x)+3(―x)2=2x4+3x2=f(x),所以函數(shù)f(x)=2x4+3x2是偶函數(shù).

(3)函數(shù)的定義域?yàn)镽,關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)x,有f(-x)=(一

x)2+2(—x)+5=x2—2x+5,所以f(一x)Wf(x),且f(—x)#—f(x),所以函數(shù)f(x)=

x2+2x+5既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

(4)函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8),不關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)f(x)=x2,xe(0,+

8)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

x3—x2

(5)函數(shù)的定義域?yàn)閧xxGR且xWl},并不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.所以函數(shù)f(x)=既不是X-

1

奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

點(diǎn)評(píng)對(duì)于整式函數(shù)f(x)=a0+alx+a2x2+,,+anxn(neN+),若解析式中只含有x的

偶次方項(xiàng)(a0可看成aOxO,即a0可看做是x0的系數(shù)，也就是說aO也是x的偶次方項(xiàng)的

系數(shù))，x的奇數(shù)次方項(xiàng)的系數(shù)都為零，則f(x)為偶函數(shù)；若f(x)的解析式中只有x的奇

次方項(xiàng)(偶次方項(xiàng)的系數(shù)都為0,包括a0=0).則f(x)為奇函數(shù)；若奇次方項(xiàng)與偶次方項(xiàng)

均存在，則f(x)為非奇非偶函數(shù)，尤其要注意在判斷之前一定要先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)

對(duì)稱，如第(5)小題容易先化簡(jiǎn)成f(x)=x2,忽視定義域得出偶函數(shù)的結(jié)論.

⑤例2

22判斷分段函數(shù)f(x)={(x+5)—4,x￡(—6,—1],(x—5)—4,xe[1,6)的奇偶

性.

分析本題若畫出圖象，可直觀形象地看出其奇偶性，但是不嚴(yán)格；利用定義判斷此函

數(shù)的奇偶性，需分xG(-6,-1]、xC[1,6)兩種情況說明.

解f(x)的定義域?yàn)?-6,-1]U[1,6),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

當(dāng)xW(—6,—1]時(shí)，-xw[l,6),

f(-x)=(-x-5)2-4=(x+5)2-4=f(x)；

當(dāng)xG[l,6)時(shí)，一xe(—6,—1],

f(—x)=(—x+5)2—4=(x—5)2—4=f(x).

綜上可知，對(duì)于xW(—6,-1]U[1,6),

都有f(—X)=f(x).

故f(x)是偶函數(shù).

點(diǎn)評(píng)分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段判斷f(—X)與f(x)的關(guān)系，只有當(dāng)對(duì)稱的兩段上都滿足

相同的關(guān)系時(shí)才能判斷其奇偶性.

題型二奇、偶函數(shù)的圖象

0例3)

解析由圖象可知函數(shù)y=f(x)與y=g(x)均為奇函數(shù).

f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x),F(x)=f(x)?g(x)=[-f(-x)]?[-g(-x)]=F(-x).所以函數(shù)

F(x)=f(x)?g(x)為偶函數(shù).注意到函數(shù)y=f(x)的圖象在y軸右側(cè)部分先小于0后大于

0,而函數(shù)y=g(x)在右側(cè)部分恒大于0,滿足以上條件的只有A.

答案A

點(diǎn)評(píng)由函數(shù)圖象判斷函數(shù)奇偶性是--項(xiàng)基本要求與基本能力.本題是判斷奇函數(shù)、偶

函數(shù)積的奇偶性，結(jié)合圖象中所凸顯的特征(如函數(shù)的定義域、與x軸的交點(diǎn)、圖象是在x

軸的上方還是下方)，將圖象信息用于分析函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等函數(shù)特征.因此在平

時(shí)的訓(xùn)練中要加強(qiáng)對(duì)圖象的識(shí)別能力和結(jié)合函數(shù)性質(zhì)分析圖象的能力.

題型三函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的

綜合應(yīng)用

?例4

設(shè)定義在［—2,2］上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間［—2,0］上單調(diào)遞減，若f(l—求

實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析已知條件較多，充分利用已知條件:f(l-m)<f(m),則

解因?yàn)閒(x)在［-2,2］上為偶函數(shù)，f(l—m)〈f(m).

f(11—m|)<f(|m|),所以一2W1—mW2,

-2WmW2,

lmW2.2

點(diǎn)評(píng)(D滿足函數(shù)關(guān)系式的自變量首先應(yīng)在定義域內(nèi)，這是一個(gè)很容易被忽視的問題，

要加以重視；

(2)在解抽象函數(shù)中參數(shù)的范圍時(shí)，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號(hào)脫掉.

(3)偶函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)：f(x)=f(x),它能使自變量化歸到［0,+8)上，避免分

類討論.

易錯(cuò)辨析

我努力，我進(jìn)步!

⑥例5i

11一m|<|m|,即一2W1—mW2,—2WmW2,

判斷函數(shù)f(X)=(X-1)1+x1—X

錯(cuò)解將解析式變形為：

1+xf(x)=—(1—x)2=—(1+x)(1—x)1—x

1-x,

.*.f(-X)1—(-X)=-1—X,

(—x)=f(x),Jf(x)為偶函數(shù).

錯(cuò)因分析沒有考查函數(shù)定義域的對(duì)稱性.

1+x正解函數(shù)f(x)0知一1Wx<L1—x

因?yàn)槎x域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以此函數(shù)為非奇非偶函數(shù).

考題賞析

我應(yīng)用，我提高!

高考要求掌握函數(shù)奇偶性的概念.從考查形式上看：